Secondo Appello di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 2010/2011. Prof. M.

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1 Es Tot. Punti Secondo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 00/0. Prof. M. Bramanti Tema n ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni ognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) on riferimento al D.Lgs. 96/003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, ognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ww abb% sinbþ b) Risolvere il problema di auchy (per l'equazione precedente): Ú ww abb% sinb Û a b Ü w % a b &. Si calcolino la lunghezza e il momento d'inerzia dell'elica cilindrica omogenea di massa 7 descritta dalle equazioni parametriche: ÚB Vcos* Û Vsin* Ü D * * cß d rispetto all'asse B. (Attenzione NON rispetto all'asse D). Vß sono parametri positivi. 3. Sia abbsin ab b Bß 0aBßb B per a b Á aß b ā per abßb aß bþ a. alcolare in base alla definizione le derivate direzionali H@ 0 aß b nell'origine, acos* ß sin * b, ed in particolare le derivate parziali. b. Osservare se in questo caso la formula del gradiente è verificata oppure no. osa si può concludere riguardo alla differenziabilità di 0 nell'origine?

2 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema 4. Sia B B 0aBßb / ab b / Þ Si dimostri che l'equazione 0aBßb definisce implicitamente due funzioni abbß abbß ß G amb in un intorno di B Þ Si scelga una delle due funzioni e se ne calcoli la derivata prima in B Þ 3 5. Sia X il triangolo di vertici ˆ ß ß ˆ ß ß aß bþ Dopo averne scritto la rappresentazione analitica come dominio B-semplice e -semplice, si calcoli il seguente integrale doppio: B ( (X /.. 6. alcolare le coordinate del centroide del solido W (pieno) a forma di tronco di cono: D W abßßdb À Ÿ D Ÿ ßB Ÿ Š V dove Vß sono parametri positivi. (Si raccomanda di fare una figura, osservando che W è la differenza tra un cono di raggio V e altezza ed uno di raggio V e altezza ). 7. Si consideri il campo vettoriale, conservativo nel suo insieme di definizione: B D D D JaBßßDb Œ ß / ß / a bþ B B D D alcolare un potenziale di J in privato della retta D. 8. Si consideri la funzione 0aB b, -periodica, uguale a cosb per B cßd e riflessa dispari in cß dþ a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? osa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) alcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0 sfruttando le simmetrie, e scrivere in forma compatta la serie di Fourier. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata).

3 Es Tot. Punti Secondo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 00/0. Prof. M. Bramanti Tema n ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni ognome e nome (in stampatello) n di matricola n d'ordine (v. elenco) on riferimento al D.Lgs. 96/003 (Legge sulla privacy), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, ognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Si consideri l'equazione differenziale: w abbb abb B Þ a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione. b. Risolvere il problema di auchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale a b Þ c. Determinare il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di auchy è positiva.. alcolare il lavoro del campo vettoriale aßbb lungo l'arco di spirale di Archimede descritta dall'equazione in forma polare dove V è un parametro positivo. 3. Data la funzione 3 V* ß* cß% dß ab bsinab bb Bß 0aBßb È a b B per Á aß b ā per abßb aß bþ a. Stabilire se nell'origine 0 è continua e se è differenziabile, giustificando le proprie conclusioni in base a criteri studiati. b. alcolare in tutti i punti del piano e stabilire se è continua nell'origine. (Suggerimento: non cercare di dedurre il punto a dal calcolo delle derivate parziali in abß b generico, ma studiare la funzione nell'origine, in base ai criteri studiati).

4 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Tema 4. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). B 0aBßb / ab/ 5. alcolare le coordinate del centroide di una lamina piana omogenea H a forma di semiellisse: B H abßb À Ÿ ß Þ +, 6. alcolare il momento d'inerzia della sfera W (piena) omogenea di massa Q, raggio V e centro l'origine rispetto alla retta B Vß. (Attenzione: la retta non passa per il centro). 7. alcolare il flusso del campo vettoriale tridimensionale J abßß Db attraverso la superficie conica D descritta dal grafico della funzione orientata con la normale verso l'alto. È D B ß 8. Si consideri la funzione -periodica definita da: per B Ÿ V ß k 0aBb / B k per B cß d. a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? osa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) alcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0 sfruttando le simmetrie, e scrivere in forma compatta la serie di Fourier. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata).

