AA Prof. V. Palladino. Undicesima lezione, seconda del secondo modulo

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1 AA Prof. V. Palladino Undicesima lezione, seconda del secondo modulo

2 Possiamo predire le distribuzioni di probabilita' delle grandezze che misuriamo di un conteggio k P(k) binomiale e il suo limite gaussiano e poissoniano della frequenza di conteggio F=k/n P(F) del risultato x di una misura g(x) gaussiana approx della media aritmetica xbar di n misure gaussiana g(xbar) approx della stima S della devsta di n misure

3 Comiciamo ad applicare alle misure La piu semplice misura il conteggio n-k x x x x x x x x del numero k di successi su n prove - k x x x x x x + Possiamo predire (Laplace) la distribuzione di k! E la distribuzione binomiale e, quindi, quella di F=k/n (Venn) la frequenza in particolare per n

4 Sia data una distribuzione di probabilita qualunque p 1 p j-1 p j - p j+1. p h Supponiamo che ci stia a cuore solo il j-simo di h esiti p q q = Σ p = p j i j p i insuccesso successo Supponiamo di fare una serie di n prove per tentare una stima di p + due esiti : testa e croce insuccesso, successo p e q qualunque (p+q=1) possiamo predire le probabilita (la distribuzione delle probabilita ) di avere k successi (e quindi n-k insuccessi) su n prove per ogni valore della variabile casuale k k=0,1,2,.k-1, k, k+1,. n P n (k) La distribuzione binomiale di Bernoulli

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10 E sparito n 2!

11 Conclusioni <k>=m= np σ(k)= <(k-m) 2 >= npq di grande portata soprattutto per F =k/n Le distribuzioni di probabilita di F non hanno forma compatta semplice come per k Ma, quel che conta e che <F>=<k>/n= p! fluttuano proprio intorno a p σ (F)= <(F-p) 2 >= <(k/n- p) 2 >= <(k-np) 2 > /n= σ(k)/n= pq/n anzi, si stringono, per n!!!!! intorno a p

12 si sposta piu di quanto si allarghi!!!!!!!! il centro della distribuzione <k>=m= np ogni nuova prova aggiunge 1 addendo p la larghezza della distribuzione σ(k)= <(k-m) 2 >= npq ogni nuova prova aggiunge 1 sotto radice CIASCUN CONTEGGIO AGGIUNGE un contributo pq = σ 0 2 ALLA VARIANZA AL QUADRATO DELLA DEVIAZIONE Standard La somma e dei quadrati. e una somma in quadratura

13 lancio di N monete p=q=1/2 2 monete P j 1/2 1/4 1/4 2 testa 0 croce -2 1 testa 1 croce 0 0 testa 2 croce +2 3 monete P j 3/8 3/8 1/8 1/8 3 testa 0 croce -3 2 testa 1 croce -1 1 testa 2 croce +1 0 testa 3 croce +3 NB primi esempi di distribuzioni binomiali La distribuzione accenna gia ad una campana si allarga e si abbassa (Kolmogorov) intorno al centro (N/2) che si sposta si sposta piu di quanto si allarghi!!!!!!!! <k>=m= np σ(k)= <(k-m) 2 >= npq

14 lancio di N monete p=q=1/2 2 monete P j 1/2 1/4 1/4 scarto k-(n-k)=2k-n 3 monete P j 2 testa 0 croce /8 1 testa 1 croce 0 0 3/8 0 testa 2 croce /8 1/8 N-k k (k-n/2) 2 (k-n/2) 3 testa 0 croce -1,5-3 2 testa 1 croce -0,5-1 1 testa 2 croce +0, testa 3 croce +1,5 +3 N-k k (k-n/2) 2 (k-n/2) N/2 N/2 k 0 0 N-k (k-n/2) 2 (k-n/2) La variabile scarto k-n/2 ci sara presto naturale N successi -N insuccessi, suo doppio, utile un po piu avanti

15 Vediamo meglio : testa o croce p=q= ½ dopo 2 monete, 3 monete 20 monete Lanciando 20 monete le probabilita di avere k teste sono

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17 E se n diventa davvero grande Vedremo che m k =n/2 σ k = n/2 σ k /m k =1/ n σ F = σ k /n = p σ k /m k = 1/(2 n)

18 la legge degli scarti x= = k - n/2 della binomiale di p=1/2, per n molto grande e' la distribuzione gaussiana P Gauss ( ) = π σ e -1/2( /σ) 2 con σ = n / 2 = npq... inevitabilmente NB... degli scarti ridotti /σ... a dire il vero!

