1. Al variare del parametro reale x, studiare la convergenza delle due serie. sen n. x n ; sen n. (7 punti) 2. Calcolare gli integrali indefiniti:

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1 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 17/1/004) Cognome e nome Se ammesso, desidererei sostenere la prova teorica: 0 1 dicembre; dicembre; gennaio.. Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, testi o appunti, con l eccezione dei libri di testo consigliati.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile insieme a questo foglio. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Al variare del parametro reale x, studiare la convergenza delle due serie sen ) n x n ; sen ) x ) n n n + n.. Calcolare gli integrali indefiniti: x arccos x dx, arccos x + 1 dx.. Si determini l ordine di infinitesimo, per x 0, delle seguenti funzioni: fx) = x4 1 + cos x x + x, 6 punti) 4. Studiare la funzione gx) = αx4 1 + cos x x + x α, al variare di α > 0. fx) = cosx) 1, e in particolare: dominio, eventuali periodicità e simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. 9 punti) 5. Calcolare l estremo inferiore e l estremo superiore delle seguenti successioni: a n = arctgn ), b n = arctg [ 1) n n ) ], c n = arctg 1 π n.

2 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 17/1/004) Cognome e nome Se ammesso, desidererei sostenere la prova teorica: 0 1 dicembre; dicembre; gennaio.. Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, testi o appunti, con l eccezione dei libri di testo consigliati.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile insieme a questo foglio. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Al variare del parametro reale x, studiare la convergenza delle due serie log 1 + ) n x n ; log 1 + ) x 1) n n 5 n + n.. Calcolare gli integrali indefiniti: x arcsen x dx, arcsen x 1 dx.. Si determini l ordine di infinitesimo, per x 0, delle seguenti funzioni: fx) = 1 ch x + x 4 x + x, 6 punti) gx) = 1 ch x + αx 4 x α + x, al variare di α > Studiare la funzione fx) = senx) + 1, e in particolare: dominio, eventuali periodicità e simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. 9 punti) 5. Calcolare l estremo inferiore e l estremo superiore delle seguenti successioni: a n = arctg1 n ), b n = arctg [ 1) n 1 n ) ], c n = arctg 1 n π.

3 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del Al variare del parametro reale x, studiare la convergenza delle due serie log 1 + ) n x n ; log 1 + ) x 1) n n 5 n + n.. Calcolare gli integrali indefiniti: x arcsen x dx, arcsen x 1 dx. Prima serie: Studiamo prima il caso x > 0 il caso x = 0 è banale); in questo caso la serie è a termini positivi. Inoltre, poiché log 1 + ) per n, basta studiare la n n Integrando per parti si ha x arcsen x dx = 1 x arcsen x x ) dx. 1 x convergenza della serie x n n. Applichiamo il criterio del rapporto anche quello della radice va benissimo); si ha x n+1 lim n n + 1 n x n = x. Quindi la serie converge per 0 < x < 1, diverge per x > 1 anzi, in quest ultimo caso i termini della serie tendono a + ; ciò sarà utile in seguito). Per x = 1, la serie ha lo stesso carattere della serie armonica, che diverge. Per 1 < x < 0, la serie log 1 + ) x n converge, come n abbiamo visto; quindi criterio della convergenza assoluta) la serie converge. Per x < 1, si ha log 1 + ) x n +, quindi la serie non può convergere. Infine per x = 1 la serie n diventa 1) n log 1 + n ). Poiché log 1 + n ) è una successione decrescente e infinitesima, la serie converge per il criterio di Leibniz. In definitiva la serie converge per 1 x < 1. Seconda serie: Conviene porre x 1 = t, e studiare la serie log 1 + ) n t n 5 n + n. Anche qui studiamo prima il caso t > 0. Per il criterio del t n confronto asintotico, la serie ha lo stesso carattere di n5 n. Procedendo esattamente come prima, si vede che questa serie converge per 0 < t < 5, diverge per t 5. Per 5 < t < 0 la nostra serie converge, perché converge assolutamente. Per t < 5 la serie non converge, perché a termini non infinitesimi. L unico caso delicato è t = 5. In questo caso la serie diventa 1) n log 1 + ) 5 n n 5 n. La successione + n log 1 + ) 5 n n 5 n è evidentemente infinitesima, e per + n vedere che è definitivamente decrescente basta controllare il segno della derivata di fx) = log 1 + ) 5 x x 5 x + x per x grande. Quindi la serie converge per il criterio di Leibniz. In definitiva la serie converge per 5 t < 5, cioè per 4 x < 6. Vediamo l ultimo integrale: ponendo x = t, da cui x dx = dt, si ottiene x dx = 1 t dt, 1 x 1 t da cui, con la sostituzione 1 t = s da cui t = 1 s, dt = s ds), x dx = s 1) ds = s 1 x s + c. In definitiva x arcsen x dx = 1 = 1 9 x arcsen x + 1 x 1 1 x ) ) / x arcsen x + x + ) ) 1 x. In alternativa si poteva porre x = sen t, con π < t < π, da cui 1 x = cos t, dx = cos t dt, e quindi x dx = sen t dt = sen t dt cos t sen t dt 1 x = cos t + cos t + c, dove cos t = 1 x. Per il secondo integrale, con la sostituzione x 1 = t da cui x = t + 1, dx = t dt), si ottiene arcsen x 1 dx = t arcsen t dt = [per quanto visto prima] = 1 t arcsen t + t + ) ) 1 t 6 = 1 6x ) arcsen x x 1) / + ) ) 1 x 1) /.. Si determini l ordine di infinitesimo, per x 0, delle seguenti funzioni: fx) = 1 ch x + x 4 x + x,

