Analisi Matematica. Limiti di successioni numeriche e di funzioni

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1 a.a. 2014/2015 Laurea triennale in Informatica Analisi Matematica Limiti di successioni numeriche e di funzioni Avvertenza Questi sono appunti informali delle lezioni, che vengono resi disponibili per comodità degli studenti. Parte del materiale presentato è tratto dai libri di testo consigliati, la cui consultazione è vivamente incoraggiata.

2 Successioni numeriche Si chiama successione numerica ogni funzione reale definita in un insieme del tipo {n N n n 0 }, con n 0 numero naturale. Esempio La relazione f (x) = x 2, x [0, + ), definisce una funzione; la relazione f (x) = x 2, x N, definisce una successione. Parlando di successioni, solitamente denotiamo la variabile indipendente con n; il valore che la successione assume in un numero naturale n con il simbolo x n (oppure a n, u n,... ), chiamato termine n-esimo della successione; la successione (e la sua immagine) con {x n } n N (oppure {x n }). 1

3 Successioni numeriche e approssimazioni Un utilizzo pratico delle successioni numeriche: approssimare altri numeri. Esempio x = 5 3 = x n = }{{} n valore esatto valore approssimato x x n = 0. } 000 {{... 00} errore (assoluto) n < }{{} = 10 n n 2

4 Esempi di successioni numeriche x n = 1 n x n = n 1 n 3

5 x n = ( 1)n n x n = ( 1) n 4

6 x n = n 2 x n = n 3 5

7 Successioni definite per ricorrenza Invece di assegnare esplicitamente la legge n x n : prescriviamo il valore corrispondente a n 0, indichiamo come ottenere il valore successivo dal valore precedente. In simboli: { xn0 = α x n = f (x n 1 ) (n n 0 + 1) α R f funzione Legame con principio di induzione Fissato n, per determinare x n occorrono n n 0 (in genere) passi Possiamo ricavare esplicitamente la legge n x n? 6

8 Esempi { x0 = 1 x n = n x n 1 (n N ) Espressione esplicita: x n = n (n 1) }{{} n! fattoriale di n { x0 = 1 Fissato q R: x n = q x n 1 (n N ) Espressione esplicita: x n = q q... q q x 1 = 2 x n+1 = x n x n (n N ) } {{ } q n progressione geometrica di ragione q Espressione esplicita? 7

9 Proprietà generali delle successioni Dato che ogni successione è una funzione, ha senso parlare di maggioranti e minoranti di una successione; successioni limitate (inferiormente, superiormente); estremo inferiore ed estremo superiore di una successione; minimo e massimo di una successione. Successioni modello? 8

10 Dato che ogni successione è una funzione, ha senso parlare di successioni monotone. Secondo la definizione, per verificare la monotonia di {x n } occorre confrontare i termini x m e x n corrispondenti a tutte le coppie di interi m, n con m < n; in realtà, basta confrontare tra loro termini consecutivi: la successione {x n } è crescente se e solo se x n x n+1 per ogni n; strettamente crescente se e solo se x n < x n+1 per ogni n; decrescente se e solo se x n x n+1 per ogni n; strettamente decrescente se e solo se x n > x n+1 per ogni n. Successioni modello? Esempio Studiare la monotonia della successione x n = n + ( 1)n. n 9

11 Proprietà vere definitivamente Diciamo che una proprietà P n è vera definitivamente se esiste ν N tale che la proprietà P n sia vera per ogni n ν. Esempi I termini della successione {n 2 } sono definitivamente maggiori di 25. I termini della successione { ( 1) n} non sono definitivamente positivi. { } 10 n La successione è definitivamente strettamente decrescente. n! (attenzione!!) Osservazione Se le proprietà P n e P n sono entrambe vere definitivamente, allora anche la proprietà P n P n è vera definitivamente. 10

12 Successioni infinitesime Una successione {x n } si dice infinitesima se per ogni ε > 0 la disuguaglianza x n < ε è vera definitivamente. }{{} ε < x n < ε Osservazione {x n } è infinitesima se e solo se { x n } è infinitesima. Esempi La successione costante x n 0 è infinitesima. { } { 1 Le successioni, 1 } { } ( 1) n, e {10 n } sono infinitesime. n n n { } 3n + 1 La successione non è infinitesima. 2n Interpretazione grafica? 11

