Recupero sul 1 compitino di Analisi Matematica 2 Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 2012/2013. Prof. M. Bramanti Tema n 1

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1 Es Tot. Punti Recupero sul compitino di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente Equazioni differenziali. a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione ww w C abb%c abb'cabb Þ b. Determinare una soluzione particolare dell'equazione ww w B C abb%c abb'cabb B/ Þ

2 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Tema. a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione b. Risolvere il problema di Cauchy: w B" C ß supponendo B Þ B C w B" B C C C a " b " determinando il più ampio intervallo su cui tale soluzione è definita. 3. Si consideri la curva piana di equazione polare * 3 a* b sinœ ß* cß dþ a. Calcolare l'elemento d'arco verificando se la curva è regolare, e individuando gli.= eventuali punti singolari. b. Calcolare la lunghezza della curva.

3 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Tema Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili 4. Sia l'insieme di definizione della funzione I É 0 BßC B a b È CB. loga"b b Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú 5. Data la funzione B C BßC 0aBßCb B C% per a b Á aß b per abßcb aß bþ a. Stabilire se è continua nell'origine, giustificando la risposta. b. Calcolare le derivate parziali nell'origine. c. Stabilire se è differenziabile nell'origine, giustificando la risposta. 3

4 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Tema 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). " " " 0aBßCb C B C BC B B ) 4

5 Es Tot. Punti Recupero sul compitino di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Determinare i punti di massimo assoluti per la funzione 0aBßCb È *B C B * soggetta al vincolo abßcb C Þ Si richiede di determinare i "candidati" punti di massimo vincolato usando il metodo del moltiplicatore di Lagrange e studiarne la natura utilizzando le informazioni topologiche in possesso, e tenendo conto dell'insieme in cui 0 è definita. In particolare, valutare 0 sul bordo dell'insieme.

6 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Tema. Calcolare il seguente integrale doppio: con ( ( a B C b B.B.C V H H abßcb À abvb C Ÿ V Þ 3. Si consideri il solido omogeneo W di massa 7 definito da: ÈB C D W abßcßdb À Ÿ D Ÿ ß Ÿ Š V Ÿ con Vß fissati. a. Calcolare il volume di W. b. Calcolare il momento d'inerzia di W rispetto all'asse D. Esprimere il risultato in funzione dei soli parametri 7ßVßÞ

7 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Tema 4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale C J ÈB C B ß ÈB C lungo l'arco di curva piana di equazione polare * 3 sinœ ß* cß dþ 5. Si consideri la superficie torica W di equazioni parametriche ÚB av < cos: bcos* Û C av < cos: bsin* ÜD < sin: con V < fissati. Calcolare l'integrale di superficie: ( ( kbkd.wþ W * cß dß: cß dß 3

8 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Tema 6. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da: 0aBb BkBk a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). 4

9 Es Tot. Punti Recupero sul compitino di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. Sia 0aBßCb CarcsinB Þ B a%c b a. Si dimostri che l'equazione 0aBßCb definisce implicitamente una e una sola " funzione B acbß G amb in un intorno M di C 'Þ b. Si calcoli poi wa ' b.

10 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Tema. Calcolare il seguente integrale doppio: ( ( C È C B.B.C dove X è il triangolo di vertici aß bß a"ß" bß aß b. X 3. Si consideri il solido W (intersezione di un cono e una sfera) così descritto analiticamente in coordinate sferiche: W š a3 ß: ß* b À 3 cßvdß: ß ß* cß d ' con V fissato. a. Calcolare il volume di W. b. Calcolare il momento d'inerzia di W rispetto all'asse D, supponendo che sia un solido omogeneo di massa 7. Esprimere il risultato finale in funzione dei soli parametri 7ßV.

11 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Tema 4. Calcolare un potenziale del seguente campo conservativo in tutto : JaBßCßDb B/ C " 3ˆ D B / C D / 4 / ˆ / C D Si consideri la curva piana di equazioni parametriche: B V cos > C V sin > > cß d con V fissato. Calcolare l'area della regione racchiusa dalla curva, utilizzando le formule di Green. 3

12 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Tema 6. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da: 0aBb kbkb a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti + 5 di Fourier di 0 (non è richiesto il calcolo dei, 5), tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). 4

13 Es Tot. Punti Recupero sul compitino di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n Equazioni differenziali. a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione ww w C abb%c abb'cabb Þ b. Determinare una soluzione particolare dell'equazione a. Equazione caratteristica: Integrale generale dell'omogenea: ww w B C abb%c abb'cabb B/ Þ % ' È 3 È B CaBb / Š - cosš ÈB - sinš ÈB Þ " b. Cerchiamo una soluzione particolare del tipo: w CaBb aebf b/ B C abb aebf E b/ ww C abb aebf E b/ / B caebf Eb% a EBF Eb' aebfbd B/ B B B E EF E " F CaBb ŒB / B.

