Test scritto di Matematica I Pisa, 15 Gennaio 2003

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1 Capitolo 1: Test d esame 69 Pisa, 15 Gennaio 2003 sin(2) = 2 cos sin per ogni R La funzione 3 + e è monotona su tutto R La funzione sin(cosh ) è periodica La funzione f(, y) = y non ha punti stazionari in R 2 L insieme (, y) R 2 : 2 + y 2 3} è convesso Esiste M R tale che y 2 M per ogni (, y) R 2 2 cos + 2 = 2 + o( 3 ) per 0 La serie n=0 2n /(n!) converge La sol. generale di u + 2u + 5u = 0 è u(t) = e t (a cos(2t) + b sin(2t)) arctan( 2 ) arctan( 2 ) arctan( 2 ) 2 2 min 3 + arctan( 20 ) : R } d f(, y) = y + log 3, = (, y) R 2 : [ 1, 1], 0 y 1 }. (1, 1) y 2 d dy Test d esame Telecomunicazioni

2 70 Prove d Esame di nalisi Matematica Versione 2006 Pisa, 15 Gennaio 2003 cos(2) = 2 sin 2 1 per ogni R sinh 0 0 = 0 è un punto di minimo relativo della funzione 5 3 Se a 0 = 0 e a n+1 = 2a n 1 per ogni n N, allora a 3 = 7 Esiste ma sin( cos( + y)) : (, y) [1, 2] [5, 7]} ε > 0 K R tale che 0 < e < ε per ogni K cos = 1 + o( 2 ) per 0 a n 0 per ogni n N e n a n 2003 = a n diverge L equazione differenziale u + u arctan t = log(1 + t 2 ) è lineare e e e ma : ]0, 1[ } sup [ 1, 1] : arcsin < π } 6 f(, y) = ( + y)( 2 + y 2 ), = (, y) R 2 : [0, 1], 1 y + 1 }. (1, 1) y2 2 d dy Test d esame Telecomunicazioni

3 Capitolo 1: Test d esame 71 Pisa, 15 Gennaio 2003 sin( π/4) = 2/2 L equazione 8 = 1 ha esattamente due soluzioni reali La successione n 8 8 n tende a 0 La funzione 3, da R in R, è monotona Se f(, y) = 3y + y 2, allora f(1, 1) = (3, 2) M R M tale che sin = 1 sin arctan = 2 + o( 2 ) per 0 La serie n=2 ( 1)n /n! converge La soluzione generale dell eq. diff. u = u + 1 è u(t) = ce t + t ma n N : 3n 19 0} inf α > 0 : n=1 } 3 + n 2 n α + 7 converge f(, y) = log(3y) + 7, = (, y) R 2 : 2 + y 2 1, y 0 }. (4, 5) y 3y d dy Test d esame Telecomunicazioni

4 72 Prove d Esame di nalisi Matematica Versione 2006 Pisa, 4 Febbraio 2003 Per ogni α R, β R si ha che sin(α β) = cos α sin β sin α cos β = 0 è un punto di massimo relativo per f() = 8 + cos Se 0 = 3 e n+1 = 2 n per ogni n N, allora n 1 L equazione = ha un unica soluzione reale sinh 2 = 2 + o( 5 ) per 0 Esiste n N tale che 2 n 2002n La successione n 2 log 80 n tende a 0 Il raggio di convergenza della serie di potenze n=2 nn n è + La sol. generale dell eq. diff. u + 4u = 0 è u(t) = c 1 sin(2t) + c 2 cos(2t) + sin sin 2 4π + sin 2 inf α > 0 : n=1 } n 2 n 2α + 9 converge ma R : arctan( 8) < 0} f(, y) = 2 2 e y + 2, = (, y) R 2 : 2 + y 2 1, 0 y }. (5, 1) y 2 d dy Test d esame Telecomunicazioni

5 Capitolo 1: Test d esame 73 Pisa, 4 Febbraio 2003 arccos 0 per ogni [ 1, 1] = La successione 8 n /(n!) tende a 0 Esiste min e 33 : R} L insieme (, y) R 2 : 3, y 4} è convesso M R K R tale che 5 M per ogni K sin + sin 3 = + o( 2 ) per 0 La serie n=2 ( 1)n n/(n + 3) converge La sol. del problema di Cauchy u = 2tu, u(0) = 1 è u(t) = e t sup α > 0 : + 4 α d converge } sup 4 + e : 5} f(, y) = 6y + log 7, = (, y) R 2 : [0, 1], 0 y 4}. (2, 1) y 2 d dy Test d esame Telecomunicazioni

