ESERCIZI SVOLTI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE TOMO G PAG 417 E SEGUENTI. Esercizio n. 1 pag 417. vincoli

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1 ESERCIZI SVOLTI DI PROGRAMMAZIONE LINEARE TOMO G PAG 47 E SEGUENTI Esercizio n. pag 47 6 x x z vincoli x x x x x x Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo

2 La regione ammissibile, individuata dal sistema dei vincoli, e il poligono di vertici 3 O (0,0), A (,0), B (, ), C(0,) Per determinare il vertici si procede nel seguente modo: Vertice B 4x y x y Vertice C x 0 x y Vertice A y 0 4x y 3 risolvendo il sistema si ottiene B(, ) 8 4 risolvendo il sistema si ottiene C(0,) risolvendo il sistema si ottiene A(,0) 4 Si può procedere in due modi: k. Studiare l andamento delle linee di livello 6x y k ossia y 3x Esse individuano un fascio di rette parallele di coefficiente angolare 3. 0 Per k=0 si ha la retta passante per l origine y 3x 3x Per k= si ottiene la retta y 3x 3x Al crescere di k, le linee di livello si muovono nel verso indicato dalla freccia.

3 Il valore minimo si ha in corrispondenza dell origine ed è z ( 0,0) 0, 3 3 il valore massimo nel punto B ed z(, ) In alternativa al metodo precedente si calcola la funzione nei vertici del poligono OABC 3 z ( O) 0 z ( A) z ( B) z( C) 4 Dal cui confronto si ricavano gli stessi risultati determinati attraverso il precedente metodo. Il valore minimo si ha in corrispondenza dell origine ed è z ( O) 0, il valore massimo nel punto B ed z( B) 4 3

4 Esercizio pag. 48 z x x vincoli 5x x 50 x x 80 0 x 0 x 0 Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo La regione ammissibile, individuata dal sistema dei vincoli, e il poligono di vertici O (0,0), A (0,80), B (, ), C(,0) Per determinare il vertici si procede nel seguente modo: Vertice B 5x x 50 x x 80 0 ossia 5x x 50 x 0x risolvendo il sistema si ottiene.. B(, ) Si calcola la funzione nei vertici del poligono OABC 4

5 z ( O) 0 z ( A) 79 z ( B) 74, 3 z( C) Quindi il minimo assoluto è A, z( A) 79 Il massimo assoluto in C, z( C) 3 Esercizio N. 3 pag. 48 z 60x 63x 65 3x x 3 0 x 5 vincoli 0 x 4 Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo La regione ammissibile, individuata dal sistema dei vincoli, e il poligono di vertici A (0,3), B (0,4), C (5,4), D (5,0), E(,0 ) Si calcola la funzione nei vertici del poligono ABCDE, essendo la funzione data da z 60x 63x 65 Sostituendo le coordinate dei vertici nella funzione si ottiene z ( A) z ( B) z( C) z( D) z( E) Quindi il minimo assoluto è in B (0;4), z( B) 87 Il massimo assoluto è in D( 5;0), z( D) 365 5

6 Esercizio N. 4 pag. 48 z 4x 8x 4x 5x 35 5x 4x 60 vincoli x 0 x 0 Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo La regione ammissibile, individuata dal sistema dei vincoli, e il poligono di vertici O (0,0), A (,0), B (, ), C(0,40) Si calcola la funzione nei vertici del poligono OABC, essendo la funzione data da z 4x 8x Sostituendo le coordinate dei vertici nella funzione si ottiene z ( O) 0 z ( A) ,

7 z ( B) z( C) Quindi il minimo assoluto è in C, z( C) 380 Il massimo assoluto è in A, z( A) 358, 75 Esercizio N. 5 pag. 48 z 3x x 7 0x 3x 8 x x 4 vincoli x x 4 x 0, x 0 Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo La regione ammissibile, individuata dal sistema dei vincoli, e il triangolo ABC 7

8 Per determinare il vertici si procede nel seguente modo: Vertice B 0x 3x 8 risolvendo con il metodo di riduzione 0x 3x 8 quindi sommando x x 4 3x 3x termine a termine x 3 e quindi x x 3 x x 3 30 x x 4 x 4 x 4 x si ottiene.. B(, ) Vertice C 0x 3x 8 x x risolvendo con il metodo di riduzione o altri metodi si ottiene C(, ) A (0,4), B (, ), C(, ) Si calcola la funzione nei vertici del triangolo ABC, essendo la funzione data da z 3x 7x Sostituendo le coordinate dei vertici nella funzione si ottiene z ( A) z ( B) z( C) Quindi il minimo assoluto è in C, z( C) 6 56 Il massimo assoluto è in B, z( B) 3 ESERCIZIO N. 6 PAG. 48 z 00x 00x 00 vincoli 3x x 0 x x 0 x 0 x 0 8

