Analisi Matematica 2 Corso di Laurea in Matematica DIARIO DELLE ESERCITAZIONI (Marta Calanchi)

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1 Analisi Matematica Corso di Laurea in Matematica DIARIO DELLE ESERCITAZIONI (Marta Calanchi) Studiare la derivabilità delle seguenti funzioni f() = { + b sin e a > (b) Sia f : R R definita da ( )artg( ), se f() =, se =. (PER CASA) Sia f derivabile in (a, b) tale che f( ) =. Allora f è derivabile in se e solo se f ( ) =. 3. Determinare una funzione f : R R tale che D f = (b) D f = (c) D f = χ ( =cardinalità,d f = punti in cui f è derivabile ) 4. (DERIVAZIONE DELL INVERSA) (gennaio 7) la funzione f() = +log[3 (sin π) 6 + ] soddisfa f( ) = ed è strettamente monotona in un intorno V di. Sia g : f(v ) V la funzione inversa di f. Determinare g (). 5. (LASCIATI PER CASA) Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di y = f() nel punto (, f( )): f() = ( + ) cos, = (b) Sia g : R R una funzione continua e derivabile t.c. g(π) = π, e sia f() = (sin ) sin(g()). Calcolare la retta tangente a f() in = π 6. (lasciato per casa) Determinare l asintoto obliquo per + della funzione ( f() = log cos ( ) )

2 7. (LIMITI CON GLI SVILUPPI) Calcolare i seguenti iti e sin log( + ) arctan ( (b) cos ) { ( )} 8. Sia a n = n α n sin n + n, α R. Calcolare, al variare del parametro α R, (b) Determinare il carattere della serie + a n (per casa: stesso esercizio con a n = n α {log n n + a n ( ) } + e n n Scrivere l equazione della retta tangente al grafico di y = f() nel punto (, f( )): f() = ( + ) cos, =. Determinare lo sviluppo di MacLaurin (arrestato al IV e al V ordine) di f() = tan 3. Asintoto per + di ( f() = log cos ( ) ) 4. Sviluppo di Taylor al III ordine con resto secondo Peano e centrato nel punto = di f() = Al variare di a R, determinare il numero delle soluzioni dell equazione: ( a) = ( + a) log (scritto come log +log = a) (b) (lasciato) π sin(π) = a cos(π) (in [, 5] e su R). (c) (lasciato) = ae (+) 6. (lasciato) Sia a (, ). Dimostrare che (cos ) a < cos(a), (, π/) (sugg. f() = cos(a) (cos ) a, f() =... ) 7. (lasciato) Determinare il massimo insieme I R + t.c. a I l equazione ammette almeno due soluzioni. e 4 = a,

3 8. (fisica 4//) Sia {a n } n la successione data da [ a n = n α + 3n 3 + artg ( ) ] n Calcolare, al variare del parametro α R, L α = a n; n + (b) Determinare i valori del parametro α R, per i quali la serie ( ) 4 sugg: si mostra che a n = n α 9 n + 4 o(/n4 ) da cui + n= a n converge. L α = per α < 4, L α = 4 9 per α = 4, L α = + per α > 4; (b) la serie converge per α < 3. 5/3/. Determinare il massimo insieme I R + t.c. a I l equazione ammette almeno due soluzioni. e 4 = a,. (lasciato) Determinare sup, inf, ma, min del seguente insieme E = { R : e 4 3 e,, 4 } 3. Mostrare che per ogni > vale ( + ) ( < e < + ) + (sugg. t =, log( + t) < t < ( + t) log( + t). La prima disuguaglianza e banale; per la seconda si studia t ( + t) log( + t) ) 4. Determinare per quali valori di α la seguente funzione è derivabile con continuità { sin( f() = α ) cos( ) > 5. Sia f = f(t) una funzione reale di variabile reale tale che per t e f(t) = 3 + (t e) + (t e) + o ( (t e) ). Scrivere la formula di Taylor di ordine (con resto secondo Peano), calcolata nel punto =, della funzione g() = f(e )

