Analisi Matematica T-2 Ingegneria Edile Ravenna 2014/15

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1 Analisi Matematica T- Ingegneria Edile Ravenna 014/15 Maria Manfredini, Daniele Morbidelli Informazioni pratiche: Libro di riferimento: Bramanti, Pagani, Salsa, Analisi MAtematica, Seconda edizione, Zanichelli Queste pagine contengono gli argomenti svolti da Daniele Morbidelli e sono reperibili alla url Verranno aggiornate durante lo svolgimento del corso Materiale didattico Prof. Manfredini: html I teoremi/proposizioni con l asterisco ( ) sono stati dimostrati. 1. Argomenti svolti (Daniele Morbidelli). Lista provvisoria 1.1. Venerdí 7 febbraio 015 Lo spazio R n con le operazioni di somma e prodotto con scalare Il prodotto scalare euclideo e le sue proprietà Vettori ortogonali Norma euclidea e sue proprietà. Normalizzato di un vettore. DIstanza euclidea. Formula per x + y. Il Teorema di Pitagora in R n. Le coordinate polari piane e la scrittura del prodotto scalare tra (r 1 cos θ 1, r 1 sin θ 1 ) La palla euclidea (=intorno sferico=disco) B(x, r) U(x, r) di centro x R n e raggio r > 0. Punti interni a un insieme e insiemi aperti. (1) 1. Individuare tutti i vettori ortogonali a (1, 1, 3, 4) in R 4.. Individuare tutti i vettori simultaneamente ortogonali a u = (1, 0, 3) e a v = (0, 1, 1). 3. Individuare tutti i vettori ortogonali al vettore u = e 1 + e R n (qui e 1,..., e n indicano i versori coordinati in R n ). 4. Calcolare la distanza tra (1,, 3) e (4,, 0). 5. Individuare tutti i punti interni dell insieme ]0, 1] R. Tale insieme è aperto? RIcordare che in dimensione uno U(x, r) = ]x r, x + r[. 1.. Mercoledí 4 marzo 015 Esempi di insiemi aperti. Proprietà di insiemi aperti e chiusi rispetto a unione e intersezione. Successioni in R n e loro limiti. Limiti di successioni di punti di un chiuso (*). Funzioni di piú variabili a valori scalari. Grafico e analisi degli insiemi di livello per alcuni esempi di funzioni. Funzioni continue. Definizione per successioni e (ε, δ). (5) 1

2 Definizione di derivata parziale per funzioni di due variabili e primi esempi di calcolo Lunedí 9 marzo 015 Definizione ed esempi di calcolo di derivate parziali in due o piú variabili. Definizione di lim x x f (x) = L. Confronto tra esistenza delle derivate parziali in un punto e continuità. La nozione di funzione differenziabile, in e in n variabili. Definizione di differenziale di una funzione di n variabili. L equazione del piano tangente al grafico di una funzione di due variabili. (9) Calcolare le derivate parziali rispetto a tutte le variabili delle seguenti funzioni: f (x, y) = xy, f (x 1, x ) = x 1 (x + e x 1), f (x 1, x ) = x 1 x f (x 1, x ) = 1 + x, f (x 1, x ) = log(1 + x 1 + x 1 x ), f (x 1, x ) = (e x 1 + 1), f (x 1, x, x 3 ) = x 1 x x 3, f (x 1, x, x 3 ) = (x 1 + x )e x 3, f (x 1, x ) = x = x 1 + x, f (x 1, x ) = (x 1, x ), f (x 1, x ) = x 1 + x x 1 + 1, f : R n R, f (x) = x, f : R n \ {0} R, f (x) = x. f (x, y, z) = arctan(1 + x yz) f (x, y) = exy 1 + e xy Scrivere le equazioni del piano tangente ai grafici delle seguenti funzioni nei punti proposti: f (x, y) = x + e xy in (1, 0, f (1, 0)) e ( 1,, f ( 1, )); ( π f (x, y) = sin(xy) in, π ( π, f, π )) ; f (x, y) = 1 + x + y in (1,, f (1, )). Calcolare il differenziale delle seguenti funzioni nei punti indicati: 1. f (x, y) = x + sin(xy) in (π, 1).. f (x 1, x, x 3 ) = x 1 tan(x x 3 ) in (1, π 4, 1) 3. f (x 1, x ) = arctan(x 1 x ) in ( 1, ). Dire anche per quali vettori h R risulta d f ( 1, )h = f (x 1,..., x n ) = f (x) = exp(1 + x ) in x = e 1 + e + + e n R n Mercoledí 11 marzo Funzioni di classe C 1. Differenziabilità delle funzioni C 1 ( ). Derivate direzionali. Formula del gradiente (*). Direzione di massima crescita di una funzione. Curve di R n. Velocità. Derivata di una funzione scalare lungo una curva ( ). Insiemi di livello di una funzione e gradiente. (13) per casa 1. Calcolare il differenziale delle seguenti funzioni nei punti indicati: (a) f (x, y) = x + sin(xy) in (π, 1). (b) f (x 1, x, x 3 ) = x 1 tan(x x 3 ) in (1, π 4, 1)