13 Successioni convergenti Sia {x n } una successione e sia x R. Diciamo che la successione {x n } converge a x se cioè: la successione {x n x} è infinitesima, per ogni ε > 0 la disuguaglianza x n x < ε è vera definitivamente, }{{} x ε < x n < x + ε Esempi La successione costante x n x converge a x. { } n 1 La successione converge a 1. n Nota: convergente a 0 è sinonimo di infinitesima. 12

14 Osservazione (quasi ovvia ma molto utile!) Supponiamo che la successione {x n } converga a x e sia c R. Allora: c < x = x n > c definitivamente; c > x = x n < c definitivamente. Diciamo che la successione {x n } è convergente se esiste x R tale che la successione converge a x. Osservazione (importante!) Una successione non può convergere a due numeri distinti. 13

15 Successioni divergenti Diciamo che la successione {x n } diverge positivamente se per ogni M > 0 la disuguaglianza x n > M è vera definitivamente. Diciamo che la successione {x n } diverge negativamente se per ogni M > 0 la disuguaglianza x n < M è vera definitivamente. Interpretazione grafica? Esempi La successione {10 n } diverge positivamente. La successione { n 2} diverge negativamente. { } n + 1 La successione non diverge positivamente. n 14

16 Successioni regolari e loro limiti Una successione si dice regolare se è convergente oppure divergente. Una successione non regolare si dice irregolare o indeterminata. Se la successione {x n } è regolare, diciamo che {x n } ha limite e scriviamo x se {x n } converge ad x lim x n = + se {x n } diverge positivamente se {x n } diverge negativamente Notazioni alternative: x n x, x n +, x n. ( si legge tende a ) 15

17 Osservazione Attenzione a non confondere le affermazioni {x n } ha limite {x n } è limitata Valgono le seguenti implicazioni: {x n } converge = {x n } è limitata {x n } diverge positivamente = {x n } è illimitata superiormente {x n } diverge negativamente = {x n } è illimitata inferiormente Le implicazioni inverse non sono vere. Esempi? 16

18 Compatibilità del limite con la relazione d ordine Teorema (permanenza del segno) Sia {x n } una successione regolare con limite x R. x (0, + ] = x n (0, + ) definitivamente x [, 0) = x n (, 0) definitivamente x n [0, + ) definitivamente = x [0, + ] x n (, 0] definitivamente = x [, 0] Dimostrazione... E se x = 0? E se x n (0, + ) oppure x n (, 0) definitivamente? 17

19 Compatibilità del limite con le operazioni Teorema (limiti e inversi) Sia {x n } una successione regolare con limite x R. x se x R { x n } è regolare e ha limite se x = + + se x = x 1 se x R Se x 0, {xn 1 } è regolare e ha limite 0 se x {, + } Se x = 0 e x n > 0 definitivamente oppure x n < 0 definitivamente, {xn 1 } è regolare e ha limite + o, rispettivamente; altrimenti, {xn 1 } non è regolare. Dimostrazione... 18

20 Teorema (limiti e operazioni) Siano {a n } e {b n } due successioni regolari con limiti a e b, rispettivamente. Nei casi descritti nelle prime due colonne della tabella, {a n + b n } e {a n b n } sono regolari con i limiti indicati: lim a n + b n lim a n b n a R b R a + b a b a = + b R {+ } + a = + b (0, + ] + a = + b [, 0) a = b R { } a = b (0, + ] a = b [, 0) + Dimostrazione... Quali casi sono esclusi? 19

21 Esercizio teorico Siano {a n } e {b n } due successioni tali che a n b n definitivamente. Dimostrare la seguente affermazione: se le due successioni sono convergenti con limiti a e b, rispettivamente, allora: a b. 20

