Massimi e minimi : TEOREMI. Condizione necessaria del I ordine. Conseguenza del Teorema di Lagrange.

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "Massimi e minimi : TEOREMI. Condizione necessaria del I ordine. Conseguenza del Teorema di Lagrange."

Transcript

1 Massimi e minimi : TEOREMI Condizione necessaria del I ordine Teorema di Weierstrass Teorema di Rolle Teorema di Lagrange Conseguenza del Teorema di Lagrange. Data f: A R, f derivabile in x 0 A. Def.: Se f ʹ (x 0 ) = 0 allora x 0 è un punto critico per f su A. Massimi e Minimi di una funzione Data f: A R, Def: Un punto x 0 A si dice di massimo relativo (o locale) per f su A se I xo : f(x) f(x 0 ) x I xo A. Def : Un punto x 0 A si dice di massimo assoluto (o globale) per f su A se f(x) f(x 0 ) x A.

2 Def : Un punto x 0 A si dice di minimo relativo (o locale) per f su A se I xo : f(x) f(x 0 ) x I xo A. Def : Un punto x 0 A si dice di minimo assoluto (o globale) per f su A se f(x) f(x 0 ) x A. Def: Un punto x 0 A si dice di massimo [minimo] relativo (o locale) stretto per f su A se I xo : f(x) < f(x 0 ) [>] x I xo A, x x 0. Se x 0 A è un punto di massimo [minimo] assoluto per f su A allora f(x 0 ) rappresenta il valore massimo [minimo] di f su A. Esempio: Dimostrare, tramite la definizione, che x 0 = -1 è un punto di max relativo e non assoluto della funzione f(x) = x(x+1) Def : Un punto x 0 A si dice di massimo relativo per f su A se I xo : f(x) f(x 0 ) x I xo A, Poiché, A = C.E. = R e che f(x 0 ) = f(-1) = 2 x (x+1) x (x+1) 2 0

3 verificata per ogni x 0, quindi esiste un I -1 tale che x 0. Per dimostrare che -1 è massimo relativo ma non assoluto è sufficiente mostrare che esiste un punto, ad esempio, x = 1 dove f(1) = 4+2 = 6 > f(-1) = 2.

4 Esempio grafico # f (x)= $ & (x 2) 2 +1 se 1 x 4 x 5 se 4 < x 6 1 se 6 < x 8 x = 1 punto di frontiera x = 2 f (2) = 0 punto di max rel. punto di minimo rel x = 4 punto di discontinuità punto di max assoluto f (x) = 5 = f (4) lim f (x) =1 + lim x 4 x 4

5 x = 5 punto di non derivabilità assoluto lim f '(x) < 0 lim f "(x) > 0 x 5 x 5 + punto di minimo x = 6 punto di non derivabilità punto di max relativo f '(x) > 0 lim f (x) = 0 lim x 6 x 6 + " 6<x 8 punti di min e max relativi

6 Condizione necessaria del I Ordine o Teorema di Fermat Teorema: Data f: A R, f derivabile in x 0 A e x 0 punto interno ad A. Se x 0 è un punto di massimo o di minimo relativo allora f ʹ (x 0 ) = 0 Ipotesi : f derivabile in x 0 A, x 0 (punto interno ad A) è un punto di massimo o di minimo relativo Tesi : f ʹ (x 0 ) = 0. dim.: Per assurdo, si nega la tesi f (x 0 ) 0. Se f (x 0 ) > 0 f è crescente in x 0, cioè I xo tale che f(x) > f(x 0 ) x > x 0, x I xo A allora x 0 non può essere un punto di massimo, f(x) < f(x 0 ) x < x 0, x I xo A allora x 0 non può essere un punto di minimo. Assurdo in quanto per ipotesi x 0 è di massimo o di minimo relativo. Non vale il viceversa, infatti: Data f(x) = x 3 f (x) = 3x 2 3x 2 = 0 x = 0 Punto critico. x = 0 si dimostra che non è ne un punto di minimo ne massimo per f.

7 Data f: A R. I punti di A candidati ad essere minimo e/o di massimo relativo e/o assoluto sono: i) i punti di frontiera di A che appartengono ad A, ii) tra i punti interni ad A : punti discontinuità, f (x 0 ) punti di non derivabilità punti critici, cioè f (x 0 ) = 0. Se f è costante su [a,b] A x (a,b) sono punti di massimo e di minimo relativo di f su A. Teorema di Weierstrass Data f: A R. Teorema: Se f è continua sull insieme A chiuso e limitato allora f assume valore massimo M e valore minimo m su A. Inoltre, se A è un insieme convesso f assume tutti i valori compresi tra M e m. Conseguenze Se f è continua su A compatto allora per il Teorema di Weierstrass - esistono almeno x m, x M A tale che m = f(x m ) e M = f(x M ), per cui x m è un punto di minimo assoluto, x M è un punto di massimo assoluto,

8 se inoltre A è convesso: - dato y' R con m y' M esiste x' A tale che y'= f(x'). Esempio: a) Dire se esistono punti di minimo e massimo assoluto nell intervallo [-4,1] della funzione: # x + 3 se x < 1 f(x) = $ & x 2 +1 se x 1 b) Dimostrare, inoltre, che esiste almeno un punto x 0 [-4,1] dove la funzione vale 1,9457, cioè f(x 0 ) = 1,9457 x 0 [-4,1]. a) Le ipotesi del Teorema di Weierstrass sono verificate, infatti, 1. f è definita nell intervallo [-4,1] CHIUSO e LIMITATO. 2. f è continua su [-4,1] in quanto formata da funzioni continue ed inoltre è continua nel punto x = -1 dove cambia di definizione, infatti: lim x 1 lim x 1 f(x) = f( 1) = 2 ossia x + 3 = 2 = lim x 1+ x2 +1. Allora è verificata la tesi del Teorema di Weierstrass, cioè