14 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione supponendo B Þ b. Risolvere il problema di Cauchy: w C B" B C B" B C w C C a " b " determinando il più ampio intervallo su cui tale soluzione è definita. a. Equazione a variabili separabili. Non ci sono soluzioni costanti. Separando le variabili si ha: b. Imponendo la condizione iniziale si ha " " ( C.C ( Œ.B B B % C " logkbk - % B % " CaBb Ë% ŒlogB -Þ B " % a"-bà- à % % CaBb Ê % %logb B L'intervallo di definizione è il più ampio intervallo contenuto in aß _ b e contentent " in % cui il radicando è non negativo. Uno studio elementare della funzione 0aBb %log B B mostra che 0aBb ab ( 0 ha un minimo in B ", 0 a" b " ), perciò l'intervallo cercato è aß_ b. 3. Si consideri la curva piana di equazione polare * 3 a* b sinœ ß* cß dþ a. Calcolare l'elemento d'arco verificando se la curva è regolare, e individuando gli.= eventuali punti singolari. b. Calcolare la lunghezza della curva.

15 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema 3 w * * sinœ cosœ à ' % * * *.= É3 3 w.* Ë sinœ sinœ cos Œ. * sin Œ *.* Þ * La curva è regolare, fatti salvi i punti singolari per sinˆ ß* ß ß cioè l'origine. b. P ( * * sinœ.*? ( csin? d.? Þ Calcolo differenziale per funzioni reali di più variabili 4. Sia I l'insieme di definizione della funzione É 0 BßC B a b È CB. loga"b b Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú I abßcb À a" B o B " b e B Ÿ C Ÿ B B % 3

16 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema I è aperto SI' ú NO úx I è chiuso SI' ú NO úx I è limitato SI' úx NO ú I è connesso SI' ú NO úx 5. Data la funzione B C BßC 0aBßCb B C% per a b Á aß b per abßcb aß bþ a. Stabilire se è continua nell'origine, giustificando la risposta. b. Calcolare le derivate parziali nell'origine. c. Stabilire se è differenziabile nell'origine, giustificando la risposta. a. B C kb k kc k kb k kc k º º k k k k B C Ÿ B C B C Ÿ B C B % % % % C Ä per abßcb Ä aß bß perciò 0 b. è continua nell'origine. Ora: c. La 0 è differenziabile nell'origine se Però 0aBß b B à0 Baß b à 0 aßcb Cà0CaBßCb "Þ B C 0 BßC C C a b B C% B B C ÈB C ÈB C ab C % bèb C B B C abßcbabßcbþ ab C% bèb C ab C% bèb C kb k kabßcbk Ÿ B Ä per abßcb Ä aß bþ B ÈB abßcb non tende a zero per abßcb Ä aß b perché " ˆ C C C ßC Ä C Ä C C C C per. a % % bè % kckèc " Perciò 0 non è differenziabile nell'origine. 6. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). " " " 0aBßCb C B C BC B B ) 4

17 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema Dalla seconda si ricava: " " 0B BC C B ) 0 C B BC Þ C C BßC B " C B Ê B B che non ha soluzioni, ) B ( " " C Ê B B Ê B "ßB ) ) ( I punti stazionari sono: " " " Œ"ß àœ ß Þ ( "% Matrice hessiana: L0 a BßC b C" BC Œ Þ BC %CB " " L0 Œ"ß Œ"ß indef.; punto di sella. ) ( % " " "% " " L0Œ ß % % indef.; Œ ß punto di sella. ( "% ( "% "% ( 5

18 Es Tot. Punti Recupero sul compitino di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Determinare i punti di massimo assoluti per la funzione 0aBßCb È *B C B * soggetta al vincolo abßcb C Þ Si richiede di determinare i "candidati" punti di massimo vincolato usando il metodo del moltiplicatore di Lagrange e studiarne la natura utilizzando le informazioni topologiche in possesso, e tenendo conto dell'insieme in cui 0 è definita. In particolare, valutare 0 sul bordo dell'insieme. La funzione 0 è definita e continua sull'insieme B + C Ÿ * chiuso e limitato; l'intersezione di questo insieme con la curva definita dal vincolo è un insieme chiuso e limitato, perciò per il teorema di Weierstrass la funzione ha massimo e minimo assoluti vincolati. Nei punti in cui il vincolo interseca il bordo dell'insieme di definizione, cioè B + C *, e in quei punti 0 si annulla; perciò quei punti, che si ottengono risolvendo il sistema *B C B * C ß sono punti di minimo assoluto. Il problema richiede però di determinare i punti di massimo assoluto, che saranno all'interno del dominio. P BßC 0 BßC *B C C B a,-b a b -abßcb È - *. Risolviamo il sistema: Ú Ý Û Ý Ü B È*B C C È*B C B * C -B -C Þ fabßcb ˆ B ßC aß b, punto che però non soddisfa il vincolo, perciò il vincolo non ha punti critici.