22 Teorema (regolarità delle successioni monotone) 1 Sia {x n } una successione crescente. Allora: {x n } è regolare e tende al proprio estremo superiore. 2 Sia {x n } una successione decrescente. Allora: {x n } è regolare e tende al proprio estremo inferiore. Dimostrazione di 1 Osservazioni La monotonia è una condizione sufficiente ma non necessaria affinché una successione sia regolare. Esempio? Se una successione è definitivamente monotona, essa è regolare; non è detto però che il limite coincida con l estremo superiore [inferiore] se la successione è definitivamente crescente [decrescente]. 21

23 Corollario del teorema RSM Supponiamo che la successione {a n } sia monotona. Allora: {a n } è limitata = {a n } converge {a n } è illimitata = {a n } diverge Confrontare con le osservazioni di pagina

24 Osservazione Il teorema RSM e il suo corollario dipendono dalla esistenza dell estremo superiore e non valgono in Q. In particolare, non è detto che una successione monotona e limitata di numeri razionali abbia come limite un numero razionale. Esempio 1 x 0 = 0.1 x 1 = x 2 = x 3 = Esempio 2 x 1 = 2 x n+1 = x n x n (n N ). 23

25 Esempio (progressione geometrica) Sia q R e sia {x n } la progressione geometrica di ragione q. Se q > 1, {x n } è regolare e si ha 0 se 1 < q < 1 lim x n = 1 se q = 1 + se q > 1 Se q 1, {x n } è irregolare. Verifica... 24

26 Esercizio Determinare i limiti delle seguenti successioni: 2 n ( 3 n ) ( 4n ) n 1 n n 4 n n 3 2 n n n 1 n n 25

27 Successioni test e punti di accumulazione Sia D R e sia x R. Diciamo che {x n } è una successione test per x in D se 1 x n D per ogni n 2 x n x per ogni n (superflua se x D ) 3 x n x Esempi... Diciamo che x è punto di accumulazione di D se esiste almeno una successione test per x in D. Se x D e x non è punto di accumulazione di D, diciamo che x è punto isolato di D. 26

28 Esempi Stabilire se x è punto di accumulazione di D : D = (1, π) x = 2 x = 1 x = π x = 0 x = + D = (1, + ) x = + D = N x = 3 x = + Esempi (più generali) Siano a, b R. L insieme dei punti di accumulazione degli intervalli di estremi a e b è [a, b]. + / è punto di accumulazione di D se e solo se D è illimitato superiormente / inferiormente. Tutti gli elementi di N sono punti isolati di N; l unico punto di accumulazione di N è +. 27

29 Limiti di funzioni Sia D R e sia f : D R. Sia x R un punto di accumulazione di D. Sia l R. Diciamo che l è il limite di f per x che tende a x e scriviamo lim f (x) = l se x x per ogni successione test {x n } per x in D : lim f (x n ) = l. Notazione alternativa: f (x) l per x x. Terminologia Per le funzioni si utilizzano gli stessi termini usati per le successioni: funzione infinitesima, convergente, divergente. In alternativa a divergente si usa infinita. 28

30 Esempi Sia f la funzione costante di valore c R. Per ogni x R si ha lim x x f (x) = c. La funzione x R 1 diverge positivamente per x che tende a 0. x 2 La funzione mantissa non ha limite per x che tende a né per x che tende a +. La funzione reciproco è infinitesima per x che tende a e per x che tende a +. La funzione reciproco non ha limite per x che tende a 0. Possiamo recuperare qualche cosa? 29

31 Successioni test e punti di accumulazione unilaterali Sia D R e sia x R. Sia {x n } una successione test per x in D. Diciamo che {x n } è una successione test per x da sinistra se x n < x per ogni n. Diciamo che {x n } è una successione test per x da destra se x n > x per ogni n. Diciamo che x è punto di accumulazione da sinistra / da destra di D se esiste almeno una successione test da sinistra / da destra per x in D. Esempi? Osservazione x è punto di accumulazione di D se e solo se x è punto di accumulazione da sinistra oppure da destra (alternativa non esclusiva). 30

