Laboratorio di Matematica Computazionale A.A Lab. 1 - Introduzione a Matlab

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1 Laboratorio di Matematica Computazionale A.A Lab. 1 - Introduzione a Matlab Matlab è uno strumento per il calcolo scientifico utilizzabile sia in maniera interattiva che come linguaggio di programmazione. Il nome Matlab è una abbreviazione di Matrix-Laboratory. L oggetto elementare con cui lavora è la matrice: ogni quantità (variabile) viene trattata come una matrice di dimensioni m n. Un numero reale è una matrice 1 1. In Matlab non è necessario definire e dichiarare le variabili. Tutte le variabili vengono trattate in doppia precisione (8 byte), senza distinzione fra interi, reali in singola o doppia precisione. Sono predefinite numerose funzioni primitive di uso generale, dette built-in functions. Esistono inoltre raccolte di funzioni dedicate ad uno specifico argomento che vengono dette toolboxes. (es: statistica, pde)

2 Per ulteriori informazioni su Matlab: Matlab è un software a pagamento. Esiste un software gratuito, Octave, che ne riproduce buona parte delle funzioni fondamentali (con una grafica più povera). Octave può essere scaricato alla pagina web 2

3 Per iniziare ad usare Matlab in modalità interattiva La prima cosa da fare: >> cd W:\ My Documents Alcuni comandi del sistema operativo importanti da conoscere: >> pwd W:\My Documents >> mkdir LMC >> ls. Immagini.. Musica LMC >> cd LMC Alcuni comandi Matlab importanti da conoscere: >> demo mostra esempi significativi di possibili applicazioni del software. >> help 3

4 >> doc permettono di ottenere informazioni dettagliate su qualsiasi comando. Il comando doc mostra anche quali pacchetti (toolboxes) siano installati nella versione in uso. Ad esempio: >> help sqrt >> doc sin Per cercare il nome esatto di un comando: >> lookfor cosine cerca i comandi nella cui descrizione appare la parola cosine >> diary mywork.dat apre il file di testo mywork.dat nel quale viene trascritto (a partire da quel momento) il flusso delle istruzioni digitate (è una cronaca del lavoro svolto). >> diary off interrompe la scrittura della cronaca e chiude il file mywork.dat 4

5 Scalari in Matlab Assegnazione della variabile z: >> z=3*2 z = 6 >> 3*2 6 il valore 6 viene assegnato alla variabile ans che contiene sempre l ultimo valore non esplicitamente assegnato dall utente ad una variabile. >> a=sqrt(100); >> a a = 10 Il ; alla fine dell istruzione sopprime la visualizzazione a schermo del risultato (ma non l esecuzione dell operazione!). Sono definite le operazioni elementari: +,,, /, (elevamento a potenza). >> a=3+2, b=5-3, d=3*4, e=3/2, f=2^3 5

6 È definita la funzione esponenziale e x >> y=exp(2) >> exp(1) % Costante di Nepero 2, Attenzione alle precedenze: >> 3+2*4 ans= 11 >> 3*2^4 ans= 48 Per alterare l ordine delle operazioni si utilizzano le parentesi tonde. >> (3+2)*4 ans= 20 >> (3*2)^4 ans= 1296 >> whos elenca le variabili attualmente attive in memoria e dà alcune informazioni importanti sulle loro caratteristiche (tipo di oggetto, dimensioni...) 6

7 >> clear all cancella il valore di tutte le variabili attive in memoria. >> save dati.mat salva nel file binario dati.mat il contenuto di tutte le variabili momentaneamente attive in memoria. >> save dati.mat z x salva le sole variabili z e x >> load area.mat ricarica le variabili salvate nel file dati.mat e le rende attive in memoria (verificare con whos) Variabili predefinite: pi (pigreco), i,j (unità immaginarie), eps (epsilon macchina). Ogni variabile può essere sovrascritta. Per tornare indietro: clear. >>pi >>pi=5; >> clear pi >> pi

8 Esercizi 3 Posto a = 3, b = 2, calcolare a + b, a + b 2, a + b 2a, 1, ( ) 3 3 Posto x = 4, y = 2, calcolare x + y Se x = 10, y = 5, z = 2, calcolare Per a = 8, calcolare a + 3 a 2a + 4 Se a = 1 3, b = 1 5, calcolare (= 0.5) 3x 2y 5z 2 (= 1) a 3 (= 8.3) (1 b + 3a)

9 Vettori in Matlab Assegnazione di un vettore riga: >> w=[1 2 3] w = oppure >> w=[1, 2, 3]; Assegnazione di un vettore colonna: >> v=[1; 2; 3] w = Altri modi di generare vettori riga: >> v=[1:10] v =

10 >> v=[1:.5:3] v = La sintassi generale è v=[valore iniz:passo:valore finale]. Il passo può essere anche negativo, ad es. v=[10:-.5:1]; Il comando linspace(valore iniziale, valore finale, N) genera N valori equispaziati fra valore iniziale e valore finale (estremi compresi). Ad esempio >> v=linspace(0,1,5) Per accedere alla componente di un vettore: >> v(3) 2 Attenzione: in Matlab l indicizzazione inizia da 1 e non da 0! Nota: esiste in Matlab la parola chiave end per accedere all ultimo elemento di un vettore. Ad es., se v ha dieci elementi, v(end) equivale a v(10). 10