3 (c) f (x 1, x ) = arctan(x 1 x ) in ( 1, ). Dire anche per quali vettori h R risulta d f ( 1, )h = 0. (d) f (x 1,..., x n ) = f (x) = exp(1 + x ) in x = e 1 + e + + e n R n.. Calcolare le derivate direzionali f (a) delle seguenti funzioni nei punti indicati. v (a) f (x, y, z) = x + y z nel punto a = (, 3, ) nella direzione v = ( 1 3, 3, 3 ). (b) f (x, y) = x + xy nel punto ( 1, ) nella direzione v = (cos θ, sin θ), dove θ R è assegnato. 3. Dire in quale direzione unitaria v sono massime le derivate direzionali f (a) delle seguenti v funzioni nei punti assegnati: f (x 1, x ) = x 1 e (x 1 +x ) a = (1, ) e a = ( 1, 1); ( 1 ) f (x 1, x ) = tan(x 1 x ) a = 4, π ; f : R n R, f (x) = x, a = e 1 + e 4. Dato un vettore b R n, si consideri la funzione f : R n R, f (x) = x + b, x con b R n vettore assegnato. Calcolare il gradiente di f nel generico punto x R n e in x = e + e Scrivere le equazioni del piano tangente ai grafici delle seguenti funzioni nei punti proposti: f (x, y) = x + e xy in (1, 0, f (1, 0)) e ( 1,, f ( 1, )); ( π f (x, y) = sin(xy) in, π ( π, f, π )) ; f (x, y) = 1 + x + y in (1,, f (1, )). 6. Calcolare usando la formulq per la derivata di funzione composta (derivata lungo una curva) le derivate d dt f (γ(t)) f (x, y) = x + e xy γ(t) = ( t, t) in t > 0 generico e t = 1; f (x) = x γ(t) = te 1 + t e in t R generico e t = 1; 1.5. Venerdí 13 marzo sul calcolo differenziale del primo ordine Derivate seconde. Teorema di Schwarz. Differenziale secondo. Formula di Taylor del secondo ordine. (19) Scrivere il polinomio di Taylor del secondo ordine per le funzioni seguenti nei punti indicati: f (x, y) = x 3 y, (x, y) = (0, 0) e (x, y) = (1, ). f (x, y) = tan(xy) (x, y) = (0, 0) f (x, y) = 1 + x + y y, (x, y) = ( 1, 1) f (x 1, x, x 3 ) = x 1 + x1 x 3, (x 1, x, x 3 ) = (, 1, 4). 3

4 Mercoledí 18 marzo. Tutor 1.6. Mercoledí 5 marzo Forme quadratiche definite, indefinite e semidefinite. Criterio per la classificazione per forme quadratiche in due variabili. Condizioni necessarie ( ) e sufficienti ( ) del secondo ordine per punti di massimo e minimo Venerdí 7 marzo di riepilogo sul calcolo differenziale. (3) (7) Individuare e se possibile classificare i punti critici della funzione f (x, y) = e x+y (x 4y ). Dire quale/quali tra i punti P = (0, 1), Q = (0, 0) e R = (1, 0) è punto critico per la funzione e classificarlo/i Mercoledí 0 maggio f (x, y) = 3x 6x e x y + xy y Introduzione al problema delle equazioni ordinarie. Equazioni del primo ordine lineari omogenee (31) e non omogenee. Equazioni a variabili separabili. Esempio di non unicità. Esempio di blow up (per l equazione y = 1 + y ). Risolvere i seguenti problemi di Cauchy: { e t y { = ty y = ty + e t / y(0) = y(0) = 1 e yy = 1 + y y(0) = 3 y = te t y y(0) = 1 y t ty = 0 y(0) = 1 y = ty + t 3 y(0) = 0. y = y t + t y(1) = { y = ty 3/ y(0) = Maggio 015 Equazioni del secondo ordine lineari omogenee a coefficienti costanti ay + by + cy = 0. Scrittura dell integrale generale nel caso b 4ac > 0. Teorema di risolubilità del problema di Cauchy con dati y(t 0 ) = y 0 e y (t 0 ) = v Maggio 015 Equazioni ay + by + cy = 0 nel caso b 4ac = 0 e < 0. Scrittura dell integrale generale e risolubilità del problema di Cauchy. Esempi: l oscillatore armonico y + ω y = 0. L oscillatore armonico con attrito (y + εy + ω y = 0, con 0 < ε < ω e ε > ω). 4

5 y + y y = 0 y + 4y = 0 y(0) = 0 y(0) = 0 y (0) = 1 y (0) = 1 y 3y + y = 0 y(0) = 0 y (0) = maggio 015 Studio di equazioni non omogenee del tipo ay + by + cy = f (t) con f polinomio. Forma dell integrale generale. Ricerca della soluzione particolare nei casi in cui f è un polinomio. Scrivere l integrale generale delle equazioni y y + y = t, y y t = 1, y = te t. 5