32 Limiti unilaterali di funzioni Sia D R e sia f : D R. Sia l R. Sia x R un punto di accumulazione da sinistra di D. Diciamo che l è il limite di f per x che tende a x da sinistra e scriviamo lim f (x) = l se x x per ogni successione test {x n } da sinistra per x in D : lim f (x n ) = l. Sia x R un punto di accumulazione da destra di D. Diciamo che l è il limite di f per x che tende a x da destra e scriviamo lim f (x) = l se x x + per ogni successione test {x n } da destra per x in D : lim f (x n ) = l. 31

33 Osservazione Se x R è punto di accumulazione di D sia da sinistra che da destra, allora per x che tende a x la funzione f ha limite (bilaterale) l se e solo se ha limite sinistro e limite destro ed entrambi coincidono con l. Esempi Per x che tende a 0, la funzione reciproco ha limiti unilaterali ma non ha limite (bilaterale). Per x che tende a 0, la funzione segno ha limiti unilaterali ma non ha limite (bilaterale). { 1 se x Q Sia f (x) = 0 se x R \ Q. Per qualsiasi x R, f non ha limiti unilaterali per x che tende a x. 32

34 Osservazione Avendo definito il limite di una funzione mediante la nozione di successione test, a ciascuno dei risultati sui limiti di successioni corrisponde un analogo risultato per i limiti di funzioni. È necessario riformulare il preambolo, la nozione di proprietà vera definitivamente. Esempio Sia {a n } una successione. Sia f : D R R una funzione. Supponiamo che {a n } abbia limite a. Sia x R punto di accumulazione di D; supponiamo che f abbia limite l per x che tende a x (da destra / da sinistra). Supponiamo a n > 0 definitivamente. Supponiamo f (x) > 0 vicino a x.??? 33

35 Preliminarmente, introduciamo la nozione di intorno: x R intorno (sferico o completo) di x ( x δ, x + δ) δ > 0 intorno destro di x [ x, x + δ) δ > 0 intorno sinistro di x ( x δ, x] δ > 0 x = + intorno di + (d, + ) d R x = intorno di (, d) d R Osservazione La nozione di intorno permette di riformulare in maniera unitaria le definizioni di successione convergente e di successione divergente: Sia {x n } una successione e sia x R. Allora: lim x n = x per ogni intorno U di x si ha x n U definitivamente. 34

36 Sia D R e sia x R. Sia P(x) una proprietà predicabile per x D \ { x}. (In x non sappiamo se è predicabile, ma non lo escludiamo; non ci interessa.) Diciamo che P(x) è vera in D vicino a x se esiste un intorno U di x tale che P(x) sia soddisfatta per ogni x in U D \ { x}. Se U è un intorno destro/sinistro di x, diciamo che la proprietà è vera vicino a x, a destra/a sinistra di x. Esempi La proprietà (1 x ) x 4 > 0 è vera in R vicino a 0. La proprietà (1 x ) x 4 > 0 è vera in R vicino a 0. La proprietà x 2 < 10 6 è vera in R vicino a + e a. 35

37 Osservazione (legame tra discreto e continuo) Sia x R punto di accumulazione di D R. Supponiamo che la proprietà P(x) sia vera in D vicino a x. Allora: per ogni successione test {x n } per x in D, la proprietà P(x n ) è vera definitivamente. Esercizio teorico Tradurre gli enunciati del teorema di permanenza del segno del teorema su limiti e inversi del teorema su limiti e operazioni nei corrispondenti enunciati per limiti di funzioni. 36

38 Teorema (convergenza obbligata) Sia D R e siano f, g, h : D R. Sia x R punto di accumulazione di D. Sia l R. Supponiamo che f (x) g(x) h(x) vicino a x ; lim x x f (x) = lim x x h(x) = l. Allora: lim x x g(x) = l. Dimostrazione... Esercizio teorico Enunciare il teorema di convergenza obbligata per successioni. 37

39 Teorema (divergenza obbligata) Sia D R e siano f, g : D R. Sia x R punto di accumulazione di D. Supponiamo che f (x) g(x) vicino a x. Allora: lim x x f (x) = + = lim x x g(x) = + lim x x g(x) = = lim x x f (x) = Dimostrazione... Esercizio teorico Enunciare il teorema di divergenza obbligata per successioni. 38