4 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del a) Si ha quindi Pertanto gx) = 1 ch x + αx 4 x α + x, al variare di α > 0. ch t = 1 + t + ot ) per t 0, ch x = 1 + x4 + ox6 ) per x 0. 1 ch x + x 4 = x4 + ox6 ) x4. Poiché x + x x per x 0, si ha fx) x4 x = x. Quindi f è un infinitesimo di ordine. Questa parte poteva essere svolta usando i limiti notevoli al posto della formula di Taylor. b) Ragionando allo stesso modo si ottiene 1 ch x + x 4 α 1 ) x 4, purché α 1/. Inoltre si ha x se α > 1 x α + x x se α = 1 x α se 0 < α < 1. Pertanto: se α 1, gx) è un infinitesimo di ordine ; se 0 < α < 1, con α 1/, gx) è un infinitesimo di ordine 4 α; Dominio: tutto R. Osserviamo che fx) è una funzione periodica di periodo π; non è né pari né dispari; la studiamo in [0, π]. Continuità: La funzione è continua nel suo dominio, in quanto ottenuta per prodotto e composizione di funzioni continue. Derivabilità: per lo stesso motivo, tenuto conto che la radice cubica non è derivabile nell origine, f è derivabile in tutti i punti in cui il radicando è diverso da zero, cioè in tutti i punti diversi da 7π 1 e 11π, e si ha 1 f x) = cos x ) sen x + 1 /. Esaminiamo la derivabilità in 7π 1 e 11π. Si ha 1 lim f x) =, x 7π 1 lim f x) = +, x 11π 1 quindi si tratta di punti di non derivabilità flessi a tangente verticale, rispettivamente discendente e ascendente). Crescenza e decrescenza: Si ha f x) = 0 per x = π 4 e x = π 4 ; f x) > 0 per 0 x < π 4 e π 11π < x π, con x 4 1 ; f x) < 0 per π 4 < x < π 7π, con x 4 1. Pertanto [ f è strettamente crescente in 0, π ] [ ] π e in 4 4, π ; [ π f è strettamente decrescente in 4, π ] ; 4 x = π 4 è punto di massimo assoluto; se α = 1/, i termini di ordine 4 nel numeratore si annullano, e bisogna scrivere il successivo termine dello sviluppo di Taylor: da cui ch x = 1 + x4 + x8 4 + ox10 ) per x 0, gx) x8 4x α = x15/ 4, e gx) è un infinitesimo di ordine Studiare la funzione fx) = senx) + 1, e in particolare: dominio, eventuali periodicità e simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. x = π 4 è punto di minimo assoluto. Derivata seconda, concavità e convessità: Per x 7π 1, x 11π si ha 1 f x) = = 9 = 9 sen xsen x + 1 )/ 4 cos xsen x + 1 ) 1/ sen x + 1 )4/ 6 sen x + sen x + 4 cos x sen x + 1 )5/ sen x + sen x + 4 sen x + 1 )5/, ed è facile vedere che il numeratore della frazione è sempre positivo. Quindi f non si annulla mai e ha il segno opposto rispetto al denominatore. Pertanto f x) > 0 f x) < 0 per 7π 1 < x < 11π 1 ; per 0 x < 7π 1 e 11π 1 < x π.

5 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del f è convessa in [ 7π 1, 11π ] ; 1 f è concava in ciascuno degli intervalli [ ] 11π 1, π ; i punti x = 7π 1 e x = 11π 1 Il grafico qualitativo di f è il seguente: y sono punti di flesso. [ 0, 7π ] 1 e Per n < π, questa frazione è negativa e decrescente. Il suo 1 valore minimo è. Per n > π, la frazione è positiva e 9 π 1 decrescente. Il suo valore massimo è 10 π. Quindi 1 max c n = arctg 10 π = π arctg10 π), 1 min c n = arctg 9 π = π + arctgπ 9). c A.Dall Aglio Questo documento è disponibile sul sito internet aglio/am-aero/ 0 π 4 7π 1 π 4 11π 1 π x 5. Calcolare l estremo inferiore e l estremo superiore delle seguenti successioni: a n = arctg1 n ), b n = arctg [ 1) n 1 n ) ], c n = arctg 1 n π. La successione {a n } è decrescente, quindi max a n = a 0 = arctg 1 = π 4, inf a n = lim n a n = π. Non essendo specificato se gli indici della successione partano da n = 0 oppure da n = 1, anche la risposta max a n = a 1 = 0 è corretta. La successione {b n } verifica π < b n < π n N. Poiché si ha lim b n = π n, lim b n+1 = π n, sup b n = π, inf b n = π. Per quanto riguarda c n, poiché l arcotangente è una funzione crescente, il problema si riduce a trovare gli estremi inferiore 1 e superiore di n π.

6 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 1/1/005) Cognome e nome Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, testi o appunti, con l eccezione dei libri di testo consigliati.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile insieme a questo foglio. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Studiare la convergenza delle serie α R). ) 1 + n n 1 + α ; 8n + n n). Calcolare gli integrali definiti: 1 0 x 4 x dx, 1 1 x + x) x ) dx.. Calcolare i seguenti limiti: α R) t log ) 1 + t lim, lim t + t + 1 t + tα log 1 + t ) sen 1t ) 4. Studiare la funzione fx) = x 1 + log x, e in particolare: dominio, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti, asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. 9 punti) 5. Data la funzione di due variabili fx, y) = 4xy x y, determinarne i punti critici e classificarli. Inoltre trovare massimo e minimo assoluti nel quadrato di vertici 0, 0), 1, 0), 1, 1) e 0, 1). 6 punti)

7 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 1/1/005) Cognome e nome Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, testi o appunti, con l eccezione dei libri di testo consigliati.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile insieme a questo foglio. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Studiare la convergenza delle serie ) 1 + n+1 1 ; n 1 7n + n n ) α α R).. Calcolare gli integrali definiti: 1 0 x x 9 dx, 1 1 x x )x + ) dx.. Calcolare i seguenti limiti: α R). lim t + t6 + 1 cos t 1) t, lim cos t ) t + tα 1 + sen 1t ) 4. Studiare la funzione fx) = x + 1 log x , e in particolare: dominio, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti, asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. 9 punti) 5. Data la funzione di due variabili fx, y) = 9x y + x y, determinarne i punti critici e classificarli. Inoltre trovare massimo e minimo assoluti nel quadrato di vertici 0, 0), 1, 0), 1, 1) e 0, 1). 6 punti)