4 6. (solo cominciato) Sia f() = +. Mostrare che l equazione f() = 5 ha un unica soluzione; (b) f() è invertibile in un intorno di = (c) Determinare (f ) (5) 7. (lasciato) Determinare il carattere della seguente serie al variare di α R + n= [ ( ) n artg artg n + ( )] n + α n + (può essere utile calcolare i primi termini dello sviluppo di artg( + ε n ) per ε n ) 3/3/. Calcolare il seguente ite sin(sin ) 3 5. Sia f una funzione derivabile su un intervallo aperto simmetrico I R. Mostrare che f pari/dispari f dispari /pari (b) f pari f dispari (c) f dispari f pari 3. Dimostrare che la funzione f : R R definita da f() = 3 + e sin, è iniettiva e suriettiva e che sua funzione inversa f è derivabile su tutto R. Calcolare poi il valore della derivata di f in un punto a scelta 4. Sia f una funzione due volte differenziabile in = la cui formula di Taylor arrestato al secondo ordine e centrato in = è dato da f() = + ( ) + 3( ) + o ( ( ) ). Mostrare che f è invertibile in un intorno di U e scrivere la formula di Taylor arrestata al II ordine della funzione inversa centrata in t =. 5. Data f() = sin ( π +), studiare a) Insieme di definizione E; b) Limiti alla frontiera ed eventuali asintoti; c) segno ; d) insieme di derivabilità; e) iti e segno di f ; f) punti estremanti; g) grafico qualitativo (non è richiesto lo studio della concavità) Suggerimento: per lo studio del segno di f può essere utile porre u = il segno della quantità [tg(u) π ] u(π u) π e studiare +

5 6. Determinare il carattere della seguente serie al variare di α R + n= [ ( ) n artg artg n + ( )] n + α n + (può essere utile calcolare i primi termini dello sviluppo di artg( + ε n ) per ε n. Le serie converge sse α = ) /4/. Sia f una funzione derivabile su un intervallo aperto simmetrico I R. Mostrare che f dispari f pari. Calcolare / arcsin + arccos arctan() + ( ) k, k N 3. richiami su concavità/convessità Studiare l andamento delle seguenti funzioni e tracciarne un diagramma qualitativo (insieme di definizione, iti di f e f alla frontiera di tale insieme, eventuali asintoti, crescere e decrescere, eventuali estremanti) f() = e (b) (lasciato) f() = + arctan + 5. Sia f : R R la funzione definita da f() = 6( )e 3 Stabilire la natura del punto = (flesso ascendente) 6. (lasciato) Sia a R \ { } e f() = log a + sin. Determinare se f è convessa/concava in un intorno di = π/. 7. Dati a >, ε >, dimostrare che esiste un polinomio P tale che sin (b) Trovare P per a = e ε = 3 P () < ε, per < a (c) (cultura generale) per ogni funzione continua e per ogni ε > esiste un polinomio tale che f() P () < ε 8. Determinare i valori del parametro α per cui risulta convergente la seguente serie numerica + [ 4 n α 3 sin ] n e n + cos n ALTRI ESERCIZI: n=

6 9. Determinare il numero di elementi dell insieme. Calcolare i seguenti iti (b) A = { [, ] : (3 ) sinh 6 cosh + = } sin 3 (e cos ) ) (cos n n n + n4. Determinare lo sviluppo di MacLaurin (arrestato al V ordine) f() = e (b) (arrestato al XIII ordine) f() = 3 sin( 3 ). Sia f() = Sh(sin ) sin(sh). Trovare a, c in modo che si abbia f() c a per 3. Determinare, al variare del parametro a R il numero di soluzioni dell equazione 4. Tracciare il grafico della funzione e = a f() = + ( ) arctan + π (Dedurre il grafico di f da quello di f!!! ) 7/4/ Argomento: Funzioni primitive. Richiami sulla definizione Osservazione: SE f ammette primitiva, è necessariamente continua? considerare f = F : dove F è data da sin( ), F () =, = NO: basta. Linearità dell integrale ( π + 3 )d (b) +3 d (c) cos d(= +cos d!) 3. Integrazione per parti ( ) log d,