5 Es Tot. Punti Secondo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 00/0. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni. a) Scrivere l'integrale generale dell'equazione ww abb% sinbþ b) Risolvere il problema di auchy (per l'equazione precedente): a) Integrale generale dell'omogenea: Ú ww abb% sinb Û a b Ü w % a b & % à 3 DaBb - cosb- sinbþ Integrale particolare della completa. erchiamo una soluzione e l'integrale generale della completa è b) Imponiamo le condizioni di auchy. w abb - sinb abb - cosbà abb *- sinb a*- %-bsinb sinbà- ww abb B & sin à & abb B- B- BÞ & sin cos sin a b - w a b - ' % & & - -

6 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema e la soluzione del problema di auchy è: abb sinb cosb sinbþ &. Si calcolino la lunghezza e il momento d'inerzia dell'elica cilindrica omogenea di massa 7 descritta dalle equazioni parametriche: ÚB Vcos* Û Vsin* Ü D * * cß d rispetto all'asse B. (Attenzione NON rispetto all'asse D). Vß sono parametri positivi. a* b Œ V * ßV * ß Ê * à.= V %. < w sin cos P (.= ( ÊV.* ÊV Þ % % 7 7 M ( ˆ D.= ( ŒV sin * * V Ê.* P ÉV % % % 3. Sia 7 V 7 V Þ a b % Œ abbsin ab b Bß 0aBßb B per a b Á aß b ā per abßb aß bþ a. alcolare in base alla definizione le derivate direzionali H@ 0 aß b nell'origine, acos* ß sin * b, ed in particolare le derivate parziali. b. Osservare se in questo caso la formula del gradiente è verificata oppure no. osa si può concludere riguardo alla differenziabilità di 0 nell'origine? a. 0a> cos* ß> sin* b > acos* sin* bsinc> acos * sin * bd > Per * fissato e > Ä è acos* sin* bsinc> acos * sin * bd Þ > acos* sin* b> acos * sin * b 0a> cos* ß> sin* b µ acos* sin* b> ˆ cos * sin * >

7 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema e quindi. H@ 0 aß b 0a> cos* ß> sin* b a * * bˆ * * Î> cos sin cos sin Þ.> In particolare (per * ß* ): b. Osserviamo che: aß b à aß b Þ ` H0 aß b acos* ß sin* b cos* sin* Á acos* sin* bˆ cos * sin * ß quindi in questo caso la formula del gradiente non è verificata. Se ne deduce che differenziabile nell'origine. 4. Sia B B 0aBßb / ab b / Þ 0 non è Si dimostri che l'equazione 0aBßb definisce implicitamente due funzioni abbß abbß ß G amb in un intorno di B Þ Si scelga una delle due funzioni e se ne calcoli la derivata prima in B Þ 3 Scegliamo abb tale che a b Þ 0aßb Ê ß Þ 0 aß b 0 aß b Þ B / ab bà aß b %à aß b %Þ ` ` ` Poiché 0 aß b ß0 è G in un intorno di aß b e `aß b Á, l'equazione 0aBßb definisce implicitamente una e una sola funzione abb in un intorno di aß b, e risulta a b Þ Analogamente: Poiché 0 aß b ß0 è G in un intorno di aß b e ` aß b Á, l'equazione 0aBßb definisce implicitamente una e una sola funzione abb in un intorno di aß b, e risulta a b Þ Scegliamo ora e calcoliamo: B B / '/ à aß b ( à ß ( w a b a b ( Þ aß b % % ` Analogamente: 3

8 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema Scegliamo ora e calcoliamo: aß b * à ß w a b a b * * Þ aß b % % ` 5. Sia X il triangolo di vertici ˆ ß ß ˆ ß ß aß bþ Dopo averne scritto la rappresentazione analitica come dominio B-semplice e -semplice, si calcoli il seguente integrale doppio: B ( (X /.. B X š abßb À Ÿ B Ÿ ß Ÿ Ÿ abßb À Ÿ Ÿ ß Ÿ B Ÿ Þ B / B. B. ( (. ( ( /.B ( Œ / X ( Š / /. / / / / / / % % / / Þ Da notare che impostando l'integrale iterato in ordine inverso si trovava un'integranda dalla primitiva più complicata. 6. alcolare le coordinate del centroide del solido W (pieno) a forma di tronco di cono: D W abßßdb À Ÿ D Ÿ ßB Ÿ Š V dove Vß sono parametri positivi. (Si raccomanda di fare una figura, osservando che W è la differenza tra un cono di raggio V e altezza ed uno di raggio V e altezza ). Per simmetria, B. G G D G D.B..D kwk ( ( (. Per calcolare il volume kwk osserviamo che il tronco di cono è la differenza tra un cono di raggio V e altezza ed uno di raggio V e altezza, perciò W 4