19 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema Ú " ÝBŠ È B *B C - Û " CŠ È *B C - Ý B * ÜC Þ " La ^ eq. dà B oppure È B *B C - Þ B dalla 3^ eq. dà C ÈÞ " È *B C - B dalla ^ dà -CaB b ß- (non accettabile), B, che dalla 3^ dà C "Î È, o C, che dà B È *Þ I punti stazionari vincolati sono quindi: Š È Š È Š È ß ß ß "Î ß *ß che effettivamente appartengono tutti all'insieme di definizione della funzione. Calcoliamo: Perciò Š ß È "% 0 Š ß È È' Þ%à0Š ß "Î È Ê Þ"'à 0Š È *ß È** Î Þ"'"( sono punti di massimo assoluto vincolato. Osservazione: in questo caso il vincolo era sostanzialmente esplicitabile, perciò si sarebbe potuto più semplicemente studiare B * B 0aBßCb Ê*B Ê'B abb ÎC B * e cercare poi i massimi e minimi di abb sull'intervallo in cui il radicando è non negativoþ Tuttavia l'esercizio richiedeva espressamente di usare il metodo del moltiplicatore di Lagrange.. Calcolare il seguente integrale doppio: con ( ( a B C b B.B.C V H H abßcb À abvb C Ÿ V Þ Usiamo le coordinate polari adattate al cerchio H: B V 3 cos* C 3 sin*

20 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema Si ha: V ab C bb av 3 V3 cos* bav 3 cos* b ( (.B.C ( ( V V * H V V V " (.*( ˆ V 3 V 3. 3 ( cos *.*( V 3. 3 ( cos*.*( ˆ V 3 3V Ÿ V V " V V V V ( ˆ % % V V V ( 3. 3 Ÿ V V V Œ % % V V V Þ V 3. Si consideri il solido omogeneo W di massa 7 definito da: ÈB C D W abßcßdb À Ÿ D Ÿ ß Ÿ Š V Ÿ con Vß fissati. a. Calcolare il volume di W. b. Calcolare il momento d'inerzia di W rispetto all'asse D. Esprimere il risultato in funzione dei soli parametri 7ßVßÞ 3

21 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema a. kwk ( ( (.B.C.D ( VŠ D.D D ÈB C ŸVˆ ( V ' V " D.D V Þ ' ( ' ( ( 7 b. M B C.B.C.D kwk ( ( ( ˆ W (7 ( V ( ( ( ˆ B C.B.C.D V ( (..D D ÈB C ŸV ˆ ˆ D V % Î (7 Vˆ D Ñ % " (7 V (7 V V V " ( ' 7V ( Ð Ó ".D ( D.D Þ % " " Ï Ò 4. Calcolare il lavoro del campo vettoriale C J ÈB C B ß ÈB C lungo l'arco di curva piana di equazione polare * 3 sinœ ß* cß dþ <a* b ŒŒ sinœ * cos* ߌ sinœ * sin* < w a* b Œ Œ * " * * * Œ * " sinœ sin cosœ cos ß sinœ cos* cosœ * sin* J a< a* bb asin* ß cos* b w * * P ( J a< a* bb < a* b. * ( Œ sinœ. * ' cosœ ' Œ " " ' * Þ 4

22 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema 5. Si consideri la superficie torica W di equazioni parametriche ÚB av < cos: bcos* Û C av < cos: bsin* ÜD < sin: con V < fissati. Calcolare l'integrale di superficie: ( ( kbkd.wþ W.W < av < cos: b. *.: * cß dß: cß dß ( ( kbkd.w ( Œ( kav < cos: bcos* k< sin : < av < cos: b. :. * W < ( kcos* k. * ( av < cos: b sin :.: < %( cos*. * ( ˆ V sin : <V cos: sin : < cos : sin :. : " < %< csin* d V < ( Œ sina : b.: %< V < %V < Þ Œ ˆ % 6. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da: 0aBb BkBk a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La funzione è limitata, integrabile e regolare a tratti; la sua periodizzata è discontinua, perciò i coefficienti di Fourier sono solo infinitesimi (non saranno 9 a"î5b) La serie di Fourier converge puntualmente a 0aBb in aßbà per B converge a. b) Funzione dispari. Calcoliamo: 5

23 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema, 5 ( 0aBbsin a5= B b.b con X ß= ", quindi: X X X ", 5 ( 0aBbsina5 Bb.B ( B sina5 Bb.B B cosa5bb B 5.B 5 ( cosa Bb 5 5 " " a" b % Š a" b c Bsina5Bbd ( sina5 Bb.B ccosa5bbd " a" b % a" b " 5 5 Notiamo che i coefficienti, 5 sono infinitesimi ma non sono 9 a"î5b, come previstoþ Ú Ý Þ % " á a b 0aBb " a b 5 _ 5" " " µ Û ßsin a5bb Ý 5 5 á 5" Ü à 5 5" 6

