Metodo del punto intermedio e metodo di Burlisch Stoer

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1 Metodo del punto intermedio e metodo di Burlisch Stoer Metodo del punto intermedio Torna all'indice generale Vediamo innenzitutto il metodo del punto intermedio L'algoritmo relativo si ricava semplicemente considerando lo sviluppo in serie di Taylor sinistro e destro della soluzione nel punto x y( x h) y( x) h f( x h, y( x) ) h y''' ( x) y( x h) y( x) h f( x h, y( x) ) h y''' ( x) sottraendo la prima dalla seconda otteniamo la regola di iterazione y( x h) y( x h) h f ( x h, y ( x )) O h 3 che può essere utilizzata per costruire l'algoritmo del punto intermedio modificato z 0 y( x) H n h z z 0 h f x, z 0 z m z m h f x m h, z m y( x H) z n z n h f x H, z n Si tratta di un metodo del secondo ordine, analogo al metodo di Runge Kutta del secondo ordine Il vantaggio rispetto a quest'ultimo consiste nel fatto che solo una valutazione della derivata per passo di integrazione è richiesto In pratica questo metodo, nella ma suindicata, è generalmente superato da un Runge Kutta del quarto ordine Questo metodo infatti non è particolarmente utile nella ma esposta, ma come mattone fondamentale per l'implementazione di un altro metodo di integrazione, noto sotto il nome di metodo di Burlisch-Stoer L'utilità del metodo del punto intermedio modificato deriva dal fatto che a causa della simmetria rispetto al passo h, l'errore su una sequenza contiene solo potenze pari di h, ovvero y( x H) y n k a k h k Se quindi, come abbiamo fatto nel caso dell'integrazione di funzioni, combiniamo due sequenze per eliminare l'errore all'ordine più basso, guadagnamo automaticamente un ordine in più Possiamo ad esempio ricavare una routine del quarto ordine, combinando le due sequenze ottenute suddividendo l'intervallo H in n ed in n sottointervalli L'errore è del quarto ordine per y x ( H) 4 3 y n 3 y n Una routine che implementi il metodo del punto intermedio modificato è la seguente Si osservi che è sufficiente una sola valutazione delle derivate per ogni passo di integrazione In questo senso il metodo risulta più efficace dell'analogo Runge Kutta del secondo ordine Abbiamo indicato con f( x, y) y' la funzione derivata, y è la soluzione nota al punto x L'intervallo di integrazione da suddividere in N sottointervalli è H 33

2 modmid( f, y, x, H, N) h h y 0 H N h y y y h f( x, y) xr x h n N temp y 0 h f xr, y y 0 y y temp xr xr h result 05 y 0 y h f xr, y result Possiamo verificare l'accuratezza del metodo considerando la funzione f( x, y) y, corrispondente al problema differenziale (banale, ma questo il metodo numerico non lo sa) y' y Consideriamo inoltre la condizione iniziale y in x 0 ed integriamo sull'intervallo fissato H Rappresentiamo quindi l'errore commesso nell'integrazione err( N) modmid( f, y, x, H, N) e H, e lo confrontiamo con quello relativo all'algoritmo corrispondente del 4 ordine err4( N) 4 3 modmid( f, y, x, H, N) 3 modmid f, y, x, H N, e H (per n 4, 8 80) err( n) err4( n) n Combinando opportunamente più sequenze, possiamo eliminare l'errore ad ordini sempre più elevati, analogamente a quanto abbiamo fatto nel caso dell'integrazione di funzioni Il metodo risultante è noto come metodo di Burlisch Stoer, ed è l'analogo del metodo di Romberg, visto nel caso del calcolo di integrali, ma applicato al caso delle equazioni differenziali alle derivate ordinarie Il metodo di Burlisch Stoer sarà descritto nel prossimo paragrafo 34

