MEDIA aritmetica semplice (Gli indicatori di posizione)

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1 STATISTICA E RICERCA DIDATTICA Note di statistica e metodi di ricerca Il 94.5 % delle statistiche e' sbagliato. Woody Allen Non esistono i dati, solo interpretazioni! Friedrich Nietzsche Laurea in Scienze dell Educazione Insegnamento di Pedagogia Sperimentale (Prof. Paolo Frignani) Modulo di Statistica e Ricerca Didattica (Dott. Giorgio Poletti giorgio.poletti@unife.it MEDIA aritmetica semplice (Gli indicatori di posizione) La MEDIA è un insieme di indicatori di posizione *, (anche se spesso con media si intende la media aritmetica). Le principali medie sono: media aritmetica, media geometrica, media armonica e media di potenza. Le medie possono essere classificate come semplici o ponderate. La media aritmetica semplice è il valore che si ottiene sommando tutti i dati e dividendo la somma per il numero dei dati stessi. Media aritmetica semplice di N valori Media aritmetica semplice di 3 voti ad esami: 20, 30 e 25: X = ( )/3 = 75/3 = 25 1

2 MEDIA aritmetica ponderata (Gli indicatori di posizione) La media aritmetica ponderata (media pesata) è una media aritmetica in cui, i singoli valori, prima di essere sommati vengono moltiplicati con il peso (ponderazione) a loro assegnato. Il peso di ciascun valore è in genere rappresentato dal numero di volte in cui i valori figurano (frequenza), ma può significare anche l'importanza (oggettiva o soggettiva) che il singolo valore riveste nella distribuzione. La divisione di conseguenza non viene fatta con il numero di valori, ma con la somma dei pesi. Media aritmetica ponderata dove f i è il peso assegnato al dato i Media aritmetica ponderata di 3 voti ad esami: 20 (3 cfu), 30 (1 cfu) e 25 (5 cfu): X = (20*3+30*1+25*5)/(3+1+5)= = ( )/9 = 215/9= 23,88 MEDIA geometrica semplice (Gli indicatori di posizione) La media geometrica (semplice) è l'n-esima radice del prodotto di tutti gli N valori. La media geometrica viene usata soprattutto quando i diversi valori vengono per loro natura moltiplicati tra di loro e non sommati. Esempio tipico sono i tassi di crescita (anche i tassi d'interesse o i tassi d'inflazione), adeguatamente modificati. Media geometrica semplice Media geometrica semplice della percentuale di laurati in corso degli ultimi 5 anni: 3,2% per il 2004, 2,7% (2005), 2,8% (2006), 2,2% (2007) e 3,2% (2008). Essendo valori percentuali si moltiplica per 100 e si somma 1 per cui si ha: 1,032 1,027 1,028 1,022 1,032 e moltiplicandoli (Π) tra loro : Πx i =1,49142 ed essendo 5 i valori si calcola la radice 5: M g = 5 1,49142=1, Media geometrica ponderata 2

3 MEDIA armonica (Gli indicatori di posizione) La media armonica (M h ) è il reciproco della media aritmetica dei reciproci. Particolarmente utile per qualche tipo di variabili come ad esempio per calcolare la velocità media lungo un percorso. Valori (sia positivi che negativi) vicini allo zero, sono molto più importanti di valori grandi. Infatti se in autostrada percorriamo metà del percorso a 120 km/h, e l'altra metà a 10 km/h, la velocità media complessiva è molto più vicina a 10 che a 120. Media armonica (N numero di valori) Sia il tratto A che il tratto B sono lunghi 120 km. Percorrendo il primo tratto a 120 km/h impieghiamo 1 ora, per fare il secondo tratto a 10 km/h impieghiamo 12 ore. Complessivamente impieghiamo 13 ore, percorrendo così l'intero percorso ad una media di 240km/13h = 18,46 km/h. M h = 2 /(1/120+1/10) = 2/(0, ,1)=2/0,10833 = 18,46 MEDIA di potenza (Gli indicatori di posizione) La media di potenza di ordine s M (s) è la radice s-ma della media aritmetica delle potenze di esponente s dei valori Media di potenza (N numero di valori) 3

