MODELLISTICA E SIMULAZIONE cred.: 5 7,5 Recupero 2 prova: 25 luglio 2005

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1 Politecnico di Milano I a Facoltà di Ingegneria C.S. in Ing. per l Ambiente e il Territorio MODELLISTICA E SIMULAZIONE cred.: 5 7,5 Recupero prova: 5 luglio 005 COGNOME NOME FIRMA: : : : [7,5 crediti] Voto: ATTENZIONE! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate e riportate su questi fogli. - Nel testo [C] rappresenta il numero di lettere del cognome e [N] del nome. ESERCIZIO Si determinino e si classifichino gli equilibri del sistema dinamico seguente x& = x x x 3 x& = xx 4 + 3x [7,5 crediti] Si dica inoltre in quale regione del piano potrebbero esistere cicli limite. Soluzione Uguagliando a zero le derivate e risolvendo la prima equazione, si ottiene: 3 ( x x ) cioè x = 0 e x = 0 = x x x = x ± x e, dalla seconda, si ottengono 3 equilibri reali A(4/3, 0), B(, ), C(-4, -4). Dalla soluzione si ottengono anche due soluzione complesse, che, nell ambito dei sistemi che rappresentano fenomeni reali, non vanno considerate. Linearizzando nell intorno degli equilibri, si ottiene: x x x 3x e quindi x + 3 x A i cui autovalori sono ± 5 3 per cui si tratta di una sella.

2 B C i cui autovalori sono i cui autovalori sono sella. 3 ± 3 4 ± 356 per cui si tratta di un fuoco instabile. per cui si tratta ancora di una Per quanto riguarda i cicli limite, possono esistere (vedi teorema di Poincarè) solo attorno al fuoco, mentre la funzione di Bendixon B = + = x( x + ) cambia segno sulle rette x = 0 e x + = 0 che quindi saranno intersecate dagli eventuali cicli.

3 ESERCIZIO Un azienda produce due modelli differenti di cucine: base (A) e lusso (B). I costi unitari giornalieri di produzione sono di 500 e 3500, rispettivamente per i modelli A e B, mentre i prezzi unitari di vendita sono pari a 4000 e Inoltre ogni giorno l azienda sostiene dei costi fissi, indipendenti dalla produzione, pari a 50 per le spese telefoniche e 5 per il consumo di energia elettrica. Il legno, utilizzato per la costruzione delle cucine, è disponibile in una quantità massima giornaliera di 800 mq. La produzione di una cucina di tipo A e di tipo B necessitano rispettivamente di 0 e 5 mq di legno, e di 30 e 0[C] ore uomo di lavoro. Sapendo che, ogni giorno, la forza lavoro disponibile è pari a 500 ore, si formuli il problema decisionale con l obiettivo di massimizzare il profitto giornaliero complessivo derivante dalla vendita delle cucine e lo si risolva graficamente. Soluzione Definiamo come variabili di decisione il numero di cucine di base A e lusso B prodotte in un giorno. L obiettivo sarà la massimizzazione del profitto giornaliero = ricavo dalle vendite costi di produzione costi fissi, cioè Max J = ( ) A + ( ) B 50 5 (ovviamente i fissi non contribuiranno alla scelta ottima delle variabili, ma ridurranno il valore ottimo dell obiettivo) con i vincoli 0 A + 5 B 800 disponibilità di legno 30 A + 0 [C] 500 disponibilità di ore di lavoro A, B 0 variabili non negative La soluzione, ottenibile graficamente, dipende dal valore di [C]. Ad esempio, per [C]=7 si ottiene:

4 ESERCIZIO 3 Per la bonifica di un area contaminata vengono presentati da diverse società i progetti elencati nella tabella seguente con i risultati attesi da ciascuno di essi: Progetto A B C D E F G H Tempo di realizzazione [N] Costi [C] Si dica quale progetto dovrebbe essere scelto con il citerio dell Utopia. Soluzione Esaminiamo il caso più comune [C]<9; le variazioni, in caso contrario, sono modeste. Entrambi gli obiettivi vanno minimizzati e quindi le soluzioni E (minimo tempo) e A (minimi costi) saranno senz altro efficienti, cioè non dominate. Il punto Utopia è rappresentato dai minimi assoluti e indipendenti degli obiettivi e quindi è U(60, [C]). Tutti gli altri punti sono invece dominati. Per determinare il progetto da scegliere basta quindi trovare quale minimizza la distanza con U, ma, per evitare distorsioni dovute ai valori numerici sarebbe bene standardizzare i valori degli obiettivi, assegnando al valore più elevato e 0 al valore minimo. In questo modo U diventa (0,0) e la distanza è semplicemente la somma dei quadrati delle coordinate dei punti (la radice è irrilevante nella minimizzazione).

