Analisi Matematica per Bio-Informatici Esercitazione 08 a.a

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1 Analisi Matematica per Bio-Informatici Esercitazione 08 a.a Dott. Simone Zuccher 4 Gennaio 008 Nota. Queste pagine potrebbero contenere degli errori: chi li trova è pregato di segnalarli all autore (zuccher@sci.univr.it). Proprietà delle funzioni derivabili Richiami sulle applicazioni delle derivate utili ai fini degli esercizi. Teorema di Fermat. Se 0 è un punto di minimo o di massimo per f() e f è definita su ]a,b[ e derivabile in 0 ]a,b[, allora f ( 0 ) = 0. Teorema di Rolle. Sia f() continua su [a,b], derivabile su ]a,b[ e f(a) = f(b). Allora esiste ξ ]a,b[ tale che f (ξ) = 0. Geometricamente il teorema assicura che, se sono verificate le ipotesi, esiste almeno un punto ξ ]a,b[ a tangente orizzontale. Teorema di Cauchy. Siano f() e g() continue su [a,b] e derivabili su ]a,b[. Allora esiste ξ ]a,b[ tale che g (ξ)[f(b) f(a)] = f (ξ)[g(b) g(a)]. Se, inoltre, g () 0 ]a,b[ (il che implica g(a) g(b)), allora f(b) f(a) g(b) g(a) = f (ξ) g (ξ). Teorema di Lagrange (o del valor medio). Sia f() continua su [a,b] e derivabile su ]a,b[. Allora esiste ξ ]a,b[ tale che f(b) f(a) = f (ξ)(b a). Geometricamente il teorema assicura che, se sono verificate le ipotesi, esiste almeno un punto ξ ]a,b[ in cui la tangente è parallela alla retta passante per i punti estremi (a,f(a)) e (b,f(b)). Sia f() continua su [a,b] e derivabile su ]a,b[, allora. f () = 0 ]a,b[ f() costante su [a,b].. f () 0 ]a,b[ f() crescente su [a,b] (strettamente se f () > 0).

2 3. f () 0 ]a,b[ f() decrescente su [a,b] (strettamente se f () < 0). Ricerca di massimi/minini. La condizione necessaria f ( 0 ) = 0 fornisce l insieme di possibili punti di massimo e/o minimo. L analisi della monotonia di f() nell intorno di 0 o l uso delle derivate successive calcolate in 0 (si veda più avanti) permette di determinare eventuali massimi o minimi. Esercizio. Si determinino gli intervalli in cui le seguenti funzioni sono crescenti. f() = 3 + [ 3/] f() = log( + ) [ 0] f() = log( ) [ > ] f() = + [mai] f() = [ 3] [ R \ { 3}] Risoluzione. Si calcoli la derivata e se ne studi la positività. Esercizio. Si determinino eventuali massimi e minimi relativi della funzione f() = in R. Risoluzione. Essendo f () = (6 5+) si ha f () = 0 per = /3 e = /. Dallo studio della monotonia di f() si deduce che f() è crescente per < /3 e > / e decrescente altrove. Pertanto, = /3 è punto di massimo e = / è punto di minimo. Esercizio.3 Si determinino eventuali massimi e minimi relativi della funzione f() = in R. Risoluzione. Essendo f () = 3( ) si ha f () = 0 per =. Tuttavia, dallo studio della monotonia di f() si deduce che f() è sempre crescente e quindi = 0 non è né punto di massimo né punto di minimo ma punto di flesso a tangente orizzontale. Esercizio.4 Si dica se il teorema di Rolle è applicabile nei seguenti casi sugli intervalli riportati e, se lo è, si determini/no il/i punto/i ξ previsto/i da tale teorema.. f() = + 6 sull intervallo [, 4]. f() = 3 3 sull intervallo [0, 3] 3. f() = 3 sull intervallo [0, 3] Risoluzione.

3 . ξ = 3. ξ =. Perché ξ = non è accettabile? 3. ξ = 3/ Esercizio.5 Si dica se il teorema di Lagrange (o del valor medio) è applicabile nei seguenti casi sugli intervalli riportati e, se lo è, si determini/no il/i punto/i ξ previsto/i da tale teorema.. f() = + 4 sull intervallo [, ]. f() = 3 + sull intervallo [0, ] 3. f() = Risoluzione.. ξ = / sull intervallo [0, ]. ξ = ( + 7)/3. Perché ξ = ( 7)/3 non è accettabile? 3. ξ = (5 5)/. Esercizio.6 Utilizzando i teoremi sulle derivate, si dimostri che arctan = arcsin + R Risoluzione. Si calcoli la derivata di f() = arctan arcsin + e si noti che f () è identicamente nulla R. Pertanto f() = arctan arcsin + è costante e il valore di tale costante può essere facilmente determinato calcolando f(0) = 0. Quindi, arctan arcsin + = 0 arctan = arcsin + R. Esercizio.7 Utilizzando i teoremi sulle derivate, si dimostri che Risoluzione. Si ragioni come sopra. arctan + arctan = { π/ > 0 π/ < 0 3

