Statistica. Esercitazione 9. Alfonso Iodice D Enza Università degli studi di Cassino. Statistica. A. Iodice

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1 Esercitazione 9 Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino () 1 / 56

2 Outline () 2 / 56

3 Teoria della La teoria della è, al fondo, semplice buon senso tradotto in calcolo; ci fa valutare con esattezza ci che una mente ragionevole sente per una sorta di istinto...molte delle più importanti questioni della vita sono dei problemi di. (Pierre Simon De Laplace) () 3 / 56

4 Teoria della La ha una duplice natura: un concetto primitivo: ogni essere umano ha la capacità di considerare piú o meno possibile il verificarsi di un determinato evento una misura: possibile infatti associare al concetto primitivo una quantificazione numerica () 4 / 56

5 Teoria della La ha una duplice natura: un concetto primitivo: ogni essere umano ha la capacità di considerare piú o meno possibile il verificarsi di un determinato evento una misura: possibile infatti associare al concetto primitivo una quantificazione numerica concetto ma non misura Anche il più sprovveduto dei giocatori di poker sa perfettamente che ricevere dal banco un poker servito è meno probabile di ricevere una coppia. Non è così scontato che sappia assegnare una misura alla sua sensazione (...del resto, se un giocatore di poker sprovveduto...). () 4 / 56

6 Caratteristiche di un esperimento probabilistico La necessità di trovare una misura delle associate a diverse situazioni reali induce ad effettuare degli esperimenti probabilistici: indipendentemente dal fenomeno oggetto di studio, tali esperimenti hanno degli elementi comuni: 1 incertezza del risultato 2 ripetibilità dell esperimento 3 equi dei risultati () 5 / 56

7 Caratteristiche di un esperimento probabilistico La necessità di trovare una misura delle associate a diverse situazioni reali induce ad effettuare degli esperimenti probabilistici: indipendentemente dal fenomeno oggetto di studio, tali esperimenti hanno degli elementi comuni: 1 incertezza del risultato 2 ripetibilità dell esperimento 3 equi dei risultati Tali aspetti non caratterizzano la tà degli esperimenti probabilistci: tutti gli esperimenti sono caratterizzati da incertezza nei risultati molti esperimenti sono ripetibili alcuni esperimenti conducono a esiti equiprobabili () 5 / 56

8 Definizione classica di Dato un esperimento i cui esiti siano tutti ugualmente probabili, la del verificarsi di un certo evento A è data dal rapporto tra m, numero di esiti possibili che determinano il verificarsi di A, ed n numero di possibili esiti dell esperimento. () 6 / 56

9 Definizione classica di Dato un esperimento i cui esiti siano tutti ugualmente probabili, la del verificarsi di un certo evento A è data dal rapporto tra m, numero di esiti possibili che determinano il verificarsi di A, ed n numero di possibili esiti dell esperimento. P (A) = m n () 6 / 56

10 Definizione classica di Dato un esperimento i cui esiti siano tutti ugualmente probabili, la del verificarsi di un certo evento A è data dal rapporto tra m, numero di esiti possibili che determinano il verificarsi di A, ed n numero di possibili esiti dell esperimento. P (A) = m n Tale tipo di definizione presuppone che l esperimento probabilistico risponda ai requisiti di incertezza, ripetibilità ed equi dei risultati. () 6 / 56

11 Definizione frequentista di Ripetendo n volte un esperimento nelle medesime condizioni, la di un evento A è il limite cui tende la frequenza relativa dell evento al crescere del numero di prove. In particolare, se n è il numero di ripetizioni dell esperimento () 7 / 56

12 Definizione frequentista di Ripetendo n volte un esperimento nelle medesime condizioni, la di un evento A è il limite cui tende la frequenza relativa dell evento al crescere del numero di prove. In particolare, se n è il numero di ripetizioni dell esperimento P (A) = lim n + freq(a) n () 7 / 56