40 Corollario f limitata vicino a x, g divergente per x x = f + g divergente per x x f limitata vicino a x, g infinitesima per x x = f g infinitesima per x x f limitata vicino a x, g divergente per x x = f g infinitesima per x x Esempi lim x 0 1 x 4 + sign(x) lim x + 1 x 3 (2 + m(x)) ( 1)n lim 2 n 39

41 Forme di indecisione Problema: i teoremi sui limiti non permettono di determinare a priori il limite nei seguenti casi: somma di funzioni che divergono con segno opposto (forma + ) prodotto di una funzione infinitesima per una divergente (forma 0 ) rapporto di due funzioni divergenti (forma / ) rapporto di due funzioni infinitesime (forma 0/0) Soluzione: manipolare algebricamente le espressioni assegnate per ricondursi a casi in cui i teoremi sono applicabili. (Più avanti nel corso avremo altri strumenti a disposizione... ) Esempi lim ( 3n 4 2n 3 n ) lim x + x 3 + 2x x 2 4x 3 + x 5 lim x 0 x 3 + 2x x 2 4x 3 + x 5 40

42 Continuità in un punto e in un insieme Sia D R un intervallo e sia f : D R. Se x D e lim x x f (x) = f ( x), diciamo che f è continua in x. Se f è continua in x per ogni x D, diciamo che f è continua in D. Se D è unione di intervalli disgiunti, diciamo che f è continua in D se è continua in ciascuno di tali intervalli. Osservazione f è continua in x se e solo se per ogni successione {x n } D che converge a x la successione {f (x n )} converge a f ( x). Esempi (da ricordare) Le funzioni costanti, la funzione identica, la funzione opposto, la funzione reciproco e la funzione valore assoluto sono continue nei rispettivi domini. 41

43 Diciamo che f è continua da sinistra in x se continua da destra in x se lim f (x) = f ( x); x x lim f (x) = f ( x). x x + Quando ha senso? Quando ha senso? Esempi (da ricordare) In x Z la funzione parte intera inferiore e la funzione mantissa sono continue da destra e non da sinistra. In x = 0 la funzione segno non è continua né da sinistra né da destra. Osservazione Se x D è interno a D, allora f è continua in x se e solo se è continua sia da sinistra che da destra in x. 42

44 Alcune proprietà globali delle funzioni continue Teorema (di Weierstrass) Sia f una funzione continua nell intervallo chiuso e limitato [a, b]. Allora: f ammette minimo e massimo globale in [a, b], cioè : esistono x, x [a, b] tali che f (x ) f (x) f (x ) per ogni x [a, b]. Illustriamo il ruolo delle ipotesi mediante qualche esempio: f (x) = 1 x x (0, 1] f (x) = 1 x x [1, + ) f (x) = x x x [ 1, 5] f (x) = { x 2 se x [ 2, 0) (0, 3] 1 se x = 0 43

45 Teorema (degli zeri o di Bolzano) Sia f una funzione continua nell intervallo D. Supponiamo che esistano a, b D tali che f (a) f (b) < 0. Allora: esiste x compreso tra a e b tale che f ( x) = 0. Dimostrazione... Corollario Sia f una funzione continua nell intervallo D. Per ogni ȳ (inf f, sup f ) esiste x D tale che f ( x) = ȳ. (Teorema dei valori intermedi) L immagine di f è l intervallo di estremi inf f e sup f. Dimostrazione... aperto? chiuso? Interpretazione grafica della continuità... 44

46 Come ottenere funzioni continue da funzioni continue Teorema (continuità e operazioni algebriche) La somma, la differenza, il prodotto, la combinazione lineare, il reciproco, il rapporto di funzioni continue sono funzioni continue nei rispettivi domini. Esempi (da ricordare) Le seguenti funzioni sono continue nei rispettivi domini: funzione potenza a esponente in N : p n : R R tale che p n (x) = x n funzione polinomiale: P(x) = c n x n + c n 1 x n c 1 x + c 0 (c 0, c 1,..., c n R) funzione razionale: R(x) = P(x) Q(x) ( P e Q funzioni polinomiali) 45

