Politecnico di Milano

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1 Politecnico di Milano FONDAMENTI DI AUTOMATICA Corso di laurea in Ingegneria Gestionale sez. A-D Prof. C. Piccardi Appello del 3/9/8 COGNOME: NOME: MATRICOLA: AVVERTENZA In base alla normativa in vigore, in assenza di rinuncia esplicita fatta con le modalità sotto riportate, una votazione positiva sarà registrata d ufficio senza la firma dello studente e non sarà più modificabile dal docente. I risultati della prova saranno pubblicati entro Venerdì 6/9 (sito web del docente). I candidati potranno prendere visione del compito corretto e discutere dell esito complessivo dell esame: Lunedì 9/9 ore -, ufficio del docente (DEI, piano) Solo in tale occasione lo studente potrà rinunciare ad una votazione positiva. Per la rinuncia è richiesta l esibizione di un documento di identità valido. FIRMA: Visto del docente: Voto totale 6½ 6½ 6½ 6½ 4½ ½ 3 ATTENZIONE! - Non è consentito consultare libri, appunti, ecc. - Le risposte devono essere giustificate. - Le soluzioni devono essere riportate solo sui fogli allegati. - Sono valutati anche l ordine e la chiarezza dell esposizione.

2 ) In un azienda manifatturiera, la produzione è ripartita su un elevato numero di macchine utensili tra loro uguali. Sono note le probabilità che una macchina incorra in un guasto nel corso di un anno, in relazione alla sua età. età da a anno da a anni da a 3 anni da 3 a 4 anni da 4 a 5 anni Prob. guasto In caso di guasto, la macchina viene eliminata poiché la riparazione non è conveniente: la rottamazione ha un costo di 5 Euro. Ogni macchina viene comunque eliminata al termine del quinto anno di attività (con lo stesso costo di rottamazione), in quanto obsoleta. Una volta all anno, inoltre, ciascuna macchina viene sottoposta a manutenzione ordinaria, con una spesa unitaria pari a 5 Euro. a) Descrivere l evoluzione nel tempo dell insieme delle macchine mediante un sistema dinamico a tempo discreto, in cui u(t) indichi il numero di nuove macchine acquistate e y(t) la spesa complessiva per manutenzione ordinaria e rottamazione. b) Studiare la stabilità del sistema dinamico proposto al punto a), discutendo anche il tempo di risposta e l esistenza di oscillazioni nel movimento libero. c) Ipotizzando che ogni anno venga acquistato un numero pari a u(t) di nuove macchine, determinare il numero totale di macchine in dotazione all azienda nel lungo periodo e la corrispondente spesa complessiva annua per manutenzione e rottamazione. Soluzione [se necessario proseguire sul retro]:

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4 ) Si consideri il sistema a tempo continuo rappresentato in figura. I blocchi A e B hanno funzione di trasferimento ) ( + s G s s G B A Il blocco D è descritto dal modello ARMA D D D D u y y y & & & & + +, mentre il blocco C è definito dalle matrici C C C C d c b A a) Discutere la asintotica stabilità del sistema. b) Determinare TUTTE le costanti di tempo del sistema. c) Nel caso il sistema venga sottoposto ad ingresso costante, calcolare il tempo di risposta e discutere l eventuale presenza di oscillazioni. Soluzione [se necessario proseguire sul retro]:

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6 3) Mediante una serie di esperimenti in regime sinusoidale su un sistema lineare, si sono ricavati i diagrammi di Bode (modulo e fase) riportati in figura. a) Determinare una funzione di trasferimento G(s) compatibile con i diagrammi, discutendone poi la stabilità. b) Determinare e rappresentare graficamente le risposte allo scalino e all impulso del sistema, discutendo in particolare il tempo di risposta e l esistenza di oscillazioni. Soluzione [se necessario proseguire sul retro]:

7 4) Al sistema di Figura è applicato l ingresso di Figura. a) Studiare la stabilità del sistema, discutendo in particolare il tempo di risposta e la presenza di oscillazioni. b) Determinare (qualitativamente) l andamento dell uscita. Soluzione [se necessario proseguire sul retro]:

8 5) Dato un sistema lineare ( A, b, c, d) di ordine n, discutere sotto quali condizioni la funzione di trasferimento del sistema ha denominatore di grado n. 6) Dopo il comando Matlab [n,d]sstf(,,3,) quanto valgono le variabili n e d?