Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a Homework n 23. Docente: Laura Palagi

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1 Laboratorio di Ricerca Operativa Cad Ingegneria Gestionale (BGER3 - I semestre) a.a. 0-3 Homework n 3 Docente: Laura Palagi

2 HOMEWORK DI RICERCA OPERATIVA Realizzato da : Bartolini Giancarlo Cornacchione Libero Caprini Francesco Professoressa: Laura Palagi

3 PROBLEMA DI PRODUZIONE DI PNEUMATICI Descrizione del modello Un azienda di pneumatici deve pianificare la produzione di N tipologie di prodotti su k= turni di lavoro e per i prossimi T mesi. Il processo di produzione richiede l utilizzo di macchinari per la vulcanizzazione, la fabbricazione, la plastometria, ma l unica risorsa limitata è la macchina per la vulcanizzazione. Ogni tipo di pneumatico ha un diverso tempo di vulcanizzazione ti (i=,,n). E nota anche una previsione di domanda (in migliaia) per ogni tipo di pneumatico nei prossimi mesi: sia dij la previsione di vendita dei pneumatici di tipo i (i=,,n) nel mese j (j=,,t). Inoltre per ogni mese j e per ogni turno produttivo k sono note le ore di vulcanizzazione disponibili Ojk. Ogni ora di vulcanizzazione ha un costo c nel primo turno e c nel secondo turno produttivo. Inoltre è possibile immagazzinare gli pneumatici ad un costo unitario mensile di cm.

4 Variabili decisionali X ij k : unità di pneumatici di tipo i (i=,..,n) prodotte nel mese j (j=,..,t) durante il turno di lavorazione k (k=,) Y ij : unità di pneumatici di tipo i (i=,..,n) immagazzinati nel mese j (j=,..,t).

5 Funzione obiettivo La funzione obiettivo, da minimizzare, è data dalla somma dei costi da sostenere, che corrispondono ai costi orari della vulcanizzazione nel turno (c) e nel turno (c) e i costi unitari di immagazzinamento (cm).

6 Vincoli sulle variabili Vincoli di domanda Conosciamo la previsione dij della domanda per ogni tipo di pneumatico i e per ogni mese j. Dobbiamo cercare di produrre almeno la quantità che poi prevediamo di vendere, ma possiamo anche avvalerci di un magazzino senza vincoli di limitatezza.

7 I vincoli sulla domanda sono:

8 Vincoli di disponibilità limitata di ore Si dispone dei tempi di lavoro per unità di pneumatici di tipo i. Questi tempi ti, espressi in ore/unità, che non variano fra il turno e il turno, esprimono le ore necessarie per lavorare una unità di ogni tipo di pneumatico. La macchina per la vulcanizzazione ha una disponibilità di ore limitata Ojk che dipende dal mese j e dal turno di lavoro k.

9 I vincoli di disponibilità sono: N i t i x ij k O jk per k=, per j=,,t

10 Analizziamo ora il problema nel caso di N=4 tipologie di pneumatico da produrre su un orizzonte temporale di j=3 mesi (ottobre, novembre, dicembre) con k= turni di lavoro. La tabella che segue riporta, per ogni tipo di pneumatico i (i=,,4), il numero di ore di lavorazione ti per ogni unità, che è uguale per entrambi i turni, e la domanda prevista dij per ogni tipo di pneumatico i e per ogni mese j (j=,,3). Tempo ore/unita Ottobre Novembre Dicembre pneumatico 4, pneumatico pneumatico 3 5, pneumatico

11 Di seguito sono invece riportati i limiti orari di utilizzo delle macchine per la vulcanizzazione. Ojk indica il numero di ore di lavorazione disponibili per ogni mese j (j=,,3) e per ogni turno k (k=,). Ottobre Novembre Dicembre Turno Turno Siano c=0 e c= i costi orari di lavorazione rispettivamente del turno e del turno, e sia cm=4 il costo unitario di immagazzinamento per ogni j=,,3.