13 Definizione frequentista di Ripetendo n volte un esperimento nelle medesime condizioni, la di un evento A è il limite cui tende la frequenza relativa dell evento al crescere del numero di prove. In particolare, se n è il numero di ripetizioni dell esperimento P (A) = lim n + freq(a) n Tale tipo di definizione presuppone che l esperimento probabilistico risponda ai requisiti di incertezza, ripetibilità ma non richiede l equi dei risultati. () 7 / 56

14 Definizione soggettivista di In alcuni casi ci si domanda quale sia la associata ad eventi che risultano da esperimenti che non sono equiprobabili o ripetibili. Se è lecito domandarsi se quale sia la che in un altro sistema solare si siano sviluppate forme di vita analoghe alla nostra, è altrettanto vero che tale esperimento non presenta requisiti di equi o di ripetibilità. () 8 / 56

15 Definizione soggettivista di In alcuni casi ci si domanda quale sia la associata ad eventi che risultano da esperimenti che non sono equiprobabili o ripetibili. Se è lecito domandarsi se quale sia la che in un altro sistema solare si siano sviluppate forme di vita analoghe alla nostra, è altrettanto vero che tale esperimento non presenta requisiti di equi o di ripetibilità. Definizione soggettivista di : la di un evento A possibile risultato di un esperimento dato dalla somma che un individuo (coerente) sarebbe disposto a puntare sul verificarsi di A in cambio di una vincita unitaria (assumendo che si tratti di un gioco equo). () 8 / 56

16 Definizione soggettivista di In alcuni casi ci si domanda quale sia la associata ad eventi che risultano da esperimenti che non sono equiprobabili o ripetibili. Se è lecito domandarsi se quale sia la che in un altro sistema solare si siano sviluppate forme di vita analoghe alla nostra, è altrettanto vero che tale esperimento non presenta requisiti di equi o di ripetibilità. Definizione soggettivista di : la di un evento A possibile risultato di un esperimento dato dalla somma che un individuo (coerente) sarebbe disposto a puntare sul verificarsi di A in cambio di una vincita unitaria (assumendo che si tratti di un gioco equo). Tale tipo di definizione presuppone la sola incertezza dei risultati dell esperimento. () 8 / 56

17 prova: un esperimento soggetto ad incertezza evento: uno dei possibili risultati della prova : un valore numerico associato ad un evento () 9 / 56

18 prova: un esperimento soggetto ad incertezza evento: uno dei possibili risultati della prova : un valore numerico associato ad un evento la prova genera l evento con una certa () 9 / 56

19 Algebra degli eventi spazio campione Ω: l insieme di tutti i possibili esiti di una prova () 10 / 56

20 Algebra degli eventi Data una prova, l insieme dei possibili esiti, ad esempio, Ω = {A, B, C, D} Le operazioni possibili sugli eventi sono unione: F = (A B). L evento F si verifica pertanto quando l esito della prova A o B. intersezione: G = (C B). L evento G associato al verificarsi contemporaneo degli eventi C e B negazione: H = (A). H si verifica per qualunque esito della prova che non sia A () 11 / 56

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28 Algebra degli eventi Si consideri la prova lancio di un dado. Lo spazio campione Si considerino i seguenti eventi Ω = {E 1, E 2, E 3, E 4, E 5, E 6 } () 13 / 56

29 Algebra degli eventi Si consideri la prova lancio di un dado. Lo spazio campione Ω = {E 1, E 2, E 3, E 4, E 5, E 6 } Si considerino i seguenti eventi A = {E 1, E 2 }, B = {E 3, E 4, E 5 }, C = {E 1, E 4, E 6 } () 13 / 56

30 Algebra degli eventi Si consideri la prova lancio di un dado. Lo spazio campione Ω = {E 1, E 2, E 3, E 4, E 5, E 6 } Si considerino i seguenti eventi A = {E 1, E 2 }, B = {E 3, E 4, E 5 }, C = {E 1, E 4, E 6 } A B = {E 1, E 2, E 3, E 4, E 5 } A C = {E 1, E 2, E 4, E 6 } A C = {E 1 } B C = {E 4 } A = {E 3, E 4, E 5, E 6 } () 13 / 56