9 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema Quindi kwk ) * V V V Þ * ( ( DG D.B..D * V ( ( ( D B Ÿ ˆ V ( D D V.D * V ( Š ( D D ( D D ( D Œ.D D.D * * ( Œ * * % ( D D D ( ( Œ. * ' * * ' * * ' (' 7. Si consideri il campo vettoriale, conservativo nel suo insieme di definizione: B D D D JaBßßDb Œ ß / ß / a bþ B B D D alcolare un potenziale di J in privato della retta D. erco YaBßßDb tale che YB abßßdb à B YaBßßDb (.B B arctana B b 0 a ßD b à B B D Y abßßdb 0 / B aßdb Ê B D Ê 0aßDb D / D à D 0aßDb ( Œ / ˆ D D. log / adbà D YaBßßDb arctanabb log ˆ D / D adbà D D Y D D w D D abßßdb / D / / D a b D a b Ê w adb à 5

10 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema adb / D -à YaBßßDb ˆ D D D arctanabb log / / -Þ 8. Si consideri la funzione 0aB b, -periodica, uguale a cosb per B cßd e riflessa dispari in cß dþ a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? osa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) alcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0 sfruttando le simmetrie, e scrivere in forma compatta la serie di Fourier. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La funzione 0 è regolare a tratti ed è continua tranne nei punti 5Þ Pertanto la serie di Fourier converge in ogni punto a 0aBb, tranne in 5ß dove converge a. Possiamo dire che i coefficienti di Fourier + 8ß, 8 tendono a zero, ma non possiamo precisare la velocità di convergenza (probabilmente non saranno 9 aî8b). b) Poiché 0 è dispari, + 8 ß, 8 ( 0aBbsina8B b.b ( cosbsina8b b.b per 8 ā 8 B 8 B.B ( esinaa b b sinaa b bf 8 B 8 B aa b b aa b b cos cos a b a b se dispari 8 8 se 8 pari = % mentre B, Þ a b cos Quindi ( 8 5) _ ) 5 0aB b µ Œ a5bbþ sin %5 5 6

11 Es Tot. Punti Secondo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica. Ing. Telecomunicazioni Politecnico di Milano A.A. 00/0. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n ú Ing. Elettronica (barrare il proprio corso) ú Ing. Telecomunicazioni. Si consideri l'equazione differenziale: w abbb abb B Þ a. Determinare tutte le soluzioni dell'equazione. b. Risolvere il problema di auchy per l'equazione precedente con la condizione iniziale a b Þ c. Determinare il più ampio intervallo su cui la soluzione del problema di auchy è positiva. a. Equazione lineare. + abb B àeabb B à abb / B - ( / B B.B / B - / B -/ B Þ b. c. abb ā L'intervallo è per a b - à- à abb / B. ā / à B B log à B ā log àb ā Ê log. Ê log ß_ Þ. alcolare il lavoro del campo vettoriale aßbb lungo l'arco di spirale di Archimede descritta dall'equazione in forma polare

12 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema dove V è un parametro positivo. 3 V* ß* cß% dß <a* b av* cos* ßV* sin* bà < w a* b avcos* V* sin* ßVsin* V* cos* b av* sin* ßV* cos* bà a* b < a* b V * sin* cos* V * sin * V * sin* cos* V * cos * V * w a% b '% P < a* b < a* b. * ( V *.* V V Þ 3. Data la funzione % % ab bsinab bb Bß 0aBßb È a b B per Á aß b ā per abßb aß bþ a. Stabilire se nell'origine 0 è continua e se è differenziabile, giustificando le proprie conclusioni in base a criteri studiati. b. alcolare in tutti i punti del piano e stabilire se è continua nell'origine. (Suggerimento: non cercare di dedurre il punto a dal calcolo delle derivate parziali in abß b generico, ma studiare la funzione nell'origine, in base ai criteri studiati). a. dove: 0 0 a Bß b È B B ˆ sin B 0 Bß 0 Bß ÈB a b a b è radiale, cioè 0 abßb Š È B con a3b 3sinˆ 3 à perciò lim abßbä aß b 0 abßb lima3b 3Ä dunque 0 è continua; inoltre è derivabile in 3 con derivata nulla (perché a3b µ 3 ), perciò 0 è differenziabile nell'origine; 0 è positivamente omogenea di grado e continua fuori dall'origine, quindi continua e differenziabile nell'origine. Pertanto 0 è continua e differenziabile nell'origine.