9 - l esistenza del valore massimo M e minimo m della f(x) m f(x) M per ogni x [-4,1] ed - l esitenza di almeno x m, x M [-4,1] tale che m = f(x m ) e M = f(x M ), per cui x m è un punto di minimo assoluto, x M è un punto di massimo assoluto, b) [-4,1] è un insieme convesso quindi per il Teorema di Weierstrass f assume tutti i valori compresi tra M e m per cui occorre determinare m e M, così da dimostrare che m 1,9457 M. I punti di A candidati ad essere minimo e/o di massimo relativo e/o assoluto sono: i) i punti di frontiera di [-4,1] x = -4, x = 1 ii) e tra i punti interni (-4,1) - punti discontinuità non esistono punti dove la f è non continua su [-4,1] - punti di non derivabilità, - punti critici f (x 0 ) = 0. f(x) = # $ & (x + 3) x + 3 x 2 +1 se 4 x 3 se 3 < x < 1 se 1 x 1

10 f (x) = # $ & 1 se 4 x < 3 1 se 3 < x < 1 2x se 1< x 1 f - (-3) =-1 f + (-3) = 1 f - (-1) =1 f + (-1) = -2 da cui punti di non derivabilità x= -3 x = -1 punti critici f (x) = 2x = 0 x=0. Candidati p.di frontiera x= -4 x = 1 p. di non derivab. x = -1 x = -3 Valore funzione f(-4) =1 f(1) = 2 f(-1) = 2 f(-3) = 0 p. critici x = 0 f(0) = 1 x = 1 e -1 punti di massimo assoluto M = f(1)= f(-1) =2 x = -3 punti di minimo assoluto m = f(-3)=0 0 f(x) 2 per ogni x [-4,1] allora per il T. di W. esiste almeno x 0 [-4,1] tale che f(x 0 ) = 1,9457.

Criterio di Monotonia

Criterio di Monotonia Criterio di Monotonia Criterio di monotonia: se f è una funzione derivabile in (a,b), si ha: f (x) 0 x (a,b) f è debolmente crescente in (a,b) f (x) 0 x (a,b) f è debolmente decrescente in (a,b) Nota:

Dettagli

Punti di estremo e Teorema di Fermat

Punti di estremo e Teorema di Fermat Punti di estremo e Teorema di Fermat Nello studio di una funzione, le derivate sono (tra le altre cose) uno strumento utile per la determinazione di intervalli di monotonia e puntidiestremo. Definizione.

Dettagli

Funzioni Monotone. una funzione f : A B. si dice

Funzioni Monotone. una funzione f : A B. si dice Funzioni Monotone una funzione f : A B si dice strettamente crescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) < f( 2 ). crescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) f( 2 ). strettamente decrescente: 1, 2 A, 1 < 2 f( 1 ) > f( 2 ). decrescente:

Dettagli

DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR.

DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DERIVATA DI UNA FUNZIONE REALE 1. Definizioni. In quanto segue denoteremo con I un intervallo di IR e con f una funzione di I in IR. DEFINIZIONE 1. Sia x 0 un elemento di I. Per ogni x (I \ {x 0 }) consideriamo

Dettagli

Sia y = f(x) definita in un intervallo I. x 0 è punto di massimo assoluto. x 0 è punto di minimo assoluto. x 0 è punto di massimo relativo o locale se

Sia y = f(x) definita in un intervallo I. x 0 è punto di massimo assoluto. x 0 è punto di minimo assoluto. x 0 è punto di massimo relativo o locale se PUNTI ESTREMANTI E PUNTI STAZIONARI. MASSIMI E MINIMI ASSOLUTI E RELATIVI. TEOREMI DI FERMAT, ROLLE E LAGRANGE. CONDIZIONI NECESSARIE E SUFFICIENTI PER MASSIMI E MINIMI RELATIVI. PROBLEMI DI MASSIMO E

Dettagli

Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital

Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital Teoremi di Fermat, Rolle, Lagrange, Cauchy, de l Hôpital Copyright c 2007 Pasquale Terrecuso Tutti i diritti sono riservati. E vietata la riproduzione, anche parziale, senza il consenso dell autore. Teoremi

Dettagli

1 a Prova parziale di Analisi Matematica I (1) 22/11/2006 (civili + ambientali)

1 a Prova parziale di Analisi Matematica I (1) 22/11/2006 (civili + ambientali) a Prova parziale di Analisi Matematica I () ) Data la funzione f ( ) = tg + ln( cos ) a) determinare il campo di esistenza, b) calcolare il limite lim f ( ) π ) Definizione di limite finito: lim f ( )

Dettagli

Funzioni derivabili in un intervallo

Funzioni derivabili in un intervallo Funzioni derivabili in un intervallo Studiamo le proprietà delle funzioni derivabili in un intero intervallo, tramite due teoremi fondamentali e le conseguenze che portano. Teorema (di Rolle). Sia f continua

