G. Bracco.Appunti di Fisica Generale. G. Bracco.Appunti di Fisica Generale

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1 In Matlab, le variabili vengono indicate da un nome (il programma è case sensitive ) con inizio alfabetico (a-z) ed il valore viene associato tramite = >> a=5 >> A=10; è una variabile diversa >> b2=2.5e-3 che corrisponde a l uso del ; serve a non visualizzare l operazione, utile se si usano files di comandi (detti m-files perche hanno estensione.m) la somma di variabili scalari si indica con + (sottrazione - ) mentre il prodotto da * (divisione /, se si usa \ si scambiano di posto dividendo e divisore cioè a/b è uguale a b\a, ^ elevamento a potenza) un espressione si scrive in modo standard con le solite priorità >> c=exp(-a)/b; exp esponenziale >> d=sin(2*pi*a) pi= è già predefinito in doppia precisione >> e=cos(2*pi*b) >> f=log(a) logaritmo naturale >> g=log10(a) logaritmo in base 10 1 Più espressioni possono essere separate da, (vengono visualizzate) o da ; (non vengono visualizzate) >> c=3,d=5;f=3.4 Scrivendo la variabile, il suo contenuto viene stampato il comando who mostra le variabili in memoria il comando clear cancella le variabili in memoria si può salvare il workspace col comando save ovvero tutte le variabili ed il loro valore sono conservate in un file >> save salva in un file binario matlab.mat >> save fisica salva in fisica.mat (sempre binario) >> save fisica.dat A a b salva in fisica.dat le variabili scalari A a b >> save testo.dat A a b -ascii salva in formato ascii nel file testo.dat >> save doppio.dat A a b -ascii -double salva nel file doppio.dat ma con 16 cifre anziché otto il comando load serve a leggere un file >> load legge il file matlab.dat >> load doppio.dat legge doppio.dat nella variabile doppio 2

2 Ricordarsi che le variabili hanno il primo carattere alfabetico e quindi i nomi dei files devono seguire la stessa convenzione. E anche possibile usare comandi del C per scrivere e leggere files e quindi superare questa limitazione. Se viene scritto un nome di file (senza estensione) Matlab cerca un m-file, lo controlla e se la sintassi è corretta lo esegue. Scriviamo in un file somma.m le seguenti righe A=1; B=2; C=A+B,D=5+A;e=B+1 e poi scriviamo in MATLAB >> somma il programma scriverà (se non c è già una variabile somma altrimenti stampa il suo valore) C=3 e=3 Se un espressione è lunga si spezza e si usano per unire le linee >> A=exp( -3) corrisponde a A=exp(-3) 3 In Matlab, le variabili vettoriali si assegnano nel seguente modo >> b=[1 2 3] in tal caso la variabile b è un vettore riga >> c=[1,2,3] c risulta uguale a b >> d=[1;2;3] d è un vettore colonna Una matrice viene assegnata con >> A=[1 2 3;4 5 6;7 8 9] l apice si usa per fare l operazione di trasposto (scambio di righe con le colonne) >> B=A genera la trasposta di A >>e=b genera un vettore colonna uguale a d la somma di variabili vettoriali si indica con + (sottrazione - ) mentre il prodotto righe per colonne da *, in ogni caso le dimensioni devono essere opportune altrimenti Matlab dà errore! >> b*d corrisponde al prodotto scalare di b con d mentre >> d *d al prodotto scalare di d con se stesso >> d*d al prodotto tensoriale di d con se stesso (una matrice) >> A*d prodotto della matrice A con d 4

3 Nel caso si voglia operare su ciascun elemento di un vettore si usa il segno dell operazione preceduta dal puntino, per es. >> h=[ ] >> w=h^2 Matlab dà errore perché il quadrato è definito solo per le matrici nxn (motiplicare una matrice righe per colonne con se stessa) >>z=h.^2 eleva al quadrato ciascun elemento di z. >>y=h.* z moltiplica ogni elemento di h per il corrispondente di z quindi y è anche uguale a h.^3 Se si vuole accedere ad un elemento della matrice >> A=[1 2 3 (andata a capo) (andata a capo) 5 6 7] (questo è l altro modo di assegnare una matrice o vettore con più righe) si scrive >>A(1,2) elemento della prima riga seconda colonna cioè 2 5 Un vettore vuoto o una matrice vuota si assegnano con >> A=[] mentre un vettore riempito di zeri si assegna con >> x=zeros(1,5) cioè una riga e 5 colonne >> y=ones(5,1) genera un vettore colonna di dimensione 5 riempito di 1 >> I=eye(3) genera la matrice identità di dimensione 3x3 quindi per riempire una matrice 5x3 con tutti gli elementi pari a 5 >>mat=5*ones(5,3) Da osservare che [ ] serve a concatenare gli elementi tra parentesi >>c=['1' ' ' '2'] genera una variabile testo '1 2 (cioè caratteri posti entro singoli apici) e questo vale anche nella generazione di matrici dove vengono concatenati gli elementi. Infine, per generare una serie di numeri a passo costante si usano i due punti : >>1:10 genera numeri interi da 1 a 10 >>1:0.1:10 genera numeri da 1 10 con passo 0.1 (1, 1.1, 1.2, 1.3, ) 6