31 Algebra degli eventi: esempi Si consideri un urna contenente tre palline: una rossa (R) una verde (V) ed una blue (B). L esperimento consiste nell estrarre una pallina, reinserirla nell urna, dunque estrarre nuovamente una pallina Si indichi: Soluzione lo spazio campione Ω dell esperimento l evento composto la prima pallina estratta è verde l evento composto si estrae due volte la stessa pallina Lo spazio campione è Ω = {(R, R), (R, V ), (R, B), (V, R), (V, V ), (V, B), (B, R), (B, V ), (B, B)} l evento composto la prima pallina estratta è verde è {(V, R), (V, V ), (V, B)} l evento composto si estrae due volte la stessa pallina è {(R, R), (V, V ), (B, B)} () 14 / 56

32 Algebra degli eventi: esempi Un impiegato ospedaliero classifica i pazienti sulla di due criteri: condizioni di salute e presenza di copertura assicurativa. In particolare, le condizioni di salute vengono valutate buone (B), stabili (S), gravi (G) o critiche (C); la presenza di copertura assicurativa viene contrassegnata da 1, altrimenti 0. Si indichi: lo spazio campione Ω dell esperimento l evento composto paziente in condizioni gravi o critiche non coperto da assicurazione l evento composto paziente in condizioni buone o stabili l evento composto paziente coperto da assicurazione Soluzione Lo spazio campione è Ω = {(B, 1), (S, 1), (G, 1), (C, 1), (B, 0), (S, 0), (G, 0), (C, 0)} l evento composto paziente in condizioni gravi o critiche non coperto da assicurazione è {(G, 0), (C, 0)} l evento composto paziente in condizioni buone o stabili è {(B, 1), (S, 1), (B, 0), (S, 0)} l evento composto paziente coperto da assicurazione è {(B, 1), (S, 1), (G, 1), (C, 1)} () 15 / 56

33 del calcolo delle Di seguito sono riportati i postulati del calcolo delle di Kolmogorov. Siano E i, i = 1, 2,... eventi di uno spazio campione Ω. La di un evento E si indica con P (E) ed assume valori reali che soddisfa i seguenti postulati () 16 / 56

34 del calcolo delle Di seguito sono riportati i postulati del calcolo delle di Kolmogorov. Siano E i, i = 1, 2,... eventi di uno spazio campione Ω. La di un evento E si indica con P (E) ed assume valori reali che soddisfa i seguenti postulati Postulato 1: P (E i ) 0, E i Ω () 16 / 56

35 del calcolo delle Di seguito sono riportati i postulati del calcolo delle di Kolmogorov. Siano E i, i = 1, 2,... eventi di uno spazio campione Ω. La di un evento E si indica con P (E) ed assume valori reali che soddisfa i seguenti postulati Postulato 1: P (E i ) 0, E i Ω Postulato 2: P (Ω) = 1 () 16 / 56

36 del calcolo delle Di seguito sono riportati i postulati del calcolo delle di Kolmogorov. Siano E i, i = 1, 2,... eventi di uno spazio campione Ω. La di un evento E si indica con P (E) ed assume valori reali che soddisfa i seguenti postulati Postulato 1: P (E i ) 0, E i Ω Postulato 2: P (Ω) = 1 Postulato 3: P (E i E j ) = P (E i ) + P (E j ) se E i E j = () 16 / 56

37 condizionate La che si verifichi un evento B posto che si sia verificato l evento A si definisce P (B A) = P (A B) P (A) () 17 / 56

38 condizionate La che si verifichi un evento B posto che si sia verificato l evento A si definisce P (B A) = P (A B) P (A) A partire dalla definizione di condizionata, possibile definire la dell intersezione per eventi compatibili P (B A) = P (A)P (B A) () 17 / 56

39 ed eventi A e B incompatibili P (A B) = P (A) + P (B) P (B A) = 0 () 18 / 56

40 ed eventi A e B incompatibili P (A B) = P (A) + P (B) P (B A) = 0 A e B compatibili P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) () 18 / 56

41 ed eventi A e B incompatibili P (A B) = P (A) + P (B) P (B A) = 0 A e B compatibili P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (B A)= () 18 / 56

