Registro delle esercitazioni Analisi Matematica 2 (corso del prof. M. Vignati) corso di laurea triennale in FISICA L.

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1 Registro delle esercitazioni Analisi Matematica 2 (corso del prof. M. Vignati) corso di laurea triennale in FISICA L. Vesely, /3/27 [2 ore: n.,2] Funzioni primitive ( integrali indefiniti ) Ripasso: (a) unicità a meno di una costante, se su un intervallo; (b) esistenza per ogni funzione continua. Tutte le primitive di su R \ {} sono: x F (x) = log x + γ(x) dove γ è una qualsiasi funzione costante su (, ) e anche su (, + ) (con le due costanti non necessariamente uguali tra loro). Metodi elementari: e x dx sin(3x) dx (2+ x ) 2 x 3 x x 2 +3 x dx x 2 x 2 + dx dx 2 x 2 dx x 3 x+3 dx Incollamenti: e 4x 3 dx (su R) cos x dx (su R) Per parti: (2x ) log x dx (x 2 + x 7)e x dx e x sin(2x + ) dx

2 2 Sostituzione diretta (quando è presente la derivata del sostituendo): [ ] ϕ(x) = t f(ϕ(x)) ϕ (x) dx = ϕ (x) dx = dt = f(t) dt = F (t) + c = F (ϕ(t)) + c sapendo che F = f. log x x dx Ch(x) dt [ex = t] arcsin x dx [sostituzione + per parti] Proposti: tan 2 x dx (sin m x)(cos 2n+ x) dx (m, n N) trasformare nell integrale indefinito di un polinomio. 2/3/27 [2 ore: n. 3,4] Breve ripasso dei tre metodi: per parti, sostituzione, metodi elementari. + 3 x 2 dx x 3 ( x 2 ) n dx Integrazione delle funzioni razionali, cioè quelle del tipo R(x) = P (x) dove P, Q sono due polinomi. Q(x) Il caso di deg(q) = è molto facile. In generale, eseguendo la divisione dei polinomi, possiamo sempre ridurci al caso con deg(p ) < deg(q). dx con p q: fare la decomposizione in frazioni ax+b (x p)(x q) parziali: ax + b (x p)(x q) = A x p + B x q. ax+b (x p) 2 dx: sostituzione x p = t.

3 ax+b dx con il denominatore non decomponibile: si riscrive x 2 +px+q nella forma ax+b dx dove c > ; con la sostituzione x + (x+(p/2)) 2 +c (p/2) = t si ottiene l integrale del tipo αt+β dt, che sappiamo t 2 +c già fare. Caso generale (spiegato con un esempio): P (x) dx dove Q(x) Q(x) = 27 x 3 (x )(x + 2) 2 (x 2 + )(x 2 + x + ) 3. Se deg(p ) < deg(q) = 4, possiamo decomporre l integranda in frazioni parziali: P (x) Q(x) = A x + A 2 x + A 3 2 x + B 3 x + C x C 2 (x + 2) D x E x + F x 2 + x + + E 2x + F 2 (x 2 + x + ) 2 + E 3x + F 3 (x 2 + x + ) 3. E gli addendi della seconda riga possono essere trattati come sopra. Per saper fare tutto, ci manca solo il punto seguente. I n := dx. Integrando per parti si ottiene una formula (x 2 +) n ricorsiva: ( ) 2n I = arctan x (+c), I n+ = I n + x 2n 2n (x 2 + ). n Una sostituzione notevole: R(sin 2 x, cos 2 x, sin x cos x, tan x, cot x) dx dove R è una funzione razionale. La sostituzione tan x = t (x ( π 2, π 2 )) trasforma l integrale in R( t 2 +t 2, +t 2, t +t 2, t, t ) +t 2 dt. Esempio: dx. Con la sostituzione del punto precedente, si +3 sin 2 x ottiene una primitiva su ( π, π ), ma la stessa formula va bene su ogni 2 2 intervallo di definizione di tan x. per ottenere una primitiva su tutto R, bisogna incollare! 3 22/3/27 [2 ore: n. 5,6] Numeri complessi, campo complesso si veda il relativo file sulla mia pagina web.

