Matematica con esercitazioni, Modulo 2. Analisi matematica. Diario delle lezioni.

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1 Matematica con esercitazioni, Modulo. Analisi matematica. Diario delle lezioni. Laurea triennale Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali. Rimini Avvertenza per gli studenti: il libro di testo di referimento è M. Bramanti, C. D. Pagani, S. Salsa, Analisi matematica. Zanichelli. Diario delle lezioni Lezione (6/0/4) Ripasso di equazioni di secondo grado, disequazioni numeriche e disequazioni di secondo grado. () Richiami sul linguaggio sdegli insiemi, unione intersezione differenza, ecc. Lezione (7/0/4) Numeri naturali, interi, razionali e reali. Valore assoluto e disequazioni con il valore assoluto. (3) Prodotto cartesiano. Funzioni, grafico di una funzione. Esempi di funzioni: le funzioni affini. La funzione valore assoluto. Grafici delle funzioni Lezione 3 (3/0/4) Panoramica delle potenza ad esponente naturale (pari o dispari), a esponente intero negativo (6) e a esponente reale. La funzione esponenziale. Definizione di funzione monotona ed esempi. Funzioni iniettive, suriettive e biunivoche. COstruzione della funzione inversa di f : A B biunivoca. La funzione logaritmo e le sue proprietà. per casa (.) È data la funzione f : ], + [ ]0, [, f () = + ( ) Verificare che la funzione è iniettiva, suriettiva e individuare la funzione inversa. (.) È data la funzione biunivoca f : ], + [ ], + [, Individuare la funzione f. Lezione 4 (0/0/4) f () =. Monotonia dell inversa di una fuznione monotona. Ad esempio il logaritmo. Studio di alcune (9) disequazioni esponenziali. Angoli nel cerchio goniometrico e costruzione delle funzioni seno e coseno.

2 Matematica con esercitazioni. Modulo. Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali [5 gennaio 05] Lezione 5 (/0/4) La funzione tangente. Successioni numeriche convergenti e divergenti. Esempi di verifiche di () iti di successioni. I iti delle successioni n α, e n, e n, log(n).... Data f : N R, f (n) = n k=0 e k, verificare, usando la definizione, che f è crescente su N.. Sono date f : A B e g : B C funzioni strettemante crescenti. Verificare che g f èstrettamente crescente. 3. Sono date le funzioni u () = + u () = tan(log()) u 3 () = cos(log ( )), dove abbiamo usato la notazione log (z) = (log(z)). Scrivere le funzioni indicate come composizioni di funzioni elementari. Lezione 6 (7/0/4) Limiti di successioni e loro proprietà algebriche. Teormea di unicità del ite, del confronto e dei (5) due carabinieri. Punti di accumulazione di un insieme e iti di funzioni. Lezione 7 (8/0/4) Funzioni continue. Limiti da destra e da sinistra per funzioni singolari. Limiti notevoli e genera- (8) lizzazioni per casa Calcolare i iti 0+ + sin log() log( + ) 0 0 e sin log sin( ) Lezione 8 (03//4) Pendenza di un segmento, di una retta, rapporto incrementale e derivata. Derivate di somme, () prodotti e quozienti. Lezione 9 (04//4) Derivate di funzioni composte.. Definizione di punto di massimo/minimo locale e (4) globale. Teorema di Fermat, Teorema di Weierstrass, Teorema di Rolle. per casa Calcolare tutte le derivate a pag. 5 delle dispense in rete. Lezione 0 (0//4) Teorema di Lagrange. Caratterizzazione delle funzioni costanti e monotone derivabili. Eserci- (7) si sulla mootonia e grafiuci approssimati di alcune funzioni. Le funzioni sinh, cosh, arctan con rispettivi grafici, proprietà e derivate. Regola di de l Hôpital.

3 Matematica con esercitazioni. Modulo. Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali [5 gennaio 05] Lezione (//4) sul calcolo dei iti e sui grafici di funzioni. Derivate seconde e teorema sulla condizione (30) sufficiente per massimi e minimi in termini di derivate seconde. per casa Nelle dispense in rete. o 5.0. Tutti gli esercizi del paragrafo 5.4 a pag. 9. Lezione (7//4) Introduziooe alle somme di RIemann all integrale. Proprietà di linearità, additività e monoto- (33) nia. Primitive e loro proprietà. Caratterizzazione di tutte le primitive di una funzione. Funzioni integrali. Lezione 3 (8//4) (Secondo) Teorema fondamentale del calcolo (sulla derivata della funzione integrale). Primo teo- (36) rema fondamentale del calcolo (Formula di Torricelli). Tabella di primitive elementari e suo uso. Calcolo di integrali il cui integrando è derivata di una funzione composta. per casa Calcolare gli integrali seguenti riconoscendo l integrando come derivata di funzione composta. + d e + e d 3 log d b a cos dq 4 e 3 +3 ( + )d Lezione 4 (5//4) Integrazione per parti e esercizi. Formula del cambio di variabile e esercizi. Integrali di funzioni (38) del tipo N() D() d con N polinomio e D polinomio di grado. per casa 0 + d + ( + ) d + + d d + + d 0 + d d + d 3 /3 ( + )d 3 (log ) d + d Lezione 5 (0//4) Numeri complessi. Operazioni, compleesso coniugato, modulo. Rappresentrazione trigonome- (4) trica. Prodotto di numeri complessi in forma trigonometrica. Formule di de Moivre. Equazioni algebriche di secondo grado a coefficienti reali. 3