42 ed eventi A e B incompatibili P (A B) = P (A) + P (B) P (B A) = 0 A e B compatibili P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (B A)= se A e B indipendenti: P (A) P (B) () 18 / 56

43 ed eventi A e B incompatibili P (A B) = P (A) + P (B) P (B A) = 0 A e B compatibili P (A B) = P (A) + P (B) P (A B) P (B A)= se A e B indipendenti: P (A) P (B) se A e B dipendenti: P (B A) P (A) oppure P (A B) P (B) () 18 / 56

44 Sommare le di eventi compatibili Un negozio accetta due tipi di carte di credito: AMERICAN EXPRESS (A) e VISA (V). Il 22% dei clienti del negozio usa AMERICAN EXPRESS, mentre il 58% utilizza VISA. Il 14% dei clienti possiede entrambe le carte. Soluzione Quanti clienti possiede almeno una delle carte di credito? In termini probabilistici le informazioni sono esprimibili in questo modo P (A) = 0.22 P (V ) = 0.58 P (A V ) = 0.14 La cercata è P (A B), formalmente P (A V ) = P (A) + P (V ) P (A V ) = = 0.66 () 19 / 56

45 condizionate: un esempio Un esperimento consiste nel lancio di due dati (D 1 e D 2): Sapendo che il risultato del primo lancio è D 1 = 4 quale è la che D 1 + D 2 = 10? Soluzione In termini probabilistici, poichè i possibili esiti per ciascun lancio sono 6 e i lanci in totale sono 2 lo spazio campione consiste di Ω = 6 2 = 36 eventi. sia A l evento lancio di due dati, con il primo lancio che risulta pari a 4. I risultati per i quali si verifica A sono {(4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6)}, da cui risulta che P (A) = 6 36 sia B l evento lancio di due dati, la somma dei risultati è pari a 10. I risultati per i quali si verifica B sono {(6, 4), (4, 6), (5, 5), (5, 5)}. Tuttavia l evento (A B) si verifica solo per {(4, 6)}, dunque P (B A) = P (A B) P (A) = 1/36 6/36 = 1 6 () 20 / 56

46 Esercizio elementari Due giocatori professionisti di scacchi A e B nella loro carriera hanno giocato contro 12 volte. Il giocatore A ha avuto la meglio in 6 occasioni, mentre B ha vinto quattro volte. In due occasioni la partita è stata patta. Si sfidano in un torneo su tre partite. Qual è la che A vinca tutte le partite del torneo? Qual è la che due delle partite risultino patte? Qual è la che le tre partite siano vinte in modo alternato dai giocatori? Qual è la che B vinca almeno una partita? () 21 / 56

47 Esercizio elementari: svolgimento...prima di Sulla degli scontri precedenti: P (A) = 6 12 = 1 è la che A vinca una partita 2 P (B) = 4 12 = 1 è la che B vinca una partita 3 P (T ) = 2 12 = 1 è la che una partita finisca patta 6 Qual è la che A vinca tutte le partite del torneo? P (A 1 A 2 A 3 ) = P (A 1 ) P (A 2 ) P (A 3 ) = = 1 8 Qual è la che due delle partite risultino patte? P ((T 1 T 2 T 3 ) (T 1 T 2 T 3 ) ( T 1 T 2 T 3 )) = = P (T 1 ) P (T 2 ) P ( T 3 ) + P (T 1 ) P ( T 2 ) P (T 3 )+ + P ( T 1 ) P (T 2 ) P (T 3 ) = = = = 5 72 () 22 / 56

48 Esercizio elementari: svolgimento...prima di Sulla degli scontri precedenti: P (A) = 6 12 = 1 è la che A vinca una partita 2 P (B) = 4 12 = 1 è la che B vinca una partita 3 P (T ) = 2 12 = 1 è la che una partita finisca patta 6 Qual è la che le tre partite siano vinte in modo alternato dai giocatori? P ((A 1 B 2 A 3 ) P (B 1 A 2 B 3 )) = = P (A 1 ) P (B 2 ) P (A 3 ) + P (B 1 ) P (A 2 ) P (B 3 ) = = = 5 36 Qual è la che B vinca almeno una partita? Questo evento è il complemento ad 1 di B non vince nessuna partita 1 P ( B 1 B 2 B 3 ) = 1 P ( B 1 ) P ( B 2 ) P ( B 3 ) = = () 23 / 56