4 4 Con la sosti- Un altra sostituzione notevole: R(sin x, cos x) dx. tuzione tan x = t (t ( π, π)) 2 si ottiene R( 2t, t2 ) 2 dt. +t 2 +t 2 +t 2 28/3/27 [2 ore: n. 7,8] x + 3 x dx Integrali definiti (integrali di Riemann) - ripasso del significato geometrico. Approfondimento una condizione sufficiente per l integrabilità secondo Riemann. Se f : [a, b] R è limitata e ha una quantità al più numerabile di punti di discontinuità, allora f R([a, b]). (Ma esistono funzioni integrabili secondo Riemann con una quantità infinita non numerabile di punti di discontinuità.) Un applicazione del significato geometrico. Sia f : R R una funzione periodica di periodo T > (cioè, f(x + T ) = f(x) per ogni x R) che sia Riemann-integrabile su ogni intervallo compatto [a, b] R. Allora a+t a f(x) dx = T f(x) dx per ogni a R. (In altre parole, gli integrali di f su intervalli di lunghezza T sono tutti uguali tra loro.) dx e 2x 4e x 5 2 sin(log x) dx (gestione degli estremi di integrazione) Per ciascuna delle seguenti funzioni, calcolare l equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa x = 2. (a) F (x) = x 2 (b) G(x) = x 2 2 e t2 t 2 e t2 t 2 (c) H(x) = x 2 +x x 2 dt dt e t2 t 2 dt

5 Determinare l insieme di definizione e gli eventuali asintoti della funzione F (x) = x t sin(/t) dt. Ripasso (integrali generalizzati notevoli): (a) + 2 (b) /2 dx conv. a >, b R oppure a =, b >. x a log b x dx conv. a <, b R oppure a =, b >. x a log x b (c) 2 dx conv. b <, a R. /2 x a log x b Al variare di a, b R, determinare l insieme di definizione delle seguenti funzioni integrali: F (x) = x 3/π t a log t b dt, F 2(x) = x 3/π t a log t b dt. 5 4/4/27 [2 ore: n. 9,] Breve ripasso sugli integrali generalizzati. + x ( dx studiarne la convergenza. x 2 +5 ) 3 Esercizio per voi: calcolate il valore esatto dell integrale. sin(/x) dx (esiste come integrale di Riemann!) sin(/x) x dx (converge assolutamente) sin(/x) dx (con una sostituzione diventa + x ma non assolutamente) sin t t dt che converge, Esercizio con asterisco per voi. Dimostrare il seguente criterio di convergenza, analogo al criterio di Leibniz per le serie numeriche. Sia ϕ: [a, + ) (, + ) una funzione continua e monotona non decrescente, tale che lim x + ϕ(x) =. Allora gli integrali + a convergono. ϕ(x) sin x dx e + a ϕ(x) cos x dx

6 6 + x 2 Th 2 (x) (x+3) x 5/2 log x dx F (x) = x 2 log(+ t 2a ) t 4/3 t+ a/2 dt determinarne l insieme di definizione. Studiare (senza convessità) la funzione F (x) = x ( t) arctan t t dt. Idem per F (x) = x t 2/3 dt. (In aula fatto solo D /2 e t (t 3)+3 F.) /4/27 [2 ore: n.,2] Per quali a R converge? 5/4 log(4 3x)+log 4 dx (x a) 5/3 Siano f una funzione continua in un intorno di, e p. Consideriamo la funzione integrale F (x) = x f(t) dt. (i) Se f(t) = o(t p ) per t, allora F (x) = o(x p+ ) per x. (ii) Se f(t) at p per t, allora F (x) a p+ xp+ per x. Esercizio per voi (forse non proposto in aula). Dimostrate le stesse implicazioni (i),(ii), sostituendo l ipotesi della continuità di f con la sola ipotesi che f R[a, b] dove a < < b. Dati α, β (, + ), determinare lo sviluppo di Taylor (resto di Peano) centrato in x = e arrestato al quarto ordine, della funzione F (x) = βx e t2 αx ( x log( ) t ) G(x) := cos x dt. t + 3 Determinare α, β R tali che G(x) G() αx β per x. t dt. Per quali a R converge? a 2 6 a Ch(x 2) dx F (x) = x /e G(x) = x dt 3 log t 2 t (t 2) arctan( t ) +t 5/3 dt Esercizio per voi. H(x) = x t+ dt e t t