4 Avevano visto l uso di save nel caso di variabili scalari, per quelle vettoriali è del tutto simile, per esempio >> b=[1;2;3]; c=[1;2];d=[4;5;6]; >> save dati.dat b c -ascii salva in una sola colonna b e poi c. Possiamo concatenare in una matrice A=[b d] (stesso numero righe!) >> save cdati.dat A -ascii in tal caso la prima colonna è b mentre la seconda è d. >> load cdati.dat genera una variabile (matrice) cdati, per estrarre i due vettori colonna si procede nel seguente modo >>x=cdati(:,1) x è tutta la prima colonna di cdati (altrimenti con un intervallo x=cdati(2:3,1) si assegna ad x solo i valori cdati(2,1) e cdati(3,1)) >>y=cdati(:,2) y è tutta la seconda colonna di dati quindi x è uguale a b mentre y è uguale a d. Esercizi: scrivere in Matlab la procedura 1) per il calcolo di un vettore perpendicolare ad uno dato in 2D 2) per il calcolo del prodotto vettoriale di 2 vettori 3D 7 In Matlab, è possibile costruire loop e usare condizioni logiche (relazioni = =, <, >, AND &, OR, NOT ~ ) >> a=2; >> if a = = 1, >> b=3; >> elseif a= = 2, >> b=0; >> else >> b= -1; >> A=[]; >> B=3; >> while B>0, >> B=B-1 >> % questo è un commento >> for k=1:10, >> A=[A; k]; genera un vettore colonna Per interompere un loop e uscire si usa break >> epsi=1e-3 (eps è già definito di default a e-016) >> for k=1:10 >> x=exp(-k) >> if x<epsi, break, end quando x è minore di epsi termina il loop 8

5 Per i nostri scopi utilizzeremo anche il comando plot per disegnare traiettorie in 2D definite da un vettore x e uno y e da un vettore z e t >> plot(x,y, z,t) cioè lavora su coppie di vettori di ugual dimensione (nel caso si usi solo un vettore, i valori degli elementi vengono disegnati in funzione dell indice dell elemento) per cambiare stile e colore si aggiunge un modificatore >> plot(x,y, g:+,z,t, r-o ) la prima curva è verde, a puntini, con + ad ogni punto (x,y) mentre la seconda è rossa, continua, con un cerchio ad ogni punto (z,t). I colori sono c m y r g b w k ciano magenta giallo rosso verde blu bianco nero Gli stili - continuo -- tratteggiato : a puntini -. linea punto none per nessuna linea I simboli più comuni + o * x Per ogni grafico c e una finestra figure(n) dove n identifica la finestra, il comando figure(n) serve a richiamare la finestra corrispondente. Se il plot è in un m-file viene disegnato alla fine dell esecuzione. 9 Per far disegnare il plot immediatamente si deve mettere il comando drawnow (ricordarsi che ogni comando plot genera un nuovo grafico >>x=(1:0.1:10); >>for k=1:10, >> y=x.^k; >> plot(x,y) >> drawnow in tal modo vengono disegnati ad ogni passaggio nel loop >>end Altri comandi utili sono: hold on hold off in on mantiene il vecchio grafico e aggiunge quello nuovo, per controllare il range dei valori rappresentati si usano axis auto axis([xmin xmax ymin ymax]) axis square (stessa lunghezza degli assi) axis equal (stesse divisioni degli assi) axis on axis off per disegnare o meno le suddivisioni e la numerazione Infine, per mettere le scritte sugli assi si usano xlabel( testo ) e ylabel( testo ) (il testo può contenere simboli di TeX come \alpha ), text(x,y, testo) mette una scritta in posizione (x,y) e title( testo ) scrive un titolo in alto Disegnare una circonferenza blu e un punto rosso ( o ) su di essa che si muove e fa un giro completo 10

6 Gli m-files possono essere script e function. Sono in ogni caso un insieme di linee di comandi Matlab: negli script sono proprio un insieme di linee di comandi e le variabili definite nello script sono memorizzate anche nel workspace, invece nelle function, che iniziano con function e terminano in genere con return, le variabili definite nella function sono locali, finita la function non rimangono nel workspace. Affinchè certe variabili siano passate alle o estratte dalle function esse devono essere definite global x y z sia nelle function sia all esterno delle function per poter condividere il valore. >> function C=moltiplicazione(A,B) function con due variabili input e una output >> global alfa >>C=alfa*A*B; >>return queste istruzioni devono essere salvate nel file moltiplicazione.m e in Matlab si può utilizzare la function >> global alfa >> alfa=1; 11 >>S0=[1 2 3; ; 4 2 1]; >>T1=[0 0 1; 1 1 0; 1 0 0]; >> M=moltiplicazione(S0,T1) In Matlab i comandi funzionano anche come function, p.es. >> load misure.txt può anche essere scritto come function >> load( misure.txt ) ciò può essere utile per leggere più file ordinati >>for n=1:31, >> s=[ misure int2str(n).txt ] int2str(n) genera il testo del numero n: 7 -> 7 >> load(s) >> % legge il file n-esimo (misure1.txt, misure2.txt,..) Esiste infine la function eval( cmd ) che esegue il comando testo cmd e quindi lo stesso loop di prima può essere scritto >>for n=1:31, >> s=[ load misure int2str(n).txt ] >> eval(s) o direttamente >>eval([ load misure int2str(n).txt ]) 12

7 Per avere informazioni sulle function (o sui comandi) si può usare il comando help seguito dal nome della function (comando) di Matlab Nell help il nome della function è in maiuscolo ma per l uso si deve usare il nome minuscolo. In Matlab c e una libreria di funzioni matematiche quali sin,cos,tan,exp,log,log10 Altre funzioni riguardano operazioni su matrici inv(a) calcola l inversa della matrice quadrata A det(a) calcola il determinante della matrice quadrata A. 1) utilizzando le function di Matlab, trovare la soluzione del sistema lineare 2x-y+z=3 x-2y-2z=5 x+y-z=1 2) scrivere la procedura per determinare se tre vettori in 3D sono tra loro complanari 13