49 Teorema delle Dato uno spazio campione Ω composto di E 1, E 2,... eventi, allora per ogni evento A Ω si ha che P (A) = + i=1 P (A E i )P (E i ) Vale a dire che la dell evento A data dalla media ponderata delle condizionate P (A E i ) con pesi dati da P (E i ). () 24 / 56

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56 Partizione equiprobabile Dato un insieme di eventi E 1, E 2,..., E n, essi si definiscono partizione equiprobabile di Ω se: () 31 / 56

57 Partizione equiprobabile Dato un insieme di eventi E 1, E 2,..., E n, essi si definiscono partizione equiprobabile di Ω se: sono eventi necessari ovvero E 1 E 2... E n = Ω sono eventi incompatibili ovvero E i E j =, i j con i, j = 1,..., n sono eventi equiprobabili ovvero P (E 1 ) = P (E 2 ) =... = P (E n ) In questo caso la misura della di ciascun evento E i P (E i ) = 1 n in maniera coerente rispetto ai postulati di Kolmogorov. () 31 / 56

58 Partizione equiprobabile Dato un insieme di eventi E 1, E 2,..., E n, essi si definiscono partizione equiprobabile di Ω se: sono eventi necessari ovvero E 1 E 2... E n = Ω sono eventi incompatibili ovvero E i E j =, i j con i, j = 1,..., n sono eventi equiprobabili ovvero P (E 1 ) = P (E 2 ) =... = P (E n ) In questo caso la misura della di ciascun evento E i P (E i ) = 1 n in maniera coerente rispetto ai postulati di Kolmogorov. evento composto Analogamente, dato un evento A Ω che risulta essere A = E 1 E 2... E m, la di A data da P (A) = P (E 1 E 2... E m ) = P (E 1 ) + P (E 2 ) P (E m ) = m n () 31 / 56

59 Partizione equiprobabile () 32 / 56

60 Partizione equiprobabile Gli esiti delle prove lancio di un dado numero uscito alla roulette estrazione di una pallina da un urna sono esempi di partizione equiprobabile. () 32 / 56

61 Partizione equiprobabile e misura della A partire dalla misura della degli eventi elementari di partizioni equiprobabili possibile calcolare la di eventi generati da prove i cui eventi elementari siano equiprobabili. () 33 / 56

62 Partizione equiprobabile e misura della A partire dalla misura della degli eventi elementari di partizioni equiprobabili possibile calcolare la di eventi generati da prove i cui eventi elementari siano equiprobabili. Esempio 1 Si consideri la prova lancio di due monete, l insieme dei possibili risultati, vale a dire lo spazio campione Ω dato dagli eventi elementari E 1 = (T, T ), E 2 = (C, T ), E 3 = (T, C), E 4 = (C, C). L evento almeno una dei risultati testa avr data da P (E 1 E 2 E 3 ) = = 3 4 () 33 / 56

63 Partizione equiprobabile e misura della Esempio 2 Si consideri la prova estrazione di una pallina da un urna. Se nell urna ci sono cinque palline, tre nere e due bianche, l insieme dei possibili risultati, vale a dire lo spazio campione Ω dato dagli eventi elementari E 1 = N 1, E 2 = N 2, E 3 = N 3, E 4 = B 1, E 5 = B 2. L evento estrazione di una pallina bianca avr data da P (E 4 E 5 ) = = 2 5 () 34 / 56

64 Partizione equiprobabile e misura della Esempio 3 Si consideri la prova estrazione di due palline da un urna (CON REIMMISSIONE). Se nell urna ci sono cinque palline, tre nere e due bianche, si vuole la associata all evento le palline estratte sono entrambe bianche E = (B 1, B 2 ) avr data da P (B 1 B 2 ) = P (B 1 ) P (B 2 ) = = 4 25 () 35 / 56