7 (b) ( + 7)e d, (c) e sin( + ) d, (d) arctan d 4. Metodo di sostituzione: log d (b) d log (c) Ch() d [e = t], (d) sin m cos n+ d = sin m ( sin ) n cos d [sin = t] (e) arctan +4 d (f) I n = d (+ ) n (integrando per parti si ottiene una formula per ricorrenza: I = arctan + c, I n+ = + n I n (+ ) n n n) Esercizi per casa : d (b) tan d; (c) log( +) d ( > ) (d) ( 3 + ) sin d (e) e 3 sin()d, (f) log d (g) tan(log ) d (h) sin() d sin (i) + 3 d [ /3 = t] 5. Primitive con incollamento: e d su R; f()d sin d su [ π, 3π]; event. per casa su R f() = ma {, ( )e } su R (lasciato per casa) 6. (luglio 8) (lasciato per casa) Sia f : I = [, ] R definita da { f() = α sin (/) (, ] α [, ] con α R.

8 Trovare per quali valori di α la funzione f risulta integrabile secondo Riemann in I; (b) Per quali di questi valori (trovati nel punto primitiva in I? ) la funzione f ammette 7. Una storiella con mistero (dal diario di LV). Durante una prova scritta a biologia viene dato questo integrale indefinito: sin cos d. Marco calcola: 8/4/ sin cos d = (con sostituzione sin = t, cos d = dt)... = t dt = t + c = sin + c. Dà un occhiata al foglio del vicino, Filippo, per controllare il risultato e vede un risultato diverso. Infatti, Filippo ha scritto: (b) sin cos d = (per parti f () = sin, g() = cos, f() = cos, g () = sin ) = cos sin cos d = sin cos d = (/) cos + c. Ha sbagliato lui o io? si chiede Marco preoccupato. Si gira verso Anna, la secchia del corso che è seduta dietro di lui, e vede un altro risultato ancora: (c) sin cos d = sin() d = cos() + c Fra i tre studenti, chi ha sbagliato?. (correzione di) I n = d ( per parti si ottiene una formula per ricorrenza: (+ ) n I = arctan + c, I n+ = + n I n (+ ) n n n). (Correzione) Sia f : I = [, ] R definita da { f() = α sin (/) (, ] α [, ] con α R. Trovare per quali valori di α la funzione f risulta integrabile secondo Riemann in I (R. α ); (b) Per quali di questi valori (trovati nel punto primitiva in I? (R. α = ) ) la funzione f ammette 3. Integrazione delle funzioni razionali fratte, cioè quelle della forma (dove P, Q sono polinomi). R() = P () Q() Integrazione di R può essere sempre ridotta al caso di deg(p ) < deg(q). Infatti, dividendo P per Q otteniamo P () : Q() = P () (resto P ()), dove deg(p ) < deg(q), e quindi P () = P Q() () + P (). Q()