8 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del Studiare la convergenza delle serie ) 1 + n n 1 + α ; 8n + n n) α R). Osserviamo preliminarmente che le due serie sono a termini positivi. Prima serie: Poiché si ha 1 + t) β 1 lim = β, t 0 t 1 + n 1 = 1 + ) 1/ n 1 1 n = 1 n per n +. Ne segue che ) 1 + n n n 1 n = 1 n, / e la serie converge per il confronto asintotico con la serie armonica generalizzata di esponente / > 1. Seconda serie: Si ha e, come prima, Quindi 8n + n n = n 1 + 8n 1 1 8n n 1 ) α α n 8n + n n) 8n = 1 4 α n α. Per il criterio del confronto asintotico, la serie ha lo stesso carattere della serie n 1 n, che converge se α > 1 e diverge α altrimenti.. Calcolare gli integrali definiti: 1 0 x 4 x dx, 1 1 ) x + x) x ) dx. Primo integrale: Si tratta di un integrale di una funzione razionale fratta, che si risolve per scomposizione in fratti semplici: 1 0 x 4 x dx = = ) 4 x dx x + 1 ) dx x [ ] = 1 + log + x 1 x = 1 + log. 0, Secondo integrale: Ricordando la definizione di valore assoluto, 1 1 x 0 + x) x ) dx = 1 x 1 + x) dx + 0 x 4 x dx. Il secondo integrale l abbiamo già calcolato al passo precedente. Per il primo si ha: = x 1 4 x x) ) + x) dx = x x) Pertanto 0 1 x + x) dx = ) dx dx = x 4 log +x 4 + x +c. [ x 4 log + x 4 ] 0 = 4 log. + x 1 Quindi l integrale richiesto vale 4 log +log = +log 16.. Calcolare i seguenti limiti: t log ) 1 + t lim, lim t + t + 1 t + tα log 1 + t ) sen 1t ) α R) log1 + x) Primo limite: Poiché lim = 1, si ha x 0 x log 1 + t ) t per t +. D altra parte è immediato constatare che t + 1 t per t +. Quindi t log ) 1 + t lim = lim t + t + 1 t + t t t =. Secondo limite: Poiché log 1 + t ) t e sen 1 t t, i due termini si annullerebbero, quindi occorre considerare i termini di ordine superiore. Per la formula di MacLaurin si ha: log1 + x) = x x + ox ) per x 0, sen x = x x 6 + ox4 ) per x 0, e quindi, per t +, log 1 + t ) sen 1 t = t 9 1 t 4 + o t 4 ) t + 1 = 9 t 4 + o 1 t 6 + o t ) 8 1 t 4 ) 9 t 4.

9 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del Ne segue che il limite cercato vale se α > 4 lim t + ) 9tα t 4 = 9 se α = 4 f x) > 0 per x, + 1 ) e + 1e, ) ; 1, 1 ) e f x) < 0 per x, 1), + ). 1e, ) 0 se α < 4 Ne segue che: 4. Studiare la funzione fx) = x 1 + log x, e in particolare: dominio, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti, asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. Dominio: Occorre che log x { sia definito e diverso da 1. Quindi il dominio è R \ 1 e,, + 1 }. e Anche se non era richiesto lo studio del segno, può essere utile la constatazione immediata che fx) non si annulla mai, è positiva in, 1 ), + 1 ), negativa altrove. e e Continuità e derivabilità: La funzione è continua nel suo dominio, in quanto ottenuta per rapporto/composizione di funzioni continue. Inoltre è anche derivabile nel suo dominio il punto in cui si annulla il valore assoluto è escluso dal dominio). Limiti: lim fx) =, x ± lim fx) = 0 x quindi x = è un punto di discontinuità eliminabile), lim x + 1 e) ± fx) =, lim fx) = x 1 ± e) f[ è strettamente crescente in ciascuno degli intervalli 1, 1 ), 1e ) e,,, + 1 ), + 1e ] e, f è strettamente decrescente in ciascuno degli intervalli, 1], [, + ); i punti x = 1 e x = sono rispettivamente di minimo e di massimo relativo. Inoltre si osservi che lim x f x) = 0, quindi se si estendesse f ponendo f) = 0, si otterrebbe una funzione non solo continua, ma derivabile in x =, con derivata nulla. Derivata seconda, concavità e convessità: Si ha: Quindi f x) = f x) = 0 per x = ± e; f x) > 0 per x + e, + ); log x 1 x )1 + log x ). e, 1 ), + 1 ) e e f x) < 0 per x, e) 1e ), + 1e ), + e. Pertanto: quindi le rette x = ± 1 e Asintoti obliqui: sono asintoti verticali). f[ è convessa in ciascuno degli intervalli e, 1 ),, + 1 ), [ + e, + ); e e fx) lim x ± x = 0, quindi non ci sono asintoti obliqui. Derivata prima, crescenza e decrescenza: Ricordando che Dlog t ) = 1 t, si ottiene facilmente Quindi f log x x) = 1 + log x ). f è concava in ciascuno degli intervalli, e], 1e ),, + 1e ], + e ; i punti x = ± e sono punti di flesso. Il grafico qualitativo di f è il seguente la curvatura per x > e è stata accentuata rispetto al reale grafico): f x) = 0 per x = 1 oppure x = ;