7 7 2/5/27 [2 ore: n. 3,4] Ottimizzazione su insiemi aperti - ripasso: punti stazionari; matrice hessiana; segno dell incremento; applicazione del teorema di Weierstrass. ( f(x, y) = arctan e y3 x 2 y+x 2 y 2) (N.B.: f ha gli stessi estremanti della funzione g(x, y) = y 3 x 2 y + x 2 y 2.) f(x, y) = x 2 y 3 (6 x y) f(x, y) = + x y + x2 + y 2 Elementi salienti: l unico punto sospetto di essere estremante è (, ); studio del segno dell incremento h(u, v) = f( + u, + v) f(, ) per (u, v) vicino a (, ) ; applicazione delle coordinate polari e degli sviluppi di Taylor. Conclusione: (, ) è un punto di massimo assoluto; non ci sono altri estremanti. Esercizio per voi: determinare inf f(r 2 ). 9/5/27 [2 ore: n. 5,6] Due cose utili nell ottimizzazione. (i) Una generalizzazione del Teorema di Weierstrass. Siano C R 2 un insieme chiuso illimitato, f : C R una funzione continua. Supponiamo che esista (finito o infinito) il limite L := lim (x,y) + (x,y) C f(x, y) lim f(ρ cos θ, ρ sin θ) ρ + [uniformemente per θ tali che (ρ cos θ, ρ sin θ) C], e che esista almeno un punto (x, y ) C con f(x, y ) > L. Allora esiste max f(c). (Fissiamo α R con L < α < f(x, y ). Le ipotesi implicano l esistenza di r > tale che f(x, y) < α (< f(x, y ) sup f(c)) per ogni (x, y) C con (x, y) > r. Ne segue che sup f(c) = sup f(c B r (, )) = max f(c B r (, ))

8 8 in quanto l insieme C B r (, ) è compatto. La tesi ora segue immediatamente.) Analogamente per l esistenza di min f(c) se f(x, y ) < L. Tutto ciò ovviamente vale non solo in R 2, ma in ogni R d (d N). (ii) Due stime utili (per altri fatti simili si veda il file Alcune disuguaglianze utili... ). In quanto segue, (x, y) (, ) e x = ρ cos θ, y = ρ sin θ. x ρ, y ρ. Per ogni p > esiste α > tale che αρ p x p + y p 2ρ p. f(x, y) = x 4 + y 4 x 2 2xy y 2 f(x, y) = y ( y x(x )e x) f(x, y) = exp(x 3 y 6 +x 6 y 2 )+a sin(y 6 x 3 x6 ). Stabilire se l origine 2 è estremante. (Traccia della soluzione. Sviluppiamo l incremento per (x, y) (, ): g(x, y) := f(x, y) f(, ) = (x 3 y 6 + x 6 y 2 ) + 2! (x3 y 6 + x 6 y 2 ) 2 + 3! (x3 y 6 + x 6 y 2 ) a [ (y 6 x 3 x6 2 ) 3! (y6 x 3 x6 2 )3 + ] = ( a)x 3 + a 2 x6 + (a )y 6 + x 6 y 2 x 3 y 6 + +a 6 x9 + o( (x, y) 9 ). Se a, allora g(x, y) = ( a)x 3 + o( (x, y) 3 ). Quindi, per x, g(x, ) = ( a)x 3 + o(x 3 ) ( a)x 3, da cui (, ) non è estremante. Sia ora a =. Possiamo scrivere g(x, y) = x 6 y 2 + o( (x, y) 8 ), ma ciò non ci dice niente del segno di g in un intorno di (, ). Proviamo sviluppare fino all ordine 9: g(x, y) = x 6 y 2 x 3 y x9 + o( (x, y) 9 ). Come nel caso a, il segno di g(x, ) ci dice che (, ) non è estremante per f.) f(x, y) = xy +x 2 sull insieme (non aperto!) E = {(x, y) : y x 2 }. 6/5/27 [2 ore: n. 7,8; a cura della dott.ssa F. Sani] Studiare convergenza puntuale e uniforme sugli insiemi indicati. (i) f n (x) = n χ (,/n) (x) in R. (ii) f n (x) = n 2( cos x n) in R. (iii) f n (x) = nx2 +x 2 arctan ( nx 2 ) in (, + ). (iv) f n (x) = nx(3 nx) +n 2 x 2 in R.

