Prima prova scritta di Geometria 1, 6 febbraio 2017

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1 Prima prova scritta di Geometria 1, 6 febbraio Usando vettori e ortogonalità, dimostrare: i) Le due diagonali di un rombo (parallelogramma equilaterale) sono ortogonali. ii) Il teorema di Talete che l angolo opposto al diametro di un triangolo iscritto in una semicirconferenza è un angolo retto. 2. i)datounelementoā 0inZ p, perunnumeroprimop, dimostrarechel applicazione φ : Z p Z p, φ( x) = ā x, è iniettiva. ii)concluderecheognielementoā 0inZ p haunelementoinversorispettoalprodotto. 3. Sia V uno spazio vettoriale unitario di dimensione finita n e f : V V un endomorfismo anti-autoaggiunto, cioè < v,f(w) >= < f(v),w >, per tutti v,w V. Dimostrare che: i) ogni autovalore di f è in ir (un numero puramente immaginario o 0); ii) autovettori di autovalori distinti sono ortogonali; iii) la matrice di f rispetto a una base ortonormale di V è anti-hermitiana (A = t Ā); iv) esiste una base ortonormale di autovettori di f. 4. i) Per la matrice simmetrica reale A = , trovare una base ortonormale B di R 3 di autovalori di A, e una matrice ortogonale S tale che S 1 AS è una matrice diagonale. ii) Applicare il cambiamento di coordinate x = Sy di R 3 alla forma quadratica q(x) = t xax = 2x 2 1 x x x 1 x 3 : qual è la forma diagonale che si ottiene ( assi principali )? In queste coordinate, fare un disegno qualitativo in R 3 di Y = {y R 3 : q(y) = 1} (indicando gli assi y 1,y 2 e y 3 ); qualè il nome geometrico di questo oggetto? 5. Data la matrice λ a b c 0 λ d e A =, 0 0 µ f µ

2 con λ µ, quali condizioni devono soddifare i coefficienti a,...,f tale che A sia diagonalizzabile? Se A non è diagonalizzabile, qual è la forma normale di Jordan di A (in dipendenza dai coefficienti a,...,f; giustificare la risposta). 6. i) Sia f : R n R m un applicazione lineare. Dimostrare che esiste una matrice m n reale A tale che f = L(A) : R n R m (l applicazione lineare associata alla matrice A). ii) Sia A una matrice reale quadrata n n. Se esiste una base ortonormale B di R n di autovettori di A, dimostrare che A è una matrice simmetrica.

3 Seconda prova scritta di Geometria 1, 20 febbraio Usando vettori e ortogonalità, dimostrare che le tre altezze di un triangolo si interseccano in un punto. 2. i) Dare la definizione della matrice M A B (f) = (a ij) di un applicazione lineare f : V W, rispetto a basi A = (v 1,...,v n ) di V e B = (w 1,...,w m ) di W. ii) Dimostrare che M A B : Hom(V,W) M(m n,k) è un isomorfismo (lineare, iniettivo e suriettivo), dove M A B associa a un applicazione lineare f : V W la sua matrice M A B (f) rispetto alle basi A di V e B di W. 3. i) Per la matrice simmetrica reale A = , 2 1 trovare una base ortonormale B di R 3 di autovalori di A, e una matrice ortogonale S tale che S 1 AS è una matrice diagonale (quale matrice diagonale?) ii) Applicare il cambiamento di coordinate x = Sy di R 3 alla forma quadratica q(x) = t xax = x 2 1+x 2 3+4x 1 x x 2 x 3 : qual è la forma diagonale che si ottiene,in coordinate y 1,y 2,y 3 ( assi principali )? In queste coordinate, fare un disegno qualitativo in R 3 di Y = {y R 3 : q(y) = 1} (indicando gli assi y 1,y 2 e y 3 ); qualè il nome geometrico di questo oggetto? 4. Data la matrice A = µ a b c 0 λ d e, 0 0 λ f λ con λ µ, quali condizioni devono soddifare i coefficienti a,...,f tale che A sia diagonalizzabile? Se A non è diagonalizzabile, qual è la forma normale di Jordan di A, in dipendenza dai coefficienti a,...,f? (giustificare la risposta) 5. Sia v 1,...,v n una base di V e v 1,...,v n la base duale di V. i) Dimostrare che, per ogni v V, v = v 1(v)v v n(v)v n. ii) Dimostrare che, per ogni φ V, φ = φ(v 1 )v φ(v n )v n. 6. i) Sia v 1,...,v n una base ortonormale di uno spazio unitario V; dimostrare che, per ogni v V, v =< v 1,v > v < v n,v > v n.

4 ii) Sia w 1,...,w m una base ortonormale di un sottospazio W di V, e v V. Dare la formula per la proiezione ortogonale ṽ W di v in W (in termini della base di W), poi dimostrare che v ṽ è ortogonale a W. iii) Dimostrare che V = W W.