10 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del y e e x Un eventuale punto di massimo sui lati ma distinto dai vertici) dovrebbe essere punto critico di queste funzioni interno al relativo intervallo. Solo ϕ ammette un punto critico interno y = 8. Inoltre vanno considerati i vertici del quadrato. Pertanto massimo e minimo assoluti di f sono da ricercare tra i seguenti sei valori: f 4, 1 ) =, f 1, ) 8 = 5 16, f 0, 0) = 0, f 1, 0) = 1, f 0, 1) =, f 1, 1) = 0. Quindi il massimo assoluto vale 0, il minimo vale. E utile notare che lo studio avrebbe potuto essere notevolmente semplificato ponendo x = t e studiando la funzione t gt) = ft + ) = 1 + log t, c A.Dall Aglio Questo documento è disponibile sul sito internet aglio/am-aero/ che è una funzione dispari e può pertanto essere studiata solo per t > 0. Il grafico di f si riottiene spostando di due unità verso destra il grafico di g. 5. Data la funzione di due variabili fx, y) = 4xy x y, determinarne i punti critici e classificarli. Inoltre trovare massimo e minimo assoluti nel quadrato di vertici 0, 0), 1, 0), 1, 1) e 0, 1). Calcolo le derivate parziali: f x x, y) = 4y 1, f y x, y) = 8xy. I punti critici sono quelli in cui si annullano entrambe le derivate, cioè i due punti 4, 1 ), ) 4, 1. Per classificarli, studiamo l hessiano. Si ha: f xx x, y) = 0, f xy x, y) = 8y, f yy x, y) = 8x. Pertanto Hx, y) = f xx f yy fxy < 0 in entrambi i punti critici, che risultano quindi punti di sella. Per rispondere alla seconda domanda, osserviamo che f è continua e quindi, per il teorema di Weierstrass, ammette sicuramente massimo e minimo assoluti sul quadrato chiuso. Tali estremi possono essere assunti solo sull unico punto critico interno 4, 1 ) oppure sulla frontiera. La frontiera è costituita da quattro segmenti, su cui la funzione vale rispettivamente ϕ 1 x) = fx, 0) = x, x [0, 1] ; ϕ y) = f1, y) = 4y y 1, y [0, 1] ; ϕ x) = fx, 1) = x, x [0, 1] ; ϕ 4 y) = f0, y) = y, y [0, 1].

11 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 6/4/005) Cognome e nome Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, testi o appunti, con l eccezione dei libri di testo consigliati.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Studiare la convergenza delle serie 1) n sen 1 n + 5 ; + n!) x n n)! x R).. Calcolare gli integrali: arctg x dx, senx) + sen x cos x + 4 cos x dx.. Calcolare i seguenti limiti: lim n + n4 + n n 4 7n n ln1 + e x ), lim x + x, lim x + x8 ln1 + e x ). 4. Studiare la funzione fx) = x 1)ln x 1 ), e in particolare: dominio, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti, asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. 9 punti) 5. Calcolare gli sviluppi di MacLaurin fino al 10 0 grado delle funzioni 6 punti) fx) = ln cos x ), gx) = ln cos x ) 1 + sen x.

12 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 6/4/005) Cognome e nome Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, testi o appunti, con l eccezione dei libri di testo consigliati.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Studiare la convergenza delle serie 1) n tg 1 n + 4 ; + n + 1)!y n n!) y R).. Calcolare gli integrali: arctg x dx, senx) cos x sen x + 9 sen x dx.. Calcolare i seguenti limiti: lim n + n4 + n n 4 n n, lim x + x10 ln1 + e x ), ln1 + e x ) lim x + x. 4. Studiare la funzione fx) = ln x ) x), e in particolare: dominio, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti, asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. 9 punti) 5. Calcolare gli sviluppi di MacLaurin fino all 8 0 grado delle funzioni 6 punti) fx) = ln e x ), gx) = ln ex ) 1 sen x.

13 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del Studiare la convergenza delle serie y R). 1) n tg Prima serie: Poiché 1 n + 4 ; 0 < + 1 n + 4 < 1, n + 1)! y n n!) la tangente è positiva, quindi la serie è a termini di segno alterno. Si ha evidentemente lim tg 1 n n + 4 = 0. 1 Inoltre tg n è una successione decrescente; infatti la tangente è crescente nel primo quadrante, quindi la successione è +4 1 decrescente se e solo se n è decrescente, e questo è ovvio. +4 Pertanto si può applicare il criterio di Leibniz e concludere che la serie converge. Si osservi che la serie non converge assolutamente, dal momento che tg 1 n n n. Seconda serie: Per y = 0 la serie converge banalmente. Per y 0 si tratta di una serie a termini positivi. Applichiamo il criterio del rapporto: posto Primo integrale: Integrando per parti, si ha arctg x dx = x arctg x + = x arctg x + dx + 4) x + 4 Secondo integrale: x x + 4 dx = = x arctg x + lnx + 4) + c. senx) cos x sen x + 9 sen x dx = sen x 1 sen x + 9 sen cos x dx = x [ ] t 1 sost. sen x = t, cos x dx = dt = t 1 + 9t ) dt = [ ] = scomponendo in fratti semplici A t + 18Bt 1 + 9t + C ) 1 + 9t dt = = A ln t + B ln1 + 9t ) + C arctgt) + c. Poiché si trova subito A = 1, B = 1, C =, si ottiene: senx) cos x sen x + 9 sen x dx = ln sen x + 1 ln1 + 9 sen x) + arctg sen x) + c. si ha a n+1 a n = a n = n + )! yn+ n + 1)!) = n + 1)! yn n!), n!) n + 1)! y n = n + )n + ) n + 1) y = n + ) n + 1 y 4y.. Calcolare i seguenti limiti: n4 + n n 4 n lim n + n ln1 + e x ) lim x + x., lim x + x10 ln1 + e x ), Quindi se 4y < 1, cioè se 1 < y < 1, la serie converge. Se 4y > 1, cioè se y < 1 oppure y > 1, la serie diverge. Infine, per y = ± 1, si ha a n+1 1, e il criterio del rapporto non fornisce conclusioni. Tuttavia si osservi che a n a n+1 a n = n + n + > 1, quindi a n è crescente e non può convergere a zero, quindi la serie diverge. In definitiva, la serie converge se e solo se 1 < y < 1. Primo limite: A numeratore c è una forma indeterminata del tipo +. Conviene razionalizzare: n4 + n n 4 n n n4 + n = n 4 n n4 + n + n 4 n n n4 + n + n 4 n = = n4 + n ) n 4 n ) n4 n + n + ) = n 4 n 5n = n 1 + n + 1 ) 5. n. Calcolare gli integrali: arctg x dx, senx) cos x sen x + 9 sen x dx. Secondo limite: Poiché e x 0, si può sfruttare il limite notevole ln1 + t) lim = 1, t 0 t

