Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 1 - Introduzione a MATLAB

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1 Complementi di Matematica e Calcolo Numerico A.A Laboratorio 1 - Introduzione a MATLAB MATLAB =MAT(rix)-LAB(oratory) è un ambiente integrato per il calcolo scientifico utilizzabile sia in maniera interattiva che come linguaggio di programmazione. In Matlab ogni quantità (variabile) viene trattata come matrice. Un numero reale è una matrice 1 1. Sono predefinite numerose funzioni di uso generale (built-in functions), e raccolte di funzioni dedicate ad uno specifico argomento (toolboxes). Per informazioni su Matlab: Matlab è un software a pagamento. L Università degli Studi di Milano ha stipulato un contratto di licenza campus, per informazioni dalla homepage di Ateneo selezionare personale -> Servizi tecnologici di Ateneo -> Contratti campus acquisto software -> Contratto campus Mathworks Octave è un software gratuito che ne riproduce buona parte delle funzioni fondamentali. Per informazioni vedere

2 Matlab in modalità interattiva All avvio di Matlab si accede ad una finestra di lavoro caratterizzata dal prompt >> Tutto quanto inserito dopo il prompt verrà eseguito dopo aver premuto il tasto enter. Se Matlab riconosce il comando digitato produrrà un output in caso contrario segnalerà un errore. In ogni caso il sistema ripropone al termine il prompt in attesa di un nuovo comando. Matlab si chiude con il comando quit La prima cosa da fare è posizionare il Current Directory nella propria cartella di lavoro: >> cd z: 2

3 Alcuni comandi Matlab importanti da conoscere: >> help >> doc permettono di ottenere informazioni dettagliate su qualsiasi comando. Il comando doc mostra anche quali pacchetti(toolboxes) siano installati nella versione in uso. Ad esempio: >> help sqrt >> doc sin Per cercare il nome esatto di un comando: >> lookfor cosine cerca i comandi nella cui descrizione appare la parola cosine (ATT.NE la documentazione di Matlab è in inglese!) 3

4 Scalari in Matlab Matlab valuta espressioni e ne assegna il valore a variabili. Nel caso più semplice il valore è un numero reale. Assegnazione di variabili: >> z=6 z = 6 z è il nome della variabile, 6 il suo valore. >> se non specificato il valore 8 dell espressione viene assegnato alla variabile ans che contiene sempre l ultimo valore non esplicitamente assegnato ad una variabile. >> a=2.5; >> a a = 2.5 Il ; alla fine dell istruzione sopprime la visualizzazione a schermo del risultato (ma non l esecuzione dell operazione!). 4

5 I nomi delle variabili devono rispettare le regole seguenti: contenere al massimo 31 caratteri non iniziare MAI con un numero non contenere spazi non contenere segni di punteggiatura ed operazione non contenere apostrofi, slash e backslash possono contenere l underscore lettere maiuscole e minuscole sono caratteri differenti >> (who) whos (elenca le variabili attualmente attive in memoria) e dà alcune informazioni importanti sulle loro caratteristiche (tipo di oggetto, dimensioni...) >> clear all cancella il valore di tutte le variabili attive in memoria. 5

6 Alcune variabili predefinite: pi (pigreco), i,j (unità immaginaria), Ogni variabile può essere sovrascritta. Per tornare indietro: clear. >>pi >>pi=5; >> clear pi >> pi

7 Operazioni elementari Sono definite le operazioni elementari: +,,, /, (elevamento a potenza). >> a=3+2.5, b=5-3, d=3*4.2, e=3/2, f=2^3 Attenzione alle precedenze: >> 3+2*4 ans= 11 >> 3*2^4 ans= 48 Per alterare l ordine delle operazioni si utilizzano le parentesi tonde. >> (3+2)*4 ans= 20 >> (3*2)^4 ans=

8 Esercizio 1 Posto a = 3,b = 2, calcolare 3 a+b, a+b 2, a+b 2a, 1 Se x = 10,y = 5,z = 2, calcolare 3x 2y 5z 2 (= 1) 8 1 3, 4 64 Se a = 1 3,b = 1 5, calcolare a 3 (1 b+3a) 2 (= 8.3) Attenzione: Usualmente si scrive ad esempio 3x intendendo 3 x, è importante non dimenticare l operatore di moltiplicazione quando si inserisce il comando per valutare l espressione in matlab, infatti in caso contrario si ottiene l errore: >> x=10; >> 3x 3x Error: Unexpected MATLAB expression. 8