47 Teorema (cambiamento di variabile nei limiti) Siano f e g due funzioni tali che la funzione composta f g sia definita in un insieme D. Sia x R punto di accumulazione di D. Supponiamo che per x che tende a x, la funzione g sia regolare con limite ȳ R, per y che tende a ȳ, la funzione f sia regolare. Se ȳ {, + }, oppure ȳ R e f è continua in ȳ, allora: lim f (g(x)) = lim f (y). x x y ȳ Osservazione Senza ipotesi aggiuntive, l uguaglianza non è garantita. Esempio: { 2 se y 0 g(x) 0 f (y) = 1 se y = 0 46

48 Osservazione Nel caso in cui ȳ R e f è continua in ȳ, si ha lim f (g(x)) = lim f (y) = f (ȳ). x x y ȳ Se anche g è continua in x, allora ȳ = g( x) e quindi cioè f g è continua in x. lim f (g(x)) = f (g( x)), x x Corollario (continuità e composizione funzionale) La funzione composta di funzioni, ciascuna continua nel rispettivo dominio, è continua nel proprio dominio. Esempio La funzione x R 3x 2 7x + 1 è continua in R. 47

49 Teorema (continuità e inversione funzionale) La funzione inversa di una funzione invertibile, definita e continua in un intervallo, è continua nel proprio dominio. Osservazioni Sia f una funzione definita e continua in un intervallo. f invertibile = f strettamente monotona (il viceversa è vero per funzioni qualsiasi definite in insiemi qualsiasi) f definita in un intervallo, strettamente monotona e continua = f 1 definita in un intervallo, strettamente monotona e continua 48

50 Classificazione dei punti di discontinuità Sia D R un intervallo, sia f : D R e sia x D. Se f non è continua in x diciamo che x è un punto di discontinuità per f. Diciamo che x è un punto di discontinuità eliminabile per f se f converge per x x, lim x x f (x) f ( x). Diciamo che x è un punto di discontinuità a salto finito se f converge per x x e per x x +, lim f (x) lim f (x). x x x x + Il numero lim f (x) lim f (x) si chiama ampiezza del salto. x x x x + 49

51 Esempi La funzione f (x) = { x 2 se x R 1 se x = 0 ha una discontinuità eliminabile in x = 0. In x Z la funzione parte intera inferiore e la funzione mantissa hanno una discontinuità a salto finito, con salto di ampiezza 1. In x = 0 la funzione segno ha una discontinuità a salto finito, con salto di ampiezza 2. Studiare la continuità in x = 0 della funzione { x 2 se x (, 0] f (x) = x 2 se x (0, + ) Come classifichiamo x = 0? 50

52 Asintoti verticali Sia x R punto di accumulazione di dom(f ). Se f diverge per x che tende a x da sinistra/da destra, diciamo che la retta di equazione x = x è un asintoto verticale da sinistra/da destra per f. (Più correttamente: per il grafico di f.) Osservazione I candidati asintoti verticali per f sono le rette x = x con x dom(f ) punto di discontinuità di f, oppure x dom(f ) estremo finito del dominio. Esempi { x 2 se x (, 0] f (x) = x 2 se x (0, + ) f (x) = 2x + 3 x Interpretazione grafica? Gli asintoti verticali sono intoccabili? f (x) = x + 3x 2 (x 4) 2 51

53 Asintoti orizzontali Sia x {, + } punto di accumulazione di dom(f ). Se f converge a l per x che tende a x, diciamo che la retta di equazione y = l è un asintoto orizzontale per f. (A sinistra se x =, a destra se x = +.) Esempi f (x) = 3x 2 2x x f (x) = m(x) x Interpretazione grafica? Gli asintoti orizzontali sono intoccabili? Prima di proseguire introduciamo alcune funzioni elementari... 52

54 Esercizio Calcolare i seguenti limiti: ( x + 1 ) lim arctan x 2 x 2 ( x + 3 ) lim cos x + x 2 1 ( x + 3 ) lim arcsin x 3 x ( 1 ) 3 lim x x x+1)/(x 1) lim x 1 2(3x2 Determinare gli asintoti verticali e orizzontali della funzione f (x) = e x + e 1/x 53