14 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del ottenendo lim x + x10 ln1+e x ) = lim x + x10 e x = lim [ ] ponendo x = t x + x 10 e x = t 10/ = lim t + e t = 0, dal momento che per t + l esponenziale e t va all infinito più rapidamente di qualunque potenza del suo argomento. Terzo limite: Non si può ragionare come prima perché e x +. Tuttavia ln1 + e x ) = ln [ e x + e x ) ] = Pertanto = ln e x + ln + e x ) = x + ln + e x ). ln1 + e x ) lim x + x = lim 1 + ln + ) ) e x x + x 4. Studiare la funzione fx) = ln x ) x), = 1. e in particolare: dominio, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti, asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. Dominio: Occorre che log x sia definito. Quindi il dominio è R \ {}. Anche se non era richiesto lo studio del segno, può essere utile la constatazione immediata che fx) si annulla solo per x = e, cioè per x = ± e, mentre negli altri punti è positiva per x <, negativa per x >. Continuità e derivabilità: La funzione è continua nel suo dominio, in quanto ottenuta per rapporto/composizione di funzioni continue. Inoltre è anche derivabile nel suo dominio il punto in cui si annulla il valore assoluto è escluso dal dominio). Limiti: lim fx) =, x ± lim fx) = 0. x Infatti per t 0 si ha tln t ) n 0 per ogni n N; quindi lim ln x x ) x) = limln t ) t = t 0 = lim t 0 [ tln t ) 4t ln t + 4t ] = 0. Ne segue che x = è un punto di discontinuità eliminabile, cioè se si definisse f) = 0 si otterrebbe una funzione continua su tutto R. Asintoti: Non ci sono asintoti orizzontali né verticali, e neanche obliqui, dal momento che fx) lim x ± x =. Derivata prima, crescenza e decrescenza: Ricordando che Dln t ) = 1 t, per x si ottiene facilmente f x) = ln x ) ln x ) + x) = x = ln x ) ln x. Quindi f x) = 0 per x = 1 e per x = e, cioè per x = 1, x = e x = ± e ; f x) > 0 per 0 < ln x <, cioè per x e, 1 ), + e ) ; f x) < 0 per x, e ) 1, ), ) + e, + ). Ne segue che: f è strettamente crescente in ciascuno degli intervalli [ e, 1 ], [, + e ] ; f è strettamente decrescente in ciascuno degli intervalli, e ], [1, ),, ], [ + e, + ) ; i punti x = e e x = sono punti di minimo relativo; i punti x = 1 e x = +e sono punti di massimo relativo. Infine si osservi che lim f x) =, x quindi se si estendesse f ponendo f) = 0 si otterrebbe un flesso a tangente verticale in x =. Derivata seconda, concavità e convessità: Si ha: Quindi f x) = f x) = 0 per x = ± e; 1 ln x ) x f x) > 0 per x, e), + e); f x) < 0 per x e, ) + e, + ). Pertanto: f è convessa in ciascuno degli intervalli, e],, + e]; f è concava in ciascuno degli intervalli [ e, ), [ + e, + ); i punti x = ± e sono punti di flesso. Il grafico qualitativo di f è riportato in ultima pagina. E utile notare che lo studio avrebbe potuto essere notevolmente semplificato ponendo x = t e studiando la funzione gt) = ft + ) = ln t ) t, che è una funzione dispari e può pertanto essere studiata solo per t > 0. Il grafico di f si riottiene spostando di due unità verso destra il grafico di g..

15 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del Calcolare gli sviluppi di MacLaurin fino all 8 0 grado delle funzioni fx) = ln e x ), gx) = ln ex ) 1 sen x. Prima funzione: Si ha Quindi e t = 1 + t + t + t 6 + ot ) per t 0. e x = 1 + x + x6 + ox8 ) per x 0, e x = 1 x x 6 + ox 8 ) per x 0. D altra parte ln1 + t) = t t + t + ot ) per t 0; utilizzando quest ultima formula con t = x x 6 +ox 8 ) 0, e ricordando le proprietà degli o piccoli, otteniamo fx) = ln 1 + x x 6 + ox 8 )) ) = = x x 6 + ox 8 ) ) 1 x x 6 + ox 8 ) ) + } {{} = x 6 +ox 8 ) + 1 x x 6 + ox 8 ) ) + o x x 6 + ox 8 ) ) ) = } {{}}{{} =ox 8 ) =ox 8 ) = x x 6 + ox 8 ). Ricordando che 1 1 t = 1 + t + t + t + ot ) per t 0, e prendendo in quest ultima formula t = x + ox 5 ) 0 si ottiene hx) = Pertanto 1 1 x + ox 5 ) ) = = 1 + x + ox 5 ) ) + x + ox 5 ) ) + }{{} =4x 4 +ox 5 ) + x + ox 5 ) ) x + o + ox 5 ) ) ) = }{{}}{{} =ox 5 ) =ox 5 ) = 1 + x + 4x 4 + ox 5 ). gx) = fx)hx) = ) = x x 6 + ox 8 ) ) 1 + x + 4x 4 + ox 5 ) = = x 4x 5 x 6 8x 7 6x 8 + ox 8 ). Dunque il polinomio cercato è P 8 x; g) = x 4x 5 x 6 8x 7 6x 8. Poiché il polinomio P 8 x; f) di Mac Laurin di grado 8 è l unico tra i polinomi px) di grado 8 tale che se ne deduce che fx) = px) + ox 8 ) per x 0, P 8 x; f) = x x 6. Seconda funzione: Dobbiamo cercare lo sviluppo di MacLaurin di 1 hx) = 1 sen x e moltiplicarlo per quello ottenuto per f. Poiché lo sviluppo di f inizia con un termine di grado, basterà sviluppare hx) fino all ordine 5. Si ha: Quindi sen t = t t 6 + ot4 ) per t 0. sen x = x x6 + ox8 ) = x + ox 5 ) per x 0.