9 esempio: 3 d = (+ 6 ) d = +6 d = +3 d = ( ) + ( ) +... a+b d = [ = t ] =... = a t dt + (a + b) dt =... ( ) + t + t + deg(q) =, Q() per ogni R. Esempio: 5 6 d. ++4 deg(q) =, Q ha una sola radice reale (doppia). P () d = [ a = t] = P (t+a) dt =... ( a) t deg(q) =, Q ha due radici real distinte. Esempio: d =... = ( ) + + d (+4)( ) + Attraverso la decomposizione in frazioni parziali si ha integrare è poi un gioco da ragazzi... = /5 + 3/5 ; (+4)( ) +4 Caso generale. È noto che ogni polinomio Q può essere scomposto in fattori ciascuno dei quali quadratico senza radici reali, o lineare, ad es., Q() = ( )( + ) 3 ( + )( + + ). In questo caso, se deg(p ) < = deg(q), possiamo decomporre (per una dimostrazione si veda Appendice del libro Maderna Soardi, Lezioni di Analisi Matematica) in frazioni parziali: P () = A Q() + A + B + C + + C (+) + C 3 (+) 3 + D+E + + F +G ++ + F +G ( ++), ciascuna delle quali è facilmente integrabile (attenzione: per l ultimo integrale bisogna ricondursi all integrale fatto all inizio della lezione...). 4. Sostituzioni celebri che permettono di ricondurre all integrazione di funzioni razionali fratte: R(sin, cos )d. Sostituzione:tan = t. SE ( π, π), allora = arctan t Quindi: (b) d = t t dt, sin =, cos = + t + t + t d (fatto) sin + cos d (lasciato) sin R(sin, cos, sin cos, tan )d. Sostituzione: tan = t. SE ( π, π ), allora = arctan t. Quindi: d = + t dt, sin = t + t, cos = sin cos = tan cos = t t + + t Oss. Questi integrali possono essere risolti anche con la sostituzione universale precedente (t = tan ), tuttavia in questo secondo modo risultano più semplici!

10 (b) tan + sin d, + 3 sin d su I = (, π), (= arctan( tan ) + C)) da incollare!!! R(, a ) d, R(, a ) d, R(, a + ) d,. Sfruttando le relazioni cos + sin =, cosh sinh = si operano, rispettivamente, le seguenti sostituzioni: = a sin t = d = a cos tdt = a cosh t = d = a sinh tdt = a sinh t = d = a cosh tdt Oss. Si trattano allo stesso modo: R(± a + b + c). In questo caso basta completare il quadrato: a + b + c = a( + b ) + (c b ) e operare la sostituzione 4 a( + b ) = t per ricondursi al caso precedente! (b) d (per casa) + + d (per casa) + (non fatto a lezione) n+ R( a ) d, n+ R( a ) d, n+ R( a + ) d,. Sostituzione: ±a ± = t da cui ±a ± = t e ±d = tdt 5 d (non fatto a lezione) R( p q, pn qn,..., pn qn )d, p i, q i N. Sostituzione: = t q, dove q = mcm(q, q,.., q n ) (minimo comune multiplo) 3 d (lasciato) + 4/4/. (correzione di) + + d

11 5 d. Integrali definiti: 3 ma (, ) d (b) 3 arctan( 4 + ) d (c) 3 e d, e d (NB: simmetrie!!) 3. Determinare l equazione della retta tangente al grafico di nel punto di ascissa = 4. Serie/iti con termini integrali + n + n3/ (b) (lasciato) n + n+ + n= G() = α d, n α ( n + n e (t ) dt α > (con Teorema del valor medio) ) + sin 3 + d 5. Stabilire se converge il seguente integrale: esercizi in più + log( + + ) d 5/3 6. Stabilire la convergenza delle seguenti serie: (b) + n 3 n= + n= n arctan ( ( log n n α f n ) d ), dove f() = ( e t t ) t dt 7. (novembre 8) Sia f : R R definita da log f() = a < Determinare per quali a R la funzione f è integrabile secondo Riemann sull intervallo I = [, e]; (b) Determinare per quali a R ammette primitiva in I = [, e] e per tali valori trovare tutte le primitive di f in I.