3 Metodo di Burlisch-Stoer Possiamo considerare il risultato di un calcolo numerico, come ad esempio il calcolo di un integrale, o la stima della soluzione di un'equazione differenziale, come una funzione analitica, per quanto complicata ed a priori ignota, di un parametro caratteristico della discretizzazione numerica stessa, ad esempio del passo di integrazione Possiamo pensare infatti la soluzione numerica come una funzione del passo di integrazione h, che sappiamo tendere al'integrale esatto per h che tende a zero Bene, allora possiamo utilizzare sequenze con passo di lunghezza diversa per valutare la dipendenza di questa funzione da h, e soprattutto per estrapolarne il valore ad h 0 Questa tecnica, nota come approccio al limite di Richardson, è stata già discussa nella descrizione del metodo di Romberg per il calcolo di integrali numerici Burlisch Stoer hanno osservato che una tecnica particolarmente efficace per parametrizzare questa funzione, è il metodo di interpolazione mediante funzioni razionali In questo modo si evita il limite costituito dal raggio di convergenza di una serie polinomiale, e si ottengono stime della soluzione estremamente accurate con passi di integrazione di lunghezza superiore L'ultimo ingrediente del metodo è costituito proprio dal metodo del punto intermedio modificato, descritto nel paragrafo precedente Se infatti utilizziamo una tecnica di integrazione la cui stima della soluzione contiene solo potenze pari del passo di integrazione, possiamo applicare l'approccio al limite di Richardson nel parametro h e non h, guadagnando un fattore due nell'ordine di convergenza globale C'è comunque una differenza sostanziale tra la tecnica di approccio al limite di Richardson utilizzata nell'integrazione alla Romberg per il calcolo di integrali e nell'integrazione di equazioni differenziali mediante il metodo di Burlisch Stoer In un problema differenziale nella ma y' f( x, y) la funzione da valutare f dipende essa stessa dalla soluzione incognita Non è quindi possibile utilizzare risultati parziali di una sequenza ottenuta dividendo l'intervallo in un dato numero di sottointervalli, per il calcolo di sequenze successive, valutate con passi di lunghezza inferiore Se da un lato questo rende più oneroso il calcolo, dall'altro rende le valutazioni delle singole sequenze svincolate tra loro, semplificando il lavoro di programmazione e soprattutto concedendo libertà nella scelta del numero di passi da utilizzare Il calcolo della soluzione ad un valore di h diventa tanto più oneroso in termini di tempo di calcolo quanto più piccolo è h stesso La sequenza n i i utilizzata per l'integrazione alla Romberg non risulta quindi conveniente in quanto riduce troppo rapidamente la lunghezza del passo stesso comportando quindi un dispendio inutile di tempo di calcolo Una ricetta diffusa è nita dalla seguente successione ns 0 ns 4 ns 6 i 3 5 ns T = Nel grafico riportato nella pagina seguente l'evoluzione della lunghezza del passo corrispondente alle due sequenze è messa a confronto i 0 last( ns) i i 35

4 Riportiamo la routine per l'interpolazione con funzioni razionali, modificata per interpolare direttamente la funzione al valore h 0 ratint( Dx, Dy) n last( Dx) R Dy n ns n C D Dy Dy m n i 0 n m T C i D i DX Dx i Dx i D i m Den DX C i C i DX T Den C i T D i Den dy C ns if ( ns) < ( n m) otherwise dy D ns ns ns R R dy R dy Abbiamo a questo punto gli elementi necessari per costruire una routine che implementi il metodo di Burlisch Stoer bstoer( f, y, x, H, eps) tmpy 0 modmid f, y, x, H, ns 0 tmpx 0 ns 0 i 0 tmpy i modmid f, y, x, H, tmpx i sol ratint( tmpx, tmpy) break if sol < eps sol 0 36

5 Possiamo confrontare il numero effettivo di passi necessari per raggiungere una fissata accuratezza con il metodo del punto intermedio modificato e con il metodo di Burlisch Stoer Consideriamo di nuovo la funzione f( x, y) y, corrispondente al problema differenziale y' y Definiamo le funzioni steps e bsteps che valutano il numero di passi in funzione dell'accuratezza eps, integrando dalla condizione iniziale iniziale y in x 0, sull'intervallo fissato H steps( eps) N while N N N modmid( f, y, x, H, N) e H > eps bsteps( eps) tpy 0 modmid f, y, x, H, ns 0 tmpx 0 ns 0 i 9 tmpy i modmid f, y, x, H, tmpx i sol ratint( tmpx, tmpy) break if sol 0 e H < eps k 6 i eps k 0 k k = 0 ns k 0 3 bsteps eps k 00 steps eps k eps k Il numero di passi cresce con la radice dell'accuratezza con il metodo del punto intermedio, che è un metodo del secondo ordine, mentre cresce quasi con il logaritmo di questa, con il metodo di Burlisch Stoer E' ovvio che questo risultato dipende dal tipo di problema differenziale affrontato Il vantaggio del metodo Burlisch Stoer si riduce nel caso di problemi con soluzione meno regolare, casi in cui il metodo di Runge-Kutta con adattamento della lunghezza del passo di integrazione risulta il più sicuro ed efficace Torna all'indice generale 37