24 Es Tot. Punti Recupero sul compitino di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. Sia 0aBßCb CarcsinB Þ B a%c b a. Si dimostri che l'equazione 0aBßCb definisce implicitamente una e una sola " funzione B acbß G amb in un intorno M di C 'Þ b. Si calcoli poi w a' b. a. Calcoliamo allora: 0aBß' b ' arcsinb per B B " (osservazione diretta). `0 " Œ ' % Á `B ß C " È È"B B a%c b È Þ " Έ ß " Poiché 0 è G in un intorno di ˆ " ß, 0ˆ " " ß `0 ' ' ß ˆ ß' `B Á, l'equazione 0aBßCb definisce implicitamente una e una sola funzione B acbß G " amb in un intorno M di C 'Þ b. Calcoliamo anche e quindi `0 " C Œ ' Œ `C ß arcsinb % B %C ' a b " ' Έ " ß `0ˆ " ' ( w `C ß ˆ ' " " a' b Þ `0ˆ " ß' % È % È. Calcolare il seguente integrale doppio: `B ( ( C È C B.B.C dove X è il triangolo di vertici aß bß a"ß" bß aß b. X '

25 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema X eabßcb À Ÿ B Ÿ "ßB Ÿ C Ÿ Bf " B ( ( CÈC B.B.C ( Œ( X B " B " CÈC B.C.B " " ( ˆ Î C B.B ( ˆ Î abb B.B B " Î " Î "' ( a%%b b.b " a%%bb Þ " " " " " 3. Si consideri il solido W (intersezione di un cono e una sfera) così descritto analiticamente in coordinate sferiche: W š a3 ß: ß* b À 3 cßvdß: ß ß* cß d ' con V fissato. a. Calcolare il volume di W. b. Calcolare il momento d'inerzia di W rispetto all'asse D, supponendo che sia un solido omogeneo di massa 7. Esprimere il risultato finale in funzione dei soli parametri 7ßV. a. Coordinate sferiche: ÚB 3 sin: cos* Û C 3 sin: sin* ÜD 3 cos: k W k ' V ( ( (.. Î' 3 sin:. 3 : * V cos: È c d V " Þ b. ' V 7 7 M ( ( ( ˆ B C.B.C.D ( ( (.. kwk kwk 3 sin :3 sin :. 3 : * W 7 ' % :.: 3. 3 V Š " È ( sin ( V 7 V ' ˆ ". È V Š " ( sin: cos : :

26 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema 7V cos : ' 7V È È " " È cos: Š " È Š " ) Î 7V È Ñ Ô 7V "'* È ) Ö ÙÞ È Ï " Ò Õ Š È Ø 4. Calcolare un potenziale del seguente campo conservativo in tutto : JaBßCßDb B/ C " 3ˆ D B / C D / 4 / ˆ / C D 5. C C B C YBaBßCßDb B/ Ê YaBßCßDb ( B/.B / 0aCßDbÞ C Y abßcßdb B / 0 acßdb ˆ D C DC B / / Ê 0 acßdb / Ê C C DC " DC 0aCßDb ( /.C / adbþ B YaBßCßDb / C " DC / adb " DC w " D C YDaBßCßDb / adb / ˆ / D Ê w " D / D " " a b D àadb ( D/ D.D a" Db/ D - B YaBßCßDb / C " DC " D / a" Db/ - 5. Si consideri la curva piana di equazioni parametriche: B V cos > C V sin > > cß d con V fissato. Calcolare l'area della regione racchiusa dalla curva, utilizzando le formule di Green. C < w % % a> b ˆ V cos > sin>ßv sin > cos> " " E ( a b ( ˆ % % C.BB.C V sin > V cos > sin>v cos > V sin > cos>.> 3

27 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema ' % ' % % % V ( ˆ sin > cos > cos > sin >.> V ( sin > cos >.> % " " cos%> V ( Œ sin>.> V ( Œ.> V ( ˆ " cos%> cos %>.> % V " c d V Þ % ") 6. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da: 0aBb kbkb a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti + 5 di Fourier di 0 (non è richiesto il calcolo dei, 5), tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) 0aBb B per B cß d B per B cßdþ La funzione è limitata, integrabile e regolare a tratti; la sua periodizzata è discontinua, perciò i coefficienti di Fourier sono solo infinitesimi (non saranno 9 a"î5b) La serie di Fourier converge puntualmente a 0aBb in aßbà per B converge a. b) Calcoliamo: + 5 ( 0aBbcos a5= B b.b con X ß= ", quindi: X X X " " + 5 ( 0aBbcosa5 Bb.B ( Bcosa5 Bb.B ( Bcosa5 Bb.B 4