4 Matematica con esercitazioni. Modulo. Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali [5 gennaio 05] Calcolare + i, Im((z + i)(z i)). i Dato z = r(cos(θ) + i sin θ)) con r > 0, scrivere z in forma trigonometrica. Calcolare usando la rappresentazione trigonometrica ( + i) 3, ( 3 + i) 5, ( i 3) 4 Dati z = r (cos(θ ) + i sin θ )) e z = r (cos(θ ) + i sin θ )) scrivere in forma trigonometrica il quoziente z z. Verificare la formula per il modulo quadro di una somma di numeri complessi z + w = z + w + Re(z w) Risolvere le equazioni z + z + 3 = 0, z z + = 0 Lezione 6 (03//4) Equazioni differenziali del primo ordine a variabili separabili e lineari, omogenee e non omoge- (44) nee. Risolvere i problemi di Cauchy y = y t y(0) = 0 y = y t y() = y = (y + ) t y(0) = y = ty + t 3 y(0) = y = y( y) y(0) = yy = t + ty y(0) = y + y = e t y(0) = y = te y y() = Lezione 7 (09//4) Equazioni differenziali del secondo ordine lineari omogenee a coefficienti costanti ay + by + (47) cy = 0. Rislovere i problemi di Cauchy y + 4y = 0 con y(0) = 0 e y (0) =. 9y 6y + y = 0 con y(0) = 0 e y (0) =. y + 6y + 5y = 0 con y( ) = 0 e y ( ) =. y y 3y = 0, con y() = y 0 e y () = v 0. y = y y, con y(0) = e y (0) =. 4

5 Matematica con esercitazioni. Modulo. Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali [5 gennaio 05] Esiste una funzione y : R R che soddisfi y (t) = y (t) y(t) per ogni t R e per la quale valgano le condizioni y(0) = y (0) = 0 e y (0) =? Verificare, ricordando le proprietà elementari di seno e coseno, che dati A, B reali, esiste θ R tale che A cos + B sin = A + B sin( + θ) per ogni R. Trovare C e θ tali che 3 cos(t) + sin(t) = C sin(t + θ) per ogni t R. Lezione 8 (6//4) Breve discussione sulle funzioni continue in piú variabili e sugli insiemi aperti. Vedere Bramanti, (53) Pagani Salsa, Cap. 9. Definizione di derivata parziale f f (, ȳ) e (, ȳ) per una funzione di y due variabili, y in un punto (, ȳ). V. Bramanti Pagani Salsa, Cap.. sul calcolo di derivate parziali. Gradiente di una funzione. Definizione di derivate parziali per funzioni di tre o piú variabili. Esempio: l esistenza delle derivate parziali non implica la continuità. Nozione di funzione differenziabile, in una e in due variabili. Approssimazione del primo ordine e piano tangente al grafico di una funzione di due variabili per casa. Correzione con Tutor il 9 gennaio Calcolare le derivate parziali delle seguenti funzioni: f (, y) = y + log(y), f (, y) = e, f (, y) = sin( + y ), f (, y) = + e y, f (, y) = arctan( + y), f (, y) = e /y, f (, y, z) = ( ) + yz, f (, y, z) = log + y + z f () = f (,..., n ) = + b, con b R n. Dire qual è il punto (, ȳ, z) R 3 del grafico della funzione f (, y) = + y 3 con (, ȳ) = (, ). Scrivere poi l equazione del piano talgente al grafico di f in tale punto. Stessa domanda per f (, y) = e y nel punto (, ȳ) = (, 0). Lezione 9 (/0/5) Richiami sulla differenziabilità. Funzioni di classe C e differenziabilità. Derivata direzionale (56) f (, ȳ) in una direzione v = (cos θ, sin θ). Formula del gradiente. Direzione di massima crescita v di una funzione scalare. Lezione 0 (3/0/5) Curve di R n e loro velocità /vettore tangente. Derivata di una funzione scalare f (, y) lungo una (59) curva r(t) = ((t), y(t)). Ortogonalità tra gradiente e curve di livello di una funzione. 5