13 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema perciò b. alcoliamo prima aß bþ 0 a Bß b ab bsinab b B B ÈB k k ˆ sin alcoliamo ora la derivata fuori dall'origine: a ß b Þ µ kbkb, ` ab bsinab bb ÈB cb ab bbab b ab b dè sin cos B cab bsinab bb d B B B È Ora: c d % º a bº 3 ß* % & 3 3 Ÿ & ß e poiché la maggiorante è funzione della sola 3 e infinitesima per 3 Ä, Pertanto è continua nell'origine. Ä per a Bß b Ä a ß b. 4. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). B 0aBßb / ab/ B 0B % / abb ā B 0 / a b/ / ˆ B / Þ La prima equazione dà B o Þ B nella seconda equazione dà nella seconda equazione dà à Þ B B / à/ ßB logàb ÈlogÞ 3

14 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema I punti stazionari sono: Œß à ˆ È logß Þ Matrice hessiana: B B L0 a Bß b / B / B % a ba b % Þ B / B / ˆ B % / a b Î / L0Œß Œ def. neg.; Œß punto di massimo Î / / L0ˆ È Èlog logß ˆ È logß / Èlog / indef.; punti di sella. 5. alcolare le coordinate del centroide di una lamina piana omogenea H a forma di semiellisse: B H abßb À Ÿ ß Þ +, Area: Per simmetria, BG. alcoliamo khk +,. +, G.B...B k k ( ( +, ( Î É B ( + Ñ H H + Ï Ò Quindi il centroide ha coordinate ˆ % ß,. % B, B,.B B +, ( Œ , % +, alcolare il momento d'inerzia della sfera W (piena) omogenea di massa Q, raggio V e centro l'origine rispetto alla retta B Vß. (Attenzione: la retta non passa per il centro). in coordinate sferiche, M Q BV.B..D kwk ( ( ( a b W + 4

15 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema ÚB 3 sin: cos* Û 3 sin: sin* ÜD 3 cos: V Q M 3 : * V 3 : * :.:.* 3. 3 % ( ( ( V ā a sin cos b sin sin sin Ÿ V Q 3 : V V 3 : *.* :.: 3. 3 %V( ā( ( sin sin cos sin Ÿ V Q 3 : V :.: 3. 3 %V( ( sin sin V Q V.. V( ( ˆ 3 cos : sin: ˆ 3 sin: : 3 3 V Q cos : V. V ( 3 ˆ 3 cos: 3 3 V Q Q V. V. V % % V ( 3 ˆ ( Œ V & & & Q 3 3 Q V V ( V QV V & V Œ. & & 7. alcolare il flusso del campo vettoriale tridimensionale J abßß Db attraverso la superficie conica D descritta dal grafico della funzione orientata con la normale verso l'alto. È D B ß V per B Ÿ V ß F ( ( J 8.W ( ( JaBßß0aBßbb a0babßbß0abßbß b.b. D B ŸV con 0aBßb ÈB B ßf0aBßb Š ß, ÈB ÈB B F ( ( Š Bßß ÈB ß ß.B. ÈB ÈB B ŸV 5

16 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema B ( ( ÈB ( ( ÈB ÈB.B. Š.B. B ŸV B ŸV % ( V 8. Si consideri la funzione -periodica definita da: V k 0aBb / B k per B cß d. a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? osa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) alcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0 sfruttando le simmetrie, e scrivere in forma compatta la serie di Fourier. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La funzione 0 è continua in e regolare a tratti. Pertanto la serie di Fourier converge in ogni punto a 0aB b e i coefficienti di Fourier + 8ß, 8 di 0 sono 9 aî8b. b) 0 è -periodica e pari; quindi, 8 e B B + ( 0aB b.b ( /.B c/ d a/ bþ B + 8 ( 0aBbcosa8B b.b ( / cosa8b b.b B āc/ cosa8bb d 8 ( / sina8b b.bÿ B 8 B ca b / d 8 āc/ sina8bbd 8 ( / cosa8b b.bÿ 8 ca b / d ca b / d 8 8 0aB b µ a/ b ca b / d a8 BbÞ 8 cos 8 _ 8 8 B 6

17 Secondo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 00/. Svolgimento Tema 7