9 Determninare l insieme E di convergenza puntuale, stabilire se su E la convergenza è uniforme e, in caso negativo, individuare su quali intervalli I E la successione converge uniformemente. { n x se x (i) f n (x) =, n x se x >. n n (ii) f n (x) = log [ (x n) ( x n 2 )] χ [n,n 2 ](x). (iii) f n (x) = arctan( + log n x). 9 23/5/27 [2 ore: n. 9,2] Calcolare, se esiste, lim n + n 2 2 x sin(x/n) dx. +nx 2 Elementi salienti. Dobbiamo calcolare il limite della successione I n := 2 f n(x) dx dove f n (x) = n2 x sin(x/n) + nx 2. Il limite puntuale della succesione {f n } è la funzione: f(x) = per x ; f(x) = per x =. Ne segue che la convergenza non è uniforme in alcun intervallo I [, 2] tale che I. Fissato ε (, ), possiamo spezzare : [, 2] = [, ε] [ ε, ε] [ε, 2]. Sul primo e sul secondo di questi tre intervalli, la convergenza è uniforme (qui abbiamo usato gli sviluppi di McLaurin con il resto di Lagrange); possiamo quindi passare al limite sotto il segno dell integrale. Denotiamo J n := ε f ε n(x) dx. Siccome f n (x) per ogni n N, x R, otteniamo che J n 2ε. Sia E la classe limite della successione {I n }. Allora E ε + 2 ε + [ 2ε, 2ε] = 3 + [ 4ε, ]. Siccome ciò vale per ogni ε (, ), ne otteniamo che E = {3}. In altre parole, I n 3. Serie di funzioni - un breve ripasso. conv. total. conv. unif. il term. generale conv. unif. a, e le implicazioni opposte sono false. conv. unif. su E e su E 2 conv. unif. su E E 2.

10 + n= x( x)n. Elementi salienti. Convergenza puntuale su E = [, 2). Considerando i punti x n = 2, si ottiene facilmente che il termine n generale non converge uniformemente a vicino a 2, e quindi le serie non conv. uniformemente. Vicino a, il termine generale converge unif. a, ma ciò non ci dice niente a proposito della convergenza uniforme della serie. Per fortuna, possiamo calcolare facilmente le somme parziali della nostra serie; si ottiene che la serie non conv. unif. vicino a. Su intervalli discosti da e da 2, la serie converge totalmente e quindi anche uniformemente. + n= nx. e nx (Conv. punt. su E = [, + ). Conv. unif. su un intervallo I E se e solo se / I.) Esercizi per voi. (i) + x n n=. +x 2n (ii) + ( ) n= x n + 2 n x. n (iii) + n= ( )n. n x (iv) f(x) := + ( n= x + n n). Determinare l insieme di definizione Df, e dimostrare che f è di classe C su D f. 3/5/27 [2 ore: n. 2,22] ( ) S(x) = 2 n sin. 3 n x n= L insieme di definizione D S ; conv. unif. su D S?; S è deriv. in D S? Th(nx) nx 4 S(x) =. n(n 4 + x 4 ) n= D S =?; conv. unif. su D S?; dimostrare che S R[, ] e S(x) dx + ( ) n= + n 5 5n. 4 Serie di potenze ripasso (raggio di convergenza ρ, conv. unif. sui compatti in { x x < ρ}, derivabilità e integrabilità termine per termine).