12 Funzione obiettivo Min c [4,5(X +X +X 3 ) + 5(X +X +X 3 ) + + 5,5(X 3 +X 3 +X 33 ) + 6(X 4 +X 4 +X 43 )] + + c [4,5(x +x + x 3 ) + 5(x +x +x 3 ) + + 5,5(x 3 +x 3 +x 33 ) + 6(x 4 +x 4 +x 43 )] + Costi lavoro turno Costi lavoro turno + cm (y +y +y 3 +y 4 +y +y +y 3 +y 4 +y 3 +y 3 +y 33 +y 43 ) Costi magazzino

13 Vincoli di disponibilità ore 4,5 x +5x +5,5x 3 +6x ,5 x +5x +5,5x 3 +6x ,5 x +5x +5,5x 3 +6x ,5 x +5x +5,5x 3 +6x ,5 x 3 +5x 3 +5,5x 33 +6x ,5 x 3 +5x 3 +5,5x 33 +6x

14 Vincoli di domanda x + x y x + x + y y x 3 + x 3 + y y 3 x + x y x + x + y y x 3 + x 3 + y y 3 x 3 + x y 3 x 3 + x 3 + y y 3 x 33 + x 33 + y y 33 x 4 + x y 4 x 4 + x 4 + y y 4 x 43 + x 43 + y y 43

15 FOGLIO DATI EXCEL

16 FOGLIO MODELLO EXCEL Sul foglio del modello riportiamo i dati del problema, inserendo nelle rispettive celle i dovuti riferimenti al foglio Dati, come evidenziato per la cella B5. =Dati!C5

17 =B0+E0-H0 =C0+F0-I0+H0 =D0+G0-J0+I0 =MATR.SOMMA.PRODOTTO($F$5:$F$8;B0:B3) =MATR.SOMMA.PRODOTTO(F:F3;B38:B39)+B5*SOMMA(H0:J3)

18 RAPPORTO VALORI Il rapporto valori è diviso in 3 parti: CELLA OBIETTIVO: vengono riportati il riferimento alla cella, l etichetta e i valori originali e finali assunti dalla funzione obiettivo; CELLE VARIABILI: vengono riportati il riferimento alla cella, l etichetta, i valori originali e finali assunti dalla variabili e viene specificato se le variabili sono discrete o continue; VINCOLI: vengono riportati il riferimento alla cella, l etichetta, i valori assunti dal membro a sinistra della relazione di vincolo con la relativa formula, lo stato del vincolo (attivo o non attivo) e la tolleranza (o slack) tra il valore ottimo del membro a sinistra e il termine noto.

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20 La soluzione ottima prevede di produrre un numero di pneumatici esattamente pari a quello che si prevede di vendere, cioè il vincolo è soddisfatto all uguaglianza. Vincolo attivo -> Tolleranza nulla Le ore disponibili nel turno di ottobre e nel turno di novembre non vengono utilizzate del tutto, cioè il vincolo non è soddisfatto all uguaglianza.

21 RAPPORTO SENSIBILITÀ Il rapporto valori è diviso in parti:. CELLE VARIABILI di cui vengono riportati: Costo ridotto che indica di quanto deve diminuire (min) il coefficiente della funzione obiettivo, cioè il costo, affinché convenga valutare se la variabile considerata, a parità di altre condizioni, non debba essere diversa da zero all ottimo. Coefficiente obiettivo che indica il coefficiente associato alla variabile nella funzione obiettivo, cioè il costo per unità di pneumatico prodotto/immagazzinato. Consentito incremento/decremento che indicano le quantità massime di cui può variare il coefficiente obiettivo affinché la soluzione trovata rimanga ottima.

22 Il costo ridotto è nullo per quelle variabili che assumono valore positivo (variabili in base) Il coefficiente obiettivo corrisponde al costo unitario di produzione di una unità di pneumatico L incremento/decremento consentito individuano l intervallo entro cui può variare il valore del coefficiente obiettivo senza che la soluzione cambi Un incremento/decremento di E+30 equivale ad uno praticamente illimitato

23 . VINCOLI di cui vengono riportati: Prezzo ombra che indica di quanto varia il valore ottimo della funzione obiettivo per variazioni unitarie del termine noto di un vincolo, a parità di altre condizioni, e all interno di un intervallo sufficientemente piccolo. Consentito incremento/decremento che individuano l intervallo entro cui il termine noto del vincolo può variare senza che i prezzi ombra perdano il proprio significato.

24 La funzione obiettivo, cioè il costo totale, diminuirebbe di 54 se il numero di ore totali disponibili aumentasse di una unità. Questo vale entro l intervallo (3777,4445) Il prezzo ombra è nullo per quei vincoli non attivi; infatti se una risorsa è già in eccesso non è conveniente acquistarne una quantità aggiuntiva

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