65 Partizione equiprobabile e misura della Esempio 4 Si consideri la prova estrazione di due palline da un urna (SENZA REIMMISSIONE). Se nell urna ci sono cinque palline, tre nere e due bianche, si vuole la associata all evento le palline estratte sono entrambe bianche E = (B 1, B 2 ) avr data da P (B 1 B 2 ) = P (B 1 ) P (B 2 B 1 ) = = 1 10 () 36 / 56

66 si considerino gli eventi E 1, E 2,..., E k come cause che determinano l evento A. si consideri ad esempio l evento A come il manifestarsi di un sintomo ed i vari eventi E i le diverse malattie che possono aver causato il sintomo () 37 / 56

67 Si consideri che si verificato l evento A, si interessati (come spesso accade nelle applicazioni reali) a calcolare le che le cause E i abbiano determinato il verificarsi dell evento A, ovvero si vuole P (E i A) P (E i A) = P (E i A) P (A) () 38 / 56

68 Si consideri che si verificato l evento A, si interessati (come spesso accade nelle applicazioni reali) a calcolare le che le cause E i abbiano determinato il verificarsi dell evento A, ovvero si vuole P (E i A) P (E i A) = P (E i A) P (A) Inoltre, per il teorema delle k P (A) = P (A E i )P (E i ) i () 38 / 56

69 Si consideri che si verificato l evento A, si interessati (come spesso accade nelle applicazioni reali) a calcolare le che le cause E i abbiano determinato il verificarsi dell evento A, ovvero si vuole P (E i A) P (E i A) = P (E i A) P (A) Inoltre, per il teorema delle k P (A) = P (A E i )P (E i ) i Sapendo che la dell intersezione per eventi non indipendenti P (E i A) = P (A E i )P (E i ) () 38 / 56

70 Si ricava, sostituendo opportunamente la formula del teorema di P (E i A) = P (E i A) P (A) = P (A E i)p (E i ) k i P (A E i)p (E i ) () 39 / 56

71 : esempio Un esame del sangue identifica la presenza di una malattia nel 99% dei casi. Tuttavia nel 2% dei casi esso conduce a falsi positivi: pazienti sani risultano malati. Sapendo che tale malattia afflige il 0.5% delle persone, qual è la che l esito positivo del test identifichi una persona effettivamente malata? Formalizzando D: l individuo ha la malattia E: l esito del test è positivo P (E D) = 0.99: test positivo posto che il soggetto è malato P (E D) = 0.02: test positivo posto che il soggetto è sano P (D) = 0.005: il soggetto è malato P ( D) = 0.995: il soggetto è sano Applicando la regola di si calcola la che il soggetto sia malato posto che il test sia positivo: P (D E) = = P (E D) P (D) P (E D) P (D) + P (E D) P ( D) = = () 40 / 56

72 : esempio In una fabbrica di componenti informatici vengono prodotti 1000 microprocessori al giorno. Si dispone di tre macchinari (H 1, H 2, H 3 ) per la produzione dei pezzi: ciascun macchinario produce le seguenti percentuali di pezzi difettosi:il 1%, il secondo 1.3% e 1.4. Il primo macchinario produce il 50% dei pezzi, il secondo macchinario il 30% e il terzo macchinario il 20%. Formalizzando, sappiamo che P (H 1 ) = 0.5 P (H 2 ) = 0.3 P (H 3 ) = 0.2 P (A H 1 ) = 0.01 P (A H 2 ) = P (A H 3 ) = E si vuole calcolare la che, avendo trovato un pezzo difettoso, questo provenga da uno dei tre macchinari. P (H 1 A) =? P (H 2 A) =? P (H 3 A) =? () 41 / 56

73 : esempio P (H 1 A) = P (A H 1 )P (H 1 ) = P (A H 1 )P (H 1 ) + P (A H 2 )P (H 2 ) + P (A H 3 )P (H 3 ) = = = 0.43 () 42 / 56

74 : esempio P (H 2 A) = P (A H 2 )P (H 2 ) = P (A H 1 )P (H 1 ) + P (A H 2 )P (H 2 ) + P (A H 3 )P (H 3 ) = = = 0.33 () 43 / 56

