Equazioni non lineari

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1 Equazioni non lineari Antonino Polimeno Università degli Studi di Padova

2 Equazioni non lineari - 1 Dato il sistema di n equazioni in n incognite (reali o complesse) f(x) = 0 si vogliono trovare una o più soluzioni, cioè vettori x che verifichino il sistema.

3 Equazioni non lineari - 2 Le soluzioni, se esistono, si possono trovare con metodi numerici Il caso dei sistemi di equazioni lineari è stato già considerato Le difficoltà intrinseche del problema di trovare le soluzioni (o radici ) del sistema sono diverse se il problema è monodimensionale (una sola equazione) o multidimensionale. Nel primo caso è possibile praticamente sempre trovare soluzioni accurate in una dato intervallo [a, b] Nel secondo la ricerca di alcune delle possibili radici in un dominio generico D può essere molto complicata e computazionalmente difficile.

4 Titolo Esempi: Determinazione delle proprietà di una sostanza data una funzione di stato Calcolo delle attività delle specie chimiche in un reattore in cui siano presenti uno o più processi stechiometrici indipendenti Determinazione dei luoghi dei punti nodali (punti, piani etc.) di orbitali elettronici o molecolari richiede il calcolo degli zeri delle funzioni che descrivono le funzioni d onda orbitaliche

5 Esempio 1 Calcolo del volume occupato da 1 mole di CO 2, descritta dall equazione di van der Waals, ad 1 atm e 300 K. L equazione: V 3 m ammette tre soluzioni. RT + pb Vm 2 + a p p V m ab p = 0 polinomiale di III grado risolvibile analiticamente una sola soluzione è reale e coincide con il volume molare. Per i parametri dati si ottiene V m = L mol 1.

6 Esempio 2 Calcolo del ph di un acido debole monoprotico HA, di molarità m A per un volume V A mescolato a un volume V B di una soluzione acquosa di una base debole B, di molarità m B. HA + H 2 O A + H 3 O + K A = [A ][H 3 O + ] [HA] B + H 2 O BH + + OH K B = [BH+ ][OH ] [B] 2 H 2 O H 3 O + + OH K w = [H 3 O + ][OH ] Valgono i bilanci di massa rispetto alle specie A e B, (V A + V B )([HA] + [A ]) = V A m A (V A + V B )([B] + [BH + ]) = V B m B la soluzione deve essere elettricamente neutra [H 3 O + ] + [BH + ] = [A ] + [OH ] sistema di sei equazioni in sei incognite, che si può risolvere ottenendo [H 3 O + ] e quindi il ph = log[h 3 O + ].

7 Polinomio Equazione polinomiale di grado n p(x) = a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0 Il teorema fondamentale dell algebra stabilisce che l equazione ha un numero di radici complesse pari al grado del polinomio p(x), contate con la loro molteplicità. Il teorema di Abel stabilisce che le soluzioni si possono trovare mediante quadrature in funzione dei coefficienti a 0,... a n solo se il grado è inferiore a cinque. È quindi possibili scrivere soluzioni analitiche esatte in termini di operazioni elementari per le equazioni lineari, quadratiche, cubiche e quartiche.

8 Quadratiche Per n = 2, l equazione è ax 2 + bx + c = 0 dove a, b, c sono numeri reali; si definisce il discriminante = b 2 4ac tale che se > 0: l equazione ammette due soluzioni distinte reali = 0: l equazione ammette una soluzione doppia reale < 0: l equazione ammette due soluzioni complesse coniugate Le radici in generale sono ottenute come x k = b + u k 2a con k = 1, 2; u 1 = 1, u 2 = 1 sono le due radici quadratiche dell unità, e con si intende una delle due radici quadrate in senso complesso di.

9 Cubiche Per n = 3, l equazione è ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 dove a, b, c, d sono numeri reali; si definisce il discriminante = 18abcd 4b 3 d + b 2 c 2 4ac 3 27a 2 d 2 tale che se > 0: l equazione ammette tre soluzioni distinte reali = 0: l equazione ammette una soluzione tripla reale < 0: l equazione ammette una soluzione reale e due soluzioni complesse coniugate Le radici in generale sono ottenute come x k = 1 ( b + u k C + ) 0 2a u k C con k = 1, 2, 3; u 1 = 1, u 2 = 1+i 3 2, u 3 = 1 i 3 2 sono le tre radici cubiche dell unità, C = e 0 = b 2 3ac, 1 = 2b 3 9abc + 27a 2 d.