Dettagli

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero

IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero IL TEOREMA DEGLI ZERI Una dimostrazione di Ezio Fornero Il teorema degli zeri è fondamentale per determinare se una funzione continua in un intervallo chiuso [ a ; b ] si annulla in almeno un punto interno

Dettagli

STUDIO di FUNZIONE. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1

STUDIO di FUNZIONE. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1 STUDIO di FUNZIONE c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 16/17 Studio di funzione cap6b.pdf 1 Punti di estremo: punto di massimo assoluto Def. Sia 0 dom(f) = D. Si dice che 0 è un punto di massimo

Dettagli

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE

NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE NOTE SULLE FUNZIONI CONVESSE DI UNA VARIABILE REALE ROBERTO GIAMBÒ 1. DEFINIZIONI E PRIME PROPRIETÀ In queste note saranno presentate alcune proprietà principali delle funzioni convesse di una variabile

Dettagli

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari

ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari ANALISI 1 - Teoremi e dimostrazioni vari Sommario Proprietà dell estremo superiore per R... 2 Definitivamente... 2 Successioni convergenti... 2 Successioni monotone... 2 Teorema di esistenza del limite

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE

I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE I TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE 1. DEFINIZIONI. TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE.1 TEOREMA DELL ESTREMANTE LOCALE. TEOREMI DI ROLLE, CAUCHY, LAGRANGE.3 TEOREMI CONSEGUENTI AL T. DI LAGRANGE 3. DETERMINAZIONE

Dettagli

Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità

Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità Alcuni Teoremi sulle funzioni continue e uniforme continuità Teorema 0. Una funzione f(x) è continua in x 0 se e solo se per ogni sucessione {x n } dom(f) con x n x 0 dom(f), risulta f(x n ) f(x 0 ). (Non

Dettagli

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA

ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA ISTITUTO SUPERIORE XXV APRILE LICEO CLASSICO ANDREA DA PONTEDERA classi 5A-5B PROGRAMMA DI MATEMATICA PRIMA PARTE Intervallo limitato di numeri reali Dati due numeri reali a e b, con a

Dettagli

Corso di Analisi Matematica

Corso di Analisi Matematica Corso di Laurea in Ingegneria Edile Corso di TEOREMI DEL CALCOLO DIFFERENZIALE Lucio Demeio Dipartimento di Ingegneria Industriale e delle Scienze Matematiche Teorema di Estremi locali Richiamiamo la

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f é crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

Successioni di funzioni: esercizi svolti

Successioni di funzioni: esercizi svolti Successioni di funzioni: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore Esercizio 1 Determinare il limite puntuale delle seguenti successioni di

Dettagli

Gli intervalli di R. (a, b R, a b)

Gli intervalli di R. (a, b R, a b) Deinizione (Funzione continua (A.Cauchy, 180)) Siano D R una unzione, D R, x 0 D. Si dice che è continua nel punto x 0 D, se per ogni ε > 0 esiste un δ > 0 per il quale è soddisatta questa condizione:

Dettagli

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler)

Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Calcolo differenziale 2: Massimi e minimi. Studio di una funzione. (M.S.Bernabei & H. Thaler) Studio di una funzione Funzioni crescenti e decrescenti Una funzione f è crescente nell intervallo (a, b) se

Dettagli

DERIVATA di una funzione

DERIVATA di una funzione DERIVATA di una unzione Sia e * A punto di accumulazione di A : A R * è il RAPPORTO INCREMENTALE * Il rapporto incrementale di calcolato in * rappresenta il coeiciente angolare della secante passante per

Dettagli

Esercizi proposti 4 (capitolo 8)

Esercizi proposti 4 (capitolo 8) Esercizi proposti 4 capitolo 8). [8., #5 p. 9] Calcolare i possibili punti di estremo di gx) = x ln x, per x 0, + ). Soluzione. Ricordiamo che un punto di estremo è un punto del dominio della funzione

Dettagli

Universita degli Studi di Ancona Ingegneria delle Costruzioni edili e del Recupero Prova scritta di Analisi Matematica (teoria) del 18 marzo 2008

Universita degli Studi di Ancona Ingegneria delle Costruzioni edili e del Recupero Prova scritta di Analisi Matematica (teoria) del 18 marzo 2008 Prova scritta di Analisi Matematica (teoria) del 18 marzo 2008 1. Fornire la definizione di funzione continua e dare un esempio delle tre diverse speci di discontinuità. Scrivere per esteso con ɛ e δ cosa

Dettagli

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione

Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Equazione della retta tangente al grafico di una funzione Abbiamo già visto che in un sistema di assi cartesiani ortogonali, è possibile determinare l equazione di una retta r non parallela agli assi coordinati,

Dettagli

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0

FUNZIONI CONVESSE. + e x 0 FUNZIONI CONVESSE Sia I un intervallo aperto di R (limitato o illimitato) e sia f(x) una funzione definita in I. Dato x 0 I, la retta r passante per il punto P 0 (x 0, f(x 0 )) di equazione y = f(x 0 )

Dettagli

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 18/03/2013

CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 18/03/2013 CORSO DI ANALISI MATEMATICA SOLUZIONI ESERCIZI PROPOSTI 8/03/03 D.BARTOLUCCI, D.GUIDO. La continuità uniforme I ESERCIZIO: Dimostrare che la funzione f(x) = x 3, x A = (, ] non è uniformemente continua

Dettagli

QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci

QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci QUESITI DI ANALISI Derivate versione senza graci Dai la denizione di derivata di una funzione f(x) in un punto x 0, illustra il suo signicato geometrico e serviti di tale denizione per dimostrare che f

Dettagli

Calcolo Differenziale. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p.

