Politecnico di Milano

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1 Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Gestionale sez. A-D Prof. C. Piccardi Appello del 13/9/2007 COGNOME: NOME: MATRICOLA: AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita fatta con le modalità sotto riportate, una votazione positiva sarà registrata d ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova saranno comunicati entro Lunedì 17/9 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell esito complessivo dell esame: Martedì 18/9, ore 10-12, ufficio del docente (DEI, 2 piano) Solo in tale occasione lo studente potrà rinunciare ad una votazione positiva. Per la rinuncia è richiesta l esibizione di un documento di identità valido. FIRMA: Visto del docente: Voto totale 6½ 6½ 6½ 6½ ATTENZIONE! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l ordine e la chiarezza dell esposizione.

2 1) Un fondo di previdenza integrativa offre ai propri aderenti tre diversi profili di accumulazione: (1) aggressivo, (2) bilanciato, (3) prudente. All atto della sottoscrizione, ciascun aderente deve scegliere uno di questi profili e, una volta l anno, ha la possibilità di cambiare profilo oppure di abbandonare il fondo. Negli anni passati, le percentuali α di nuovi aderenti che hanno scelto il profilo i (i=1,2,3) e le percentuali sono state mediamente le seguenti: ij i β di aderenti al profilo i che ogni anno sono passati al profilo j 40 [ α ] = 40 [ ] 20 i β ij 70 = a) Descrivere il fondo previdenziale attraverso un sistema dinamico, nel quale l uscita y rappresenta il numero totale di aderenti al fondo, mentre l ingresso u indica il numero di nuovi aderenti. b) Studiare la stabilità del sistema dinamico ottenuto al punto 1). c) Determinare il tempo di risposta del sistema. d) Supponendo u ( t) = u = 1500, determinare il numero totale di aderenti al fondo nel lungo periodo.

3 2) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura: s I blocchi A e B hanno funzione di trasferimento G A ( s) =, G B ( s) =, il modello 1 + s 1+ 10s ingresso/uscita relativo al blocco C è dato da y & C + 2 yc = 0. 1u& C, mentre il blocco D è descritto dalla terna di matrici A D = bd = c = D [ ] a) Discutere la stabilità del sistema aggregato. b) Determinarne il tempo di risposta.

4 3) Si consideri il sistema in figura: a) Studiarne la stabilità esterna (da ciascuno dei due ingressi). b) Determinare l espressione dell uscita y(t) a transitorio esaurito nei tre casi seguenti: i) u1 ( t) = 10sin t, u2 ( t) = 0 ii) u1 ( t) = 0, u2 ( t) = 2 iii) u1 ( t) = 20sin t, u2 ( t) = 1

5 4) Il diagramma di Bode del modulo di un sistema lineare è stato ricavato mediante una serie di esperimenti, ed è riportato nella figura seguente. Si è rilevato, inoltre, che lo sfasamento introdotto dal sistema tende a ( π ) per ω. a) Determinare la funzione di trasferimento del sistema. G(s) b) Determinare (qualitativamente) la risposta all impulso e rappresentarla graficamente, discutendo in particolare il tempo di risposta.

6 5) Il sistema (non lineare) x & = f (x) di ordine n = 3 ha tre equilibri: x, x, x. La matrice di stato del sistema linearizzato (jacobiana) ha, in corrispondenza dei tre equilibri, gli autovalori rappresentati in figura. Cosa si può dedurre sulla stabilità dei tre equilibri? (motivare la risposta) 6) A cosa serve la funzione Matlab acker?