Risoluzione di più sistemi con la stessa matrice

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1 Risoluzione di più sistemi con la stessa matrice Data A R n n e b R n, calcolare x e z : Ax = b, Az = c costo del MEG ( 2 3 n3 + n 2) + ( 2 3 n3 + n 2) costo totale = 4 3 n3 + 2n 2 Obiettivo: separare le operazioni che agiscono su A da quelle che agiscono su b in modo che si lavori su A una volta sola e non si ripetano calcoli inutili Voglio pagare al più 2 3 n3 + 2n 2 operazioni c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 1

2 Parto dal MEG for k = 1 : n 1 for i = k + 1 : n l ik = A ik, A kk for j = k + 1 : n A ij = A ij l ik A kj b i = b i l ik b k vogliamo estrarre queste operazioni c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 2

3 Fattorizzazione LU di una matrice Data A R n n, si cercano: tali che L R n n triangolare inferiore e U R n n triangolare superiore L U = A (1) l l 21 l l n1 l n2 l nn u 11 u 12 u 1n 0 u 22 u 2n u nn a 11 a 12 a 1n a = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn perché: se conosco due matrici L e U che soddisfano (??) allora: { Ly = b sist triang inf Ax = b (L U)x = b }{{} Ux = y sist triang sup y c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 3

4 Risoluzione di un sistema lineare con fattorizzazione LU Per risolvere Ax = b: costo: 1 calcolo L e U tali che L U = A 2 3 n3 n 2 2 calcolo y risolvo Ly = b n 2 3 calcolo x risolvo Ux = y n n3 + n 2 Il costo totale per risolvere un solo sistema Ax = b con la fattorizzazione LU è identico al costo del MEG Nota: Il vantaggio si osserva se devo risolvere più di un sistema lineare con la stessa matrice perché la fattorizzazione LU agisce solo sulla matrice A (si esegue una volta per tutte) c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 4

5 Come calcolare L e U? Data A R n n non singolare, esistono infinite coppie di matrici L triangolare inferiore e U triangolare superiore tali che LU = A, cioè tali che (LU) ij = a ij n l ik u kj = a ij, k=1 i, j = 1,, n l l 21 l l n1 l n2 l nn u 11 u 12 u 1n 0 u 22 u 2n u nn a 11 a 12 a 1n a = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn n 2 condizioni, tante quanti gli elementi di A, n 2 + n = (n+1)n 2 + (n+1)n 2 incognite (gli elementi di L e gli elementi di U) Se fisso n elementi, allora L e U sono uniche c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 5

6 Fattorizzazione LU con l ii = 1 Si dimostra che: se fissiamo l ii = 1 per i = 1,, n, ALLORA U coincide con la matrice U del MEG (U=triangolo superiore di A dopo la fase di riduzione del MEG) l L = con l ik =moltiplicatori del MEG 0 l n1 l n2 1 c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 6

7 MEG e LU a confronto % (A, b) MEG x for k = 1,, n 1 (pivoting); for i = k + 1,, n l ik = a ik /a kk ; for j = k + 1,, n a ij = a ij l ik a kj ; b i = b i l ik b k ; U=triu(A); risolvi Ux = b % A LU [L, U] for k = 1,, n 1 (pivoting); for i = k + 1,, n a ik = a ik /a kk ; for j = k + 1,, n a ij = a ij a ik a kj ; U= tr sup di A; L= tr inf di A, con 1 sulla diagonale c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 7

8 Risoluzione di Ax = b con LU Dopo aver calcolato la fattorizzazione LU di A, bisogna risolvere i sistemi triangolari nell ordine: { Ly = b Ux = y Se lufact è la nostra function: A= ; b= ; [L,U]= lufact (A); y= forsub (L,b); % risolvo Ly=b x= backsub (U,y); % risolvo Ux=y c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 8

9 Implementazione della fattorizzazione LU lufactm Input: A R n n non singolare Output: L, U Algoritmo (senza pivotazione): for k = 1,, n 1 (pivoting); for i = k + 1,, n a ik = a ik /a kk ; for j = k + 1,, n a ij = a ij a ik a kj ; U=triangolo sup di A; L=triangolo inf di A con 1 sulla diagonale Comandi Matlab: L= tril (A, -1)+ eye (n); % estraggo tri sotto diag princ % e sommo l identit\ a; U= triu (A); % estraggo tri sup di A c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 9

10 Metodo delle sostituzioni in avanti Dati: L R n n matrice triangolare inferiore non singolare, b R n vettore termine noto Soluzione: x R n : Lx = b Metodo: for i = 1 : n do x i = b i i 1 j=1 l ijx j ; l ii Scrivere una function matlab con: Input: L, b Output: x c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 10

11 Esercizio su fattorizzazione LU (eslu) Si vuole risolvere il sistema lineare Ax = b con A = b = con la fattorizzazione LU Verificare la correttezza della soluzione, richiamando MEG (o \ di matlab) c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 11

12 Fattorizzazione LU con pivotazione Dobbiamo salvare gli scambi effettuati su A, per poterli applicare anche al termine noto in un secondo momento Utilizziamo un altra matrice P, inizialmente uguale all identità Input: A R n n non singolare Output: L, U, P Algoritmo (con pivotazione): for k = 1,, n 1 trovare r tc a rk = max k i n a ik ; scambiare riga r di A con riga k di A; scambiare riga r di P con riga k di P; for i = k + 1,, n a ik = a ik /a kk ; for j = k + 1,, n a ij = a ij a ik a kj ; U=triangolo sup di A; L=triangolo inf di A con 1 sulla diagonale c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 12

13 Matrice P della pivotazione P è tale che: L U = P A Esso una permutazione della matrice identità, è sicuramente non singolare Quindi: Ax = b PAx = Pb LUx = Pb { Ly = Pb Ux = y lufact è la nostra function LU, con piv=0 se non vogliamo la pivotazione, piv=1 se vogliamo la pivotazione A= ; b= ; [L,U,P]= lufact (A,piv ); y= forsub (L,P*b); % risolvo Ly=Pb x= backsub (U,y); % risolvo Ux=y c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 13

14 Function lu di matlab La function lu di matlab implementa la fattorizzazione LU sempre con pivotazione Per risolvere un sistema lineare Ax = b con le function di matlab: A= ; b= ; [L,U,P]= lu(a); y=l\(p*b); % risolvo Ly=Pb x=u\y; % risolvo Ux=y c Paola Gervasio - Calcolo Scientifico /19 14