4 INDICI di Dispersione INDICI di DISPERSIONE indicatore di dispersione descrive sinteticamente indice di variabilità indice di variazione attraverso la misura distribuzione statistica quantitativa distanza dei valori da un valore centrale identificato attraverso INDICI DI POSIZIONE, come MEDIA e MEDIANA VARIANZA (Indici di dispersione) La VARIANZA (σ 2 ) ed è nulla solo nei casi in cui tutti i valori sono uguali tra di loro (e pertanto uguali alla loro media) e cresce con il crescere delle differenze reciproche dei valori (se n è il valore 1/n è il suo reciproco. Formula della Varianza (µ rappresenta la media aritmetica dei valori x i.) VARIANZA su una serie di 6 voti ad esami: 20, 30, 21, 30, 27 e 22: La media µ è 25, n è 6 e la varianza è data da: σ 2 = 1/6 * ( (20-25) 2 + (30-25) 2 +(21-25) 2 +(30-25) 2 +(27-25) 2 +(22-25) 2 = =1/6 * ( ) =1/6 *104 = 17,33 La DEVIAZIONE STANDARD (σ) è la radice quadrata della varianza (nel caso in esempio è radice quadrata di 17,33 cioè 4,16) 4

5 COEFFICIENTI di VARIAZIONE (Indici di dispersione) Il COEFFICIENTI di VARIAZIONE consente permette di confrontare misure di fenomeni misurati con unità di misura, trattati come numero puro (ovvero non riferito ad alcuna unità di misura). Formula del coefficiente di variazione (CV) (µ rappresenta la media aritmetica dei valori xi e σ e la deviazione standard). VARIABILE CASUALE Una VARIABILE CASUALE può essere definita come un risultato, di tipo numerico, di un esperimento quando è di tipo non deterministico. VARIABILE CASUALE detta VARIABILE ALEATORIA VARIABILE STOCASTICA RANDOM VARIABLE stochazein, tirare al bersaglio con l'arco Esempio il tiro di un dado è una variabile casuale (può assumere i valori 1,2,3,4,5,o 6) 5

6 VARIABILE CASUALE Una VARIABILE CASUALE può essere definita come un risultato, di tipo numerico, di un esperimento quando è di tipo non deterministico. VARIABILE CASUALE è di tipo VARIABILE DISCRETA VARIABILE CONTINUA assegna ad ogni valore possibile di X la probabilità dell'evento elementare (X = x), cioè la probabilità che la variabile X assuma esattamente quel valore Evento elementare ω uno dei possibili esiti dell esperimento. (discrete) Una VARIABILE CASUALE può essere definita come un risultato, di tipo numerico, di un esperimento quando è di tipo non deterministico. variabile casuale uniforme discreta variabile casuale binomiale e il caso particolare variabile casuale bernoulliana variabile casuale poissoniana detta pure legge degli eventi rari variabile casuale geometrica o di Pascal variabile casuale ipergeometrica variabile casuale degenere 6

7 (discrete) variabile casuale uniforme discreta La funzione di probabilità P è uguale per tutti i valori. Per cui P è l inverso del numero dei valori (n) P(k) = 1 / n, ove k=1,2,...,n Esempio: il tiro di un dado (numero di valori 6) la funzione di probabilità di uno qualsiasi dei numeri che possono sortire è 1/6; P(2) = 1/6 (la probabilità che esca 2 in un tiro) 1/n 1 n (discrete) variabile casuale binomiale Variabile che si applica alla descrizione di prove dicotomiche stocasticamente indipendenti tra loro. Per ogni evento di due soli possibili stati successo o insuccesso Caratterizzata da: p: la probabilità di successo della singola prova (0<p<1, l evento non può essere impossibile o sicuro) n: il numero di prove Detto k il numero di successi in n prove la distribuzione di probabilità associa ad ogni valore K la sua probabilità di successo è: Dove si utilizza il concetto di coefficiente binomiale che indica in quanti modi distinti si possono presentare i k successi in n prove: Nota: n! (n fattoriale); ad esempio 5! = 5*4*3*2*1 e 0!=1 7

