Modello di miscelazione per il corso di Laboratorio di Ricerca Operativa

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1 Modello di miscelazione per il corso di Laboratorio di Ricerca Operativa Modello di miscelazione Il problema è tratto dal libro W. L. Winston. Operations Research, Application and Algorithms, 4th Edition, Thomson Learning, 2004, ISBN: , page 86. Una azienza produce tre tipi di gasolio (gas 1, gas 2, gas 3). Ciascuno dei tre tipi di gasolio è ottenuto per miscelazione di tre tipi di oli grezzi (crude 1, crude 2, crude 3). I prezzi di vendita/acquisto al barile di ciascun gasolio/olio grezzo sono i seguenti: prezzi di vendita al barile prezzi di acquisto al barile Gas 1 $70 Crude 1 $45 Gas 2 $60 Crude 2 $35 Gas 3 $50 Crude 3 $25 L azienda può acquistare fino a 5000 barili di ogni tipi di olio grezzo. I tre tipi di gasolio differiscono nel numero di ottani e nel contenuto di zolfo. Gli olii grezzi miscelati per realizzare il gas 1 devono avere un numero di ottani medio di almeno 10 e contenere al più l 1% di zolfo. Gli olii grezzi miscelati per realizzare il gas 2 devono avere un numero di ottani medio di almeno 8 e contenere al più il 2% di zolfo. Gli olii grezzi miscelati per realizzare il gas 3 devono avere un numero di ottani medio di almeno 6 e contenere al più il 1% di zolfo. Il numero di ottani e il contenuto di zolfo dei tre tipi di olii grezzi sono: numero di ottano contenuto zolfo Crude % Crude % Crude % La produzione di un barile di gasolio costa $4 e l azienda è in grado di produrre fino a 14,000 barili di gasolio giornalieri. I clienti richiedono le seguenti quantità di ogni tipo di gasolio: gas barili/giorno, gas barili/giorno, and gas barili/giorno. L azienda considera un obbligo il soddisfacimento della domanda. L azienda ha la possibilità di fare pubblictà per stimolare l acquisto di suoi prodotti. Per ogni dollaro speso giornalmente per la pubblicità di un certo tipo di gasolio, la domanda giornaliera di quel tipo di gasolio aumenta di 10 barili. Ade sempio, se l azienda decide di spendere $20 giornalieri per la pubblicità di gas 2, la domanda giornaliera di gas 2 aumenta di 20(10) = 200 barili. Formulare un modello di PL che consenta di massimizzare il profitto (=ricavo-costi). 1

2 Analisi sintetica del problema. zolfo Ottani prezzo di vendita domanda GAS al più almeno $/barile Barile/giorno 1% 10 $ % % OLIO GREZZO prezzo acquisto $/barile $ olio disponibile, max barile/giorno numero di ottani contenuto di zolfo 0.5% 2.0% 3.0% * per ogni tipo di gasolio: 1 $ al giorno aumenta la domanda di 10 barili/giorno * $4 per produrre un barile di olio in un barile di gasolio * Max quantità di gasolio da produrre barili/giorno. Formulazione. Variabili di decisione. Associamo le variabili di decisione x ij alle quantità barili di olio grezzo di tipo j utilizzati per la produzione del gasolio di tipo i (i = 1, 2, 3; j = 1, 2, 3). Inoltre A j = dollari spesi giornalmente per la pubblicità del gas j (j = 1, 2, 3); variabili di decisione GAS pubblicità 1 x 11 x 12 x 13 A 1 2 x 21 x 22 x 23 A 2 3 x 31 x 32 x 33 A 3 OLIO GREZZO Indichiamo con m = 3 il numro di GAS che pososno essere prodoti e con n = 3 il numero di olii grezzi che pososno essere utilozzati. Sulla base di tale definzione è possibile ricavare l espressione analitica delle quantità di diversi gas realizzati e di olii utilizzati. Olio j per j = 1, 2, 3 utilizzato = Gas i per i = 1, 2, 3 prodotto = x ij = O j x ij = G i Funzione obiettivo. Si vuole max il profitto = (ricavo - costi) ricavo = #gas (prezzo di vendita di G i) * (quantità di gas G i ) = n p i G i = x ij. p i 2