12 8. Stabilire per quali valori del parametro reale α converge il seguente integrale + (b) 5/4/ α arctan( α ) 5 log α d 3 log + d. Stabilire la convergenza, al variare del parametro reale α di + ( log n ) ( n α f, dove f() = e t t ) t dt n n=. Stabilire per quali valori del parametro reale α convergono i seguenti integrali (b) + α arctan( α ) 5 log α d 3 log + d 3. (cominciato) Determinare il C.E. di F () = log( 4 ) 4 e t t + dt e calcolare poi la retta tangente a F () in (4, F (4)) 4. Sia F () = t arctan t (t + ) log(t + ) 3 t + 3t + dt Svolgere uno studio qualitativo di F (insieme di definizione, iti, monotonia, estremi locali, punti di non derivabilità, asintoti e grafico qualitativo) dove l integrale è da intendersi eventualmente in senso improprio. (qualche esercizio in più...) Stabilire per quali valori del parametro reale α convergono i seguenti integrali: + + α + d; 3 arctan( α ) log α ( + ) d Svolgere uno studio qualitativo di F (insieme di definizione, iti, monotonia, estremi locali, punti di non derivabilità, asintoti e grafico qualitativo) dove l integrale è da intendersi eventualmente in senso improprio. F () = F () = t t + arctan(t ) dt e t (t t)( + t) dt 4 3

13 F () = F () = F () = / ( ) arctan t + 3t + dt t sin t dt (gennaio 9) (t + ) t / t /3 e t (t ) + dt Calcolare il valor medio f(i) di f() = + su I = [, 4]. Stabilire poi se esiste c I per cui f(c) = f(i). Tale valore c (se esiste), è unico? (T.E. Mate 5..8) Determinare per quali valori del parametro reale a la funzione sia definita per ogni R F () = log( + t a ) t 4/3 t + a/ Calcolare il seguente integrale definito π π cos cos d Calcolare l area della regione itata di piano compresa tra le curve Determinare il C.E. di f() = F () = e g() = (+)/ log( + arctan t) t log t dt 9/4/: I prova in itinere

14 5 /5/ Limiti e continuità per funzioni in più variabili. LIMITI (b) (c) (d) (,y) (,) y y + (y ) 3 y + (,y) (,) y + 4 (,y) (,) (,y) (,) y + y 4 sin(y) log( + ) (e) (,y) (,) y log y (f) (g) (h) (i) (,y) (,) y y (,y) (,) 3 /y e + y e y / (,y) (,) ( + y ) y (,y) (,). CONTINUITÀ α y 4 + y y + (lasciato) Per quali valori del parametro α la seguente funzione risulta continua su R α sin y se (, y) (, ) f(, y) = + y se (, y) = (, ) (b) Per quali valori del parametro α la seguente funzione risulta continua su R α log( + y ) se (, y) (, ) f(, y) = 6 + y se (, y) = (, ) (c) Sia f : R R definita da f(, y) = e cos( y). Sia A R l insieme definito da A = {(, y) R : < f(, y) < 4}. Stabilire se A è aperto, chiuso, itato, compatto. 3. LIMITI A

15 (,y) e, (b) (per casa) per casa... (,y) ( + y )e +y log( + + y ) (,y) ( + 3y ) Stabilire in quali punti di R la seguente funzione risulta continua ysh( y) se y f(, y) = 3 y 3 altrimenti Mostrare che per ogni p = { n i= definisce una norma equivalente su R N /5/ p i } /p, = (,..., N ) R N. (Correzione) Stabilire in quali punti di R la seguente funzione risulta continua ysh( y) se y f(, y) = 3 y 3 altrimenti DERIVABILITÀ/ DIFFERENZIABILITÀ. Stabilire la continuità, derivabilità e differenziabilità delle seguenti funzioni f(, y) = 3 + y se (, y) (, ) se (, y) = (, ) ( f continua in (, ); D v per ogni v = (v, v ), con D v f = v 3. Quindi f NON è differenziabile nell origine, perché non vale la formula D v f = f v) (b) f(, y) = y + y 4 se (, y) (, ) se (, y) = (, ) (c) ( f continua in (, ); D v per ogni v = (v, v ). f NON è differenziabile nell origine) f(, y) = (y )

