Verifica scritta di Matematica Classe V

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1 Liceo Scientifico Paritario R. Bruni Padova, loc. Ponte di Brenta, 4//206 Verifica scritta di Matematica Classe V Soluzione Risolvi 4 degli 8 quesiti proposti. Ogni quesito vale 25 p.ti.. Sia data la funzione a y f ( 2 + b ) 3 + a 2 + b. i. Determina il valore dei parametri reali a e b in modo tale che la funzione f ( ) ammetta un asintoto verticale di equazione + 0 e l immagine di 2 sia 2. ii. Determina l ordine di infinito γ per. i. Se la funzione ammette un asintoto verticale di equazione, questo significa che a 2 + b a b a b ± ± 3 + a 2 + b + a ++ b a + b ± a b a + b 0. 4a 2b Che l immagine di 2 è 2 significa f ( 2) a b 2 b 6 4a a + b 3. Noto che a + b non può contemporaneamente essere uguale a 0 e a 3. Ne deduco che / a,b! tali da soddisfare le richieste. ii. a Affinché f sia infinita per, a + b 0 ; quindi f ( 2 a ) 3 + a 2 a f ( ) 2 f a ( + a) + a 2 a + a L infinito campione da considerare è g( ) + per il quale casi: g γ ( ) l "\{ 0} ; ora, f se a allora g γ f ( ) + γ per γ 2. Quindi, per tale va- ( +) 2 lore di a, l ordine di infinito di f è 2. se a allora g γ f f f g γ a + a ( +). e devo determinare il valore di γ ( ) a( +) γ ( + a) ( +) e ottengo due ( ) a( +) γ ( + a) ( +) a per γ. Quindi, per tali valori di a, l ordine di infinito di f è. a di 8

2 2. Calcola il valore dei seguenti iti: 2sin sin 2 i. ; ii. iii ; arcsin sin sin( 2) i cos ii. sin sin 2sin cos di 8 2( cos )sin sin sin 2 Possibile vicolo cieco: sin sin sin 0 sin( 2) ( 2 ) 2 iii. arcsin arcsin arcsin 6 arcsin 2 ( 2) ( + 2) arcsin arcsin 2 π Considera la seguente funzione definita per casi, dipendente dai parametri reali a e b: a se < y f ( ) a 2 + b se <. bsin π 6 se

3 Determina il valore che devono assumere i parametri a e b affinché la funzione risulti continua in!. Traccia il grafico della funzione relativo al valore dei parametri individuati. La funzione data risulta essere continua in!\ ; { } per note proposizioni sulle funzioni continue. Impongo la continuità in, ovvero impongo che + 2a a b a + b. Impongo la continuità in, ovvero impongo che a + b b 2 2a + b 0. f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) + + f ( ) f ( ) Mettendo le due condizioni a sistema, determino i valori di a e b per i quali f è continua in! : a + b a. 2a + b 0 b 2 La funzione y f ( ) se < 2 2 se < 2sin π 6 se risulta essere continua in! e il suo grafico è il seguente (il primo tratto è descritto da una funzione esponenziale con asintoto orizzontale di equazione y 2 per, traslata a e concavità rivolta ver- sinistra di un unità, il secondo da una parabola di vertice V ; so l alto, mentre il terzo da una funzione sinusoidale di periodo 2 e ampiezza 2): 3 di 8

4 4. Enuncia il Teorema del confronto. Sapendo che + 0 +, verifica che per 0 si ha sin. Utiliz- sin za il teorema e quanto su verificato per individuare il valore di +. Per l enunciato del teorema si rimanda al libro di testo o agli appunti presi in classe. Per 0 si ha sin sin visto che sin ;!. Quindi sin!\{ 0}; tale disuguaglianza, per > 0, diventa sin. Ma e sin , quindi, per il Teorema del confronto, 5. Considera la funzione y f ( ) 2 ( +) ( ). Determina i valori di k!, tali che la funzione ammetta almeno uno zero nell intervallo k; k +. La funzione data è continua in! per noti risultati sulle funzioni continue. Il Teorema di esistenza degli zeri assicura l esistenza di (almeno) uno zero in un intervallo k; k + dove k! è tale che f ( k) f ( k +)< 0. Per determinare i possibili valori di k, faccio un confronto tra grafici; sto cercando i valori di tali che 2 ( +) ( ) g ( ) g 2 ( ). I grafici delle due funzioni sono riportati di seguito. 4 di 8