9 ATTENZIONE Alcune proprietà delle operazioni elementari nell aritmetica del calcolatore non valgono piú. Alcuni numeri non possono essere rappresentati. Si ponga a=1 e b=1e50 (in notazione esponenziale 1e50 significa ). Si divida ripetutamente a per b e si osservi il risultato. Ripetere l esercizio partendo da a=1 e moltiplicando per b. Esempio in cui la somma non è associativa. >> a=1.0e+308; >> b=1.1e+308; >> c=-1.001e+308; >> (a+b)+c Inf >> a+(b+c) e+308 Esempio di cancellazione numerica. In aritmetica esatta, usando la nota identità (a+b)(a b) = a 2 b 2, si ottiene facilmente x2 +1 x = 1 x2 +1+x x R. (1) Calcolando con Matlab: >> x= ; >> y1=sqrt(x^2+1)-x 9

10 y1 = 0 >> y2=1/(sqrt(x^2+1)+x) y2 = e-09 Numeri Complessi: In Matlab sono anche definiti i numeri complessi, ovvero del tipo: z = Re(z) + i Im(z). Se la variabile predefinita i, contenente l unità immaginaria, non è stata ridefinita, un tale numero può essere scritto in Matlab nei modi seguenti: >> z=5+3i z = i >> y=2.5-2*i y = i Esistono funzioni predefinite di Matlab che operano sui numeri complessi, ad esempio se z = x + iy abbiamo: >> real(z) restituisce x >> imag(z) restituisce y >> conj(z) restituisce il complesso coniugato: x-iy 10

11 Funzioni matematiche predefinite: abs(x) x sqrt(x) x n nthroot(x,n) x R con x,n R exp(x) e x con e = costante di Nepero log(x) ln(x) sin(x) sen(x) cos(x) cos(x) tan(x) tan(x) asin(x) arcsen(x)... Per vedere l elenco: >> help elfun Osservazione: Per calcolare la costante di Nepero e >> exp(1)

12 Alcune osservazioni sull uso delle funzioni: Oss.1: nthroot(x,n) restituisce la radice n-esima reale di un numero reale x. In particolare n deve essere uno scalare e se x è negativo n deve essere un numero intero dispari. Si osservi che >> nthroot(-8, 3) -2 >> (-8)^(1/3) i nel primo caso si ottiene la radice reale ( 2), nel secondo una radice complessa di 8. Si noti infatti che ( 2) 3 = ( i) 3 = ( i) 3 = 8. Sono n i numeri complessi che soddisfano l equazione x n = a con a numero reale, e solo alcuni tra essi sono eventualmente numeri reali. Oss.2: Se z=a+bi è un numero complesso per definizione si ha z = a2 +b 2 >> z=2+3i >> abs(z)

13 Oss.3: Se z è un numero negativo o complesso log(z) non da errore ma restituisce il logaritmo complesso. Ad esempio >> log(-1) i Oss.4: Per valori di x in [ 1,1] la funzione asin(x) ritorna valori in [ π 2, π 2 ] per valori di x fuori da [ 1,1] restituisce un numero complesso, in quanto implementa la definizione della funzione trigonometrica inversa sul campo complesso. >> asin(3) i Analogamente per la funzione acos. Esercizio 2 Calcolare le seguenti variabili reali: y = 2sin(x)cos(x) cos(2x) con x = π/2, (R : y = 1) x y = 5 con x = 5 (R : y = ) x 9 y = esin(x2) +cos(x) 2 x+5ln(x) con x = 10, (R : y = ) 13

14 Vettori in Matlab Assegnazione di un vettore riga: >> w=[1 2 3] w = Assegnazione di un vettore colonna: >> v=[1; 2; 3] w = Altri modi di generare vettori riga: >> v=[1:8] v = >> v=[1:.5:3] v = La sintassi generale è v=[valore iniz:passo:valore finale]. Il passo può essere anche negativo, ad es. v=[10:-.5:1]; 14

15 Il comando linspace(valore iniziale, valore finale, N) genera N valori equispaziati fra valore iniziale e valore finale (estremi compresi). Ad esempio >> v=linspace(0,1,5) Il comando zeros(n,1)( zeros(1,n)) produce un vettore colonna (riga) di lunghezza n con elementi tutti nulli. Il comando ones(n,1) (ones(1,n)) genera un vettore colonna (riga) con tutte le componenti pari a 1. Per conoscere la lunghezza di un vettore v: >> length(v) 5 Per controllare la dimensione di una variabile v: >> size(v)

16 Accedere alle componenti di un vettore Per accedere ad una singola componente di un vettore: >> v(3) 0.5 Attenzione: in Matlab l indicizzazione inizia da 1 e non da 0! Matlab produce un messaggio di errore quando si cerchi di accedere ad una componente non definita, ad esempio: >> z=v(0)??? Subscript indices must either be real positive integers or logicals. Nota: esiste in Matlab la parola chiave end per accedere all ultimo elemento di un vettore. Ad es., se v ha dieci elementi, v(end) equivale a v(10). Per accedere a più componenti dello stesso vettore posso utilizzare un vettore di indici: >> x=[-2, 4, 6, -3, 0, 1]; >> x(1:3)

17 >> x([4,2,1]) >> x(1:2:5)