3 costo di acquisto = #olii ( costi di acquisto di O j) * (quantità di O j ) = m c j O j = c j x ij costo di produzione = #gas (costo produzione di G i) * (quantità di gas n di G i ) = l i G i = x ij. l i costi di pubblicità = #gas A i = m A i avendo indicato con p i i prezzi di vendita, con c j i costi di acquisto e con l i i costi di produzione. Dunque otteniamo la funzione generale max n p i m c j che nel caso della nostra istanza diventa: max (70 4) x 1j +(60 4) x 2j +(50 4) n l i x 3j 45 x i1 35 A i x i2 25 Vincoli. Vincoli di domanda sui Gas 1, 2, 3 Per ogni i = 1,..., m deve risultare G i = d i dove d i denota la domanda, ovvero x ij = d i i = 1, 2,..., m che nel caso della nostra istanza diventano 1x x x 31 10A 1 = x x x 32 10A 2 = x x x 33 10A 3 = 1000 Vincoli di disponibilità di Olio 1, 2, 3: Per ogni j = 1,..., n deve risultare O j b j dove b j denota la disponibilità, ovvero x ij b j j = 1, 2,..., n che nel caso della nostra istanza diventano 1x x x x x x x x x Vincoli di produzione della raffineria: x ij cap-prod x i3 A 1 A 2 A 3 3

4 ovvero 1x x x x x x x x x Vincoli di qualità sul numero medio di ottani nei Gas 1, 2, 3: Indicando con o j il numero di ottani di ogni olio grezzo, possiamo scrivere il contenuto in ottani di ciascuna miscela come o j x ij che danno luogo ai vincoli lineari x ij ottani-min i o j x ij ottani-min i che nel caso della nostra istanza sono 2x 11 4x 21 2x x 12 2x x x 33 0 Vincoli di qualità sul massimo contenuto % di zolfo nei Gas 1, 2, 3: Indicando con s j la percentuale di zolfo di ogni olio grezzo, possiamo scrivere la percentuale di zolfo di ciascuna miscela come x ij s j x ij x ij zolfo-max i che danno luogo ai vincoli lineari s j zolfo-max i x ij 0 che nel caso della nostra istanza sono 0.005x x x x x x x x 33 0 Infine si devono considerare i vincoli di non negatività x ij 0, i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 e A j 0, j = 1, 2, 3. 4

5 La formulazione completa è quindi max 21x x x x x x x x x 33 A 1 A 2 A 3 x 11 + x 21 + x 31 10A 1 = 3000 x 12 + x 22 + x 32 10A 2 = 2000 x 13 + x 23 + x 33 10A 3 = 1000 x 11 + x 12 + x x 21 + x 22 + x x 31 + x 32 + x x 11 + x 12 + x 13 + x 21 + x 22 + x 23 + x 31 + x 32 + x x 11 4x 21 2x x 12 2x x x x x x x x x x x 33 0 x ij 0, i = 1, 2, 3 j = 1, 2, 3 A j 0, j = 1, 2, 3 Ovvero in modo più generale max n p i x ij = d i x ij b j m c j x ij cap-prod i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n n l i o j ottani-min i x ij 0 s j zolfo-max i x ij 0 x ij 0, A i 0, i = 1, 2,..., m j = 1, 2,..., n i = 1, 2,... m A i Soluzione con Excel Si riportano i fogli Excel dei Dati, del Modello (senza pubblicitá), dei Report Sensibilitá e Valori. Si é anche realizzato un folgio di riassuto pr l utente finale. 5

6 OLIO GREZZO zolfo ottani prezzo vendita richiesta costo produzione Al piu' almeno $/barile barili/gionalieri $/barile costo acquisto $/barile 45,00 35,00 25,00 GASOLIO 1 0, , disponibilita' olio, max barili/giorno GASOLIO 2 0, , ottani GASOLIO 3 0, , zolfo 0,01 0,02 0,03 pubblicità costo 1,00 max incremento richiesta 10,00 produzione 14000

7 OLIO GREZZO zolfo ottani prezzo vendita richiesta costo produzione Al piu' almeno $/barile barili/gionalieri $/barile costo acquisto $/barile GASOLIO 1 1,00% disponibilita' olio max GASOLIO 2 2,00% ottani GASOLIO 3 1,00% zolfo 0,50% 2,00% 3,00% pubblicità costo 1 max incremento richiesta 10 produzione composizione miscela variabili OLIO1 OLIO2 OLIO3 # ottani % zolfo GAS1 2400,00 0,00 600,00 11,2 1,00% GAS2 800,00 0, ,00 9,6 2,00% GAS3 800,00 0,00 200,00 11,2 1,00% vincoli domanda GAS1 3000,00 = 3000 GAS2 2000,00 = 2000 GAS3 1000,00 = 1000 OLIO1 OLIO2 OLIO3 disponibilitá 4000,00 0, ,00 <= <= <= max produzione 6000,00 <= qualità ottani GAS >= 0 GAS >= 0 GAS >= 0 zolfo GAS1 0,00% <= 0 GAS2 0,00% <= 0 GAS3 0,00% <= 0 funzione obiettivo ,00 profitto costo produzione costo acquisto , , ,00 ricavo

