Esempi di QUESITI sulle derivate con risoluzione

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1 Esempi di QUESITI sulle derivate con risoluzione 1 Sia data una funzione f(x) continua nel punto x 0 : allora essa è anche derivabile in x 0? Se invece l'ipotesi prevede che f(x) è derivabile in x 0, si può concludere che f(x) è continua in x 0? Spiega, riportando opportuni esempi. In tale domanda si chiede di parlare della correlazione esistente tra i concetti di derivabilità e continuità in un punto. Da notare subito che mentre ogni funzione derivabile in un punto è ivi anche continua, il viceversa non è in generale valido, ossia esistono funzioni che pur essendo perfettamente continue in un punto, non risultano derivabili. La denizione di derivabilità in un punto è la seguente: una funzione f si dice derivabile in un punto x 0 se esistono nite f +(x 0 ) e f (x 0 ), valendo la seguente condizione: f +(x 0 ) = f (x 0 ) = f (x 0 ) = h 0 f(x 0 + h) f(x 0 ) h Coi simboli f + e f si intende rispettivamente la derivata destra e quella sinista nel punto considerato (basta considerare i iti destro e sinistro del rapporto incrementale). In altre parole, una funzione è derivabile in un punto se la sua derivata destra e la sua derivata sinistra coincidono in quel punto, ossia, geometricamente, se le tangenti al graco destra e sinistra hanno la stessa pendenza. Continuità quindi non implica derivabilità: la dimostrazione è essenzialmente geometrica. E' suciente mostrare esempi di funzioni continue in un punto ma non derivabili. Esistono tre evenienze: 1. f(x) è continua in x 0, ma f + f : x 0 rappresenta un punto angoloso. Vi sono due tipi di punti angolosi, a seconda che i valori (diversi!) delle derivate dx e sx siano o meno niti. 2. f(x) è continua in x 0, ma f + e f sono entrambe innite con segno diverso: x 0 rappresenta una cuspide.. f(x) è continua in x 0, ma f + e f sono entrambe innite con lo stesso segno: in tal caso x 0 è un esso a tangente verticale. Nella tabella sottostante sono riassunti tutti i vari casi possibili Derivata destra derivata sinistra punto di non derivabilità nita d + nita d punto angoloso nita innita punto angoloso innita nita punto angoloso + + esso a tangente vert. ascendente esso a tangente vert. discendente + cuspide verso l'alto + cuspide verso il basso Da precisare inne che la derivabilità implica sempre anche la continuità, ossia una funzione derivabile in x 0 è anche ivi continua. La dimostrazione si basa sul fatto che se la funzione è derivabile deve esistere il ite del rapporto incrementale in x 0, per calcolare il quale è comunque necessario determinare il valore di f(x 0 ). 2 Enuncia il teorema di De l'hopital, spiegando la sua utilità e servitene per calcolare i seguenti iti: sin x x 0 x 2 + x,, e x 1 x x

