Politecnico di Milano I a Facoltà di Ingegneria C.S. in Ing. per l Ambiente e il Territorio - Como

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1 Politecnico di Milano I a Facoltà di Ingegneria C.S. in Ing. per l Ambiente e il Territorio - Como Modellistica e simulazione Laurea Specialistica prova: 7 febbario 005 COGNOME NOME FIRMA: : : : Voto: ATTENZIONE! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate e riportate su questi fogli - Nel seguito [C] rappresenta il numero di lettere del cognome e [N] del nome ESERCIZIO Dato il sistema seguente: x& = xx x ( + p) x x& = xx px. si calcolino e si classifichino gli equilibri in funzione dei valori di p;. si disegni il quadro delle traiettorie per almeno un valore del parametro p; 3. si valuti la possibile esistenza di cicli limite 4. si dica se sono possibili delle transizioni catastrofiche indicando per quali valori del parametro p esse accadono. Soluzione Equilibri Applicando la condizione valida per i sistemi continui x& = 0 si ottiene xx x ( + p) x = 0 x ( x + p) = 0 Dalla seconda equazione ricaviamo: x = p e x = 0. Sostituite queste espressioni nella prima equazione, possiamo determinare le coordinate degli equilibri: E ( 0;0), E ( p ;0) e E3 ( p; p). Per alcuni valori del parametro p questi equilibri si sovrappongono: se p = E E in (0;0); se p = E E3 in (-;0). Linearizzando il sistema si ottiene f x 4x p x = x x x p

2 Valutando questa espressione in corrispondenza dei 3 equilibri otteniamo rispettivamente f p 0 λ = p = autovalori: x E 0 p λ = p f + p p λ = + p = autovalori: x E 0 p λ = p f p p = polinomio caratteristico: λ pλ + p p = 0 x E p 0 3 In quest ultimo caso otteniamo come autovalori λ, = p ± p, la cui parte immaginaria è non nulla per p < 0. Analizzando questi risultati possiamo ora classificare gli equilibri. E : è un nodo instabile per p < ; è una sella per < p < 0 ; è infine un nodo stabile per p > 0. E : è una sella per p < ; è un nodo instabile per < p < ; è ancora una sella per p >. E 3 : è un fuoco stabile per p < 0 ; è una sella per 0 < p < ; è infine un nodo instabile per p >. Quadro In corrispondenza di p = si ottiene: In corrispondenza di p = si ottiene:

3 Cicli limite Per quanto riguarda l esistenza di cicli limite, né il teorema di Poincarè né quello di Bendixon sono risolutivi. Infatti per Poincarè sono possibili cicli limite intorno ai tre equilibri o a uno solo che non sia la sella, e la funzione di Bendixon B = x 4x p x p = x 5x p si annulla per x = 5x + ( + p) Nel caso p = si ottiene: x = 5x + 4, mentre per p = si ottiene: x = 5x. In entrambi i casi è quindi possibile che esista un ciclo limite che attraversi la retta corrispondente. Transizioni catastrofiche Per quanto riguarda le transizioni catastrofiche, ricordando quanto detto per la classificazione degli equilibri, si può concludere che esiste una transizione catastrofica per p = 0. Passando da valori negativi a valori positivi del parametro, infatti, l equilibrio E passa dalla condizione di sella a nodo stabile, e E 3 : da fuoco stabile a sella.

