Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 3

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 3 Grafici-2D Il più semplice comando Matlab per disegnare un grafico è : plot(x,y) dovex = (x 1,...,x n )ey = (y 1,...,y n )sono2vettoridiugualdimensione. Il comando plot(x,y) rappresenterà in una finestra grafica una linea che collega i punti di coordinate (x i,y i ), i = 1,...,n Esempio Disegnare il grafico della funzione f(x) = 2 sin(x) cos(x)+2x nell intervallo [0, π/2] >> x=linspace(0, pi/2,10); >> y=2*sin(x).*cos(x)+2*x; >> plot(x,y) Si noti che grazie alla caratteristica vettoriale di Matlab è sufficiente un solo comando per valutare f in un vettore di punti, basta infatti eseguire le operazioni componente per componente. Se cambio il vettore delle ascisse x devo ricalcolare il vettore y contenente i valori assunti dalla funzione f nei nuovi punti prima di fare il grafico:

2 >> x=linspace(0,pi); >> y=2*sin(x).*cos(x)+2*x; >> plot(x,y) Sarà utile, per non dover manualmente ripetere la successione di istruzioni ogni volta che si cambia un parametro, memorizzare il lavoro in uno scriptfile

3 Esercizio 1 Scrivere uno script-file Matlab che, letti da tastiera gli estremi a e b di un intervallo, disegni il grafico della funzione sin(x) per x [a,b]. A tale scopo si generi un vettore z di 50 punti equispaziati in [a,b], si valuti la funzione nei punti di z e si disegni il grafico usando la funzione plot. L istruzione plot crea una nuova finestra grafica solo se non ci sono finestre grafiche già aperte, altrimenti utilizza l ultima finestra creata, e sovrascrive il nuovo grafico a quello creato in precedenza. Pertanto se vogliamo visualizzare nella stessa finestra grafica i grafici di due funzioni f(x) = sin(x)+x, g(x) = x 2 +cos(x) x [0,π] abbiamo due possibilità: possiamo disegnare il grafico di f e aggiungere successivamente il grafico di g specificando a Matlab di non cancellare il primo grafico tramite il comando hold on >> x=linspace(0,pi); >> fx=sin(x)+x; >> plot(x,fx) >> hold on >> gx=x.^2+cos(x); >> plot(x,gx) 3

4 possiamo disegnare i due grafici con un solo comando plot >> x=linspace(0,pi); >> fx=sin(x)+x; >> gx=x.^2+cos(x); >> plot(x,fx,x,gx)

5 Se invece vogliamo visualizzare le due funzioni in differenti finestre grafiche possiamo utilizzare il comando figure. Quest ultimo genera una nuova finestra e la numera in ordine crescente o come indicato: >> x=linspace(0,pi); >> fx=sin(x)+x; >> gx=x.^2 +cos(x); >> figure(1) >> plot(x,fx) >> figure(2) >> plot(x,gx) Esercizio 2 Disegnare il grafico delle seguenti funzioni: f(x) = 2log(x+2) x+1 x [1,2] g(x) = x2 +2x+1 x 2 +1 x [0,5] con le seguenti modalità: disegnare due grafici distinti nella stessa figura disporre i due grafici in due finestre distinte. 5

6 Il comando plot prevede la possibilità di scegliere il tipo di linea, o di simbolo ed il colore, con cui vengono rappresentati graficamente i dati(vedi help plot). La sintassi generale è: plot(x, y, specifiche ) Dove specifiche è una stringa di caratteri scelti nella lista seguente b blue. point - solid g green o circle : dotted r red x x-mark -. dashdot c cyan + plus -- dashed m magenta * star (none) no line y yellow s square k black d diamond w white v triangle (down) ^ triangle (up) < triangle (left) > triangle (right) p pentagram h hexagram Il comando doc LineSpec mostra una lista di tutte le opzioni disponibili per specificare lo stile della linea. Per disegnare solo i punti dati (x i,y i ) con un asterisco senza collegarli con una linea: 6

7 >> plot(x,y, * ) Se vogliamo disegnare ad esempio la funzione sin(x) nell intervallo [0, 2 π] con una linea rossa tratteggiata >> x = 0:pi/20:2*pi; >> y=sin(x); >> plot(x,y, r-- ) digitando successivamente >> figure(2) >> plot(x,y, b+: ) >> axis([0 2*pi ]) visualizzeremo in un altra finestra il grafico di sin(x) con linea punteggata blu evidenziando con il simbolo + i punti (x i,y i ) in cui la funzione è stata valutata per disegnare il grafico. Inoltre con il comando axis abbiamo definito i limiti degli assi che di default vengono scelti automaticamente da Matlab in base ai dati visualizzati. 7

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9 I comandi title,xlabel,ylabel,legend ci permettono di completare il nostro grafico con un titolo, delle etichette sugli assi e una legenda: >> x=linspace(0,pi); >> fx=sin(x)+x; >> gx=x.^2 +cos(x); >> plot(x,fx, r, x,gx, b ) >> title( Grafici di funzioni ) >> xlabel( Asse x ) >> ylabel( Asse y ) >> legend( f, g ) 9 8 Grafici di funzioni f g 7 6 Asse y Asse x 9

10 Il comando grid on inserisce una griglia sul grafico. Esercizio 4 Per n = 0,...20 si considerino le funzioni f n (x) = x n nell intervallo [0,1]. Disegnare i grafici delle f n nella medesima finestra grafica corredandola di titolo, ed etichette sugli assi. 10