Calcolo Differenziale. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. Calcolo Differenziale Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia ecc... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Calcolo Differenziale - p. 1/33 Velocità istantanea Percorriamo il tratto di strada tra Udine

Dettagli

LA STRUTTURA DEI PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE. L'ipotesi di razionalità implica che un decisore cerchi di

LA STRUTTURA DEI PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE. L'ipotesi di razionalità implica che un decisore cerchi di LA STRUTTURA DEI PROBLEMI DI OTTIMIZZAZIONE L'ipotesi di razionalità implica che un decisore cerchi di individuare la migliore tra tutte le alternative a sua disposizione. Problemi di ottimizzazione =

Dettagli

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti

Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Massimi e minimi assoluti vincolati: esercizi svolti Gli esercizi contrassegnati con il simbolo * presentano un grado di difficoltà maggiore. Esercizio 1. Determinare i punti di massimo e minimo assoluti

Dettagli

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio. Si consideri il seguente sistema x 3y + z =5 x ky +z = k kx y z = Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro k e

Dettagli

A.A. 2016/17 - Analisi Matematica 1

A.A. 2016/17 - Analisi Matematica 1 A.A. 2016/17 - Analisi Matematica 1 Argomenti svolti, libro di testo di riferimento: P. Marcellini, C. Sbordone: Elementi Calcolo. Liguori Editore. O. Bernardi: Temi d esame senza tema. Ed. Libreria Progetto.

Dettagli

Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni

Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - 10/07/09. C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Soluzioni dello scritto di Analisi Matematica II - /7/9 C.L. in Matematica e Matematica per le Applicazioni Proff. K. Payne, C. Tarsi, M. Calanchi Esercizio. a La funzione f è limitata e essendo lim fx

Dettagli

29 IL TEOREMA DEL VALOR MEDIO

29 IL TEOREMA DEL VALOR MEDIO 29 IL TEOREMA DEL VALOR MEDIO Abbiamo visto che molte proprietà importanti delle funzioni (crescenza, decrescenza, iniettività, ecc.) si esprimono tramite proprietà del rapporto incrementale (positività,

Dettagli

Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica e Comunicazione Digitale A.A. 2013/2014 Università di Bari ICD (Bari) Analisi Matematica 1 / 41 1 Derivata

Dettagli

MATEMATICA. a.a. 2014/15

MATEMATICA. a.a. 2014/15 MATEMATICA a.a. 2014/15 3. DERIVATE E STUDIO DI FUNZIONE (II parte): Massimi, minimi e derivata prima. Flessi e derivata seconda. Schema per lo studio qualitativo completo di una funzione y=f(x) Crescenza

Dettagli

Teoremi fondamentali dell'analisi Matematica versione 1

Teoremi fondamentali dell'analisi Matematica versione 1 Teoremi fondamentali dell'analisi Matematica versione 1 Roberto Boggiani 7 novembre 2012 1 Richiami di geometria analitica Dalla geometria analitica sulla retta sappiamo che dati due punti del piano A(x

Dettagli

ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1

ORDINAMENTO SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 www.matefilia.it ORDINAMENTO 7 - SESSIONE SUPPLETIVA QUESITO 1 Si calcoli il ite della funzione x cosx x sen x, quando x tende a. x cosx x x sen x = [F. I. ] x x cosx x (1 sen x x ) x cosx 1 sen x x =

Dettagli

Primi esercizi sulla ricerca di punti di estremo assoluto

Primi esercizi sulla ricerca di punti di estremo assoluto Primi esercizi sulla ricerca di punti di estremo assoluto Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi II Riccarda Rossi (Università di Brescia) Esercizi su estremi assoluti (I) Analisi II 1 / 42 Richiami

Dettagli

Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica. n, n IN.

Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica. n, n IN. Esercizi riassuntivi - B. Di Bella 1 Esercizi riassuntivi per la prima prova di verifica di Analisi Matematica 1. Sia A = n IN ] 1 n + 1, 1 [. n a) Determinare il derivato e l interno di A; b) stabilire

Dettagli

Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Laurea in Informatica Corso di Analisi Matematica Calcolo differenziale per funzioni di una variabile Docente: Anna Valeria Germinario Università di Bari A.V.Germinario (Università di Bari) Analisi Matematica

Dettagli

1 a Prova parziale di Analisi Matematica I (A) 16/11/2007

1 a Prova parziale di Analisi Matematica I (A) 16/11/2007 Nome a Prova parziale di Analisi Matematica I (A) 6//7 ) Data la funzione ( ) = f e Calcolare il campo di esistenza e il suo comportamento agli estremi ) Definizione di derivata prima di una funzione f()

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno

Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno Programma del Corso di Matematica A Corso di Laurea in Ingegneria, Settore Informazione (gruppi 2-3), A.A. 2007/2008 Docente: Antonio Ponno Premessa (D) dopo un teorema o una proposizione citati sta ad

Dettagli

Matematica per le Applicazioni Economiche I (M-P)

Matematica per le Applicazioni Economiche I (M-P) Matematica per le Applicazioni Economiche I (M-P) Corsi di Laurea in Economia Aziendale, Economia e Commercio, a.a. 06-7 Esercizi su Calcolo Differenziale. Per la seguente funzione, dato 0, si utilizzi