75 : esempio P (H 3 A) = P (A H 3 )P (H 3 ) = P (A H 1 )P (H 1 ) + P (A H 2 )P (H 2 ) + P (A H 3 )P (H 3 ) = = = 0.24 () 44 / 56

76 Le regole di Il teorema fondamentale del Contare, operazione solitamente semplice, può diventare complicata se lo scopo è specificare le associate agli eventi di uno spazio campione finito. Per semplificare le operazioni di più articolate, si ricorre al teorema fondamentale del in al quale se si eseguono un esperimento è composto da r esperimenti semplici, ciascuno dei quali ammette rispettivamente n 1, n 2,..., n r, allora l esperimento complessivo avrà n 1 n 2... n r esiti possibili. Aspetti del problema da considerare La scelta della modalità con cui si effettuare il dipende da due caratteristiche del problema: Il verificarsi di un evento è indipendente o meno dal verificarsi degli altri (es.lo schema di estrazione: senza reimmissione, con reimmissione); l ordine con cui si verificano gli eventi risulta essere influente o meno. Combinazioni e permutazioni Si considerino due gruppi, ad esempio {a, b, c} e {c, a, b}: se l ordine degli elementi conta, i due gruppi rappresentano due risultati diversi le due triplette sono permutazioni; viceversa le due triplette rappresentano lo stesso risultato e si definiscono combinazioni. () 45 / 56

77 Le regole di Schema di A seconda delle caratteristiche del problema di affrontato, vale il seguente schema: ordinati non ordinati senza reimmissione n! (n r)! n: numero di prove considerato con reimmissione n r ( n r) ( n+r 1 r r: numero di volte che si verifica l evento oggetto di ordine: se l ordine conta, allora due sequenze di risultati aventi ordine diverso saranno considerati eventi differenti. ) () 46 / 56

78 Esercizio 1 Si supponga di avere un urna con 30 numeri e di estrarne 5. Contare i possibili risultati se 1 l estrazione avviene senza reintroduzione, la sequenza delle estrazioni caratterizza il risultato; 2 l estrazione avviene senza reintroduzione, la sequenza delle estrazioni non caratterizza il risultato; 3 l estrazione avviene con reintroduzione, la sequenza delle estrazioni caratterizza il risultato; 4 l estrazione avviene con reintroduzione, la sequenza delle estrazioni non caratterizza il risultato; () 47 / 56

79 Esercizio 1 Si decompone il problema di estrazione di cinque numeri nelle singole estrazioni. l estrazione avviene senza reintroduzione, la sequenza delle estrazioni caratterizza il risultato; senza reimmissione con reimmissione ordinati n! n r (n r)! ( ) ( ) non ordinati n n+r 1 r r In prima estrazione ci sono 30 possibili risultati (il numero estratto [1, 30]); poichè l estrazione è senza reintroduzione, la seconda estrazione avrà 29 possibili risultati,..., la quinta sarà infine caratterizzata da 26 possibili risultati. Pertanto, il numero complessivo di possibili estrazioni di cinque numeri è dato da che corrisponde a n! (n r)! = 30! (30 5)! = 30! 25! = () 48 / 56

80 Esercizio 1 Si decompone il problema di estrazione di cinque numeri nelle singole estrazioni. l estrazione avviene senza reintroduzione, la sequenza delle estrazioni non caratterizza il risultato; senza reimmissione con reimmissione ordinati n! n r (n r)! ( ) ( ) non ordinati n n+r 1 r r Nel caso in cui l estrazione avviene senza ripetizione e si tiene conto dell ordine di estrazione, i possibili esiti (sequenze di estrazioni) sono ( n! (n r)! = 30! ); Nel presente caso due sequenze di elementi uguali, ma con 25! ordinamento diverso, sono considerate lo stesso risultato: dal totale delle sequenze possibili di 5 numeri vanno eliminate le ridondanze. Sapendo che il numero di possibili ordinamenti di una sequenza di r numeri è dato da r!, nel caso in esempio 5! = , allora, il è dato da vale a dire meglio conosciuto come coefficiente binomiale = ! 5!(30 5)! = n! r!(n r)! = 30! (30 5)! 5! ( ) n () 49 / 56 r