10 Metodi numerici - 1 f (x) = 0 Scriviamo f (x) = g(x) x, cioè x = g(x); sia a un punto di partenza e generiamo la successione 1. sia x 1 = a 2. sia x 2 = g(x 1 ) 3. torna allo step 2 quindi x k+1 = g(x k ). Se g(x) ha una derivata in modulo minore di 1 in un intorno della soluzione ξ ed a è scelto in questo intorno, la successione converge a ξ.

11 Metodi numerici - 2 Metodo dicotomico o di bisezione: nell intervallo [a, b], l equazione ammetta una radice semplice ξ, cioè un unica soluzione f (ξ) = 0, e che f (a)f (b) < 0. Il metodo più semplice per trovare una soluzione è di costruire la successione 1. siano x 1 = a, y 1 = b 2. definiamo z 1 = x 1+y 1 2, e scegliamo x 2, y 2 secondo la regola: se f (x 1 )f (z 1 ) < 0 allora x 2 = x 1, y 2 = z 1, altrimenti se f (z 1 )f (y 1 ) < 0 allora x 2 = z 1, y 2 = y 1 3. torna allo step 2. La successione z 1, z 2,... converge a ξ (e naturalmente se ad un certo step f (z k ) = 0, z k = ξ). il metodo dicotomico converge sempre, ma in modo relativamente lento (lineare) ad una soluzione.

12 Metodi numerici - 3 Metodo di Newton: generiamo una successione di punti x k che convergano per k a ξ. Ad ogni iterazione f (x k + δx) = 0 dove δx è una quantità incognita; al primo ordine in δx possiamo però espandere in serie di potenze la funzione f ottenendo f (x k + δx) = f (x k ) + δxf (x k ) dove f (x k ) = f (x) x=xk ; quindi una scelta corretta di δx è -f (x k )/f (x k ); 1. sia x 1 = a 2. sia x 2 = x 1 f (x 1) f (x 1 ) 3. torna allo step 2 ad ogni iterazione x k+1 = x k f (x k) f (x k ). Il metodo di Newton converge quasi sempre, ma non in ogni caso; la convegenza è quadratica.

13 Metodi numerici - 4 Regula falsi: il metodo di Newton richiede la valutazione della derivata prima della funzione oltre che della funzione stessa ad ogni iterazione. Un alternativa è data dal metodo della secante variabile o regula falsi, in cui la derivata f (x k ) è calcolata come il rapporto x incrementale nei punti x k, x k 1, x k+1 = x k f (x k ) k x k 1 1. siano x 0 = a, x 1 = b 2. sia x 2 = x 1 f (x 1 ) 3. torna allo step 2 x 1 x 0 f (x 1 ) f (x 0 ) f (x k ) f (x k 1 ). La regula falsi converge più lentamente del metodo di Newton, ma più velocemente del metodo dicotomico.

14 Metodi numerici - 5 Il metodo dicotomico è implementato in varie routine di calcolo di soluzione sotto forma di algoritmo di Brent. La maggior parte delle librerie di calcolo disponibili combinano spesso i vari metodi, accoppiando per esempio il metodo di Brent (per individuare un approssimazione abbastanza vicina alla soluzione) con il metodo di Newton o regula falsi (per una raffinamento ulteriore dell approssimazione) routine brent (in C), dfzero (in Fortran, del pacchetto NMS), root (in Fortran, del pacchetto Napack), tutte accessibili da gams.nist.gov; funzione fzero di Matlab Per le equazioni polinomiali si possono sempre trovare tutte le radici: una volta trovata una radice a, si divide il polinomio per il binomio x a (regola di Ruffini) e si trova una radice del polinomio quoziente etc.; funzione roots di Matlab

15 Sistemi di equazioni - 1 il problema dell individuazione delle soluzioni di un sistema di equazioni non lineari è molto più complesso del caso di una sola variabile. Se non si dispone di una buona approssimazione di partenza ad una specifica soluzione, ammesso che questa esista, non esistono metodi numerici sufficientemente robusti per risolvere il problema Approccio quasi-newton: generalizzazione a più dimensioni del metodo di Newton o della regula falsi. hybrid della libreria Minpack, libreria HOMPACK, routine quasi della libreria NAPACK (in Fortran); funzione fsolve di Matlab

16 Sistemi di equazioni - 2 Possiamo generalizzare il metodo di Newton in più dimensioni generando la successione di vettori x k+1 = x k J(x k ) 1 f(x k ) dove J(x k ) è la matrice jacobiana f 1 f 2... f n x 1 x 1 x 1 f 1 f 2... f n J(x) = x 2 x 2 x f 1 f 2... f n x n x n x n calcolata nel punto x k. Nei metodi quasi-newton in pratica si sostituisce la matrice J con qualche opportuna approssimazione, per evitare il calcolo delle derivate prime.