28 Recupero compitino di Analisi. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema " B " B " 5 5.B 5 5.B sina Bb ( sina Bb 5 5 sina Bb ( sina Bb 5 5 " " " " 5 5 ccos5bd c 5Bd "a b Š a b " 5 cos 5 " " 5 " Þ a" b 5 5 " " " + ( 0aB b.b ( B.B ( B.B Œ Œ Þ Notiamo che i coefficienti + sono 9 a"î5 b; ci si aspetta perciò che i, siano solo 9 a" bþ 5 5 5

29 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione ww w C abb%c abb'cabb Þ b. Determinare una soluzione particolare dell'equazione ww w B C abb%c abb'cabb B/ Þ. Si consideri la curva piana di equazione polare * 3 a* b sinœ ß* cß dþ a. Calcolare l'elemento d'arco.= verificando se la curva è regolare, e individuando gli eventuali punti singolari. b. Calcolare la lunghezza della curva. 3. Sia I l'insieme di definizione della funzione É 0 BßC B a b È CB. loga"b b Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú

30 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Tema 4. Determinare i punti di massimo assoluti per la funzione 0aBßCb È *B C B * soggetta al vincolo abßcb C Þ Si richiede di determinare i "candidati" punti di massimo vincolato usando il metodo del moltiplicatore di Lagrange e studiarne la natura utilizzando le informazioni topologiche in possesso, e tenendo conto dell'insieme in cui 0 è definita. In particolare, valutare 0 sul bordo dell'insieme. 5. Calcolare il seguente integrale doppio: ( ( a B C b B.B.C V con H abßcb À abvb C Ÿ V Þ 6. Si consideri il solido omogeneo W di massa 7 definito da: H ÈB C D W abßcßdb À Ÿ D Ÿ ß Ÿ Š V Ÿ con Vß fissati. a. Calcolare il volume di W. b. Calcolare il momento d'inerzia di W rispetto all'asse D. Esprimere il risultato in funzione dei soli parametri 7ßVßÞ 7. Calcolare il lavoro del campo vettoriale C J ÈB C lungo l'arco di curva piana di equazione polare B ß ÈB C * 3 sinœ ß* cß dþ 8. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da: 0aBb kbkb a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti + 5 di Fourier di 0 (non è richiesto il calcolo dei, 5), tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata).

31 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Tema n Cognome e nome (in stampatello) codice persona n d'ordine (v. elenco) Con riferimento al D.Lgs. 96/003 ("Legge sulla privacy"), il docente del corso chiede allo studente il consenso a pubblicare nel sito web del corso i seguenti dati dello studente: Nome, Cognome, numero di matricola, esito di questa prova scritta. (Barrare e firmare) ú Dò il mio consenso ú Nego il mio consenso. Firma dello studente. a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione supponendo B Þ b. Risolvere il problema di Cauchy: w C B" B C B" B C w C C a " b " determinando il più ampio intervallo su cui tale soluzione è definita.. Calcolare un potenziale del seguente campo conservativo in tutto : 3. Data la funzione JaBßCßDb B/ C " 3ˆ D B / C D / 4 / ˆ / C D 5. B C BßC 0aBßCb B C% per a b Á aß b per abßcb aß bþ a. Stabilire se è continua nell'origine, giustificando la risposta. b. Calcolare le derivate parziali nell'origine. c. Stabilire se è differenziabile nell'origine, giustificando la risposta.

32 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Tema 4. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). " " " 0aBßCb C B C BC B B ) 5. Calcolare il seguente integrale doppio: ( ( C È C B.B.C dove X è il triangolo di vertici aß bß a"ß" bß aß b. X 6. Si consideri il solido W (intersezione di un cono e una sfera) così descritto analiticamente in coordinate sferiche: W š a3 ß: ß* b À 3 cßvdß: ß ß* cß d ' con V fissato. a. Calcolare il volume di W. b. Calcolare il momento d'inerzia di W rispetto all'asse D, supponendo che sia un solido omogeneo di massa 7. Esprimere il risultato finale in funzione dei soli parametri 7ßV. 7. Si consideri la curva piana di equazioni parametriche: B V cos > C V sin > > cß d con V fissato. Calcolare l'area della regione racchiusa dalla curva, utilizzando le formule di Green. 8. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da: 0aBb BkBk a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata).