6 74 Prove d Esame di nalisi Matematica Versione 2006 Pisa, 22 Febbraio 2003 cos(π + α) = cos α per ogni α R 2 π > 8 La funzione 3 sin è dispari Se a n 0 per ogni n N e n a n 8, allora a n + 1 cosh = o( 2 ) per 0 + Per ogni M R esiste R tale che 2 3 < M = 0 è un punto di minimo relativo per la funzione sin 2 La serie n=0 (n + 2)(n2 + 3) 1 converge L equazione differenziale u = 1 + tu 2 è lineare min R : arctan < 1 } 2 sup R : 2 11 } f(, y) = y + sin 3, = (, y) R 2 : y 2 4 }. (0, 0) 2 3 d dy Test d esame Telecomunicazioni

7 Capitolo 1: Test d esame 75 Pisa, 12 Giugno 2003 cos( π/6) = 1/2 4 > 16 = > 2 La funzione sinh(cos ) è periodica La funzione 2 5 ha esattamente un punto di minimo assoluto L insieme (, y) R 2 : 2 + 7y 2 25} è convesso n 4 sin n! 2 n > 0 definitivamente + sin arctan 2 = o() per 0 La serie di potenze n=4 n 3 n converge per ogni R u(t) = te t è una soluzione dell equazione differenziale u = u + e t sin sin sin 2 2π 2 min e : 0 3 } d f(, y) = cos(y) + 7, = (, y) R 2 : 2 + y 2 1, 0 }. (0, 1) 2 4 d dy Test d esame Telecomunicazioni

8 76 Prove d Esame di nalisi Matematica Versione 2006 Pisa, 27 Giugno 2003 Se [π/2, π] e sin = 1/2, allora = 2π/3 L equazione cosh = ha esattamente una soluzione reale Se a n > 0 per ogni n N e a n+1 /a n 8, allora n a n 8 La funzione sin(sin 8 ) è periodica L insieme (, y) R 2 : < 3, y 4} è chiuso Esiste M R tale che 2 3 M per ogni R log(1 + sin ) = + o() per 0 n a n } 2003 = a n converge L equazione differenziale u = (sin u)(sin t) è a variabili separabili 0 sin sin 2 + sin 2 min α R : 2 α 16} d f(, y) = sin( + y + 3), = (, y) R 2 : 2 + y 2 4, y }. (1, 1) y 3 d dy Test d esame Telecomunicazioni

9 Capitolo 1: Test d esame 77 Pisa, 21 Luglio 2003 La retta 4 + 2y + 5 = 0 è parallela alla retta y = 2 Se 3 = 25, allora > 3 Se a n > 0 per ogni n N e a n+1 /a n 8, allora a n 8 La funzione 3 + è monotona su tutto R L insieme (, y) R 2 : < 3, y 4} è itato Per ogni M R esiste n N tale che 3 n 1000n M 2 + e 3 = o( 2 ) per 0 Il raggio di convergenza di n=1 n20 n è 1 L insieme delle soluzioni di u + 3u = 0 è uno spazio vett. di dim. 3 e e e 2 1 ma 3 4 : 4 3 } inf α R : n=1 } n + sin n 3n α + cos n converge f(, y) = y 6, = [ 1, 1] [0, 1]. f (3, 2) (3 + 4y 2 ) d dy Test d esame Telecomunicazioni

10 78 Prove d Esame di nalisi Matematica Versione 2006 Pisa, 20 Settembre 2003 La funzione f() = 10 + sin, da R in R, è iniettiva La funzione f() = 10 + sin, da R in R, è surgettiva = 15 La funzione e sin2 è periodica (1, 1) è un punto stazionario per la funzione f(, y) = 3 + y 2 Per ogni M R esiste K R tale che e > M per ogni > K sinh = o() per 0 a n 0 = a n converge u + 6u = sin t, u(2) = 0, u (0) = 3 è un problema di Cauchy 3 arctan 0 3 arctan + 3 arctan inf ma 3 sin : 0 π} α > 0 : n=1 } ( 1) n 1 n converge α f(, y) = 3( + y) 2, = (, y) R 2 : [ 1, 1], 2 1 y 0 }. (0, 0) y 4 d dy Test d esame Telecomunicazioni