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE. Z x. ln t ln t 2 2 dt. f(x) =

STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE. Z x. ln t ln t 2 2 dt. f(x) = STUDIO DI UNA FUNZIONE INTEGRALE Studiamo la funzione f di una variabile reale, a valori in R, definitada. Il dominio di f. f() = Z Denotiamo con g la funzione integranda. Allora g(t) = numeri reali tali

Dettagli

La ricerca di punti di estremo assoluto

La ricerca di punti di estremo assoluto La ricerca di punti di estremo assoluto Riccarda Rossi Università di Brescia Analisi Matematica B Riccarda Rossi (Università di Brescia) Estremi assoluti (I) Analisi Matematica B 1 / 29 Richiami di teoria

Dettagli

Infiniti e Infinitesimi

Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Infiniti e Infinitesimi Def. Una funzione f() si dice infinitesima per (o per ), punto di accumulazione per il dominio di f(), se: f ( ) ( oppure f ( ) ) Infiniti e Infinitesimi

Dettagli

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A

Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A Analisi Matematica T1 (prof.g.cupini) (CdL Ingegneria Edile Polo Ravenna) REGISTRO DELLE LEZIONI A.A.2012-2013 (Grazie agli studenti del corso che comunicheranno eventuali omissioni o errori) 25 SETTEMBRE

Dettagli

Prova d appello di Matematica 1 (Chimica) 10 Settembre x π + sin x(1 + cos x). lim. 2) Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico:

Prova d appello di Matematica 1 (Chimica) 10 Settembre x π + sin x(1 + cos x). lim. 2) Studiare la seguente funzione e tracciarne il grafico: Prova d appello di Matematica 1 (Chimica) 10 Settembre 2013 (x π) 2 x π + sin x(1 + cos x) f(x) = 1 2 x + 3 3 x e 1 x x 2 dx sull intervallo [0, 3 4 π] f(x) = cos x cos 2 x 5) Enunciare e dimostrare il

Dettagli

1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, () December 30, / 26

1 prof. Claudio Saccon, Dipartimento di Matematica Applicata, () December 30, / 26 ANALISI 1 1 UNDICESIMA LEZIONE DODICESIMA LEZIONE TREDICESIMA LEZIONE Derivata - definizione e teoremi di calcolo delle derivate Massimi e minimi relativi e teorema di Fermat Teorema di Lagrange Monotonia

Dettagli

Dimostrazioni del capitolo 8

Dimostrazioni del capitolo 8 Dimostrazioni del capitolo 8 Dimostrazione del Teorema 8. (derivabilità e retta tanente), paina 74 Sia I un intervallo, f : I R e x 0 I. Dobbiamo verificare ce f è derivabile in x 0 se e solo se esiste

Dettagli

Analisi 2. Roberto Monti. Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 2012

Analisi 2. Roberto Monti. Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 2012 Analisi 2 Roberto Monti Appunti del Corso - Versione 5 Ottobre 212 Indice Capitolo 1. Programma 5 Capitolo 2. Convergenza uniforme 7 1. Convergenza uniforme e continuità 7 2. Criterio di Abel Dirichlet

Dettagli

Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod.analisi prof. B.Bacchelli a.a. 2010/2011

Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod.analisi prof. B.Bacchelli a.a. 2010/2011 Appunti sul corso di Complementi di Matematica mod.analisi prof. B.Bacchelli a.a. 2010/2011 08- Estremi: Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 4.1. Esercizi 4.1 Estremi liberi: punti

Dettagli

10 - Applicazioni del calcolo differenziale

10 - Applicazioni del calcolo differenziale Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviuppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 10 - Applicazioni del calcolo differenziale Anno Accademico 2015/2016

Dettagli

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi Matematica 1 e Geometria

Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi Matematica 1 e Geometria Politecnico di Milano Ingegneria Industriale Analisi Matematica e Geometria Preparazione al primo compito in itinere Cognome: Nome: Matricola: Prima Parte. Determinare, se esistono, il minimo, il massimo,

Dettagli

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno.

a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre gli zeri di f e studiarne il segno. 1 ESERCIZI CON SOLUZIONE DETTAGLIATA Esercizio 1. Si consideri la funzione f(x) = e x 3e x +. a) Determinare il dominio, i limiti agli estremi del dominio e gli eventuali asintoti di f. Determinare inoltre

Dettagli

Approssimazione di dati e funzioni

Approssimazione di dati e funzioni Approssimazione di dati e funzioni Richiamiamo i principali metodi di approssimazione polinomiale di un insieme di dati (x i, y i ), i = 0,..., n. Le ordinate y i possono essere i valori assunti nei nodi

Dettagli

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9.

Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale 2. Capitoli 3.4, 3.9. Esercizi 3.4, 3.9. Appunti sul corso di Complementi di Matematica - mod Analisi prof. B.Baccelli 200/ 07 - Funzioni vettoriali, derivata della funzione composta, formula di Taylor. Riferimenti: R.Adams, Calcolo Differenziale

Dettagli

Il Metodo di Newton, o delle Tangenti Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1

Il Metodo di Newton, o delle Tangenti Federico Lastaria, Analisi e Geometria 1. Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Politecnico di Milano Corso di Analisi e Geometria 1 Federico Lastaria federico.lastaria@polimi.it Il Metodo di Newton, o delle Tangenti 6 Novembre 2016 Indice 1 Metodo di Newton, o delle tangenti 2 1.1

Dettagli

ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio. A. Figà Talamanca

ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio. A. Figà Talamanca ESERCIZI E COMPLEMENTI DI ANALISI MATEMATICA: quinto foglio A. Figà Talamanca 14 ottobre 2010 2 0.1 Ancora limiti di funzioni di variabile reale Esercizio 1 Sia f(x) = [sin x] definita nell insieme [0,

Dettagli

Esercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni

Esercizi proposti. x b) f(x) = 2. Determinare i punti di non derivabilità delle funzioni Esercizi proposti 1. Calcolare la derivata prima f () per le seguenti funzioni: a) f() = c) f() = ( 1 + 1 b) f() = 1 arctan ) d) f() = cos ( ( + ) 5) e) f() = 1 + sin 1 f) f() = arcsin 1. Determinare i

Dettagli

COMPLETEZZA DELL INSIEME DEI NUMERI REALI R.

COMPLETEZZA DELL INSIEME DEI NUMERI REALI R. COMPLETEZZA DELL INSIEME DEI NUMERI REALI R. FABIO CIPRIANI 1. Completezza dell insieme dei numeri reali R. Nell insieme dei numeri reali R la condizione di Cauchy e necessaria e sufficiente per la convergenza

Dettagli

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x.

1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: c) x + 1 d)x sin x. Funzioni derivabili Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in x = 0 delle funzioni: a)2x 5 b) x 3 x 4 c) x + 1 d)x sin x. 2) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Funzioni derivabili (V. Casarino)

Funzioni derivabili (V. Casarino) Funzioni derivabili (V. Casarino) Esercizi svolti 1) Applicando la definizione di derivata, calcolare la derivata in = 0 delle funzioni: a) 5 b) 3 4 c) + 1 d) sin. ) Scrivere l equazione della retta tangente

Dettagli

Corso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona

Corso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona Corso di laurea: Ingegneria Civile Programma di Fondamenti di Analisi Matematica I a.a. 2011/2012 Docenti: Fabio Paronetto e Fabio Ancona Gli argomenti denotati con un asterisco tra parentesi sono stati

Dettagli

PER LA COMMISSIONE D ESAME 1E 2E 3E 4E 5E Totale

PER LA COMMISSIONE D ESAME 1E 2E 3E 4E 5E Totale Esame di Analisi Matematica Uno 31 Gennaio 2014 Fila: A 1 Università di Padova - Scuola di Ingegneria - Esame di Analisi Matematica Uno Lauree: Chimica e Materiali 31 Gennaio 2014 (Primo appello, a.a.

Dettagli

Proprietà globali delle funzioni continue

Proprietà globali delle funzioni continue Limiti e continuità Teorema di esistenza degli zeri Teorema dei valori intermedi Teorema di Weierstrass Teoremi sulla continuità della funzione inversa 2 2006 Politecnico di Torino 1 Data una funzione

Dettagli

CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA UNIVERSITÀ DEL SALENTO Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 15/11/2017 Prova A

CORSI DI LAUREA IN MATEMATICA E FISICA UNIVERSITÀ DEL SALENTO Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 15/11/2017 Prova A Prova parziale di ANALISI MATEMATICA I - 5//207 Prova A da Si studino l insieme di definizione ed il segno della funzione definita fx) = log 2 ) 2 sinx3 cos x+5) + arctan 3 x 3 x + π 4 ) 2 Si risolva la

Dettagli

Massimi, minimi, monotonia, e derivate

Massimi, minimi, monotonia, e derivate Massimi, minimi, monotonia, e derivate Punti di massimo, minimo per una funzione Definizione 1 Si dice che un punto c di un sottinsieme A di R e un punto interno ad A se e solo se c possiede qualche intorno

Dettagli

Dimostrazione. Indichiamo con α e β (finiti o infiniti) gli estremi dell intervallo I. Poniamo

Dimostrazione. Indichiamo con α e β (finiti o infiniti) gli estremi dell intervallo I. Poniamo C.6 Funzioni continue Pag. 114 Dimostrazione del Corollario 4.25 Corollario 4.25 Sia f continua in un intervallo I. Supponiamo che f ammetta, per x tendente a ciascuno degli estremi dell intervallo, iti

Dettagli

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Esercizi di preparazione allo scritto a.a Topologia

Corso di Laurea in Matematica Geometria 2. Esercizi di preparazione allo scritto a.a Topologia Corso di Laurea in Matematica Geometria 2 Esercizi di preparazione allo scritto a.a. 2015-16 Esercizio 1. Dimostrare che Topologia 1. d(x, y) = max 1 i n x i y i definisce una distanza su R n. 2. d(x,

Dettagli

PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A , canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione

PROGRAMMA di Analisi Matematica 1 A.A , canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione PROGRAMMA di Analisi Matematica A.A. 204-205, canale 3, prof.: Francesca Albertini Ingegneria area dell Informazione Testo Consigliato: - Analisi Matematica, Teoria e Applicazioni, A. Marson, P. Baiti,

Dettagli

12/10/05 (2 ore): Esercizi vari sull ellisse, iperbole, parabola. Disequazioni in due variabili. Equazione dell iperbole equilatera. Esempi.