55 Equivalenza asintotica Sia x R. Siano f e g due funzioni tali che la funzione rapporto f /g sia definita vicino a x. Se f (x) lim x x g(x) = 1, diciamo che f e g sono asintotiche (anche: asintoticamente equivalenti) per x che tende a x e scriviamo f (x) g(x) per x x. Osservazione È indispensabile specificare per x che tende a x perché, variando il punto in cui si considera il limite, l affermazione f (x) g(x) potrebbe non essere vera. Esempio x + x 2 x per x 0; x + x 2 x per x 3 oppure x +. 54

56 Osservazioni La relazione è una relazione di equivalenza. f e g sono asintotiche per x x se e solo se f (x) = g(x) h(x) dove h è una funzione che tende a 1 per x x. Se f e g sono asintotiche per x x, allora sono entrambe non regolari oppure entrambe regolari per x x ; in quest ultimo caso, hanno lo stesso limite per x x. Vale il viceversa? Se f 1 (x) f 2 (x) e g 1 (x) g 2 (x) per x x, allora: f 1 (x) g 1 (x) f 2 (x) g 2 (x) per x x. f 1 (x) g 1 (x) f 2(x) g 2 (x) 55

57 Osservazione Una combinazione lineare di potenze di x con esponente positivo (brevemente: funzione algebrica) è asintotica al monomio con esponente maggiore per x +, (x ) al monomio con esponente minore per x 0. (x 0 ± ) Esempi 2 x 4 x x 2 2 x 4 per x + 3 x 2 per x 0 3 x 17/4 + 2 x 3 3 x 17/4 per x + 2 x 3 per x

58 Osservazione Il prodotto e il rapporto di due funzioni algebriche sono asintotici, rispettivamente: al prodotto e al rapporto dei monomi con esponenti maggiori per x + o x, al prodotto e al rapporto dei monomi con esponenti minori per x 0. Nel calcolo dei limiti, gli altri termini sono trascurabili... Esempi 2 x 4 x x 2 (x 4 2 x 3 ) (5 x 2/5 + 2 x 2 ) lim x + 3 x 17/4 + 2 x 3 lim x (3 x x 2 ) (3 x 1) lim x x 4 x x 2 3 x 17/4 + 2 x 3 lim x 0 (x 4 2 x 3 ) (5 x 2/5 + 2 x 2 ) (3 x x 2 ) (3 x 1) 57

59 Proposizione Nota: prolungamento per continuità... Per x 0: le funzioni seno, arcoseno, tangente, arcotangente sono asintotiche alla funzione identica; (e quindi tra loro) le funzioni x e x 1, x ln(1 + x) sono asintotiche alla funzione identica; (e quindi tra loro e alle precedenti) la funzione x 1 cos(x) è asintotica alla funzione x x 2 2. Verifica... Esempi (e x 1) sin(x) 1 cos(x) lim x 0 2 x 2 4 x 3 lim x 0 (x + 3 x) ln(1 + x) 58

60 Osservazione Siano f, g, h tre funzioni e sia x R. Supponiamo: h(x) ȳ per x x ; f e g continue in ȳ, se ȳ R; f (y) g(y) per y ȳ. Allora: f (h(x)) g(h(x)) per x x. Cambiamento di variabile nei limiti: f (h(x)) lim x x g(h(x)) = lim f (y) y ȳ g(y) Esempi Per x 0: sin(3x) 3x Per x 0: ln(1 + tan(x 2 )) tan(x 2 ) x 2 ( ) ( x + 2 Per x + : ln = ln 1 1 ) x + 3 x x x 59

61 Esempi lim x 0 (e x 1) sin(3x) ln(1 + tan(x 2 )) lim x 1 1 cos(x 1) x

62 Confronto tra infiniti e infinitesimi Sia x R. Supponiamo che le funzioni f e g siano entrambe infinite oppure entrambe infinitesime per x che tende a x. Se f (x) lim x x g(x) = 0, diciamo che f è infinito di ordine inferiore, oppure infinitesimo di ordine superiore, rispetto a g per x che tende a x e scriviamo f (x) = o(g(x)) (si legge f è o piccolo di g ). per x x Terminologia? Esempi Per x 0: 1 cos(x) = o(sin(x)) Se 0 < p < q, allora: x p = o(x q ) per x + x q = o(x p ) per x