16 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del y e e e + e x Fig. 1: Grafico di fx) Esercizio n.4). c A.Dall Aglio Questo documento è disponibile sul sito internet aglio/am-aero/

17 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 0/9/005) Cognome e nome Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, testi o appunti, con l eccezione dei libri di testo consigliati.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Studiare la convergenza delle serie α R). tg n 1 ) ; n 1) n tg n 1 ) ; n tg n α ) n. Calcolare l integrale indefinito 6 punti) x x dx 1 + x.. Trovare l ordine dei seguenti infiniti, per x 0 + : fx) = log1 + x) 1 cos x, gx) = x + x tg x + sen 6 x, hx) = 1 e x cos x. 4. Studiare la funzione fx) = e x x + ) 1/, e in particolare: dominio, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti, asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. 9 punti) 5. Data la funzione di due variabili fx, y) = x + x + y) y x), determinarne i punti critici e classificarli. Successivamente trovare massimo e minimo assoluti nel triangolo di vertici 0, 0), 8, 0), 0, 8).

18 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 0/9/005) Cognome e nome Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, testi o appunti, con l eccezione dei libri di testo consigliati.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Studiare la convergenza delle serie n log )) ; n α R). 1) n n log )) ; n α n log )) n. Calcolare l integrale indefinito 6 punti) x x dx x Trovare l ordine dei seguenti infiniti, per x 0 + : fx) = x + x 4 1 cos x tg, gx) = x + sen x log1 + x 4 ), hx) = 1 e x 1 + x. 4. Studiare la funzione fx) = e x x 1) /, e in particolare: dominio, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti, asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. 9 punti) 5. Data la funzione di due variabili fx, y) = x + y) x y) + x, determinarne i punti critici e classificarli. Successivamente trovare massimo e minimo assoluti nel triangolo di vertici 0, 0), 4, 0), 0, ).

19 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 16/1/005) Cognome e nome Se ammesso, desidererei sostenere la prova teorica: 0 1 dicembre; dicembre; 9 10 gennaio; gennaio. Note Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, appunti. E consentito l uso di libri di testo.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile insieme a questo foglio. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Al variare del parametro reale α, studiare la convergenza delle due serie n α + 5)n 1) 5n n + 4 ; + ln + n ) ln n n + ) α.. Calcolare l integrale 1 fx) dx, dove fx) è la funzione definita al successivo esercizio n. 4. Decidere inoltre se l integrale è convergente. 8 punti) +. Ordinare i seguenti infiniti, per x + : 4. Studiare la funzione x fx) ) dx, fx) = lnx + e x ), gx) = x + 5, 1 hx) = x ln1 + x ), kx) = x 5 x ch 1 x sin 1 ). x fx) = + x 4, e in particolare: dominio, eventuali periodicità e simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. 8 punti) 5. Risolvere ciascuna delle seguenti equazioni nei numeri complessi: z) z + Imz) = i, z i) = 8i, dove Imz) indica la parte immaginaria di z. 6 punti)

20 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 16/1/005) Cognome e nome Se ammesso, desidererei sostenere la prova teorica: 0 1 dicembre; dicembre; 9 10 gennaio; gennaio. Note Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, appunti. E consentito l uso di libri di testo.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile insieme a questo foglio. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Al variare del parametro reale α, studiare la convergenza delle due serie n α )n 1) n n + 1 ; + ln + n ) ln n n + ) α.. Calcolare l integrale 4 fx) dx, dove fx) è la funzione definita al successivo esercizio n. 4. Decidere inoltre se l integrale è convergente. 8 punti) + x fx) ) dx,. Ordinare i seguenti infiniti, per x + : fx) = + x, gx) = x 5 sh 1 x 1 x cos 1 ) x, hx) = lnx + e x ), kx) = x + 1 ln1 + x). 4. Studiare la funzione fx) = 8 + x 9, e in particolare: dominio, eventuali periodicità e simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. 8 punti) 5. Risolvere ciascuna delle seguenti equazioni nei numeri complessi: z) + Imz) = z + i 1, z + i) = 8i, dove Imz) indica la parte immaginaria di z. 6 punti)

21 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 11/1/006) Cognome e nome Se ammesso, desidererei sostenere la prova teorica: gennaio; 19 0 gennaio; 4 gennaio. Note Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, appunti. E consentito l uso di libri di testo.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile insieme a questo foglio. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Studiare la funzione 0x fx) = ln x +, e in particolare: dominio, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi ed eventuali asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. Infine, utilizzando quando fatto per fx), disegnare schematicamente il grafico di gx) = ln 0x x +. 8 punti). Calcolare gli integrali 1 fx) dx, 1 0 fx) dx, dove fx) è la funzione definita al precedente esercizio n. 1.. Ordinare i seguenti infinitesimi, per x 0 + : fx) = x ln x, gx) = x sen x + x6 x, hx) = 1 + x 1 + x, kx) = x + x ln x. 4. Al variare del parametro x, studiare la convergenza delle due serie ch x n cos ) ; ln x) n n + n). n 5. Data la funzione fx, y) = x + y 1 x), a) calcolarne i punti critici; b) classificarli; c) trovare il piano tangente al suo grafico nel punto 1, 1, ); d) calcolare, se esistono, le derivate parziali nell origine.

22 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 11/1/006) Cognome e nome Se ammesso, desidererei sostenere la prova teorica: gennaio; 19 0 gennaio; 4 gennaio. Note Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, appunti. E consentito l uso di libri di testo.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile insieme a questo foglio. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Studiare la funzione fx) = ln x + 1, 8x e in particolare: dominio, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi ed eventuali asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. Infine, utilizzando quando fatto per fx), disegnare schematicamente il grafico di gx) = ln x + 1 8x. 8 punti). Calcolare gli integrali 1 fx) dx, 1 0 fx) dx, dove fx) è la funzione definita al precedente esercizio n. 1.. Ordinare i seguenti infinitesimi, per x 0 + : fx) = x ln x, x gx) = ln x + x, hx) = ln1 + x ) x + x 6 x, kx) = 1 x 1 x. 4. Al variare del parametro x, studiare la convergenza delle due serie e x n cos ) ln x) n ; n n + n Data la funzione fx, y) = 1 y) 4 x + y, a) calcolarne i punti critici; b) classificarli; c) trovare il piano tangente al suo grafico nel punto 1, 1, 4 ); d) calcolare, se esistono, le derivate parziali nell origine.