11 Determinare l insieme di convergenza: (i) (ii) (iii) n= n= n= x n n p (p R parametro) 3 n + ( 2) n (x + ) n n 2 n 3 ( ) n x + 3 n + 3x 2 (n 2 + n)x n. Dove converge?; calcolare la somma! n= Trovare una serie di potenze che converga esattamente per x ( 3, 7 3]. Esercizi per voi (non proposti in aula). Determinare dove convergono: (i) (ii) (iii) n= n= a n2 (x 2) n n! a n2 x n (a > ) (a > parametro) n! (2n)! x n (Per i punti estremi dell intervallo di convergenza (3n)! n= potrebbe essere utile la formula di Stirling.) 3/5/27 [2 ore: n. 23,24] Sviluppare in serie di McLaurin la funzione f(x) = (8/3)x x 2 stabilire dove lo sviluppo è soddisfatto. e Equazioni differenziali di I ordine - ripasso della teoria (problema di Cauchy, esistenza locale, esistenza e unicità locale, esistenza e unicità globale).

12 2 Equazioni a variabili separabili: y = g(x)h(y). Soluzioni costanti ( stazionarie ). Metodo risolutivo: dove h(y), y = g(x); quindi h(y) dy = g(x) dx (oppure, per una condizione h(y) iniziale y(x ) = y, y y h(s) ds = x x g(t) dt). y = x y y = y2 y x, y() = m (con m N) Equazioni diff. lineari (di I ordine). Supponiamo che, su un intervallo I contenente x, le funzioni a, b siano continue. Allora il problema di Cauchy { y + a(x)y = b(x) y(x ) = y ha un unica soluzione definita su tutto I, e in I vale l unicità locale per le soluzioni dell equazione (e quindi due soluzioni non possono incontrarsi ). La soluzione è data dalla formula risolutiva : x } y(x) = e {y A(x) + b(t) e A(t) dt, x dove A(x) = x x a(t) dt. Si noti che l equazione omogenea (cioè, con b ) è un equazione a variabili separabili. y + xy = 2, y() = α (α R parametro) ( + x 2 )y = x(y x), y() =. (L equazione equivale alla y x +x 2 y = x3 +x 2.) 6/6/27 [2 ore: n. 25,26]

13 Sulla lipschitzianità in y uniforme rispetto a x. Nella teoria delle equazioni differenziali è importante la seguente proprietà di una funzione f = f(x, y) : (Lip) f(x, y ) f(x, y 2 ) L y y 2. Usando il Teorema di Lagrange in direzione di y (con x fissato), è facile dimostrare la seguente condizione sufficente. Sia E R 2 un insieme con la seguente proprietà: per ogni due punti (x, y ), (x, y 2 ) di E con y < y 2, il segmento aperto {x} (y, y 2 ) è contenuto in E. Sia f : E R una funzione continua su E tale che la derivata parziale D y f esista in E e soddisfi D y f(x, y) L per ogni (x, y) E. Allora f soddisfa (Lip) con la costante L su E. Di conseguenza, se f è una funzione di classe C su un aperto A R 2, allora f soddisfa (Lip) localmente in A (nel senso che ogni punto di A ammette un intorno su cui f soddisfa (Lip) con qualche costante). Equazioni differenziali di Bernoulli: y = a(x)y + b(x)y α con α R \ {, }, dove a, b sono funzioni continue in qualche intervallo I. La corrispondente funzione f(x, y) := a(x)y + b(x)y α soddisfa (Lip) localmente su I (, + ) (per alcuni α particolari, anche in I (, )). Per α <, deve essere y. Per < α <, la funzione costante y è una soluzione dell equazione, e altre soluzioni potrebbero incollarsi ad essa. Anche per α >, y è una soluzione, ma non ci possono essere biforcazioni. Metodo risolutivo per y (per trovare una soluzione locale). La sostituzione z = y α del metodo risolutivo equivale a y = z α. Supponiamo che z intersechi l asse delle x in modo obliquo in qualche punto x I. Per α < abbiamo (, ), e quindi y arriverà all asse delle x α con la tangente verticale (e muore lì). 3