9 Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo Determino le coordinate dei tre vertici O, A, B vertice A per cui A(0;0) Vertice B 0 er cpui: B( ;0) 3 Vertice O(0;0) Si calcola il valore di z nei tre vertici z( A) z( B) ,667 3 z( O)

10 Pertanto la funzione assume valore massimo nel vertice A(0;0) 0 E valore minimo nel vertice B( ;0) 3 Esercizio N. 8 pag. 49 z x 35x 3x x 5 6x x 0 vincoli x 0, x 0 Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo La regione ammissibile, individuata dal sistema dei vincoli, e il poligono di vertice OABC 0

11 Per determinare il vertici si procede nel seguente modo: Vertice O(0,0) Vertice C: 6 0 x 0, quindi C(0;0 ) 5 Vertice A: 3 x 0 5, quindi A(0; ) 3 Vertice B 3x x 5 risolvendo con il metodo di riduzione, sottraendo termine a termine 6x x x x quindi 7 x x x x 0 6 x 0 x 0 x si ottiene.. B(, ) 7 7 Si calcola il valore di z nei quattro vertici, O(0,0); A (0; ) ; B (, ) ; C(0;0 ) x 6 7 e Essendo la funzione data da z x 35x si ha: 5 80 z( A) z( B) z( C) z( O) Pertanto la funzione assume valore massimo nel vertice B(, ) 7 7 E valore minimo nel vertice O(0;0) Esercizio N. 9 pag. 49 z 33x x vincoli 5x 7x 0 4x 3x 70 x 0, x 0

12 Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo La regione ammissibile, individuata dal sistema dei vincoli, è il trinagolo ABC Per determinare il vertici si procede nel seguente modo: Vertice C: x 70, quindi 70 C(0; 3 ) Vertice A: x 0, quindi 0 A(0; 7 ) Vertice B 5x 7x 0 risolvendo con il metodo di riduzione, 4x 3x 70 0x 8x x 8x 80 e quindi 0x 5x x 0x x 430 e quindi x 0 5x x x 0 0 e quindi x 0

13 si ottiene.. B(0,0) 0 70 Si calcola il valore di z nei tre vertici: A (0; ) ; B (0,0 ) ; C(0; ) 7 3 Essendo la funzione data da z 33x x si ha: z( A) z( B) z( C) Pertanto la funzione assume valore massimo nel vertice B(0,0) 70 E valore minimo nel vertice C(0; ) 3 ESERCIZIO N. 0 PAG. 49 z 8x 7x 0 vincoli 5x 4x 00 x x 48 x 0 x 0 Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo 3

14 Calcolo il valore di z nei tre vertici: z( A) z( B) z( C) Si può osservare che la funzione ha un massimo nel vertice C ( ; ) e 9 9 un minimo nel vertice A(0;48) ESERCIZIO N. PAG. 49 z 40x 36x vincoli 4x 7x 0 4x x 3 x 0 x 0 Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo 4

15 La regione ammissibile, individuata dal sistema dei vincoli, è il triangolo OAB Per determinare il vertici si procede nel seguente modo: 3 Vertice A: 4 x 0 3, quindi A( ;0) 4 Vertice O(0;0) Vertice B 4x 7x 0 risolvendo con il metodo di riduzione, sottraendo termine a termine tra le due 4x x 3 3 x equazioni del sistema si ottiene x e quindi x 6 7 4x 3 x 8 7 B( ; ) Si calcola il valore di z nei tre vertici: O(0;0); A ( ;0) ; B( ; ) 4 8 Essendo la funzione data da z 40x 36x si ha: 3 z( A) z( B) z( O) 0 5

16 3 Pertanto la funzione assume valore massimo nel vertice A( ;0) 4 E valore minimo nel vertice O: z( O) 0 ESERCIZIO N. PAG. 49 z x x vincoli 5x x 30 x 5x 30 x 0 x 0 Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo La funzione è data da: z x x el equazione delle linee di livello è: x x k (fascio di rette parallele con coefficiente angolare: m Si osserva che si tratta di una regione aperta con vertici A, si rappresenta quindi la linea di livello passante per l'origine (K=0) e si individua la direzione di crescita (indicata dalla freccia ). 6