11 Matlab produce un messaggio di errore quando si cerchi di accedere ad una componente non definita, ad esempio: >> z=v(0)??? Subscript indices must either be real positive integers or logicals. Per conoscere la lunghezza di un vettore v: >> length(v) 5 Per controllare la dimensione di una variabile v: >> size(v) 1 5 Il comando zeros(n,1) produce un vettore colonna di lunghezza n con elementi tutti nulli. Il comando zeros(1,n) produce un vettore riga di lunghezza n con elementi tutti nulli. Il comando ones(n,1) (ones(1,n)) genera un vettore colonna (riga) con tutte le componenti pari a 1. 11

12 Operazioni su vettori Dati i vettori v=[ ] e w=ones(1,4). Trasposizione: >> u=v u = Norma euclidea v = n i=1 v2 i : >> norm(v,2) (oppure >> norm(v)) Somma (sottrazione) algebrica tra vettori di ugual dimensioni >> v+w

13 >> v-w Prodotto scalare (v, w) = (v 1 w 1 + v 2 w v n w n ). >> v*w (oppure dot(v,w)) 10 Prodotto vettoriale (v w). >> a = [1 2 3]; >> b = [4 5 6]; >> c = cross(a,b) c = Attenzione alle dimensioni dei vettori! 13

14 Operazioni su vettori componente per componente. Consideriamo i vettori di ugual dimensione a e b appena definiti. il prodotto componente per componente genera il vettore: (a 1 b 1, a 2 b 2, a 3 b 3 ) >> z= a.*b z = la divisione componente per componente genera il vettore: (a 1 /b 1, a 2 /b 2, a 3 /b 3 ) >> a./b l elevamento a potenza componente per componente genera il vettore: (a b 1 1, a b 2 2, a b 3 3 ) >>a.^b >>a.^

15 Manipolazione di sottoblocchi di vettori e concatenazione Siano v=[ ] e w=[ ]. Per sostituire alle ultime due componenti di v le componenti di w: >> v=[ ]; w=[ ]; >> v(end-1:end)=w; Per eliminare da v la terza e la quarta componente usiamo il vettore vuoto []: >> v=[ ]; >> v(3:4)=[]; v= Per concatenare i due vettori: >> z=[v w] z=

16 Esercizi Generare gli interi da 28 a 80 con passo 1 generare gli interi da -13 a 75 con passo 2 generare gli interi da 22 a -10 con passo -4 generare 100 punti equispaziati tra 2 e 3 generare 125 punti equispaziati tra -1 e 5 generare i punti tra -2.7 a 8.3 con passo 1.5 (cosa si osserva?) generare 150 punti equispaziati tra -2 e 3 sia x = [ 3, 5, 8, 0, 1, 5, 2, 4]: a. imporre 6 elemento =100 b. imporre 1, 2, 3 elemento = [5, 6, 7] c. togliere 4 elemento d. aggiungere in testa = [1, 2, 3] e. aggiungere in coda = [10, 11, 12] f. togliere, con un solo comando, dal 4 al 7 elemento compresi 16

17 Matrici in Matlab (primi comandi) Per assegnare le matrici [ ] [ ] A =, B = >> A=[1 2 3; 4 5 6]; >> B=ones(2,3); Possiamo calcolare >> C=A+B; >> D=A*B ; oppure >> I= eye(5); >> B= rand(5) B = >> C= B-I; >> s=i(1,2)+c(3,3) s =

18 Manipolazione di sottoblocchi di matrici e concatenazione Sia A=eye(4) e B=hilb(2). Per sostituire alle ultime due righe e colonne di A la matrice B: >> A=eye(4); B=hilb(2); >> A(3:4,3:4)=B A = Per estrarre la quarta riga di A: >> r=a(4,:) r = Per eliminare una colonna usiamo il vettore vuoto []: >> A=pascal(4) A =

19 >> A(:,3)=[] A = Per concatenare due matrici (attenzione alle dimensioni!): >> A=eye(3,2); B=zeros(3,4); >> C=[A,B] C = >> D=[C;ones(1,6)] D =

20 Altre funzioni predefinite su matrici e vettori >> v=[1:4]; >> A=diag(v) A = >> M=[1 2 9; 7 5 6; 4 8 3]; >> v=diag(m) v = >> sum(v) 9 >> sum(m)

21 >> prod(v) 15 >> prod(m) >> max(v) 5 >> min(v) 1 >> sort(v)

22 >> B=[4-1 1;-1 3-2; 1-2 3]; >> det(b) 18 >> C=inv(B) C =

23 Esercizi Sia A = a. assegnare il valore 100 agli elementi della 3 colonna b. assegnare il valore -3 agli elementi della 2 riga [ ] 1 2 c. assegnare il valore alla sottomatrice definita dalle 3 4 colonne 2 e 3 e dalle righe 3 e 4 d. sia C = [1, 1, 1, 1] e B = [0, 0, 0, 0, 0] T : costruire A H = B C Assegnati i vettori u = [1, 0, 2, 3] e v = [3; 0; 2; 1] a. calcolarne il prodotto scalare; cosa fornisce invece il prodotto v u? b. calcolare i vettori colonna z, w, y definiti, componente per componente, da z i = u i v i, w i = u v i i, y i = z i /w i 23

24 assegnate le matrici A = 3 1 0, E = a. calcolare i prodotti di matrici AE e EA; sono uguali? b. si indichi con B la matrice costituita dalle prime due colonne di A e con C la matrice costituita dalle ultime due righe di E. Calcolare i prodotti BC e CB: in cosa si differenziano? Si considerino le matrici al punto precedente per verificare le seguenti proprietà del determinante di matrici a. det(a) = det(a T ) b. det(αa) = α n det(a T ) α R c. det(ae) = det(a)det(e) d. det(e 1 ) = 1/det(E) 24