14 4 Per < α < abbiamo >, e quindi y arriverà all asse delle x α con la tangente orizzontale e si incollerà in modo liscio alla soluzione nulla. Per α > abbiamo α <, e quindi y avrà asintoto verticale in x (cioè, esplode e finisce lì). y = y, y(2) =. y 2 3x 8 y + xy = 9 3 y, y() =. Risolvere con il metodo delle serie di potenze: y = y, y() =. Esercizio per voi. Con il metodo delle serie di potenze, risolvere y = 2xy, y() = c. 4/6/27 [2 ore: n. 27,28] Equazioni differenziali di Eulero: x k y (k) + a k x k y (k ) + + a 2 x 2 y + a xy + a y = b(x) dove a i sono delle costanti reali. Metodo: sostituzione (per x ) x = e t, cioè, t = log x ; y(x) = z(t) = z(log x ). Si ottiene così un equazione lineare a coeff. costanti per la funzione z. Trovare tutte le sol. su (, + ): x 2 y + 3xy + y = x 2 +. Al variare del parametro a R, determinare tutte le soluzioni definite su tutto R : x 2 y + axy y =.

15 Risolvere in (, + ): x 2 y xy log x + y log x =, y(e2 ) =, y (e 2 ) =. Sarebbe un equazione di Eulero con a i non costanti. Con la sostituzione x = e t si ottiene un equazione lineare di cui una soluzione è facilmente indovinabile. (In aula è stata considerata un altra equazione: xy e x xy +e x y = che però conduce a primitive non calcolabili. L equazione sopra è invece la versione giusta, cioè, calcolabile.) Esercizio per voi. y 2x y + 2 y =, y( ) =, y() = α. +x 2 +x 2 Si noti che non è un problema di Cauchy: al posto di condizioni iniziali (valore e derivata dati in un certo punto), sono prescritti i valori in due punti diversi (è un cosiddetto problema al contorno ). 5 5/6/27 [2 ore: n. 29,3] Estremanti di f(x, y, z) = (x + y) e ( x +y2 + z ). Elementi salienti. Il segno di f implica che i punti con x + y = non sono estremanti. Si noti che f(x, y, z) = e z g(x, y) dove g(x, y) = (x + y) e ( x +y2). Si deduce che se (x, y, z ) è un estremante per f, allora z =, x + y e (x, y ) è un estremante per g. Siccome lim (x,y) g(x, y) =, l insieme A + := {(x, y) : x + y > } contiene almeno un punto di massimo assoluto, e l insieme A := {(x, y) : x + y < } contiene almeno un punto di minimo assoluto. Siccome g è dispari rispetto all origine, abbiamo: (x, y ) A + è un estremante per g se e solo se ( x, y ) A è un estremante di qualità opposta per g. I punti sospetti di essere estremanti di g in A + sono: a) i punti stazionari con x, cioè, solo (, ); b) i punti con x =, che però non sono 2 2 estremanti. Quindi (, ) è un punto di massimo assoluto per g, e 2 2 (, ) è un punto di minimo assoluto per g. Da ciò si deduce che i 2 2 punti (,, ) e (,, ) sono tutti e soli gli estremanti di f, il primo di massimo assoluto, il secondo di minimo assoluto.

16 6 Un equazione differenziale lineare a coefficienti non costanti che non ricordo esattamente, proposta da uno studente... Continuità e differenziabilità di { x 3 y se (x, y) (, ), x f(x, y) = 2 +y 4 se (x, y) = (, ). Convergenza puntuale e uniforme di n= (n 2 x xn 2 ) 2 +. Elementi salienti. Converge puntualmente in R \ {}. Converge uniformemente su insiemi del tipo {x : x δ, x c} (discosti da e da + ). Non converge uniformemente in alcun intorno destro/sinistro di. Domandine per voi. ) Mostrate che la serie non converge uniformemente su alcun intorno di +. 2) Mostrate che la serie converge uniformemente su alcuni insiemi illimitati superiormente, considerando gli insiemi del tipo {x : dist(x, N ) δ}.