23 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del Studiare la funzione fx) = ln 0x x +, e in particolare: dominio, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi ed eventuali asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. Infine, utilizzando quando fatto per fx), disegnare schematicamente il grafico di gx) = ln 0x x +. Dominio: L argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi il dominio è la semiretta 0, + ). Continuità e derivabilità: La funzione è derivabile, quindi continua, nel suo dominio, in quanto ottenuta per rapporto/composizione di funzioni derivabili. Segno: questo non era richiesto, ma è utile ai fini del grafico di gx) da fare successivamente. Si ha: fx) = 0 0x x + = 1 x 0x + = 0 x = 10 ± 94 Posto x 1 = 10 94, x = , f risulta positiva in x 1, x ), negativa in 0, x 1 ) x, + ). Limiti: lim fx) = lim ln t = : x 0 + t 0 + l asse delle y è un asintoto verticale destro) per f. lim fx) = x + lim ln 0 x + x + x Asintoto obliquo: osservato che +, si ha: 0x fx) ln lim x + x = lim x + x + x ) = lim ln t =. 1) t 0 + 0x x + 10 x = lim x + = lim x + ln 1 x + x ln x x ; per x { ln 10 }} { ln 0 + x = 0 + in alternativa si può usare il teorema di De L Hôpital). Questo, insieme a 1), mostra che f non ammette asintoto obliquo per x +. Derivata prima, crescenza e decrescenza: E più semplice scrivere la f nella forma Si ha da cui fx) = ln 0 + ln x lnx + ). f x) = 1 x 4x x + = x x x + ), f x) = 0 per x = 1, 5; f x) > 0 per 0 < x < ; f x) < 0 per < x < +. Ne segue che: ] f è strettamente crescente in 0, ; [ ) f è strettamente decrescente in, + ; il punto x = è un punto di massimo assoluto. Derivata seconda, concavità e convessità: f x) = 4x x + x) x ) 6x + ) x + x) = 4x4 4x 9 x + x). Quindi f x) = 0 per 4x 4 4x 9 = 0, cioè per x =, 51; f x) > 0 per x > ; f x) < 0 per 0 < x < Pertanto, posto x = : f è convessa in [x, + ); f è concava in 0, x ]; il punto x = x è un punto di flesso. Il grafico qualitativo di f è riportato in ultima pagina. Il grafico di gx) = fx) è ottenuto ribaltando il grafico di fx) rispetto all asse x nella zona dove f è negativa, e quindi ha la forma indicata nel grafico in ultima pagina.. Calcolare gli integrali 1 fx) dx, 1 0 fx) dx, dove fx) è la funzione definita al precedente esercizio n. 1. Calcoliamo prima l integrale indefinito: fx) dx = ln0x) dx lnx + ) dx.

24 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del I due integrali si calcolano per parti: x ln0x) dx = x ln0x) x dx = x ln0x) 1 ) +c ; lnx + ) dx = x lnx 4x + ) x + dx 4x = x lnx + 6) 6 + ) x dx + = x lnx dx + ) dx + 6 x + = x lnx dx + ) x + ) x + 1 = x lnx + ) x + ) 6 arctg x + c. Quindi fx) dx = x ln 0x x + + x ) 6 arctg x + c. Il primo dei due integrali definiti vale pertanto: 1 fx) dx = [ x ln = ln x x + + x 6 arctg arctg Il secondo integrale è improprio perché Quindi 1 1 fx) dx = lim fx) dx 0 t 0 + t = ln ) 6 arctg + lim t ln t 0 + dove si è tenuto conto che t ln )] x ) arctg 6 0t t + + t 6 arctg = ln arctg 0t 0 t = t ln t + t ln + + t 1 ). lim fx) =. x 0 + t )) t ), Analisi di fx): Tenuto conto che, per x 0 +, ln x tende a, ma più lentamente di qualunque potenza negativa di x, si ottiene che fx) è un infinitesimo di ordine inferiore a, ma di ordine superiore rispetto ad ogni numero minore di. Analisi di gx): e quindi che si ottiene che Osservato che sen x = x x 6 + ox4 ) per x 0, x sen x + x 6 = x 6 + ox4 ), gx) = x 6 + ox4 ) x x5/ 6, quindi gx) è un infinitesimo di ordine 5. Analisi di hx): si ottiene Usando lo sviluppo 1 + t) α = 1 + αt + ot) per t 0, hx) = 1 + x ) 1/ 1 + x ) 1/ = 1 + x + ox ) 1 + x + ox ) ) = x 6 + ox ), e quindi hx) è un infinitesimo di ordine. Analisi di kx): Poiché kx) = x 1 + x ln x ). lim x ln x = 0, x 0 + ne segue che kx) x, quindi è un infinitesimo di ordine 1. Quindi le quattro funzioni sono così ordinate in ordine crescente: kx), fx), hx), gx). 4. Al variare del parametro x, studiare la convergenza delle due serie ch x n cos ) ; ln x) n n + n). n. Ordinare i seguenti infinitesimi, per x 0 + : fx) = x ln x, gx) = x sen x + x6 x, hx) = 1 + x 1 + x, kx) = x + x ln x. Prima serie: La serie è a termini positivi. Per x 0, sfruttando gli sviluppi di MacLaurin del coseno e del coseno iperbolico, si ha: ch x ) n = 1 + x 1 n + o n, per n +, cos n = 1 ) 1 n + o n, per n +,