2 I teoremi di De l'hopital sono degli strumenti utilissimi nella risoluzione delle forme indeterminate sia 0/0 che /. L'enunciato è il seguente: Siano date due funzioni derivabili f(x) e g(x) in un intorno I di un punto x 0, con g (x) 0 in I. Supponiamo inoltre che esista il ite del rapporto f (x)/g (x) delle derivate. Allora esiste anche il ite di f(x)/g(x) e si ha che: f(x) x x 0 g(x) = f (x) x x 0 g (x) In sostanza il teorema ci dà una regola per poter calcolare il ite di forme indeterminate, perchè se f(x) e g(x) tendono o entrambe a zero o entrambe a, si può calcolare il ite (indeterminato) del loro rapporto semplicemente calcolando il ite del rapporto delle derivate. Nel nostro caso: x 0 x sin x x 2 + x = 0 0 x 0 e x 1 x cos x 2x + 1 = 1 = e x x 1 = Sia data la funzione y = f(x) derivabile in D e l'intervallo [a, b] D. Spiega cosa vuol dire che f(x) è crescente nell'intervallo [a, b] e, nell'ipotesi che f(x) sia derivabile in [a, b] che legame ha tale denizione con il segno di f(x) Sia dato un intervallo [a, b] D. Si dice che f(x) è crescente in [a, b] se per ogni coppia di punti x 1 e x 2 scelti entro [a, b], con x 1 < x 2, accade che anche f(x 1 ) < f(x 2 ). In altri termini, una funzione crescente rispetta anche del codominio la disuguaglianza presente tra gli elementi del dominio. Se in più la funzione è derivabile nell'intervallo considerato, visto che il valore della derivata calcolata in un punto preciso coincide con la pendenza della tangente al graco fatta passare per quel punto, possiamo dire che, se f è crescente, per forza detta pendenza deve essere positiva (una pendenza positiva signica una retta in salita, quindi una tangente a pendenza positiva non può che essere associata ad una funzione in salita almeno in un intorno del punto di tangenza). Dunque, una funzione derivabile f(x) è crescente in [a, b] f (x) > 0 x [a, b]. Tale ultima relazione ci fornisce un metodo per la detemrinazione degli intervalli di crescenza (e quindi di decrescenza) di una funzione (studio della monotonia). Per trovare gli intervalli del dominio in cui f cresce, sarà necessario e suciente risolvere la disequazione f (x) > 0. 4 La [ funzione ] f(x) = tan x assume valori di segno opposto negli estremi dell'intervallo I = π 4 ; 4 π, eppure non esiste alcun x I tale che f(x) = 0. E' così? Perchè? 5 Denisci il concetto di punto estremale e spiega come determinare e classicare i punti estremali di una funzione, conoscendo la sua espressione analitica Ricordiamo la denizione di punto estremale: un punto x 0 è un estremale per f(x) se fa parte del dominio e in un suo intorno f inverte la propria monotonia (a sx crescente e a dx decrescente = massimo, a sx decrescente e a dx crescente = minimo). La procedura per la determinazione è duplice: determinazione vera e propria degli estremali classicazione degli estremali La ricerca degli estremali viene eettuata tenendo conto della seguente condizione necessaria (ma non suciente): se x 0 è un estremale allora f (x 0 ) = 0, ossia, i possibili candidati ad essere punti estremali sono tutti e soli i punti che annullano la derivata prima. Trovati questi possibili candidati, si procede alla loro classicazione col seguente criterio:

3 1. si vede quali di essi fanno parte del dominio (ossia si scartano quelli non inclusi in D) 2. si riprende lo studio della monotonia precedentemente eettuato vedendo se eettivamente in un intorno del punto considerato la monotonia si inverte (secondo i criteri suesposti, il punto allora sarà o un max o un min) 6 Sia f(x) una funzione derivabile in D e x 0 D. concludere che x 0 è un punto estremale per f? L'ipotesi che f (x 0 ) = 0 è suciente per Si tratta di discutere sul fatto che l'annullarsi della derivata prima, per avere un'estremale, è una condizione necessaria ma non suciente. Sia x 0 un punto tale che f (x 0 ) = 0. Ciò vuol dire solamente che in quel punto il graco ha una pendenza nulla, ossia la tangente è orizzontale. Senza nessun altra informazione precisa, non si può concludere che esso sia un estremale, visto che l'ipotesi non dice se in un intorno di x 0 si verichi un cambio di monotonia. Ricordare che le condizione sucienti per avere un estremale sono: 1. che x 0 D, cioè che sia eettivamente un punto del dominio; 2. che in un intorno di x 0 si verichi un cambio di monotonia (da crescente a decrescente = max, oppure da decrescente a crescente = min.) In sintesi, la risposta al quesito deve essere negativa: esistono punti che annullano la derivata prima ma che non sono estremali. Essi sono i punti di esso a tangente orizzontale. 7 Sia f(x) una funzione derivabile in x 0. Cosa può succedere se f (x 0 ) = 0? La condizione f (x 0 ) = 0 dice solo che x 0 è un punto che annulla la derivata prima, detto punto stazionario o di stazionarietà. Sicuramente in x 0 la funzione in questione è derivabile, e quindi anche continua, dunque x 0 D. Possono succedere in sintesi due cose: 1. x 0 è un estremale, se in più la monotonia cambia in un intorno di x 0 (vedi dom. 6) 2. x 0 è un esso a tangente orizzontale se la monotonia non cambia. 8 Se una funzione f(x) è crescente per x < x M e decrescente per x > x M, solo con tali informazioni possiamo concludere che x M sia un punto di massimo? Spiega 9 Dopo aver enunciato il Teorema di Lagrange o del valor medio, si specichi se la funzione f(x) = x 8 verica le ipotesi del teorema nell'intervallo [0, 2] ed in caso aermativo, quale è il punto in cui si verica la tesi del teorema stesso. Il teorema di Lagrange aerma che se f(x) è una funzione continua in un intervallo [a, b] R, derivabile in ]a, b[, allora esiste almeno un punto c [a, b] in cui si abbia che: f f(b) f(a) (c) = ossia esiste almeno un punto interno all'intevallo in cui la tangente alla curva è parallela alla retta di pendenza media, che è quella che congiunge i due punti del graco agli estremi dell'intervallo (vedasi sul testo di analisi i relativi graci). Per vericare se la funzione in esame verica le ipotesi è necessario e suciente:

4 1. vedere se f è denita in un compatto. Aermativo, l'intervallo in questione è I = [0, 2], chiuso e itato. In particolare a = 0 e b = vedere se f è continua in I. Per fare ciò basta vedere se I D, ove D R è il dominio della funzione. Visto che la nostra f è polinomiale di grado, essa ha per dominio tutto R, per cui ovviamente I R.. vedere se f è derivabile in I. Ciò è vero, nel nostro caso: tutte le funzioni polinomiali sono derivabili nel loro dominio. Le ipotesi sono tutte vericate, quindi la tesi del teorema è vera, ossia esiste almeno un punto c I tale per cui: f f(b) f(a) (c) = La pendenza media vale: f(b) f(a) = f(2) f(0) 2 0 = 8 8 (0 8) 2 Si tratterà allora di trovare c [0, 2] tale che f (c) = 4. Ovviamente è f (x) = x 2, per cui il punto c è tale che: c 2 = 4 c = ± 2 ±1, 155 Come si vede, dei due valori, solo quello positivo appartiene all'intervallo [0, 2]. Se ne deduce che il punto c vale: c = 2 = 4 10 Spiega, ai ni della determinazione del graco di una funzione f(x), a cosa può servire lo studio della derivata seconda, nell'ipotesi che f(x) sia derivabile almeno due volte Se una funzione f(x) risulta derivabile due volte in tutto il suo dominio, procurandosi e studiano la derivata seconda, si può avere accesso a tutte le proprietà geometriche legate a quest'ordine di derivata, che sono la concavità ed i essi. La concavità è una proprietà geometrica del graco della funzione, legata al modo di curvarsi. Esistono due tipologie di concavità: verso l'alto (che alcuni chiamano concavità vera e propria) e verso il basso (che alcuni deniscono convessità). Una funzione è concava verso l'alto in un intorno I del dominio se per ogni punto dell'intorno il graco è tutto situato nel semipiano che sta sopra la retta tangente. In simboli, x I, f(x) t(x), ove con t(x) si intende l'ordinata di x calcolata con la tangente t in x. Viceversa funzione è concava verso il basso in un intorno I del dominio se per ogni punto dell'intorno il graco è tutto situato nel semipiano che sta sotto la retta tangente. In simboli, x I, f(x) t(x), ove con t(x) si intende l'ordinata di x calcolata con la tangente t in x. I punti di inversione della concavità si dicono punti di esso. La concavità è algebricamente determinata dal segno della derivata seconda, in particolare: negli intervalli ove f (x) > 0 la concavità è verso l'alto; negli intervalli ove f (x) < 0 la concavità è verso il basso; Per avere un esso in x F è necessario che: 1. x F D 2. in un intorno di x F la monotonia cambi (da verso l'alto a verso il basso = esso ascendente o da verso il basso a verso l'alto = esso discendente). Le due condizioni implicano in più che, se f è due volte derivabile in x F, si abbia f (x F ) = 0, ossia i punti di esso annullano la derivata seconda.

5 11 Sia f(x) una funzione derivabile almeno due volte nel suo dominio D e x 0 D. L'ipotesi che f (x) = 0 è suciente per concludere che x 0 è un esso per f? In generale, per quanto visto in 10, un punto che annulla solo la derivata seconda non è necessariamente un esso. Esistono esempi di funzioni che hanno derivata seconda nulla in un punto ma in nessun intorno del punto la concavità cambia. Per tali funzioni, necessariamente x F D. In denitiva, la condizione f (x F ) è necessaria ma non suciente! 12 Se una funzione f(x) ha concavità verso l'alto per x < x f e verso il basso per x > x f, solo con tali informazioni possiamo concludere che x f sia un punto di esso? Spiega Si tratta di una specicazione della domanda precedente. La risposta è negativa: serve in più l'ipotesi che x F D. Esempio di funzioni che cambiano la concavità senza avere i essi sono quelle che hanno un asintoto verticale in x = x F con iti destri di segno opposto ai iti sinistri. La concavità cambia in un intorno di x F, ma essendo x F D, non possiamo concludere che x F sia un esso.