63 Siano f, g e x come nella definizione precedente. Se f g diverge per x x : diciamo che f è infinito di ordine superiore, oppure infinitesimo di ordine inferiore, rispetto a g. Se f g converge a un numero diverso da 0 per x x : diciamo che f è infinito oppure infinitesimo dello stesso ordine, rispetto a g. Caso particolare? Se f g non è regolare per x x : diciamo che f e g sono infiniti oppure infinitesimi non confrontabili. 62

64 Proposizione Sia x R. Siano f, g funzioni entrambe infinite o entrambe infinitesime per x x. Le seguenti affermazioni sono logicamente equivalenti: (a) f (x) g(x) per x x, (b) f (x) = g(x) + h(x), con h(x) = o(g(x)) per x x. Verifica... Conseguenza: nel calcolo del limite di un prodotto o di un rapporto, in ciascun fattore gli infiniti di ordine inferiore e gli infinitesimi di ordine superiore sono trascurabili. Confronto con funzioni algebriche... 63

65 Parte principale e ordine di infinito/infinitesimo Denotiamo con ϕ(x) la funzione infinito/infinitesimo campione, definita come segue: x R x {, + } infinito campione per x x 1 x x x infinitesimo campione per x x x x 1 x Sia f una funzione infinita/infinitesima per x x. Se esistono c R e α R + tali che f (x) c ϕ(x) α, diciamo che c ϕ(x) α è la parte principale di f, α è l ordine di infinito/infinitesimo di f. 64

66 Esempi Funzione algebrica, per x + e per x 0 e 3/ x 1 per x + ( ln 1 4x ) x 4 per x Applicazione al calcolo di limiti tan(x) + x lim x 0 + sin(x) + x 4 lim x + (x 2 + x + x) ( ( e 3/ x 1 + ln 1 4x ) ) x

67 Ulteriori esempi x arctan ( (x 3) 2) per x 3 tan(x) per x π 2 x 2 ( sin(x) + 3 ) per x + e x per x +??? ln(x) per x +??? 66

68 Dimostreremo che, per ogni α R + : e x ln(x) lim = + lim x + x α x + x α = 0 Quindi, per x + : la funzione esponenziale e la funzione logaritmo non hanno ordine di infinito; la funzione esponenziale è infinito di ordine superiore rispetto a qualsiasi potenza con esponente positivo; la funzione logaritmo è infinito di ordine inferiore rispetto a qualsiasi potenza con esponente positivo; in una somma: qualsiasi potenza con esponente positivo è trascurabile rispetto alla funzione esponenziale; la funzione logaritmo è trascurabile rispetto a qualsiasi potenza con esponente positivo, e rispetto alla funzione esponenziale. 67

69 Osservazione Le affermazioni della pagina precedente valgono anche per la funzione esponenziale con qualsiasi base maggiore di 1 e per la funzione logaritmo con qualsiasi base. Esempi lim x ln(x) x + lim x + lim x + x 2 3 x 2 x + x 3 2 x + 4 x 3 x + x 2 + ln(x) 68

70 Classificazione dell andamento all infinito di una funzione Sia x {, + }. Supponiamo che f diverga per x x. Diciamo che f ha andamento lineare se ( ) esiste m R tale che f (x) m x per x x. Se vale ( ) e inoltre f (x) m x q R per x x, Formulazione equivalente? diciamo che la retta di equazione y = m x + q è un asintoto obliquo per f. Interpretazione grafica? Diciamo che f ha andamento sublineare se f (x) = o(x) per x x. Formulazione equivalente? Diciamo che f ha andamento superlineare se x = o(f (x)) per x x. Formulazione equivalente? 69

71 Esempi Classificare (se appropriato) l andamento all infinito delle seguenti funzioni; in caso di andamento lineare, stabilire l esistenza di asintoti obliqui. f (x) = 5 x 2 (x 1) f (x) = x 2 x + 2 x f (x) = x 3 2 x x x f (x) = 3 x + x f (x) = x (sin(x) + 3) 70