Determinazione approssimata degli zeri di una funzione

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1 Determinazione approssimata degli zeri di una funzione Quando si vuole risolvere un equazione del tipo non sempre si hanno a disposizione degli strumenti che permettano di determinare le soluzioni esatte. In tal caso è possibile utilizzare dei metodi numerici che, a partire da un valore iniziare, fanno sì che si possa determinare delle approssimazioni delle soluzioni con un errore che può essere stabilito a priori. Risolvere la suddetta equazione equivale a determinare gli zeri della funzione e, per tale ragione, è possibile utilizzare i teoremi sulle funzioni che assicurano l esistenza e l unicità di essi in un determinato intervallo. Quindi, per trovare le soluzioni approssimate dell equazione è necessario: determinare gli intervalli in cui sono presenti una o più soluzioni; determinare il loro valore approssimato. La prima operazione prende il nome di separazione delle soluzioni ed è possibile effettuarla grazie ai seguenti teoremi sulle funzioni. Il primo teorema assicura l esistenza delle eventuali soluzioni in un determinato intervallo, gli altri due ne assicurano l unicità. Teorema T. di esistenza degli zeri 1 teorema di unicità della soluzione 2 teorema di unicità della soluzione Enunciato Se è una funzione continua nell intervallo chiuso e se, allora l equazione ammette almeno una soluzione nell intervallo aperto. Data la funzione continua nell intervallo chiuso, se e se in, allora l equazione ammette una e una sola soluzione nell intervallo aperto. Data la funzione continua nell intervallo chiuso e derivabile due volte nell intervallo aperto, se e se è sempre positiva o sempre negativa in, allora l equazione ammette una e una sola soluzione nell intervallo aperto. Di seguito viene illustrato uno dei metodi numerici che prende il nome di metodo di bisezione.

2 Metodo di bisezione Il metodo di bisezione si articola nei seguenti passi: 1. si determina l intervallo in cui è presente una sola soluzione dell equazione, utilizzando i teoremi precedentemente enunciati; 2. si suddivide l intervallo in due parti uguali e si stabilisce in quale delle due si trova lo zero, cioè: si pone e e si considera ; successivamente si calcola e quindi: a. se, allora si pone e, b. se, allora si pone e ; 3. si itera il procedimento fin quando non si trova quel valore tale che ; ovvero, se un tale valore non viene trovato, si costruisce la seguente successione di sottointervalli, ciascuna contenuta nel precedente e di ampiezza: e possono essere date le seguenti condizioni di arresto:, con piccolo a piacere;, con piccolo a piacere. Gli intervalli hanno ampiezza: Se si indica con come stima della soluzione esatta, dimostra che l errore assoluto è tale che: Per stimare l errore relativo, si utilizza invece la seguente formula: in formule si ha:

3 Esempio 1: Utilizzando il metodo di bisezione ricercare le soluzioni approssimate della seguente equazione, con un approssimazione relativa di : Utilizziamo il metodo grafico per determinare l intervallo in cui cade la soluzione. Riscrivendo l equazione sotto forma di sistema, si ha: e, tracciando le funzioni in un sistema di assi cartesiani, otteniamo il grafico a fianco. Da tale grafico si deduce che la soluzione dell equazione cade all interno dell intervallo. Poiché la funzione è continua nell intervallo e: la soluzione è unica per il primo teorema di unicità della soluzione , ,625-3, ,5 2,25-2 1,625-0, , , , ,25 2,5 2,375-0, ,625 0, , , , ,25 2,375 2,3125-0, , , , , , ,3125 2,375 2, , , , ,0038 0, , ,3125 2, , , , , , , , deduciamo che la soluzione cercata è quella con un approssimazione di dalla tabella che., cioè si ricava

4 Esempio 2: Utilizzando il metodo di bisezione ricercare le soluzioni approssimate della seguente equazione, con un approssimazione relativa di : Utilizziamo il metodo grafico per determinare l intervallo in cui cade la soluzione. Riscrivendo l equazione sotto forma di sistema, si ha: e, tracciando le funzioni in un sistema di assi cartesiani, otteniamo il grafico a fianco. Da tale grafico si deduce che la soluzione dell equazione cade all interno dell intervallo. Poiché la funzione è continua nell intervallo e: la soluzione è unica per il primo teorema di unicità della soluzione ,5-0, , , , ,5-0,75-0, , , , , , ,75-0,5-0,625-0, , , , , ,2 3-0,625-0,5-0,5625-0, , , , , , ,625-0,5625-0, , , ,0415 0, ,0003 0, , ,5625-0, ,0415 0, , , , , , ,5625-0, , , , ,53E-05-3,6E-05 0, , ,5625-0, , , , ,7E-06 8,41E-06 0, , , , , , , ,46E-06-2,2E-06 0, , , , , , , ,15E-07-4,3E-07 0, , , , , , , ,5E-07 4,5E-07 0, deduciamo che la soluzione cercata è quella con un approssimazione di dalla tabella che., cioè si ricava

5 Esempio 3: Utilizzando il metodo di bisezione ricercare le soluzioni approssimate della seguente equazione, con un errore relativo : Utilizziamo il metodo grafico per determinare l intervallo in cui cade la soluzione. Riscrivendo l equazione sotto forma di sistema, si ha: e, tracciando le funzioni in un sistema di assi cartesiani, otteniamo il grafico a fianco. Da tale grafico si deduce che la soluzione dell equazione cade all interno dell intervallo. Poiché la funzione è continua nell intervallo e: la soluzione è unica per il primo teorema di unicità della soluzione ,5-0, , , , , ,5 2 1,75-0, , , , , , ,75 2 1,875-0, , , , , , , ,9375-0, , , , , , deduciamo che la soluzione cercata è quella per cui, ovvero.

6 Esempio 4: Utilizzando il metodo di bisezione ricercare le soluzioni approssimate della seguente equazione: Utilizziamo il metodo grafico per determinare l intervallo in cui cade la soluzione. Riscrivendo l equazione sotto forma di sistema, si ha: e, tracciando le funzioni in un sistema di assi cartesiani, otteniamo il grafico a fianco. Da tale grafico si deduce che la soluzione dell equazione cade all interno dell intervallo. Poiché la funzione è continua nell intervallo e: la soluzione è unica per il primo teorema di unicità della soluzione ,5-3 0, , , , ,5 2 1,75-1, , , , , , ,75 2 1,875-0, , , ,0545 0, , ,75 1,875 1,8125-0, , , , , , ,8125 1,875 1, , , , , , , deduciamo che la soluzione cercata è. Erasmo Modica Tutti i contenuti, ove non diversamente indicato, sono coperti da licenza Creative Commons Attribuzione-Non commerciale-condividi allo stesso modo 2.5 Italia License: La riproduzione di tutto o parte dei contenuti potranno avvenire solo senza alcuno scopo di lucro e dovranno riportare l attribuzione all autore ed un link a Matematica Blogscuola. Per eventuali informazioni contattare l autore all indirizzo: matematica@galois.it