16 (d) 3 y f(, y) = + y arctan(y + y ) se (, y) (, ) se (, y) = (, ) 3. 3/ y log y se y > f(, y) = + y altrimenti 4. (cominciato) Sia a >. Studiare la continuità e la differenziabilità in (, ) della funzione sin( y ) log( + y ) se (, y) (, ) f(, y) = ( + y ) a se (, y) = (, ) QUALCHE ESERCIZIO IN PIÙ (T.E. Fisica /6/9) Sia v = (α, β) un vesore; calcolare D v f(, ), dove y arctan se (, y) (, ) f() = y se (, y) = (, ) Sia f(, y) = (α y 3 ) log( + ) Determinare α t.c. il piano tangente a f nel punto (,, f(, )) sia perpendicolare alla retta di equazioni = y 3 log = z Sia Calcolare f(e, e ) f(, y) = log y + y log Sia f C (R ) tale che D v f(a, b) = 3 ( ), v =, ( ) 3 D w f(a, b) = 5, w = 5, 4 5 Determinare f(a, b)

17 (T.E. Mate /9/9) Studiare, al variare di α >, la continuità, la differenziabilità e la derivabilità direzionale della funzione f(, y) = α log( + y ) (T.E. Fisica /6/4) Calcolare f(, e) dove f(, y) = log log y e 3t t + dt (T.E. /9/5) Calcolare D v f(,, ) dove f(, y, z) = z y e t dt, v = ( 3, ), 3 3 9/5/. Sia f(, y) = (α y 3 ) log( + ) Determinare α t.c. il piano tangente a f nel punto (,, f(, )) sia perpendicolare alla retta di equazioni = y 3 log = z. Sia f C (R ) : D v f(a, b) = 3 ( ), v =, ( ) 3 D w f(a, b) = 5, w = 5, 4 5 Det. f(a, b) 3. (T.E. Mate /9/9) Studiare, al variare di α >, la continuità, la differenziabilità e la derivabilità direzionale della funzione f(, y) = α log( + y ) 4. (T.E. Fisica /6/4) Calcolare f(, e) dove f(, y) = log log y e 3t t + dt DERIVAZIONE DELLE FUNZIONI COMPOSTE (RICHIAMI) Sia Ω R n un aperto e f : Ω R m ; Sia Ω R m un aperto tale che f(ω) Ω e g : Ω R p. Se f è differenziabile in a Ω e g è diff. in b = f, allora la funzione composta φ = g f è differenziabile in a e si ha

18 J φ = J g (b) J f Caso particolare. Consideriamo g = g(u, v) e h(, y, z) = g ( f (, y, z), f (, y, z) ). Allora la funzione h è la funzione composta della funzione g con la funzione f : (, y, z) ( f (, y, z), f (, y, z) ). Dal teorema generale segue: se f e f sono differenziabili in un punto (, y, z ) e g è differenziabile nel punto (u, v ) = (f (, y, z ), f (, y, z ) ), allora anche la funzione composta h è differenziabile in (, y, z ) e le sue derivate parziali in quel punto possono essere calcolate secondo le seguenti formule: che esattamente significa h = g u u + g v v e analogamente: h (, y, z ) = g u (f (, y, z ), f (, y, z )) f (, y, z )+ + g v (f (, y, z ), f (, y, z )) f (, y, z ) ; h y = g u u y + g v v y, h z = g u u z + g v v z. 5. Siano con u = e y v = + cos y F (, y) = f(u(, y), v(, y)) f(, ) = ( 3, ) Calcolare la derivata direzionale D v F (, ) lungo il versore v = (, 3 ) 6. (Fisica.4.4) Sviluppo di Taylor al II ordine centrato in (, ), di f(, y) = y QUALCHE ESERCIZIO IN PIÙ... Siano g : R R e f : R 3 R due campi vettoriali definiti da g(, y) = (e +y, y) f(, y, z) = ( + y + 3z 3, y ) Sia h(, y, z) = g f. Si calcoli la matrice jacobiana J h in (,, ).