5 ESERCIZIO 4 Si risponda, usando solo lo spazio disponibile, alle seguenti domande: [7,5 crediti] Che cosa determina transizioni catastrofiche nei sistemi non lineari? La presenza di transizioni ctastrofiche è legata alle discontinuità dell insieme degli equilibri stabili di un sistema non lineare. In questi casi, variando anche infinitesimemente il valore di un parametro non c è un nuovo stato stabile nell intorno di quello precedente. [5 crediti] Perchè in certi casi il metodo della linearizzazione non dà risultati utili? Se gli autovalori del sistema linearizzato sono al limite di stabilità (Re(λ)=0 o λ =) non è possibile dedurre la stabilità dell equilibrio del sistema non lineare perchè diventano significativi i termini trascurati nella linearizzazione. Quando si usa il PERT? Il PERT è una tecnica di modellizzazione di un progetto scomponibile in varie fasi, da svolgere in sequenza o in parallelo. Il cammino più lungo sul grafo che si ottiene corrisponde al tempo minimo di completamento del progetto e le fasi che lo compongono sono quelle non dilazionabili. [7,5 crediti] Come è struturato un albero delle decisioni? L albero delle decisioni è strutturato a partire da una radice alternando nodi di probabilità, che rappresentano le situazioni esterne, a nodi di scelta, fino alle foglie che sono i valori della funzione obiettivo in tutti i casi. Viene risolto calcolando il valore atteso sui nodi di probabilità e il minimo o il massimo sui nodi di scelta. [5 crediti] Cosa significa, in termini matematici, decidere con il criterio della prudenza in condizioni di incertezza? Significa risolvere due problemi di ottimizzazione in cascata. Prima, per ogni possibile decisione si determina il caso peggiore al variare delle variabili incerte, poi tra i valori così determinati, si sceglie il migliore al variare della decisione. Quali sono le caratteristiche della formulazione di un problema di gestione ottima? E un problema di ottimizzazione tra i vincoli del quale c è la dinamica di un sistema. Inoltre l obiettivo (o gli obiettivi) dipendono dal comportamento del sistema in tutto l orizzonte temporale considerato, oltre che dai costi della gestione stessa. Possono esserci altri vincoli sullo stato iniziale del sistema, sul valore delle decisioni gestionali, ecc.

6 ESERCIZIO 5 [solo 7,5 crediti] ) Si vuole risolvere con Excel il seguente problema di programmazione lineare min (z A + 3 z B ) z A, z B con i vincoli: 3 z A + 5 z B 30 5 z A + 0 z B 30 z A, z B 0 Il foglio di lavoro in figura utilizza il risolutore di Excel per determinare la soluzione ottima del problema. Le celle C3:C4 contengono i valori iniziali delle variabili di decisione, le celle G3:G6 sono predisposte per il calcolo delle espressioni al primo membro delle condizioni di vincolo e la cella J3 per il calcolo della funzione obiettivo. A B C D E G H I J variabili di decisione vincoli funzione obiettivo 3 z A 3z A + 5z B = 8 J 4 4 z B 5z A + 0z B = 5 5 z A = 6 z B = 7 Quali formule bisogna scrivere nelle celle G3:G4 e nella cella J3 per completare l implementazione del problema? Cella Formula G3 = 3*c3 + 5*c4 G4 = 5*c3 + 0*c4 J3 = c3 + 3*c4 Inserite inoltre nella finestra Parametri del Risolutore (v. figura sottostante) tutti i dati necessari per la soluzione del problema. J3 C3:C4 G3 30 G4 30 G5 0 G6 0 ) Illustrate concisamente l utilizzo della funzione SE( ) in Excel. La funzione SE() viene utilizzata per scrivere diversi valori in una cella, a seconda del risultato di un test sui valori di altre celle. La sintassi è SE(test; risultato se test è vero; risultato se test è falso) e quindi test deve essere un espressione che dà come risultato un valore logico (vero o falso)....