8 Microsoft Excel 14.0 Rapporto valori Foglio di lavoro: [modello-es7_sunco_oil - Copia.xlsx]modello base Data creazione rapporto: 23/11/ :36:04 Risultato: È stata trovata una soluzione. Tutti i vincoli e le condizioni di ottimalizzazione sono stati soddisfatti. Motore Risolutore Motore: Simplex LP Tempo di risoluzione: 0,016 Secondi. Iterazioni: 12 Problemi secondari: 0 Opzioni Risolutore Tempo massimo 100 sec, Iterazioni 100, Precision 0, Numero massimo problemi secondari Illimitate, Numero max soluzioni intere Illimitate, Tolleranza interi 5%, Risolvi senza vincoli sugli interi, Presumi non negative Cella obiettivo (Max) Cella Nome Valore originale Valore finale $B$46 funzione obiettivo ricavo , ,00 Celle variabili Cella Nome Valore originale Valore finale Intere $B$15 GAS1 OLIO1 3000, ,00 Continue $C$15 GAS1 OLIO2 0,00 0,00 Continue $D$15 GAS1 OLIO3 600,00 600,00 Continue $B$16 GAS2 OLIO1 0,00 800,00 Continue $C$16 GAS2 OLIO2 200,00 0,00 Continue $D$16 GAS2 OLIO3 1200, ,00 Continue $B$17 GAS3 OLIO1 0,00 800,00 Continue $C$17 GAS3 OLIO2 0,00 0,00 Continue $D$17 GAS3 OLIO3 3200,00 200,00 Continue Vincoli Cella Nome Valore della cella Formula Stato Tolleranza $B$21 GAS1 domanda 3000,00 $B$21=$D$21 Vincolante 0 $B$22 GAS2 domanda 2000,00 $B$22=$D$22 Vincolante 0 $B$23 GAS3 domanda 1000,00 $B$23=$D$23 Vincolante 0 $B$26 disponibilitá OLIO1 4000,00 $B$26<=$B$28 Non vincolante 1000 $C$26 disponibilitá OLIO2 0,00 $C$26<=$C$28 Non vincolante 5000 N.B. $D$26 disponibilitá OLIO3 2000,00 $D$26<=$D$28 Non vincolante 3000 VARIABILI DI SLACK: metodo simplesso $B$31 produzione max 6000,00 $B$31<=$D$31 Non vincolante 8000 $B$34 GAS1 ottani 3600 $B$34>=$D$34 Non vincolante 3600 $B$35 GAS2 ottani 3200 $B$35>=$D$35 Non vincolante 3200 $B$36 GAS3 ottani 5200 $B$36>=$D$36 Non vincolante 5200 $B$39 GAS1 zolfo 0,00% $B$39<=$D$39 Vincolante 0 $B$40 GAS2 zolfo 0,00% $B$40<=$D$40 Vincolante 0 $B$41 GAS3 zolfo 0,00% $B$41<=$D$41 Vincolante 0

9 Microsoft Excel 14.0 Rapporto sensibilità Foglio di lavoro: [modello-es7_sunco_oil - Copia.xlsx]modello base Data creazione rapporto: 23/11/ :36:04 Celle variabili Finale Ridotto Obiettivo Consentito Consentito Cella Nome Valore Costo Coefficiente Incremento Decremento $B$15 GAS1 OLIO $C$15 GAS1 OLIO E+30 $D$15 GAS1 OLIO E+30 3, $B$16 GAS2 OLIO $C$16 GAS2 OLIO E+30 $D$16 GAS2 OLIO E+30 3, $B$17 GAS3 OLIO $C$17 GAS3 OLIO E+30 $D$17 GAS3 OLIO E+30 3, Vincoli Finale Ombreggiatura Vincolo Consentito Consentito Cella Nome Valore Prezzo a destra Incremento Decremento $B$21 GAS1 domanda $B$22 GAS2 domanda $B$23 GAS3 domanda $B$26 disponibilitá OLIO E $C$26 disponibilitá OLIO E $D$26 disponibilitá OLIO E $B$31 produzione max E $B$34 GAS1 ottani E+30 $B$35 GAS2 ottani E+30 $B$36 GAS3 ottani E+30 $B$39 GAS1 zolfo ,5 15 $B$40 GAS2 zolfo $B$41 GAS3 zolfo VALORI OTTIMI VARIABILI DUALI

10 COMPOSIZIONE OTTIMA GASOLII OLIO1 OLIO2 OLIO3 produzione # ottani % zolfo prezzo ombra GAS ,00 11,2 1,00% Vincolante 800 GAS ,00 9,6 2,00% Vincolante 800 GAS ,00 11,2 1,00% Vincolante 800 consumo 4000,00 0, ,00 coefficienti f.o costi ridotti GAS1 GAS2 GAS3 GAS1 GAS2 GAS3 OLIO OLIO OLIO