33 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione ww w C abb%c abb'cabb Þ b. Determinare una soluzione particolare dell'equazione a. Equazione caratteristica: Integrale generale dell'omogenea: ww w B C abb%c abb'cabb B/ Þ % ' È 3 È B CaBb / Š - cosš ÈB - sinš ÈB Þ " b. Cerchiamo una soluzione particolare del tipo: w CaBb aebf b/ B C abb aebf E b/ ww C abb aebf E b/ / B caebf Eb% a EBF Eb' aebfbd B/ B B B E EF E " F CaBb ŒB /. Si consideri la curva piana di equazione polare B * 3 a* b sinœ ß* cß dþ

34 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema a. Calcolare l'elemento d'arco.= verificando se la curva è regolare, e individuando gli eventuali punti singolari. b. Calcolare la lunghezza della curva. 3 w * * sinœ cosœ à ' % * * *.= É3 3 w.* Ë sinœ sinœ cos Œ. * sin Œ *.* Þ * La curva è regolare, fatti salvi i punti singolari per sinˆ ß* ß ß cioè l'origine. b. P ( * * sinœ.*? ( csin? d.? Þ 3. Sia I l'insieme di definizione della funzione É 0 BßC B a b È CB. loga"b b Dopo aver determinato analiticamente l'insieme I ed averlo disegnato, dire se: I è aperto SI' ú NO ú I è chiuso SI' ú NO ú I è limitato SI' ú NO ú I è connesso SI' ú NO ú I abßcb À a" B o B " b e B Ÿ C Ÿ B B % I è aperto SI' ú NO úx I è chiuso SI' ú NO úx

35 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema I è limitato SI' úx NO ú I è connesso SI' ú NO úx. Determinare i punti di massimo assoluti per la funzione 0aBßCb È *B C B * soggetta al vincolo abßcb C Þ Si richiede di determinare i "candidati" punti di massimo vincolato usando il metodo del moltiplicatore di Lagrange e studiarne la natura utilizzando le informazioni topologiche in possesso, e tenendo conto dell'insieme in cui 0 è definita. In particolare, valutare 0 sul bordo dell'insieme. La funzione 0 è definita e continua sull'insieme B + C Ÿ * chiuso e limitato; l'intersezione di questo insieme con la curva definita dal vincolo è un insieme chiuso e limitato, perciò per il teorema di Weierstrass la funzione ha massimo e minimo assoluti vincolati. Nei punti in cui il vincolo interseca il bordo dell'insieme di definizione, cioè B + C *, e in quei punti 0 si annulla; perciò quei punti, che si ottengono risolvendo il sistema *B C B * C ß sono punti di minimo assoluto. Il problema richiede però di determinare i punti di massimo assoluto, che saranno all'interno del dominio. P BßC 0 BßC *B C C B a,-b a b -abßcb È - *. Risolviamo il sistema: Ú Ý Û Ý Ü B È*B C C È*B C B * C -B -C Þ fabßcb ˆ B ßC aß b, punto che però non soddisfa il vincolo, perciò il vincolo non ha punti critici. Ú " ÝBŠ È B *B C - Û " CŠ È *B C - Ý B * ÜC Þ " La ^ eq. dà B oppure È B *B C - Þ B dalla 3^ eq. dà C ÈÞ " È *B C - B dalla ^ dà -CaB b ß- (non accettabile), B, che dalla 3^ dà C "Î È, o C, che dà B È *Þ I punti stazionari vincolati sono quindi: 3

36 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema Š È Š È Š È ß ß ß "Î ß *ß che effettivamente appartengono tutti all'insieme di definizione della funzione. Calcoliamo: Perciò Š ß È "% 0 Š ß È È' Þ%à0Š ß "Î È Ê Þ"'à 0Š È *ß È** Î Þ"'"( sono punti di massimo assoluto vincolato. Osservazione: in questo caso il vincolo era sostanzialmente esplicitabile, perciò si sarebbe potuto più semplicemente studiare B * B 0aBßCb Ê*B Ê'B abb ÎC B * e cercare poi i massimi e minimi di abb sull'intervallo in cui il radicando è non negativoþ Tuttavia l'esercizio richiedeva espressamente di usare il metodo del moltiplicatore di Lagrange. 5. Calcolare il seguente integrale doppio: con ( ( a B C b B.B.C V H H abßcb À abvb C Ÿ V Usiamo le coordinate polari adattate al cerchio H: Si ha: B V 3 cos* C 3 sin* V ab C bb av 3 V3 cos* bav 3 cos* b ( (.B.C ( ( V V * H Þ V V V " (.*( ˆ V 3 V 3. 3 ( cos *.*( V 3. 3 ( cos*.*( ˆ V 3 3V Ÿ V 4

37 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema V " V V V V ( ˆ V ( 3 3 Ÿ V V V V. V. Œ % % V V V Þ V 6. Si consideri il solido omogeneo W di massa 7 definito da: ÈB C D W abßcßdb À Ÿ D Ÿ ß Ÿ Š V Ÿ % % con Vß fissati. a. Calcolare il volume di W. b. Calcolare il momento d'inerzia di W rispetto all'asse D. Esprimere il risultato in funzione dei soli parametri 7ßVßÞ a. kwk ( ( (.B.C.D ( VŠ D.D D ÈB C ŸVˆ ( V ' V " D.D V Þ ' ( ' ( ( 5