17 Si deduce pertanto che la funzione z non ha massimi, mentre ammette minimo nel vertice A(30;0) z=3.360 Descrizione del metodo per soluzioni di un problema con facecondo ricorso al metodo del VETTORE. regione ammissibile aperta: Si rappresentano le linee di livello della funzione obiettivo (rette, in quanto la funzione obiettivo è un piano nello spazio). Si rappresenta la linea di livello corrispondente a z = 0 (retta guida ), che divide il piano in due parti in una delle quali z > 0 e nell altra z < 0. Il semipiano in cui z > 0 può essere facilmente individuato in quanto è quello che contiene il punto P(a; b) (funzione obiettivo z = a x + b y). Infatti il valore assunto da z in P(a; b) è a a + b b = a + b. Unendo l origine O con il punto P e disegnando la freccia avente verso da O a P si individua il semipiano in cui z > 0. Questa freccia che prende il nome di vettore di origine O ed estremo P, risulta sempre perpendicolare al piano z = ax + by. Il vettore OP indica il verso di crescita della funzione obiettivo z =ax + by. ESERCIZIO N. 3 PAG. 49 z 700x 630x 7

18 x x 0 x x 4 x 0 x 0 Regione ammissibile vuota. Non ci sono soluzioni. ESERCIZIO N. PAG. 4 (Per chi trova difficoltà nella soluzione di questo esercizio, prima di vedere la soluzione indicata di seguito provi a fare l esercizio n. pag. 40, già risolto dall autore del testo.) Il modello matematico è dato da: Si determina il PROFITTO UNITARIO per ognuno dei due tipi di kit, tenuto conto del prezzo di acquisto e di quello di vendita dato da Per KIT primo tipo: : ( )=450; Per KIT secondo tipo: ( )=40. Funzione obiettivo da massimizzare: z 450x 40x 8

19 500x 450x x 5 vincoli x 4 x 0 x 0 che possono essere riscritti nella forma 500x 450x x x 5 x 0 x 0 Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo La regione ammissibile è data dal triangolo (regione chiusa) OAB. Essendo la regione ammissibile un poligono la funzione ammette massimi e minimi e si trovano in corrispondenza dei vertici del triangolo. Si terminano pertanto le coordinate dei vertici : Determinazione vertice A: 500x 450x Risolvendo il sistema mediante il metodo di sostituzione si ottiene: x x x 450 x x x x x x 5 x 35 x 7 quindi A(35;7) Determinazione del vertice B: 9

20 x 0 500x 40x sostituendo si ottiene x 0 500x x 0 x 60 B(60;0) Si valuta il valore della funzione nei tre vertici: z ( O) 0 ; z ( A) z( B) Il profitto massimo si ha nel punto A. La situazione ottimale, di massimo guadagno, è data dall acquisto di 35 kit del primo tipo e 7 kit del secondo tipo. ESERCIZIO N.3 PAG 4 Si rappresentano in una tabella i dati del problema che aiutano a individuare la funzione obiettivo e il sistema di vincoli: Risorse Stampo A X Stampo B Resina 5 00 Ore lavoro Ricavo unitario Il modello matematico è dato da: X z 800 x 500 x funzione obiettivo da massimizzare Disponibilità vincoli 5x x 00 5x 500x 900 x 0 x 0 0

21 Si rappresenta la REGIONE AMMISSIBILE ottenendo La regione ammissibile è data dal poligono OPQR, pertanto essendo la regione chiusa la funzione ha massimo e minimo e si trovano in corrispondenza dei vertici Calcoliamo le coordinate dei vertici della regione ammissibile: Vertice Q: 5x x 00 risolvendo con il metodo di riduzione, facendo la differenza termine a termine 5x x 900 tra le due equazioni si ottiene 5x x 00 e quindi 5x x 00 0x 300 x 30 5x x x 840 x 68 Q(68;30) x 30 x 30 x 30 x 30 Vertice R: x 0 5x x 900 sostituendo si ottiene x 0 5x x 0 x 80 R(80;0)

22 Vertice P: x 0 5x x 00 sostituendo si ottiene x x 00 x 0 x 00 P(0;00) Si valuta il valore della funzione nei quattro vertici: z ( O) z ( Q) z( R) z( P) Il ricavo massimo si ha nel punto Q. La situazione ottimale, di massimo ricavo, si ottiene producendo 68 stampi del tipo A e 30 stampi del tipo B. Esercizio n. 4 pag. 4 z 30x 0x funzione obiettivo da massimizzare Vincoli: 0,4x 0,x 80 0,05x 0,8x 00 3x 4x 800 x; x 0

23 3

24 ESERCIZIO. 5 pag. 4 Dai dati della tabella il modello matematico di programmazione lineare del problema è dato da: z 6 x 8 x funzione obiettivo da massimizzare vincoli x,6 x 00,5 x,6 x 400 x 0 x 0 Si determina la regione ammissibile ottenendo: 4