11 Funzioni anonime (anonymous functions) Assegnata una funzione del tipo f(x) = (sin(x)+x) 2 vogliamo valutare i valori assunti da f per diversi valori di x. Quando l espressione della funzione è lunga e/o complessa e la funzione deve essere valutata in istanti successivi per diversi valori delle variabili da cui dipende, è utile poter definire la funzione una volta per tutte senza dover riscrivere la sua espressione ogni volta che la si vuole valutare in punti differenti. In Matlab è possibile definire una anonymous function direttamente nello spazio di lavoro, senza ricorrere a file esterni, mediante il (function handle). Per esempio, definiamo: >> f=@(x)(sin(x)+x).^2 dove nella parentesi che segue il elenchiamo in modo ordinato (in questo esempio solo la x) le variabili da cui la funzione dipende, mentre nell espressione che segue scriviamo l espressione matematica che definisce la funzione. Attenzione: ricordarsi di utilizzare operazioni con i punti se si vuole che la funzione operi sui vettori! Ad una funzione così definita non sono associati dei valori numerici (verificare con whos f). Per associarle valori numerici scriviamo, per esempio >> x=0:0.01:2*pi; >> y=f(x); 11

12 Tali valori numerici vengono conservati nel vettore y (verificare con whos y). Possiamo poi usarli, per esempio, per disegnare il grafico di f con il comando >> plot(x,y) È possibile definire funzioni che dipendono da più variabili o parametri >> f=@(a,x) 2*x+a; Attenzione: y = f(2,10) è diverso da z = f(10,2). Esercizio 5. Dopo averla definita fare un grafico della funzione: in [1, 2] con linea nera tratteggiata. f(x) = 2log(x+2) x+1 Esercizio 6. Dopo aver definito la funzione f(a,x) = e ax come funzione di due variabili, disegnare i grafici di f in [ 1,1] per a = 1 e per a = 1 nella stessa finestra utilizzando 2 colori diversi e corredandola di legenda; 12

13 Matrici in Matlab Per assegnare le matrici A = [ ] 1 2 3, B = [ ] >> A=[1 2 3; 4 5 6]; >> B=ones(2,3); Possiamo calcolare >> C=A+B; >> D=A-B; ed estrarre gli elementi >> s=b(1,2)+d(2,3) s = 6 13

14 L operatore si utilizza per trasporre una matrice, ovvero assegnata A calcolare A T definita da (A T ) i,j = A j,i >>A =[ 2 1 0; 3 1 0; ] >> A ans = L operatore * esegue il prodotto righe per colonne: in Matlab: >> A=[1 2 ; 3 4]; >> B=[1 2 3; 4 5 6]; >> A*B ans = [ ] [ ] = [ ]

15 >> [1; 2 ;3; 4]*[ ] ans = >> [ ]*[ 1; 2; 3; 4] ans = 30 Operazioni elemento per elemento (come per i vettori): >> A=[1 2; 3 4], B=[1 2;-1 1]; >> A.*B; >> A./B; >> A.^B; 15

16 Matrice identità (eye(n)) >> I=eye(4) I = Matrici particolari Matrice di Hilbert (hilb(n)) 1 1/2 1/3 1/4... 1/n 1/2 1/3 1/4 1/5... 1/(n+1) 1/n 1/(n+1)... 1/(2n 1) >> H=hilb(3) H =

17 Matrice di numeri casuali (rand(n)) >> A=rand(3) A = Matrice di Van der Monde Dato un vettore qualsiasi v, il comando vander(v) costruisce la matrice quadrata che ha per colonne le potenze successive degli elementi di v: v1 n 1 v n 2 v2 n 1 v n 2 v n 1 n >> v=[-2, 3, 4, 5]; >> A=vander(v) A = v1 2 v 1 v v2 2 v 2 v vn 2 v n vn 0 v n 2 n 17

18 Manipolazione di sottoblocchi di matrici e concatenazione Siano A=eye(4) e B=hilb(2). Per sostituire alle ultime due righe e colonne di A la matrice B: >> A=eye(4); B=hilb(2); >> A(3:4,3:4)=B A = Per estrarre la quarta riga di A: >> r=a(4,:) r = Per eliminare una colonna usiamo il vettore vuoto []: >> A=hilb(4) A =

19 >> A(:,3)=[] A = Per concatenare due matrici (attenzione alle dimensioni!): >> A=eye(3,2); B=zeros(3,4); >> C=[A,B] C = >> D=[C;ones(1,6)] D =

20 Esercizi 1. Costruire, con comandi opportuni, le seguenti matrici 5x5: identità, casuale, nulla, con tutti gli elementi = 1, di Hilbert. 2. Sia A = a. assegnare il valore 100 agli elementi della 3 colonna b. assegnare il valore -3 agli elementi della 2 riga [ ] 1 2 c. assegnare il valore alla sottomatrice definita dalle colonne e 3 e dalle righe 3 e 4 d. eliminare la terza colonna di A; e. aggiungere ad A la riga [3, 1, 5]; 3. Assegnate le matrici A = , E = Calcolare i prodotti di matrici AE e EA; sono uguali? 20

21 Esercizi di Riepilogo 1. Dopoaverdefinitolafunzionef(k,x) = cos(kπx)con@comefunzione di due variabili k = 1, 2, 3 e x [ 1,1] disegnare i grafici di f per i differenti valori di k disponendoli in 3 finestre distinte e corredando le figure di titoli, ed etichette sugli assi. 2. Dopo averla definita fare un grafico della funzione: f(x) = (x 2 1)e 1 x 2 1 in [1,10] con linea rossa continua. 3. Assegnata la matrice A = , SiindichiconB lamatricecostituitadaglielementidiachesitrovano sulle prime tre righe e due colonne e si indichi con C la matrice costituita dalle ultime due righe di A. Calcolare i prodotti BC e CB: in cosa si differenziano? 21