38 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema 7 b. M B C.B.C.D kwk ( ( ( ˆ W (7 ( V ( ( ( ˆ B C.B.C.D V ( (..D D ÈB C ŸV ˆ ˆ D V % Î (7 Vˆ D Ñ % " (7 V (7 V V V " ( ' 7V ( Ð Ó ".D ( D.D Þ % " " Ï Ò 7. Calcolare il lavoro del campo vettoriale C J ÈB C B ß ÈB C lungo l'arco di curva piana di equazione polare * 3 sinœ ß* cß dþ <a* b ŒŒ sinœ * cos* ߌ sinœ * sin* < w a* b Œ Œ * " * * * Œ * " sinœ sin cosœ cos ß sinœ cos* cosœ * sin* J a< a* bb asin* ß cos* b w * * P ( J a< a* bb < a* b. * ( Œ sinœ. * ' cosœ ' Œ " " ' * Þ 8. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da: 0aBb kbkb a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti + 5 di Fourier di 0 (non è richiesto il calcolo dei, 5), tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. 6

39 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) 0aBb B per B cß d B per B cßdþ La funzione è limitata, integrabile e regolare a tratti; la sua periodizzata è discontinua, perciò i coefficienti di Fourier sono solo infinitesimi (non saranno 9 a"î5b) La serie di Fourier converge puntualmente a 0aBb in aßbà per B converge a. b) Calcoliamo: + 5 ( 0aBbcos a5= B b.b con X ß= ", quindi: X X X " " + 5 ( 0aBbcosa5 Bb.B ( Bcosa5 Bb.B ( Bcosa5 Bb.B " B " B " 5 5.B 5 5.B sina Bb ( sina Bb 5 5 sina Bb ( sina Bb 5 5 " " " " 5 5 ccos5bd c 5Bd "a b Š a b " 5 cos 5 " " 5 " Þ a" b 5 5 " " " + ( 0aB b.b ( B.B ( B.B Œ Œ Þ Notiamo che i coefficienti + sono 9 a"î5 b; ci si aspetta perciò che i, siano solo 9 a" bþ 5 5 7

40 Es Tot. Punti Primo Appello di Analisi Matematica Ing. Elettronica Politecnico di Milano A.A. 0/03. Prof. M. Bramanti Svolgimento Tema n. a. Scrivere l'integrale generale dell'equazione supponendo B Þ b. Risolvere il problema di Cauchy: w C B" B C B" B C w C C a " b " determinando il più ampio intervallo su cui tale soluzione è definita. a. Equazione a variabili separabili. Non ci sono soluzioni costanti. Separando le variabili si ha: b. Imponendo la condizione iniziale si ha " " ( C.C ( Œ.B B B % C " logkbk - % B % " CaBb Ë% ŒlogB -Þ B " % a"-bà- à % % CaBb Ê % %logb B L'intervallo di definizione è il più ampio intervallo contenuto in aß _ b e contentent " in % cui il radicando è non negativo. Uno studio elementare della funzione 0aBb %log B B mostra che 0aBb ab ( 0 ha un minimo in B ", 0 a" b " ), perciò l'intervallo cercato è aß_ b.

41 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema. Calcolare un potenziale del seguente campo conservativo in tutto : JaBßCßDb B/ C " 3ˆ D B / C D / 4 / ˆ / C D 5. C C C YBaBßCßDb B/ Ê YaBßCßDb ( B/.B B / 0aCßDbÞ C Y abßcßdb B / 0 acßdb ˆ D C DC B / / Ê 0 acßdb / Ê C 3. Data la funzione C DC " DC 0aCßDb ( /.C / adbþ B YaBßCßDb / C " DC / adb " DC w " D C YDaBßCßDb / adb / ˆ / D Ê w " D / D " " a b D àadb ( D/ D.D a" Db/ D - B YaBßCßDb / C " DC " D / a" Db/ - B C BßC 0aBßCb B C% per a b Á aß b per abßcb aß bþ a. Stabilire se è continua nell'origine, giustificando la risposta. b. Calcolare le derivate parziali nell'origine. c. Stabilire se è differenziabile nell'origine, giustificando la risposta. a. B C kb k kc k kb k kc k º º k k k k B C Ÿ B C B C Ÿ B C B % % % % C Ä per abßcb Ä aß bß C perciò 0 b. è continua nell'origine. 0aBß b B à0 Baß b à 0 aßcb Cà0CaBßCb "Þ

42 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema Ora: c. La 0 è differenziabile nell'origine se Però B C 0 BßC C C a b B C% B B C ÈB C ÈB C ab C % bèb C B B C abßcbabßcbþ ab C% bèb C ab C% bèb C kb k kabßcbk Ÿ B Ä per abßcb Ä aß bþ B ÈB abßcb non tende a zero per abßcb Ä aß b perché " ˆ C C C ßC Ä C Ä C C C C per. a % % bè % kckèc " Perciò 0 non è differenziabile nell'origine. 4. Dopo aver determinato tutti i punti stazionari della seguente funzione, studiarne la natura (cioè decidere se sono punti di minimo, massimo o sella). Dalla seconda si ricava: " " " 0aBßCb C B C BC B B ) " " 0B BC C B ) 0 C B BC Þ C C BßC B " C B Ê B B che non ha soluzioni, ) B ( " " C Ê B B Ê B "ßB ) ) ( I punti stazionari sono: " " " Œ"ß àœ ß Þ ( "% Matrice hessiana: L0 a BßC b C" BC Œ Þ BC %CB 3