4 Esercizio.8 Utilizzando i teoremi sulle derivate, si dimostri che per > si ha log( + ) Risoluzione. Posto h() = log(+), definita per >, si ha h () = /(+). Pertanto, h() ha un minimo assoluto in = 0 essendo h (0) = 0, h () > 0 per > 0 e h () < 0 per < < 0. Essendo inoltre h(0) = 0, si conclude che h() 0 per >, ovvero log( + ) per >. Esercizio.9 Utilizzando i teoremi sulle derivate, si dimostrino le seguenti disuguaglianze. e +, R. + 8 ( + ), > 0 3. log a ( ) log a e, > 0,a > a Risoluzione. Si proceda come nell esercizio precedente. Esercizio.0 Verificare che la funzione f() = sin(e ) soddisfa l equazione f () f () + e f() = 0. Risoluzione. Essendo f () = e cos(e ) e f () = e cos(e ) e sin(e ) basta sostituire e verificare l identità. Calcolo di iti tramite i teoremi sulle derivate (Lagrange e de L Hôpital) Richiami sull utilizzo del teorema di de L Hôpital. Teorema di de L Hôpital. Siano a < b + e f,g :]a,b[ R due funzioni tali che:. a f() = a g() = 0 (oppure ± ). f,g derivabili su ]a,b[ e g () 0 ]a,b[ 3. esista finito il ite a f () g () 4

5 allora anche il rapporto f() g() ammette ite e si ha f() a g() = f () a g () Il teorema di de L Hôpital è applicabile anche nel caso di ite destro e/o sinistro e nel caso ±. Il teorema di de L Hôpital è applicabile anche nel caso in cui il ite di f() non esista e a g() = +. Si noti che se a f() g() = 0 (ossia f() 0 e g() ) allora si hanno due possibilità: f(). applicare de L Hôpital al rapporto, essendo h() = /g(), ottenendo una forma di indecisione del tipo a h() 0/0 h(). applicare de L Hôpital al rapporto, essendo h() = /f(), ottenendo una forma di indecisione del tipo a g() / Esercizio. Utilizzando il teorema di Lagrange si calcoli il ite log( + + ) log( + ) 0 Risoluzione. Si ottiene una forma indeterminata del tipo 0/0. Si osservi che se si assume f() = log, a = + e b = + +, il ite può essere riscritto come log( + + ) log( + ) 0 = 0 f(b) f(a) b a = 0 f (ξ) con ξ (a,b). Pertanto, quando 0 si ha a e b e quindi ξ. Essendo f () = / si ha f (ξ) = da cui il valore del ite dato. Esercizio. Utilizzando il teorema di de L Hôpital si dimostrino le seguenti uguaglianze. b. = 0, a >, b > 0 + a log. a = 0, a >, b > 0 + b b log a = 0, a >, b > 0 5

6 (log Si noti che vale anche a ) α = 0, a >, b > 0, α > 0 + b Risoluzione.. Posto b /a = (/a b ) b = (/α ) b essendo α = a b >, basta mostrare che il ite di /α è zero. Utilizzando de L Hôpital si ha + α log α = 0. f (). Applicando subito de L Hôpital si ha + g () = log a e b b = log a e b b = Si noti la forma di indecisione del tipo 0. Riscrivendo b log a = log a / b ed applicando de L Hôpital sia arriva subito alla soluzione. Esercizio.3 Utilizzando il teorema di de L Hôpital si calcolino i seguenti iti. log + [0] 0 ( + ) α [α] e + [+ ] (log ) 3 + [0] log( + ) + log log( + ) [] + log [/] Risoluzione. Si applichi il teorema una o più volte. Esercizio.4 Utilizzando il teorema di de L Hôpital si calcolino i seguenti iti. Risoluzione e Forma di indecisione 0. Si noti che riscrivendo come e / / 0 ( / ) oppure 0 /e / (0/0) non si risolve la forma di indecisione. Se, invece, si pone t = /, il e t ite diventa = +. t + t0. = e log, passando al ite si ottiene. 3. = e log, passando al ite si ottiene. 6

7 Esercizio.5 Utilizzando il teorema di de L Hôpital si calcoli π log sin cos Risoluzione. π log sin cos = π cos sin = 0 Esercizio.6 Utilizzando il teorema di de L Hôpital si calcoli Risoluzione. 0 log + 0 cos = 0 sin + ( + ) cos =. log + 0 cos log( + ) cos = 0 ( + ) sin = Esercizio.7 Utilizzando il teorema di de L Hôpital calcolare + e e log. + Risoluzione. Si noti che sono iti nella forma 0. Dagli esempi generali visti in precedenza si sa già il risultato. Altrimenti, basta osservare che + e = + e = + e = 0 e log / log = = 0 + / = = Esercizio.8 Utilizzando il teorema di de L Hôpital si calcoli ( ) + 0 log( + ) ( + ) log( + ) Risoluzione. Derivando una volta si ha = 0 log( + ) log( + ). Derivando ulteriormente oppure dividendo numeratore e 0 log( + ) + /( + ) denominatore per log( + ) si ottiene + + log( + ) conto del ite notevole noto. 0 =, ove si è tenuto 7

8 Esercizio.9 Si calcoli il ite + sin + + cos Risoluzione. Raccogliendo al numeratore e al denominatore si ottiene banalmente + sin + + cos = + sin + + cos =. Attenzione: se si fosse applicato de L Hôpital (il ite si presenta nella forma / ), + sin si sarebbe ottenuto + + cos = + cos =. L uguaglianza tra i due iti + sin rappresenta un nonsenso in quanto il ite del rapporto delle derivate non esiste e quindi il teorema di de L Hôpital non è applicabile e nulla si può dire sul ite originale. Al + sin contrario, la scrittura adottata porterebbe a concludere che =, che è + + cos falso. Pertanto, l utilizzo dell uguale (=) tra un passaggio e l altro nell applicazione di de L Hôpital è prassi ma formalmente è consentito solo dopo aver verificato l effettiva esistenza del ite del rapporto delle derivate. 8