12/10/05 (2 ore): Esercizi vari sull ellisse, iperbole, parabola. Disequazioni in due variabili. Equazione dell iperbole equilatera. Esempi. Università degli Studi di Trento Facolta di Scienze Cognitive Corso di Laurea in Scienze e Tecniche di Psicologia Cognitiva Applicata Corso di Analisi Matematica - a.a. 2005/06 Docente: Prof. Anneliese

Dettagli

DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA II Corso di laurea in Ingegneria Gestionale Canale PZ Secondo codocente: Dott. Salvatore Fragapane

DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA II Corso di laurea in Ingegneria Gestionale Canale PZ Secondo codocente: Dott. Salvatore Fragapane DIARIO DELLE LEZIONI DI ANALISI MATEMATICA II Corso di laurea in Ingegneria Gestionale Canale PZ Secondo codocente: Dott. Salvatore Fragapane Lezione 1-04/10/2016 - Serie Numeriche (1): definizione e successione

Dettagli

Corso di Laurea in Informatica Sede di Brindisi Esame di Analisi Matematica 25 giugno ex+1 x 2 2x. f (x) =

Corso di Laurea in Informatica Sede di Brindisi Esame di Analisi Matematica 25 giugno ex+1 x 2 2x. f (x) = 25 giugno 215 f (x) = ex+1 x 2 2x 2. Si calcoli il seguente integrale: 4 2 x log(x 2 1) dx. 3. Si enunci la definizione di funzione continua. 4. Si enunci il teorema di Fermat e, facoltativamente, lo si

Dettagli

Programmazione Non Lineare

Programmazione Non Lineare Capitolo 1 Programmazione Non Lineare 1.1 Introduzione Un problema di ottimizzazione viene definito come la minimizzazione o la massimizzazione di una funzione a valori reali su un insieme specificato.

Dettagli

Teorema di sostituzione o del limite di funzioni composte

Teorema di sostituzione o del limite di funzioni composte Teorema di sostituzione o del limite di funzioni composte Questo teorema serve per calcolare il limite di funzioni composte sfruttando limiti fondamentali o altri limiti già noti. TEOREMA. Se esiste lim

Dettagli

Insiemi numerici. Definizioni

Insiemi numerici. Definizioni 1 Insiemi numerici Gli insiemi numerici sono insiemi i cui elementi sono numeri, cioè appartengono all'insieme N dei naturali, degli interi Z, dei razionali Q, dei reali R o dei complessi C ( es.: A =

Dettagli

Continuità di funzioni

Continuità di funzioni Continuità di funzioni Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva Università degli Studi di Padova Dipartimento di Matematica 2 novembre 2015 Annalisa Cesaroni, Paola Mannucci e Alvise Sommariva

Dettagli

Serie trigonometriche e di Fourier Ci occuperemo di serie le cui ridotte N-esime sono polinomi trigonometrici di grado (o ordine) N:

Serie trigonometriche e di Fourier Ci occuperemo di serie le cui ridotte N-esime sono polinomi trigonometrici di grado (o ordine) N: Serie trigonometriche e di Fourier Ci occuperemo di serie le cui ridotte N-esime sono polinomi trigonometrici di grado (o ordine) N: S N (x) = N n=0 (a n cos (nx) + b n sin (nx)), a n, b n R (periodiche

Dettagli

Corsi di Laurea in Matematica e in Fisica. Prova scritta di Analisi Matematica I. Lecce, 12.IX.2016

Corsi di Laurea in Matematica e in Fisica. Prova scritta di Analisi Matematica I. Lecce, 12.IX.2016 Lecce, 12IX2016 1 Tracciare il grafico della funzione definita dalla seguente e- { 1 + x } f(x) = x exp 1 x sin(1/x)[e x + 2x 2 log cos x] x z 2 i z = z 2 e rappresentare le soluzioni sul piano complesso

Dettagli

Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B

Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Metodi Matematici per l Economia anno 2017/2018 Gruppo B Docente: Giacomo Dimarco Dipartimento di Matematica e Informatica Università di Ferrara https://sites.google.com/a/unife.it/giacomo-dimarco-home-page/

Dettagli

Note sulle funzioni convesse/concave

Note sulle funzioni convesse/concave Note sulle funzioni convesse/concave 4th December 2008 1 Definizioni e proprietà delle funzioni convesse/concave. Definizione 1.1 Un insieme A IR n è detto convesso se per ogni x 1 e x 2 punti di A, il

Dettagli

Concavità verso il basso (funzione concava) Si dice che in x0 il grafico della funzione f(x) abbia la concavità rivolta verso il basso, se esiste

Concavità verso il basso (funzione concava) Si dice che in x0 il grafico della funzione f(x) abbia la concavità rivolta verso il basso, se esiste CONCAVITA E CONVESSITA DI UNA FUNZIONE. FLESSI. SCHEMA GENERALE PER LO STUDIO DI FUNZIONE. FUNZIONI RAZIONALI E IRRAZIONALI INTERE E FRATTE. TEOREMA DI DE L HOSPITAL CON APPLICAZIONI AI LIMITI. 1 Concavit{

Dettagli

Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici

Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici ANALISI MATEMATICA T- (C.d.L. Ing. per l ambiente e il territorio) - COMPL. DI ANALISI MATEMATICA (A-K) (C.d.L. Ing. Civile) A.A.008-009 - Prof. G.Cupini Alcuni esercizi: funzioni di due variabili e superfici