19 P(0)=1/ 2πσ = 2/πΝ si abbassa solo come 1/ N N=n 9% 8% 7% 6% P (k -N /2 ) 5% 4% 3% σ= N/2 si allarga solo come N N=1000 N=100 2% 1% 0% scarto k-n/2

20 vedi box 1 N molto grande 2x/n piccolo vedi box 2

21 box 1 vedi box 3 box 2 vedi box4

22 box 3

23 box 4

24 Cambiamo ora, come anticipavamo, la variabile casuale da da k a k/n= F non facile algebricamente, P (F) = P(nF) = ( n Fn) pfn q n-fn = ma facile con un computer anche con n grande P(k) CONCLUDEREMO CHE P(F) npq pq/n k F 0 np n 0 p 1 Per n che cresce la larghezza npq della distribuzione dei k cresce meno del suo valore medio np si traduce in la larghezza pq/n della distribuzione delle F decresce!! si addensa!!!!!!!! intorno al valore medio p, costante

25 P(F) al crescere di n, per p = 1/2 P F La distribuzione di F si abbassa anch essa ma non si allarga, si stringe! addensandosi sempre piu sugli esiti (n+1 in totale) raccolti intorno a p σ(f)= pq/n = 1/ 4n

26 Analiticamente, dal fatto che concludiamo che, giacche F-p = k/n-1/2 = x / N lo scarto F-p da P (F) df = P(x) dx discende che P (F) = P(x) dx/df = N P(x) 1 P Gauss (F) = 2π /( 4N) e -(F-p) 2 /2/( 4N) 2 con σ F = 1 / ( 4N)

27 Ancora piu espressivo, su scala logaritmica F P NB non e dovuto alla scelta particolare p=1/2

28 Che succede per p=1/3, ad esempio

29 E per p=1/3 e n? P F Si stringe intorno ad F= 1/3 = p e somiglia ad una campana! benche non sia piu davvero simmetrica come rivela la scala logaritmica P F

30 Conclusione La distribuzione di probabilita della frequenza F = k/n (Venn) di successi in un conteggio e centrata intorno alla probabilita p di successo (Laplace) sempre piu strettamente σ(f)= pq/n 1/ n Gli approcci di Venn e Laplace possono essere coerenti

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34 σ 2 Poisson = m σ Poisson = m regola d oro dei conteggi Poissoniani m± m spesso in pratica k± k σ Binomiale = mq < σ Poisson = m nondimeno m utile limite superiore anche per conteggi Binomiali

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41 =

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43 In una citta ci sono in media 5 nascite al giorno La probabilita che ce siano k in un giorno e P 5 (k) = 5 k e -5 /k! Esempio di probabilita poissoniana E certo un evento raro Se ci sono ad es. 50mila famiglie, la probabilita =10-4 sara 5/50mila NB resta solo 5 = 50000* e 10-4 scompaiono

44 Esempio di probabilita poissoniana Se da un campione di radio ci sono in media 1 disintegrazione al minuto (di 100K nuclei, ad es, p=10-5 ) la probabilita che ce siano k al minuto e P 1 (k) = 1 k e -1 /k! e -1 = 0,37 = 0,37/5! = 0,015 =0,3% = 0,37 = 0,37 = 0,37/2=0,18 = 0,37/3! = 0,06 = 0,37/4! = 0,015 =1,5%

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48 Ritorniamo a lim F p

49 NB freccette!!

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51 formula usate nella stima di chiquadro

52 La formulazione finale viene dalla diseguaglianza di Bienayme-Cebicev ~1/n la probabilita che F differisca da p piu di ε si annulla per n

53 Missione compiuta