8 (discrete) variabile casuale binomiale bernulliana (da Jakob Bernoulli) La più semplice variabile casuale; dicotomica, con due sole modalità 0 (insuccesso) o 1 (successo), a cui sono associate le probabilità p e 1-p. Esempio: una variabile di questo tipo è applicabile in situazioni come quelle in cui si vuole calcolare se il lancio di un dado da un valore maggiore di 5 o ad un esame scritto si può rispondere esattamente a più del 60% delle domande. (discrete) variabile casuale poissoniana ( detta pure legge degli eventi rari) Variabile che esprime la probabilità di un numero di eventi che si verificano in un periodo di tempo fissato se questi eventi hanno una media conosciuta e accadono indipendentemente dall'evento precedente; questa variabile può essere anche usata per eventi di altri specifici intervalli come la distanza, l'area o il volume. Funzione di probabilità della legge degli eventi rari: λ (valore maggior di 0) numero di successi attesi nel periodo considerato e numero di Nepero (costante 2, ) x numero di successi che si intende prevedere 8

9 (discrete) variabile casuale poissoniana ( detta pure legge degli eventi rari) Esempio - Calcolare la probabilità che un qualsiasi studente abbia bisogno di pratiche della segreteria studenti nel corso di un anno. Utilizziamo a come esempio una ipotetica tabella di rilevazione: N.ro pratiche N.ro studenti Tot. pratiche In base a tale tabella, in questo caso, λ è 105/100=1,05 e ponento x=0 (lo studente non ha mai bisogno della segreteria) la formula dice che la probabilità che uno studente non abbia mai bisogno della segreteria è: P(0) = (e -1,05 * 1,05 0 )/0! = 0,349 per cui la probabilità cercata è P 1 = 1-0,349=0, Funzione di probabilità della legge degli eventi rari: λ (valore maggior di 0) numero di successi attesi nel periodo considerato e numero di Nepero (costante 2, ) x numero di successi che si intende prevedere (continue) Una VARIABILE CASUALE può essere definita come un risultato, di tipo numerico, di un esperimento quando è di tipo non deterministico. variabile casuale normale o gaussiana variabile casuale Gamma o Erlanghiana variabile casuale t di Student variabile casuale esponenziale negativa, caso particolare di Gamma variabile casuale Chi Quadrato χ², caso particolare di Gamma variabile casuale Beta variabile casuale rettangolare o uniforme continua variabile casuale di Cauchy 9

10 (continue) variabile casuale normale o gaussiana Variabile (detta anche curva di Gauss, Campana di Gauss, curva degli errori, curva a campana, ogiva) indicata: (µ media e σ 2 varianza) Variabile tra le più importanti, per essere, tra l altro la base di partenza per altre variabili casuali tra le quali Chi Quadrato e t di Student. Funzione di densità di probabilità (continue) variabile casuale Gamma o Erlanghiana Variabile casuale Gamma o variabile casuale erlanghiana è una variabile casuale continua che viene definita da due parametri (indicati qui di seguito con a e p). (a volte si usa la dicitura "Gamma" solo per a=1, e "Erlanghiana negli altri casi. Viene usata per via di alcuni suoi casi particolari e per il suo ruolo nell'inferenza bayesiana. L'inferenza bayesiana è un approccio all'inferenza statistica in cui le probabilità non sono interpretate come frequenze, proporzioni o altri concetti simili, ma piuttosto come livelli di fiducia nel verificarsi di un dato evento. Il nome deriva dal teorema di Bayes, che costituisce il fondamento di questo approccio. 10

11 (continue) variabile casuale t di Student Variabile che deve il suo nome allo pseudonimo Student usato da William Sealy Gosset, ideatore dell omonimo test; la variabile venne identificata da Ronald Fisher. Date 2 variabili aleatorie indipendenti Y e che seguano rispettivamente la distribuzione normale ridotta e la distribuzione chi-quadro con g gradi di libertà, la variabile t di Student si formalizza Test di Student è un test di significatività del campione rispetto alla popolazione (UNIVERSO) (continue) variabile casuale Chi Quadrato χ², caso particolare di Gamma Variabile che è un caso particolare della variabile Gamma con a=1/2 e p=g/2 (dove g sono i gradi di libertà) Questa variabile è un indice di indipendenza, misura la distanza della distribuzione di frequenza osservata, dalla distribuzione di frequenza teorica che si avrebbe in caso di indipendenza. Assume valore 0 in caso di indipendenza. 11

12 Link utili