19 (T.E. Fisica 5) Sia f : R R una funzione di classe C, e sia g() = f(e ), R n Determinare g() e g(). Continuità e differenziabilità delle funzioni: f(, y) = y ( y)e y, g(, y) = y sin( + y ). Scrivere le formule di Taylor di ordine 3, con resto secondo Peano, centrate nel punto (, ), per la seguente funzione f(, y) = e y + log(y + ) (Fisica..5) Sviluppo di MacLaurin, al II ordine, di f(, y) = 3 + y (Fisica.6.4) Sia P (, y) un polinomio di II grado t.c. Determinare P (4, ). P (, ) =, P (, ) = (, ), H P (, ) = [ 4 ] Data una funzione f = f(, y) di classe C, calcolare le derivate parziali rispetto alle coordinate polari (i.e. le derivate parziali di g(ρ, θ) = f(ρ cos θ, ρ sin θ)) Calcolare la retta tangente al grafico della funzione f() = g( 3, log ) nel punto di ascissa =, sapendo che g C (R ), g(, ) =, g(, ) = (3, 5) 6/5/. Scrivere la formula di Taylor di ordine 3, con resto secondo Peano, centrata in punto (, ) indicato, per la seguente funzione f(, y) = e y + sin log(y + ). Al variare di α >, studiare continuità e derivabilità (lasciata come esercizio) in (, ) di log( + + y) se (, y) (, ) ( f(, y) = + y ) α se (, y) = (, )

20 3. Continuità e differenziabilità della funzione e 3 sin y se (, y) (, ) f(, y) = + y se (, y) = (, ) 4. Determinare gli eventuali estremanti locali per le seguenti funzioni: f(, y) = y( )(y + ) (b) f(, y) = y (y ( )e ) LASCIATI PER CASA Estremanti di f(, y) = y (y + 3 ) Estremanti di f(, y) = y ( + y ) 7/5/. Determinare gli estremanti locali di F (, y) = (y ). Sia f(, y) = Th( y (y )). Studiare estremi locali di f(, y) g(t)dt dove g : R R è continua, strettamente positiva 3. Studiare la continuità e la differenziabilità della seguente funzione f(, y) (, y) (, ) g(, y) = + (y ) (, y) = (, ) dove f(, y) è la funzione del punto precedente 4. Data la seguente funzione f(, y) = y + e(y ) + ( y) y e t dt scrivere la formula di Taylor del II ordine centrata nel punto (, ) con resto secondo Peano (b) Stabilire se il punto (, ) è estremante locale per f(, y).

21 5. Discutere la continuità, esistenza delle derivate parziali e differenziabilità della funzione definita da (, y) E = {(, y) : (y )(y ) } f(, y) = y (, y) R \ E QUALCHE ESERCIZIO IN PIÙ Sia f la funzione definita da f(, y) = + b( + y 4y + 5) + ( )(y ) Determinare per quali valori di b R, la funzione ammette estremo locale nel punto (, y) = (, ) Determinare gli eventuali estremanti locali e assoluti per le seguenti funzioni : f(, y) = arctan( y ( + y )) (b) f(, y) = (log + y ) Siano f C (R ) e g C (R) due funzioni assegnate tali che f(, ) =, f(, ) = (, ), g() =, g () =. Sia φ : R R definita da φ(t) = f(g(t), g (t)). Determinare l equazione della retta tangente al grafico di φ nel punto (, φ()) estremanti locali di F (, y) = y e t t + dt (si osservi che l insieme di definizione di F è E = {(, y) : l integranda risulta strettamente positiva ) y > }, per cui Sia f : R R differenziabile tale che f(t; t) = e f(t, t) = t per ogni t R. Calcolare f(; ) Continuità e differenziabilità della funzione + y se f(, y) = y se =