43 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema " " L0 Œ"ß Œ"ß indef.; punto di sella. ) ( % " " "% " " L0Œ ß % % indef..; Œ ß punto di sella. ( "% ( "% "% ( 5. Calcolare il seguente integrale doppio: ( ( C È C B.B.C dove X è il triangolo di vertici aß bß a"ß" bß aß b. X X eabßcb À Ÿ B Ÿ "ßB Ÿ C Ÿ Bf " B ( ( CÈC B.B.C ( Œ( X B " B " CÈC B.C.B " " ( ˆ Î C B.B ( ˆ Î abb B.B B " Î " Î "' ( a%%b b.b " a%%bb Þ " " " " " 6. Si consideri il solido W (intersezione di un cono e una sfera) così descritto analiticamente in coordinate sferiche: W š a3 ß: ß* b À 3 cßvdß: ß ß* cß d ' con V fissato. a. Calcolare il volume di W. b. Calcolare il momento d'inerzia di W rispetto all'asse D, supponendo che sia un solido omogeneo di massa 7. Esprimere il risultato finale in funzione dei soli parametri 7ßV. a. Coordinate sferiche: ÚB 3 sin: cos* Û C 3 sin: sin* ÜD 3 cos: k W k ' V ( ( (.. Î' 3 sin:. 3 : * V cos: È c d V " Þ 4

44 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema b. V 7 7 ' M ( ( ( ˆ B C.B.C.D ( ( (.. kwk kwk 3 sin :3 sin :. 3 : * W 7 ' % :.: 3. 3 V Š " È ( sin ( V 7 V ' ˆ ". È V Š " ( sin: cos : : 7V cos : ' 7V È È " " È cos: Š " È Š " ) Î 7V È Ñ Ô 7V "'* È ) Ö ÙÞ È Ï " Ò Õ Š È Ø 7. Si consideri la curva piana di equazioni parametriche: B V cos > C V sin > > cß d con V fissato. Calcolare l'area della regione racchiusa dalla curva, utilizzando le formule di Green. < w % % a> b ˆ V cos > sin>ßv sin > cos> " " E ( a b ( ˆ % % C.BB.C V sin > V cos > sin>v cos > V sin > cos>.> ' % ' % % % V ( ˆ sin > cos > cos > sin >.> V ( sin > cos >.> % " " cos%> V ( Œ sin>.> V ( Œ.> 5

45 Primo Appello di Analisi Matematica. Prof. Bramanti. A.A. 0/3. Svolgimento Tema V ( ˆ " cos%> cos %>.> % V " c d V Þ % ") 8. Si consideri la funzione -periodica definita in cßd da: 0aBb BkBk a) In base alla teoria, cosa è possibile dire sulla rapidità di convergenza a zero dei coefficienti di Fourier, per questa funzione? Cosa è possibile dire circa la convergenza puntuale della serie di Fourier? Rispondere motivando le affermazioni fatte. b) Calcolare esplicitamente i coefficienti di Fourier di 0, tenendo conto del periodo di 0 e delle simmetrie. Commentare il risultato ottenuto alla luce di quanto affermato nel punto precedente. Scrivere la serie di Fourier di 0. (Si raccomanda di scrivere esplicitamente la formula generale che si applica per il calcolo dei coefficienti di Fourier, quindi eseguire il calcolo esplicito, riportando chiaramente i passaggi essenziali ed il risultato, nella forma più esplicita e semplificata). a) La funzione è limitata, integrabile e regolare a tratti; la sua periodizzata è discontinua, perciò i coefficienti di Fourier sono solo infinitesimi (non saranno 9 a"î5b) La serie di Fourier converge puntualmente a 0aBb in aßbà per B converge a. b) Funzione dispari. Calcoliamo:, 5 ( 0aBbsin a5= B b.b con X ß= ", quindi: X X X ", 5 ( 0aBbsina5 Bb.B ( B sina5 Bb.B B cosa5bb B 5.B 5 ( cosa Bb 5 5 " " a" b % Š a" b c Bsina5Bbd ( sina5 Bb.B ccosa5bbd " a" b % a" b " 5 5 Notiamo che i coefficienti, 5 sono infinitesimi ma non sono 9 a"î5b, come previstoþ Ú Ý Þ % " á a b 0aBb " a b 5 _ 5" " " µ Û ßsin a5bb Ý 5 5 á 5" Ü à 5 5" 6