25 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del quindi ch x n cos n = x + n ) 1 + o n x + n. Pertanto si può confrontare la serie con la serie armonica generalizzata, che converge. 1 n Per x = 0, si ha ch x n cos n = 1 cos n = n + o 1 n ) n, e la serie converge. In definitiva la serie converge per ogni x R. Seconda serie: La serie è definita solo per x > 0. Posto y = ln x, la serie diventa y n n + n), ) che è una serie di potenze. Poiché lim n n + n = lim n 1 + n n + n + n =, la serie ) ha raggio di convergenza 1, quindi converge per 1 < y < 1, non converge per y < 1 e per y > 1. Per y = ± 1, il termine della serie non è infinitesimo, quindi la serie non converge. In definitiva la serie converge se e solo se 1 < ln x < 1, cioè e 1/ < x < e 1/. 5. Data la funzione fx, y) = x + y 1 x), a) calcolarne i punti critici; b) classificarli; c) trovare il piano tangente al suo grafico nel punto 1, 1, ); d) calcolare, se esistono, le derivate parziali nell origine. a) Per x, y) 0, 0) l origine verrà studiata nel punto d) ) si ha x f x x, y) = x 1), x + y y f y x, y) = x + y. Distinguendo i casi x < 0 e x > 0 si trovano i punti critici P 1 1 ) 5 ), 0 e P, 0. b) Calcoliamo le derivate seconde: f xx x, y) = x + y x x + y ) = y / x + y ), / xy f xy x, y) = x + y ), / f yy x, y) = x x + y ) /. Nei punti critici il determinante Hessiano vale det H 1 ) [ ] 0, 0 = det = 1 < 0 ; ) [ ] 0 det H, 0 = det 6 = < 0. Quindi entrambi i punti critici sono punti di sella. c) Il piano tangente al grafico di f nel punto 1, 1, ) ha equazione z = + f x 1, 1) x 1) + f y 1, 1) y 1) = + x 1) + y 1) = x + y). d) Analizziamo le derivate parziali nell origine: dove f x 0, 0) = ϕ 0), ϕx) = fx, 0) = x 1 x) = { x + 5x 1 se x 0 x x 1 se x < 0. E chiaro che ϕ 0) non esiste, poiché x = 0 è un punto angoloso per ϕ le sue derivate destra e sinistra nell origine valgono rispettivamente 5 e 1), quindi f x 0, 0) non esiste. Alla stessa conclusione si arriverebbe calcolando il limite del rapporto incrementale fh, 0) f0, 0) f x 0, 0) = lim. h 0 h Analogamente si prova che non esiste la derivata parziale f y 0, 0). Quindi i punti critici sono le soluzioni del sistema x x 1) = 0 x y = 0.

26 c A. Dall Aglio - Analisi Matematica: Soluzioni della prova pratica del y 0 q x 1 x x x Fig. 1: Grafico di fx) Esercizio n.1). y 0 q x 1 x x x Fig. : Grafico di gx) Esercizio n.1). c A.Dall Aglio Questo documento è disponibile sul sito internet aglio/am-aero/

27 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 5//006) Cognome e nome Note Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, appunti. E consentito l uso di libri di testo.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile insieme a questo foglio. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Studiare la funzione fx) = sh x 18 sh x, e in particolare: dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi ed eventuali asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. 8 punti). Dire per quali α R converge l integrale improprio + x + 1 x ) 6 e successivamente calcolarlo per α = 0. sen 1 x ) α dx,. Scrivere i numeri complessi z = ) 11 ) 11 i, w = i ) 6 i sia in forma trigonometrica che nella forma a + ib. Successivamente scrivere le radici seste di w solo in forma trigonometrica) e disegnarle nel piano complesso. 6 punti) 4. Al variare del parametro α R, studiare la convergenza delle due serie tg α) n n n + ; + n + α n + n α. 8 punti) 5. Calcolare l estremo inferiore e l estremo superiore delle seguenti successioni: a n = πn n + 5, b n = sen πn n + 5, c n = 1) n sen πn n + 5.

28 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 5//006) Cognome e nome Note Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, appunti. E consentito l uso di libri di testo.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile insieme a questo foglio. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Studiare la funzione fx) = sh x + 4 sh x, e in particolare: dominio, eventuali simmetrie, insiemi di continuità e di derivabilità, limiti significativi ed eventuali asintoti, crescenza e decrescenza, estremi relativi e assoluti, concavità e convessità, flessi. Disegnarne un grafico qualitativo. 8 punti). Dire per quali α R converge l integrale improprio + 4 x + 4 x ) 6 e successivamente calcolarlo per α = 0. ln 1 + x)) 1 α dx,. Scrivere i numeri complessi z = ) 1 ) 1 + i, w = + i 1 i ) 5 sia in forma trigonometrica che nella forma a + ib. Successivamente scrivere le radici quinte di w solo in forma trigonometrica) e disegnarle nel piano complesso. 6 punti) 4. Al variare del parametro α R, studiare la convergenza delle due serie sen α) n 4n + log n 1 ; + n + α n + n α. 8 punti) 5. Calcolare l estremo inferiore e l estremo superiore delle seguenti successioni: a n = πn n + 1, b n = cos πn n + 1, c n = 1) n cos πn n + 5.

29 ANALISI MATEMATICA - Ingegneria Aerospaziale PROVA PRATICA 18/9/006) Cognome e nome Note Svolgere i seguenti esercizi attenendosi alle domande in essi formulate, e motivando le risposte in modo chiaro ed esauriente. Nel caso di dubbi sul testo, chiedere chiarimenti al docente. Non è consentito l uso di calcolatrici grafiche o simboliche, personal computer, appunti. E consentito l uso di libri di testo.. Al termine del tempo disponibile, riconsegnare l elaborato scritto in modo chiaro e leggibile insieme a questo foglio. Scrivere nome e cognome su ogni foglio che si consegna. 1. Data la funzione dire quante sono le soluzioni dell equazione fx) = tg x + tg x 1, fx) = λ in ogni periodo della funzione, al variare di λ R. 8 punti). Dire per quali α R converge ciascuno degli integrali impropri + arctg x x ) α dx, 1 0 arctg x x α dx, 1 arctg x x α dx, e calcolare il primo per α =. 8 punti). Data la funzione fx, y) = e x y x y ), calcolarne i punti critici e classificarli. Successivamente calcolarne gli estremi assoluti nel triangolo chiuso) di vertici 0, 0), 1, 1), 1, 1). 4. Al variare del parametro α R, studiare la convergenza delle due serie e αn 5n + n / + 1 ; + n + arctg n 5n + n α Calcolare l estremo inferiore e l estremo superiore delle seguenti successioni: 6 punti) a n = 1 n + 5, b n = ) an 1, c n = 1)n a n.