5 Come si può notare dal raffronto dei due grafici, essi si intersecano in tre punti A, B e C (quest ultimo punto, difficile da notare, lo si attende in quanto l esponenziale è un infinito di ordine superiore del polinomiale). Si nota, più precisamente, che A 2;, B ; 2 e 6; 7 C. Scarto il primo punto perché k! e quindi k 2. Poiché f ( ) f ( 2) ( ) < 0, per il Teorema di esistenza degli zeri la funzione (continua) f ammette uno zero in ; 2, perciò una soluzione è k. Poiché f ( 6) f ( 7) < 0, per il Teorema di esistenza degli zeri la funzione f ammette uno zero in 6; 7, perciò un altra soluzione è k Della seguente funzione determinane il dominio, parità, segno, iti significativi ed eventuali asintoti. Tracciane infine il grafico qualitativo. y f ( ) dominio: l unica condizione di esistenza è 2 0 ±. Quindi D!\{ ; }. D, ovvero D D, ovve- parità: la funzione non è pari (non è vero che f ( ) f tale che f ( ) f ( ) ) e non è dispari (non è vero che f ( ) f ro D tale che f ( ) f ( ) ). In sintesi: f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ). segno di f ( ): poiché (attenzione, i termini sono da ordinare) per, applicando il Teorema di Ruffini ottengo che ( ) ( ). N 0 0. N ( +) , ,4. D > 0 2 > 0 < >. f f ( ) 0 per f ( )> 0 per 2 < < ( > + 2 ). Noto anche che y f ( 0). 5 di 8

6 iti significativi ed eventuali asintoti: f ± ± ±. Quindi la funzione ± 2 ( 2 ) ± non ammette asintoti orizzontali. Potrebbe ammettere asintoti obliqui: f ( ) ± ± ± 3 ± 3 ( ) m ; ± 3 3 f ( ) ± ± ± 2 2 q. La funzione ammette un asintoto obliquo di equazione y +. ± f La funzione ammette un asintoto verticale di ± 0 equazione. f ( ) 0 ( ± 0 ) ( ) La funzione è ± ( +) ( ) ± + + prolungabile per continuità in alla funzione! f ( ) grafico di f ( ): 7. Data la funzione y f arcsin, rappresenta il suo grafico nel piano cartesiano. Restringi opportunamente il dominio D e il codominio! in modo da rendere f biiettiva e determina l espressione analitica dell inversa f. 6 di 8

7 Partendo dal grafico di y g( ) arcsin, il grafico della funzione y g( ) si ottiene da quello della prima funzione tenendo conto che basta tracciare la curva simmetrica a g( ) per 0 rispetto all asse delle ordinate. Il grafico di f ( ) g( ) si ottiene con una traslazione verso il basso di una unità rispetto al grafico di y g. La funzione f : ;! non è iniettiva perché è pari ( f ( ) f ( ) ; ) e nemmeno suriettiva (per esempio, / ; tale che f ( ) π ). Operando per minime restrizioni, posso considerare il dominio 0; (così la funzione è iniettiva) e il codominio Im( f ) ; π 2 (così la funzione è suriettiva). f : 0; ; π 2 è biiettiva e quindi invertibile. L espressione analitica dell inversa è: y arcsin arcsin y + sin( y +) 0 f ( y) sin( y +). 8. In una semicirconferenza di diametro AB 2r iscrivi il triangolo ABC, retto in C. Traccia la bisettrice dell angolo CÂB ; tale bisettrice interseca il segmento BC in D. Indica con l angolo BÂD e con y il rapporto tra la lunghezza del segmento BD e la lunghezza di BC. i. Calcola il valore di y per C A. ii. Calcola il valore di y per C B. iii. Posto che y f ( ), calcola + cos( 2) ( π 2) f ( ) π di 8

8 DATI AO r BO D BC, BÂD CÂD y BD BC + cos( 2) RICHIESTE y, y, C A C B ( π 2) f ( ) π 2 + SVOLGIMENTO Considero il triangolo ABC, retto in C: per il Teorema della corda BC 2r sin( 2). A ˆBC π 2 2 perché complementare di Considero il triangolo ABD: A ˆDB π BÂD A ˆBD π 2 +. per il Teorema dei seni BD sin Quindi y BD BC BÂC 2. AB sin( π 2 + ) BD sin 2rtan sin cos 2rsin( 2) 2sin cos 2cos 2 + 2cos 2 2r BD 2rtan. cos i. C A significa che BÂC π 2 2 π 2 π 4, quindi y C A π 4 + cos cos 2 ii. iii. C B significa che BÂC , quindi y C B cos( 2) + 2. π 2 π cos( 2) 0 0. Pongo t π 2, così per π 2+ si ha t 0 + e potrei ridurmi a un ite notevole. Notando che 2 2t + π, il ite dato è uguale a t t cos( 2t + π) t t 0 + cos( 2t) cos( 2t) cos( 2t) 2 t 0 + t t 0 + 2t ( z2t) cos( z) z 0 + z NOTE: i. È ammesso l uso del calcolatore elettronico o di tavole numeriche; ii. Punteggio massimo 00 p.ti. Per la sufficienza è necessario raggiungere il punteggio di 60 p.ti. 8 di 8