6 Matematica con esercitazioni. Modulo. Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali [5 gennaio 05]. Individuare la direzione di massima crescita v = (v, v ) R per f (, y) = + + y in (, ). Calcolare poi il corrispondente valore massimo di f (, ). v. Stessa domanda per f (, y) = e ( +y 4) in (, ȳ) = (, ). 3. Calcolare la velocità e l accelerazione delle curve 4. Data la curva r(t) = (t, t 3 + log t) r(t) = (te t, t +, t 3 ) r(t) = (t 3 3t, t 4 + 4e t ), dire se esistono valoti di t R (e se sí, quali) per cui r (t) = Generalizzando la formula del gradiente al caso di dimensione piú alta, calcolare la derivata f ( ) con : v f () = f (,, 3 ) = e 3, = (,, ) v = (,, 3 ) 6. Sia r : R R n una curva derivabile due volte che si muove con velocità scalare : r (t) = per ogni t R. Derivando l identità r (t) = verificare che r (t) r (t). 7. E data una funzione f delle variabili (, y). Calcolare le derivate u f (u v, ve uv ), v f (u v, ve uv ) supplementari Calcolare seguenti iti: sin( sin ) ( log() ) ep + e sin 3 + e α 0 sin e sin 0+ e 3, sin( + 3/ ) 0+ ( )(sin sin( )) (α R) cos sin e 3 Calcolare e d e 3 + log() d ( + log())d 3 ( + )e d arctan d 0 log( + )d Tracciare un grafico qualitativo delle funzioni f () = + +, f () = e/( ) 6

7 Matematica con esercitazioni. Modulo. Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali [5 gennaio 05] Si consideri la funzione f : ]0, + [ R, f () = 4 + /. Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di f nel punto (, f ()). Indicare in quali intervalli f è crescente/decrescente e tracciarne poi il grafico. Dire in quali intervalli è crescente o decrescente la funzione F() = 0 (te t e t )dt. Se z = + iy C è un numero complesso, calcolare in termini di e y i seguenti numeri: Lezione (9/0/5) Re(z( + i)), Im(z z + z ) z + iz Derivate seconde e matrice Hessiana per funzioni di due variabili. Teorema di Schwarz. Teore- (6) ma di Fermat su punti di minimo e punti critici. Matrici definite positive, negative indefinite e semidefinite. Condizioni del secondo ordine per determinare punti di minimo/massimo e sella. Individuare e classificare i punti critici per le funzioni f (, y) = ye ( +y ), f (, y) = 4 + y 4 ( y) +, f (, y) = + y + y Lezione (0/0/5) Domini semplici e teorema di riduzione. Trasformazioni regolari di coordinate e formula per il (65) cambio di variabile per integrali in due variabili. Le coordinate polari piane. dal libro di testo Bramani, Pagani, Salsa (saranno corretti con la tutor). Cap. 3, paragrafo.: esercizi, 3, 6, 7, 4, 7. Cap. 3, paragrafo., esercizio 0,. Cap., paragrafo 4.3: esercizi 9, 34, 35. Seguono sotto gli esercizi sopra indicati (per gli studenti che hanno la nuova edizione del libro): ( + sin y)ddy con T = {(, y) : 0 < < ; 0 < y < } T y 3 ddy sin y ddy +y < Calcolare l area dell insieme {(,y): 0<<; 0<y<} [0,] [0,π] sin y ddy D = {(, y) : 0 < y <, y y } Calcolare + y < y ddy. 7

8 Matematica con esercitazioni. Modulo. Chimica e tecnologie per l ambiente e per i materiali [5 gennaio 05] Sia D il quarto di corona circolare di centro l origine raggi e e angolo variabile tra π 4 e 3 4 π. Calcolare 3 yddy. Calcolare D D 3 y + y ddy, dove D è l intersezione del settore circolare { π 6 < θ < π 3 }. con la corona circolare di centro l origine e raggi e. Studiare i punti di massimo e minimo delle funzioni f (, y) = ye ( +y ), f (, y) = log( + + y ) 3y, f (, y) = e ( +y ) + + y Lista argomenti/domande di teoria Nota: il simbolo (*) significa che la dimostrazione è stata svolta in classe. Definizione di funzioe monotona. Costruzione/definizione e proprietà della funzione inversa Definizione di successione convergente/divergente. Teoremi sui iti: unicità,permanenzadel segno e due carabinieri. Limiti di funzioni. Definizione di derivata. Derivata e differenziabilità. Derivate di somme, prodotti (*), quozienti e funzioni composte. Punti di massimo/minimo Teorema di Fermat (*). Teorema di Weierstrass. Teorema di Rolle (*). Teorema di Lagrange. Teorema di caratterizzazione delle funzioni costanti (*) e delle funzioni monotone derivabili (*). Condizioni sufficienti del secondo ordine per punti di massimo/minimo. Primitive e loro proprietà (*) (Secondo) Teorema fondamentale del calcolo (sulle derivate della funzione integrale) (*). Primo Teorema fondamentele del calcolo (formula di Torricelli) (*). Formula di integrazione per parti (*). Formula del cambio di variabile (*) Definizione e proprietà elementari dei numeri complessi. Equazioni differenziali del primo e del secondo ordine. Limite per successioni in R n. Definizione di derivata parziale, gradiente, matrice Hessiana, derivata direzionale Continuità delle funzioni differenziabili (*) Funzioni C e differenziabilità (*). Derivate direzionali e formula del gradiente (*). Direzione di massima crescita di una funzione scalare. Derivata lungo una curva. Derivate seconde, matrice Hessiana e teorema di Schwarz. Condizioni del secondo ordine necessarie (*) e sufficienti per punti di massimo e di minimo. Punti di sella. Domini semplici e teorema di riduzione. Trasformazioni regolari di coordinate (in R ) e formula per il cambio di variabile. 8