Politecnico di Milano

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1 Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Gestionale sez. A-D Prof. C. Piccardi Appello del 27/2/2008 COGNOME: NOME: MATRICOLA: AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita fatta con le modalità sotto riportate, una votazione positiva sarà registrata d ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova saranno comunicati entro Giovedì 6/3 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell esito complessivo dell esame: Venerdì 7/3, ore 10-12, ufficio del docente (DEI, 2 piano) Solo in tale occasione lo studente potrà rinunciare ad una votazione positiva. Per la rinuncia è richiesta l esibizione di un documento di identità valido. FIRMA: Visto del docente: Voto totale 6½ 6½ 6½ 6½ 4½ 1½ 32 ATTENZIONE! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l ordine e la chiarezza dell esposizione.

2 1) In un azienda manifatturiera, la produzione è ripartita su un elevato numero di macchinari tra loro uguali. Sono note le probabilità che un macchinario incorra in un guasto nel corso di un anno, in relazione alla sua età. età da 0 a 1 anno da 1 a 2 anni da 2 a 3 anni da 3 a 4 anni Prob. Guasto non grave Prob. Guasto grave Quando un macchinario è soggetto a un guasto non grave, viene riparato (in un tempo trascurabile) con una spesa pari mediamente a 500 Euro. In caso di guasto grave, il macchinario viene eliminato poiché la riparazione non è conveniente. Ogni macchinario viene comunque eliminato al compimento del quarto anno di attività, in quanto obsoleto. Una volta all anno, inoltre, ciascun macchinario viene sottoposto a manutenzione ordinaria, con una spesa unitaria pari a 50 Euro. a) Descrivere l evoluzione nel tempo dell insieme dei macchinari mediante un sistema dinamico a tempo discreto, in cui u(t) indichi il numero di nuovi macchinari acquistati e y(t) la spesa complessiva per la manutenzione (ordinaria + riparazione guasti). b) Studiare la stabilità del sistema, discutendo anche il tempo di risposta e l eventuale presenza di oscillazioni nel movimento libero. c) Ipotizzando che ogni anno venga acquistato un numero pari a u(t)=10 di nuovi macchinari, determinare il numero totale di macchinari in dotazione all azienda nel lungo periodo e la corrispondente spesa complessiva per la manutenzione.

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4 2) Si consideri il seguente sistema non lineare: x& 1 = x2 x& = x1 + px2 + x 1 + x 1 x2 Per ogni valore di p ( < p < + ): a) Determinare gli stati di equilibrio del sistema. b) Studiarne la stabilità mediante linearizzazione. c) Preso un valore di p a piacere che rende uno degli equilibri asintoticamente stabile, disegnare il quadro delle traiettorie nell intorno di tale equilibrio.

5 3) Si consideri il sistema rappresentato in figura, in cui il blocco A contiene un integratore mentre i 2 blocchi B e C hanno, rispettivamente, funzione di trasferimento B ( s) = 10 /(1 + s) e C( s) = e s. a) Determinare la funzione di trasferimento complessiva del sistema. b) Determinare qualitativamente la risposta all impulso, discutendo in particolare il tempo di risposta e l esistenza di oscillazioni. c) Determinare la risposta all ingresso in figura, in cui ciascuna freccia rappresenta un impulso unitario (rispettivamente positivo o negativo).

6 4) Si consideri il sistema di controllo in figura, in cui 1 G( s) = ( s)( s)(1+s) e C ( s) = a(1 + bs). a) Determinare la coppia di coefficienti a,b in modo tale che il sistema di controllo sia asintoticamente stabile, con margine di fase di circa 45 e banda passante di circa 10 rad/sec (suggerimento: lo zero di C (s) può essere utilizzato per cancellare un polo di G(s) ). b) Si supponga ora che w sia costante al valore 100, e che d sia costante ma di valore non noto. Determinare il massimo valore di d sopportabile dal sistema qualora si voglia garantire un errore a regime in modulo non superiore a 10.

7 5) I due sistemi S1: ( A 1, b1, c1 ) e S2: ( A2, b2, c2) sono asintoticamente stabili. Discutere la stabilità dei tre sistemi ottenuti aggregando S1 e S2, rispettivamente, in cascata, parallelo e retroazione, motivando i risultati. 6) Si vuole discutere la completa raggiungibilità del sistema descritto da A = b = Una volta aperto Matlab, quali sono i comandi da digitare?