4 ESERCIZIO Due serbatoi di superficie rispettivamente S e S sono una a valle dell'altro, così che il deflusso del primo costituisce l'ingresso del secondo. Entrambi hanno una diga sull emissario che ne regola il deflusso. SERBATOIO SERBATOIO A valle di ciascuno dei due c è un comprensorio agricolo, la cui domanda giornaliera d i (t), i=,, t=,,365 è nota. Sono pure noti gli afflussi giornalieri a(t) al serbatoio per un lungo periodo del passato. CON RIFERIMENTO A QUESTO SISTEMA, si definiscano tutte le variabili in gioco e si risponda alle seguenti domande. a) Come potrebbe essere formulato un obiettivo del controllo? Un possibile obiettivo è min d ( t) r ( t) + d ( t) r ( t dove r (t) e r (t) sono i rilasci dai due serbatoi. t [( ) ( ) ] ) La sommatoria può essere estesa ad un orizzonte lungo o infinito e possono essere considerati solo i casi in cui il rilascio è inferiore alla domanda (deficit), anche senza il quadrato. b) Quali potrebbero essere le variabili misurate? Ad esempio, i livelli x (t) e x (t) dei due serbatoi e/o l afflusso a(t). c) Quali potrebbero essere le variabili di controllo (decisioni)? I rilasci r (t) e r (t) dei due serbatoi d) Quali potrebbero essere i disturbi che agiscono sul sistema? La pioggia sul bacino o la variabilità dell afflusso. e) Come potrebbe essere formulata una politica di controllo con compensazione? r ( t) r ( t) a( t)) p( t)) dove p(t) è la pioggia caduta in un certo numero di giorni precedenti a t. f) Come potrebbe essere formulata una politica di controllo in retroazione nel caso di un unico decisore sull intero sistema? E nel caso che i decisori dei due serbatoi fossero separati? Decisore unico Decisori separati r( t) ( t, x( t), x( t)) r ( t) x ( t), x ( t)) r ( t) r ( t) x x ( t)) ( t))

5 ESERCIZIO 3 Si definisca un automa cellulare con stati 0, e regole DIVERSE da quelle di Conway (nascita con 3 celle a nell intorno, sopravvivenza con o 3 celle a nell intorno, morte negli altri casi) e almeno una sua configurazione di equilibrio. Esempio REGOLE:.Intorno di Von Neuman; cella nell intorno sopravvivenza ; 3 celle nascita; tutti gli altri cas i morte. Per misurare il contenuto di solidi sospesi nelle acque di un fiume, viene misurata otticamente la torbidità y(t). Si è stimato che essa varia approssimativamente nel modo seguente: y(t) = sen(π t/365) + 0 sen(π t/[c]) + [N] sen (π t/3,5), dove il tempo t è in giorni. Con che frequenza va campionato questo fenomeno per non perdere informazioni? Immaginando che lo strumento abbia bit per registrare l informazione (valori compresi tra 0 e 4095), con che precisione verrà quantizzata la misura? Secondo il terorema di Shannon, va campionato con frequenza almeno doppia della frequenza più elevata, quindi con periodo inferiore ai,75 giorni (metà del periodo più breve pari a 3,5 giorni. In pratica si preferirà certamente un periodo di o anche di 0,5 giorni. Poichè l escursione massima dei valori è tra [N] e [N], la misura verrà quantizzata in 4096 intervalli, ciascuno dei quali corrisponderà a [ [N]-( [N])]/4096 unità.

6 ESERCIZIO 4 Si risponda, usando solo lo spazio disponibile, alle seguenti domande: Che cosa si intende per movimento caotico? Un movimento di un sistema non lineare che si mantiene in una porzione limitata dello spazio di stato senza però essre periodico. Che cos è una biforcazione di Hopf? Una biforcazione nella quale si passa da esuilibrio a ciclo (ovviamente all interno del ciclo deve esserci ancora un equilibrio). A che cosa serve l algoritmo di backpropoagation (o retropropagazione ) nelle reti neurali? Serve a tarare i parametri della rete, propogando all indietro gli errori compiuti nel simulare i dati di addestramento. Che tipo di algoritmi si utilizzano per ottimizzare una legge di controllo di struttura prefissata? Occorre utilizzare algoritmi iterativi di ricerca dell ottimo, le cui variabili di decisione sono i parametri della legge: ad esempio, griglia, gradiente, Newton,...