81 Esercizio 1 l estrazione avviene con reintroduzione, la sequenza delle estrazioni caratterizza il risultato; senza reimmissione con reimmissione ordinati n! n r (n r)! ( ) ( ) non ordinati n n+r 1 r r Si tratta del caso più semplice: ciascuna estrazione è indipendente dalle altre, ognuna di esse con 30 possibili risultati n r = 30 5 = = () 50 / 56

82 Esercizio 1 l estrazione avviene con reintroduzione, la sequenza delle estrazioni caratterizza il risultato; senza reimmissione con reimmissione ordinati n! n r (n r)! ( ) ( ) non ordinati n n+r 1 r r Poichè l estrazione avviene con reimmissione, tale può essere effettuato ipotizzando di collocare 5 oggetti in 30 scatole (in una scatola può essere assegnato anche più di un oggetto). Poste una di fianco all altra, le scatole sono separate da un bordo comune: su 30 scatole, ci saranno 31 bordi a delimitarle. Il primo e l ultimo bordo non possono essere spostati e non vengono considerati nel conto delle possibili disposizioni dei markers. Quindi quello che di fatto si va a contare sono i bordi (29) e gli oggetti (5). Quindi il numero di possibili sequenze di 34 oggetti è 34!, tuttavia bisogna eliminare le sequenze ridondanti (stessi elementi ma ordinamenti diversi). Per fare questo, bisogna dividere tanto per 5! che per 29!. Espresso in termini di coefficiente binomiale si ha 34! 5!(34 5)! = n + r 1! r!(n + r 1 r)! = ( ) n + r 1 r (1) () 51 / 56

83 Esercizio Si consideri il gioco del poker: ciascun giocatore ha in mano 5 carte servite da un mazzo di 52 carte francesi. Si indichi Calcolare il numero di mani distinte che un giocatore può ricevere. Calcolare la di avere un poker d assi servito. Calcolare la di avere un poker servito. Calcolare la di avere esattamente una coppia. () 52 / 56

84 Esercizio Calcolare il numero di mani distinte che un giocatore può ricevere. Per calcolare tale numero di mani si fa ricorso alla regola di : ciascuna carta non viene reintrodotta nel mazzo, inoltre, l ordine con il quale il giocatore riceve le carte non influenza il punteggio della mano. Dunque per calcolare le possibili mani si ricorre al coefficiente binomiale ( n r) con n = 52 e r = 5. ( n ( 52 ) = = r) 5 () 53 / 56

85 Esercizio Calcolare la di avere un poker d assi servito. Per calcolare tale è necessario specificare il numero di mani che presentino 4 assi. Se 4 carte su 5 sono assi, le possibili mani si differenzierano solo per la quinta carta. Le possibili quinte carte sono 52 4 = 48, ovvero le 52 carte meno i 4 assi. Dunque P (pokerd assi) = () 54 / 56

86 Esercizio Calcolare la di avere un poker servito. Ricorrendo al teorema fondamentale del si scompone il calcolo nei due sottoproblemi: ci sono 13 possibili carte (dall asso al Re) che compongono il generico poker. Una volta stabilita la carta, il problema diventa lo stesso del punto precedente: ci saranno dunque 48 possibili mani aventi quattro carte uguali. Le possibili mani per un poker sono dunque: = 624. Pertanto P (poker) = = () 55 / 56

87 Esercizio Calcolare la di avere esattamente una coppia. Ricorrendo al teorema fondamentale del si scompone il calcolo nei seguenti sottoproblemi: le carte che formano la coppia possono essere specificate in 13 modi diversi definito di che carta si tratta (dall asso al Re), ci sono ( 4 2) possibili coppie le altre possibili combinazioni di 3 carte che completano la mano sono ( 12) 3 (n.b. 12=13-1, perchè si tiene conto della carta che compone la coppia) definite le possibili 3 carte, se ne stabilisce il seme, ovvero 4 3 Dunque le possibili mani che contengono una coppia sono 13 ( 4) ( 2 12 ) = P (coppia) = = () 56 / 56