Dettagli

Continuità e derivabilità. Calcola la derivata delle seguenti funzioni

Continuità e derivabilità. Calcola la derivata delle seguenti funzioni ESERCIZI SUL CALCOLO DIFFERENZIALE Continuità e derivabilità Si studi la continuità e la derivabilità delle seguenti funzioni nel punto indicato a fianco { Si trovi, se possibile, a e b in modo che le

Dettagli

Teoremi di Cauchy e De l Hôpital

Teoremi di Cauchy e De l Hôpital Teoremi di Cauchy e De l Hôpital 1.1 Teorema di Cauchy Siano f, g : [a, b] R due funioni tali che a f e g sono continue in [a,b]; b f e g sono derivabili in a,b con g x per ogni x a,b. Allora esiste x

Dettagli

LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA

LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA LICEO SCIENTIFICO STATALE G. MARCONI FOGGIA PROGRAMMA DI MATEMATICA Classe VB Anno Scolastico 014-015 Insegnante: Prof.ssa La Salandra Incoronata 1 Nozioni di topologia su Intervalli; Estremo superiore

Dettagli

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del

Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Esame di MATEMATICA CORSO BASE del Cognome Matricola Nome Esercizio 1. Si consideri il seguente sistema 2x 3y + z =5 x ky +2z = k kx y z = 1 Si trovino il numero delle soluzioni al variare del parametro

Dettagli

INTEGRALI Test di autovalutazione

INTEGRALI Test di autovalutazione INTEGRALI Test di autovalutazione. Sia f una funzione continua su IR, e F una primitiva di f tale che F () = 5. Allora: (a) esiste k IR tale che F (x) f(x) =k, x IR (b) F (x) = x f(t) dt (c) F non è derivabile

Dettagli

Esempi di QUESITI sulle derivate con risoluzione

Esempi di QUESITI sulle derivate con risoluzione Esempi di QUESITI sulle derivate con risoluzione 1 Sia data una funzione f(x) continua nel punto x 0 : allora essa è anche derivabile in x 0? Se invece l'ipotesi prevede che f(x) è derivabile in x 0, si

Dettagli

non solo otteniamo il valore cercato per la validità della (1.4), ma anche che tale valore non dipende da

non solo otteniamo il valore cercato per la validità della (1.4), ma anche che tale valore non dipende da NOTE INTEGRATIVE PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA 2 ANNO ACCADEMICO 2012/13 NOTE SULLA CONTINUITÀ UNIFORME D.BARTOLUCCI, D.GUIDO Sia f(x) = x 3, x [ 1, 1]. Si ha 1. La continuità uniforme x 3 y 3 = x

Dettagli

Registro dell'insegnamento

Registro dell'insegnamento Registro dell'insegnamento Anno accademico 2016/2017 Prof. MATTEO FOCARDI Settore inquadramento MAT/05 - ANALISI MATEMATICA REGISTRO Scuola Scienze Matematiche, Fisiche NON e Naturali CHIUSO Dipartimento

Dettagli

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1

Analisi Matematica I Primo Appello ( ) - Fila 1 Analisi Matematica I Primo Appello (4-11-003) - Fila 1 1. Determinare la retta tangente alla funzione f() = (1 + ) 1+ in = 0. R. f(0) = 1, mentre la derivata è f () = ( e (1+) log(1+)) ( ) = e (1+) log(1+)

Dettagli

Diario del Corso di Analisi Matematica - a.a. 2014/15

Diario del Corso di Analisi Matematica - a.a. 2014/15 Diario del Corso di Analisi Matematica - a.a. 2014/15 1a SETTIMANA 23/09/14 (2 ore): Introduzione al corso: orario, esercitazioni, ricevimento studenti, sito web, tempi e modalità delle prove di valutazione

Dettagli

1 Numeri reali. Esercizi.

1 Numeri reali. Esercizi. Politecnico di Milano. Scuola di Ingegneria Industriale. Corso di Analisi e Geometria 1 (Docente: Federico Lastaria) Settembre 2012 1 Numeri reali. Esercizi. Esercizio 1.1 (Un numero moltiplicato per zero

Dettagli

Gruppo esercizi 1: Vettori e matrici [E.1] Date le due matrici e il vettore

Gruppo esercizi 1: Vettori e matrici [E.1] Date le due matrici e il vettore Gruppo esercizi 1: Vettori e matrici [E.1] Date le due matrici e il vettore A = 1 2 0 0 2 1 B = 2 1 0 1 0 2 u = (1, 2, 1), 3 2 1 1 1 1 [E.2] Date le due matrici e il vettore A = 1 2 0 0 1 0 0 1 3 B = 1

Dettagli

Compito Parziale di Algebra lineare e Geometria analitica. 2x + 3y + 2z = 0 x y z = 0

Compito Parziale di Algebra lineare e Geometria analitica. 2x + 3y + 2z = 0 x y z = 0 Compito Parziale di Algebra lineare e Geometria analitica ) Dire se il seguente sottoinsieme di R 3 H = (x; y; z) R 3 : x + 3y + z = x y z = è o non un sottospazio vettoriale di R 3 e eventualmente calcolarne

Dettagli

Convessità e derivabilità

Convessità e derivabilità Convessità e derivabilità Definizione 1 (convessità per funzioni derivabili) Sia f : (a, b) R derivabile su (a, b). Diremo che f è convessa o concava su (a, b) se per ogni 0 (a,b) il grafico di f sta tutto

Dettagli