25 La regione ammissibile è data dal poligono OABC, pertanto essendo la regione ammissibile chiusa la funzione ha massimo e minimo e si trovano in corrispondenza dei vertici. Vertice B: x,6 x 00,5x,6 x 400 Risolvendo il sistema si ottiene : B(33;4) Vertice A: x 0 x,6 x 00 ottenendo A(0;5) Vertice C: x 0,5x,6 x 400 ottenendo C(60;0) Si valuta il valore della funzione nei quattro vertici: z ( O) z ( A) z( B) z( C) Dal confronto dei valori della funzione del profitto si ha: massimo guadagno 6 in B(33;4), producendo quindi 33 cassette del primo tipo e 4 cassette del secondo tipo. ESERCIZIO n. 6 pag. 4 Si rappresentano in una tabella i dati del problema che aiutano a individuare la funzione obiettivo e il sistema di vincoli: Risorse Merce A X Merce B X Disponibilità Spazio disponibile in dm 3 Capitale disponibile in euro Costi giornalieri di magazzino 0,6 0,45 5

26 Il modello matematico è dato da: z 0,6 x 0, 45 x funzione obiettivo (funzione del costo giornaliero di magazzino) della quale si deve determinare il massimo e il minimo. vincoli 400 x 500 x x 0 x x 0 x 0 Si rappresenta la regione ammissibile: La regione ammissibile è data dal poligono OABC, pertanto essendo la regione ammissibile chiusa la funzione ha massimo e minimo e si trovano in corrispondenza dei vertici. Vertice B: 400x 500x x 0x 6000 Risolvendo il sistema si ottiene : B(66;466,7) Per il vertice A: x x ottenendo A(0;600) 6

27 Per il vertice C: x 0 40x 0x 6000 ottenendo C(400;0) Si valuta il valore della funzione nei tre vertici: z ( A) 0,6 0 0, z( B) 0,6 66,7 0,45 466,7 30 z( C) 0, , Dal confronto dei valori della funzione dei costi giornalieri di magazzino si ha: costo minimo 40 in C(400;0) e costo massimo 30 in B(66,7;466,7). ESERCIZIO n. 8 pag. 4 Si rappresentano in una tabella i dati del problema che aiutano a individuare la funzione obiettivo e il sistema di vincoli: Risorse Armadi del I tipo X Armadi del II tipo Costo materiale usato Costo assemblaggio Guadagno unitario Il modello matematico è dato da: X Disponibilità z 700 x 400 x funzione obiettivo (funzione del guadagno) della quale si deve determinare il massimo. vincoli 000 x 00 x x 400 x 6000 x 0 x 0 Si rappresenta la regione ammissibile: 7

28 La regione ammissibile è data dal poligono OABC, pertanto essendo la regione ammissibile chiusa la funzione ha massimo e minimo e si trovano in corrispondenza dei vertici. Vertice B: 000x 00x 000x 400x Risolvendo il sistema si ottiene : B(;0 ) Per il vertice A: x x 00 x ottenendo A(0;3,3) Per il vertice C: x x 400 x 6000 ottenendo C(6;0) Si valuta il valore della funzione nei tre vertici: z ( A) ,3 530 z( B) z( C)

29 Dal confronto dei valori della funzione del profitto si ha: un punto di massimo in B(;0) Per realizzare il massimo guadagno, che è uguale a 5400, l azienda dovrà produrre giornalmente armadi del primo tipo e 0 armadi del secondo tipo. Esercizio n. 9 pag. 4. Si rappresentano in una tabella i dati del problema che aiutano a individuare la funzione obiettivo e il sistema di vincoli: Risorse Capo tipo A Capo tipo B Disponibilità X Lana in hg 3 3,5 00 Cotone in hg 0,5 0,8 0 Guadagno unitario Il modello matematico è dato da: z 30 x 40 x funzione obiettivo (funzione del guadagno) della quale si deve determinare il massimo. X vincoli 3 x 3,5 x 00 0,5 x 0,8 x 0 x x x 0; x 0 Si rappresenta la regione ammissibile: La regione ammissibile è una regione chiusa essendo costituita dal poligono di vertici.. 9

30 Esercizio n. 3 pag. 43. Si rappresentano in una tabella i dati del problema che aiutano a individuare la funzione obiettivo e il sistema di vincoli: Risorse Capo tipo A X Capo tipo B X Disponibilità lana in grammi terital in grammi rayon in grammi Si determina il guadagno per metro dato da: Risorse Capo tipo A Capo tipo Costo lana per un metro di tessuto Costo terital per un metro di tessuto Costo rayon per un metro di tessuto Costo al metro Guadagno al metro = =780 X Il modello matematico è dato da: z 500 x 780 x funzione obiettivo (funzione del guadagno) della quale si deve determinare il massimo. vincoli 400 x 500 x x 00 x x 880 x 0000 x 0; x 0 Si rappresenta la regione ammissibile:. 30

31 Essendo una regione chiusa i massimi e minimi della funzione si trovano nei vertici del poligono. 3