5 Terza prova scritta di Geometria 1, 21 giugno i) Sia (v i ) i I una base di uno spazio vettoriale V, per un insieme di indici I arbitrario, e siano v i V tale che v i (v j) = δ ij (simbolo di Kronecker). Dimostrare che i vettori v i, i I, sono linearmente indipendenti, ma che non generano V se I è infinito. ii) Sia w 1,...,w m una base del sottospazio W di V e w 1,...,w m,v 1,...,v r un prolungamento a una base di V. Dimostrare che [v 1 ],...,[v r ] è una base dello spazio quoziente V/W. 2. Sia V uno spazio vettoriale unitario di dimensione finita e f : V V un endomorfismo unitario. Dimostrare che: i) ogni autovalore di f ha valore assoluto 1; ii) autovettori di autovalori distinti sono ortogonali; iii) la matrice di f rispetto a una base ortonormale di V è unitaria; iv) esiste una base ortonormale di autovettori di f. 3. i) Usando la formula di Leibniz, dimostrare che una matrice quadrata A = (a ij ) e la sua trasposta t A hanno lo stesso determinante. ii) Sia v 1,...,v n una base di uno spazio vettoriale V su un campo K. Dimostrare che una funzione determinante (multilineare, alternante) D : V... V = V n K, con D(v 1,...,v n ) = 1, è unica (unicità, non esistenza: dedurre la formula di Leibniz). iii) Dimostrare che ogni funzione multilineare, alternante D : V... V = V m K è banale se m > n = dim(v). 4. i) Applicare l algoritmo di Gauss alla matrice del seguente sistema lineare (sul campo K = R, indicando gli elementi pivot e i gradini in ogni passo), poi dire per quali valori di b il sistema lineare ha una soluzione; qual è la dimensione dello spazio W 0 delle soluzioni del sistema omogeneo associato? x 1 x 3 +3x 4 = 1 2x 1 +x 2 +2x 3 x 4 = 8 3x 1 x 2 3x 4 = b 2x 1 +3x 2 +3x 3 +4x 4 = 2 ii) Dimostrare che un sistema lineare Ax = b ha una soluzione se e solo se il rango di A (matrice m n) è uguale al rango della matrice estesa (A,b) (matrice m (n+1)). 5. i) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e f : V W lineare. Dimostrare la formula di dimensions per applicazioni lineari: dim(v) = dim(kerf)+dim(imf).

6 ii) Siano W 1 e W 2 sottospazi di uno spazio vettoriale W di dimensione finita, e sia f : W 1 W 2 W l applicazionelinearef(w 1,w 1 ) = w 1 w 2. Determinareledimensioni delnucleoedell immaginedif, poidedurredai)laformuladidimensionepersottospazi: dim(w 1 +W 2 ) = dimw 1 +dimw 2 dim(w 1 W 2 ).

7 Quarta prova scritta di Geometria 1, 12 luglio i) Definire il polinomio caratteristico p A (x) di una matrice quadrata A. Dimostrare che λ K è autovalore di A se e solo se λ è radice del polinomio caratteristico di A. ii) Dimostrare che matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. iii) Definire il polinomio caratteristico p f (x) di un endomorfismo f : V V di uno spazio vettoriale V di dimensione finita, e dimostrare che p f (x) è ben definito. 2. i) Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita e f : V W lineare. Dimostrare la formula di dimensione per applicazioni lineari: dim(v) = dim(kerf)+dim(imf). ii) Sia f : V W un applicazione lineare di spazi vettoriali di dimensioni finite. Dimostrare che esistono basi ( A di V ) e B di W tale che la matrice M A B (f) di f rispetto a Er 0 queste basi è della forma. 0 0 iii) Concludere che per ogni matrice A esistono matrici invertibili S e T tale che SAT è della forma in ii). 3. i) Siano w 1,...,w r vettori linearmente indipendenti in uno spazio vettoriale V che non generano V. Dimostrare che esiste un vettore v V tale che anche w 1,...,w r,v sono linearmente indipendenti. ii) Dimostrare che ogni famiglia v 1,...,v n di generatori di uno spazio vettoriale V contiene una base. iii) Dimostrare che autovettori v 1,...,v n di autovalori distinti λ 1,...,λ n di un endomorfismo f : V V sono linearmente indipendenti. 4. i) Sia v 1,...,v n una base di V. Dimostrare che un applicazione lineare f : V W è iniettiva se e solo se f(v 1 ),...,f(v n ) sono linearmente indipendenti. ii) Sia f : V W un applicazione lineare iniettiva di spazi vettoriali V e W di dimensioni finite. Dimostrare che esiste un applicazione lineare g : W V tale che g f = id V. 5. i) Trovare se la matrice A = è diagonalizzabile o triangolarizzabile sui campi K = R, C, Z 2, Z 3, Z 5. Nel caso K = Z 2, trovare la forma normale di Jordan di A. ii) Trovare se la matrice A =