18 Alcune operazioni su vettori Dati i vettori v=[ ] e w=ones(1,4). Trasposizione: >> u=v u = Somma (sottrazione) algebrica tra vettori di ugual dimensioni >> v+w >> v-w Prodotto o divisione per uno scalare. >> 2*v

19 Somma o sottrazione di uno scalare. >> v Operazioni su vettori componente per componente. Consideriamo i vettori di ugual dimensione a=[ ], b=[ ]. il prodotto componente per componente genera il vettore: (a 1 b 1,a 2 b 2,a 3 b 3,a 4 b 4 ) >> a.*b la divisione componente per componente genera il vettore: (a 1 /b 1,a 2 /b 2,a 3 /b 3,a 4 /b 4 ) >> a./b

20 l elevamento a potenza componente per componente genera il vettore: (a b 1 1,a b 2 2,a b 3 3,a b 4 4 ) >> a.^b Le stesse operazioni possono essere applicate a vettori colonna (o a matrici come vedremo in seguito). È necessario però che gli operandi abbiano la stessa dimensione, fa eccezione il caso in cui uno dei due è una costante: >> a.^ Funzioni matematiche valutate in vettori Le funzioni matematiche ammettono come argomento non solo gli scalari, ma anche vettori (più avanti vedremo anche matrici). Un esempio: >> x= [0, pi/6, pi/4, pi/3, pi]; >> sin(x) Se invece avessi voluto calcolare il valore, nelle componenti del vettore x, della funzione x sin x avrei scritto: 20

21 >> x.*sin(x) Esercizio 3 generare gli interi da 28 a 80 con passo 1 generare gli interi da 22 a -10 con passo -4 generare 125 punti equispaziati tra -1 e 5 assegnati i vettori u = [1,0,2, 3] e v = [3;0;2;1] calcolare i vettori colonna z, w, y definiti, componente per componente, da z i = u i v i, w i = u v i i, y i = z i /w i generato il vettore contenente 11 punti equispaziati tra 1 e 2, valutare nei suoi elementi le funzioni xlogx e x 3 cosx 21

22 Manipolazione di sottoblocchi di vettori e concatenazione Siano v=[ ] e w=[ ]. Per sostituire alle ultime due componenti di v le componenti di w: >> v=[ ]; w=[ ]; >> v(end-1:end)=w v= Per eliminare da v la terza e la quarta componente usiamo il vettore vuoto []: >> v=[ ]; >> v(3:4)=[]; v= Per concatenare i due vettori: >> z=[v w] z=

23 Altre funzioni predefinite sui vettori >> v=[1,5,3]; >> sum(v) 9 >> prod(v) 15 >> max(v) 5 >> min(v) 1 >> sort(v) >> diff(v) % => [v(2)-v(1), v(3)-v(2),...v(end)-v(end-1)]

24 Esercizio 4 Sia x = [ 3,5,8,0,1,5, 2,4]: - imporre 6 elemento =100 - togliere 4 elemento - aggiungere in testa = [1,2,3] Si consideri la successione di termine n-esimo a n = sin(n 2 ) con n 1. Si calcolino il più grande e più piccolo numero tra i primi 10 elementi della successione. Suggerimento: Si eseguano operazioni sul vettore [1,2,3,...,10]. (Soluzioni: max = , min = ) Verificare per n = 10,100 le seguenti uguaglianze n i=1 i = n(n+1) ; 2 n i=1 i 2 = n(n+1)(2n+1) 6 Suggerimento: Si eseguano operazioni sul vettore [1,2,3,...,n]. Si consideri la successione di termine k-esimo a k = 1/k,k 1. - Calcolare la somma dei primi 100 termini della successione. - Per n = 10,100 calcolare il vettore b di componenti b k = a k+1 a k con k = 1...n 1 e verificare che la somma delle sue componenti è uguale ad a n 1. N.B. Si risolva l esercizio eseguendo operazioni vettoriali. 24

25 Esercizi di riepilogo: 1. Calcolare: y = e 2x cos(3x) 3 x+1 con x = 3, (R = ) a = e2 cos(π/6)+1, (R = 1,4512) 4+ln(3) 2. generare gli interi da -13 a 75 con passo 2 generare i punti tra -2.7 a 8.3 con passo 1.5 (cosa si osserva?) generare 100 punti equispaziati tra 2 e 3 generare 150 punti equispaziati tra -2 e 3 3. Sia x = [ 1,2,3,8,10,5, 4,3]: imporre 1,2,3 elemento = [5,6,7] aggiungere in coda = [10,11,12] togliere, con un solo comando, dal 4 al 7 elemento compresi. 4. Si consideri la successione di termine k-esimo a k = 1/k,k 1. - Calcolare il prodotto dei primi 10 termini di indice dispari della successione. - Considerare i primi n = 20 termini della successione e calcolare: n 1 a k+1 B1 =, B2 = n (a k +a 1 ) a k k=1 ( Soluzioni: B1 = , B2 = ) k=2 25