8 è diagonalizzabile sui campi K = Q, R, Z 2, Z 3, Z i) Trovare la forma normale di Jordan della matrice (in dipendenza dei parametri a e b) A = 1 a b ii) Trovare la forma normale di Jordan della matrice (in dipendenza dei parametri a,b,c e d). 1 a b c d A =

9 Quinta prova scritta di Geometria 1, 5 settembre i)datounelementoā 0inZ p, perunnumeroprimop, dimostrarechel applicazione φ : Z p Z p, φ( x) = ā x, è iniettiva. ii)concluderecheognielementoā 0inZ p haunelementoinversorispettoalprodotto. iii) Se n non è un numero primo, dimostrare che Z n non è un campo. 2. i) Sia f : K n K m un applicazione lineare. Dimostrare che esiste un unica matrice A (matrice m n) tale che f = L(A) : K n K m (esistenza e unicità). ii)dareladefinizionedellamatricem A B (f) = (a ij)diun applicazionelinearef : V W, rispetto a basi A = (v 1,...,v n ) di V e B = (w 1,...,w m ) di W. Sia anche g : W U lineare e C = (u 1,...,u k ) una base di U. Dimostrare che M A C (g f) = MB C (g)ma B (f). 3. Sia f : V V un endomorfismo di uno spazio vettoriale di dimensione finita n. Dare la definizione del determinanate det(f) di f in due modi: i) Usando basi e matrici, dimostrando che det(f) è ben definito. ii) Usando funzioni determinanti di V. iii) Dimostrare che le due definizioni coincidono. 4. i) Dimostrare che m g (λ) m a (λ), per ogni autovalore λ di un endomorfismo f : V V di uno spazio vettoriale V di dimensione finita. ii) Sia f : V V un endomorfismo di uno spazio vettoriale V di dimensione finita e W un sottospazio di V tale che f(w) W. Se f è triangolarizzabile, dimostrare che anche la sua restrizione f W : W W è triangolarizzabile (usare il teorema sulla triangolarizzazione di un endomorfismo). 5. i) Sia v 1,...,v n una base di V e v 1,...,v n la base duale di V. Dimostrare che, per ogni v V e φ V, v = v 1(v)v v n(v)v n, φ = φ(v 1 )v φ(v n )v n. ii) Sia v 1,...,v n una base ortonormale di uno spazio unitario V; dimostrare che, per ogni v V, v =< v 1,v > v < v n,v > v n. iii) Sia W un sottospazio di uno spazio unitario V, w 1,...,w m una base ortonormale di W. Definire la proiezione ortogonale w W di un vettore v V su W (la formula per w), e dimostrare che v w è ortogonale a W.

10 6. Per la matrice unitaria (e anche ortogonale) A =, trovare gli autovalori di A e la forma normale unitaria (diagonale) di A. Trovare una matrice unitaria S e la sua inversa tale che S 1 AS sia diagonale. Qual è la forma normale ortogonale di A?

11 1. Dimostrare che Sesta prova scritta di Geometria 1, 19 settembre 2017 M A B : Hom(V,W) M(m n,k) è un isomorfismo (lineare, iniettivo e suriettivo), dove M A B associa a un applicazione lineare f : V W la sua matrice M A B (f) rispetto alle basi A di V e B di W. 2. Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita, V = Hom(V,K) lo spazio duale e V = (V ) = Hom(V,K) lo spazio biduale di V. Per v V, sia τ v : V K definita da τ v (φ) = φ(v), per ogni φ : V K in V. Dimostrare che: i) τ v : V K è lineare (e allora τ v è un elemento di V ). ii) τ : V V, definita da τ(v) = τ v, è lineare. iii) τ : V V è un isomorfismo. 3. i) Trovare se la matrice A = è diagonalizzabile o triangolarizzabile sui campi K = R, C, Z 2, Z 3, Z 5. Nel caso K = Z 2, trovare la forma normale di Jordan di A. ii) Trovare se la matrice A = è diagonalizzabile sui campi K = Q, R, Z 2, Z 3, Z i) Trovare la forma normale di Jordan della matrice (in dipendenza dei parametri a e b) A = 1 a b ii) Trovare la forma normale di Jordan della matrice (in dipendenza dei parametri a,b,c e d) 1 a b c d A =

12 5. i) Definire il polinomio caratteristico p A (x) di una matrice quadrata A. Dimostrare che λ K è autovalore di A se e solo se λ è radice del polinomio caratteristico di A. ii) Dimostrare che matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico. iii) Usando basi e matrici, definire il polinomio caratteristico p f (x) di un endomorfismo f : V V di uno spazio vettoriale V di dimensione finita; dimostrare che p f (x) è ben definito. 6. Sia V uno spazio vettoriale unitario di dimensione finita e f : V V un endomorfismo unitario. Dimostrare che: i) ogni autovalore di f ha valore assoluto 1; ii) autovettori di autovalori distinti sono ortogonali; iii) la matrice di f rispetto a una base ortonormale di V è unitaria; iv) esiste una base ortonormale di autovettori di f.