ALGEBRA 1 ELENCO DEGLI ARGOMENTI TRATTATI DURANTE LE LEZIONI 1. GIOVEDÌ 10 MARZO 2011

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1 ALGEBRA 1 ELENCO DEGLI ARGOMENTI TRATTATI DURANTE LE LEZIONI Informazioni sul corso. Panoramica sul programma 1. GIOVEDÌ 10 MARZO LUNEDÌ 14 MARZO 2011 Teoria ingenua degli insiemi. Insiemi ed elementi. Ogni insieme è determinato dagli elementi che contiene: non importa la regola scelta per selezionare gli elementi di un insieme, ma solo quali elementi vengano selezionati. Un insieme può essere elemento di un altro insieme. {0, 2, 4, {0, 2, 4}} è un insieme con quattro elementi. Sottoinsiemi e inclusione. A = B se e solo se A B, B A. Insieme vuoto; l insieme vuoto è un sottoinsieme di ogni altro insieme. Insieme delle parti P (X) di un insieme X; calcolo di P (X) quando X = {0, 2, 4}. Operazioni tra insiemi: unione, intersezione, differenza, complementare, differenza simmetrica, prodotto cartesiano. Associatività e commutatività di unione e intersezione. Esercizi: A B = A è equivalente a A B; A B = A è equivalente a A B; si ha l uguaglianza (A B) \ (A B) = (A \ B) (B \ A). Applicazioni. Un applicazione è determinata dal suo insieme di partenza, da quello di arrivo, e dal modo di associare a ciascun elemento dell insieme di partenza (l argomento) il corrispondente elemento dell insieme di arrivo (l immagine). Composizione di applicazioni. La composizione è associativa, ma non in generale commutativa. Applicazione identità, inclusione di un sottoinsieme in un insieme. Restrizione di applicazioni come composizione con un inclusione. Se f : X Y, allora f id X = f = id Y f. Vi è una sola applicazione dall insieme vuoto nell insieme vuoto: l identità. Applicazioni iniettive, suriettive, biiettive, invertibili. Ogni applicazione biiettiva è invertibile. L inversa di un applicazione invertibile è unica. L inversa f 1 di un applicazione invertibile f è invertibile, e la sua inversa è (f 1 ) 1 = f. L identità id X è sempre un applicazione invertibile, ed è uguale alla sua inversa. Esercizio: la composizione di applicazioni invertibile è invertibile, e (f g) 1 = g 1 f MARTEDÌ 15 MARZO 2011 La composizione di applicazioni invertibile è invertibile, e (f g) 1 = g 1 f 1. Se f g è iniettiva, allora g è iniettiva; se f g è suriettiva, allora f è suriettiva. Un applicazione è invertibile se e solo se è biiettiva. Un applicazione ammette un inversa destra se e solo se è suriettiva; ammette un inversa sinistra se e solo se è iniettiva. Se un applicazione ammette sia inversa destra che sinistra, allora è invertibile. L insieme S X = {f : X X f è invertibile} delle permutazioni di un insieme X è un gruppo rispetto all operazione di composizione. Se X ha n elementi, allora S X ha n! elementi. In particolare, 0! = 1. Relazioni su insiemi. Una relazione è individuata dagli elementi che mette in relazione. Vari esempi di relazioni. Riflessività, simmetria, antisimmetria, transitività di relazioni. Relazioni d ordine (parziale e totale) e relazioni di equivalenza. L inclusione definisce una relazione d ordine sull insieme delle parti di un dato insieme. Se è una relazione di equivalenza su X, e [a] = {x X x a} indica la classe di equivalenza di a X, allora x y x [y] y [x] [x] = [y] [x] [y]. Classi di equivalenza distinte sono disgiunte. Le classi di equivalenza rispetto a costituiscono una partizione di X: dare una relazione di equivalenza su X è la stessa cosa che dare una partizione di X. Congruenza modulo n in Z. Insieme quoziente. Relazione f indotta su X da un applicazione f : X Y. Ogni relazione di equivalenza su X è del tipo f per qualche f : X Y. 4. LUNEDÌ 21 MARZO 2011 Teorema di omomorfismo per insiemi (anche detto Proprietà universale dell insieme quoziente ): se è una relazione di equivalenza sull insieme X, e f : X Y soddisfa x x f(x) = f(x ) allora esiste un unica F : X/ Y tale che f = F π, dove π : X X/ è la proiezione al quoziente; inoltre F è suriettiva se e solo se f è suriettiva, ed è iniettiva se e solo se coincide con f. Esempi occulti di applicazioni non necessariamente ben definite: f(a + 2b) = a + b, f(a + b 2) = a + b. Esiste una corrispondenza biunivoca tra l insieme delle applicazioni f : X Y tali che x x f(x) = f(x ) e l insieme delle applicazioni F : X/ Y. Quoziente iniettivo di un applicazione; ogni applicazione si può scrivere come composizione F π dove π è suriettiva e F è iniettiva. Applicazione: [a] [a 2 ] ben definisce un applicazione Z/(2) Z/(4) ma non un applicazione Z/(2) Z/(8). Cardinalità di insiemi finiti. Due insiemi in corrispondenza biunivoca hanno la stessa cardinalità. Se X si inietta in Y, allora Y ha almeno tanti elementi quanti ne ha X. Se X ammette un applicazione suriettiva su Y, allora X ha almeno tanti elementi quanti ne ha X. Se X e Y hanno lo stesso numero di elementi, allora un applicazione X Y è iniettiva se e solo se è suriettiva se e solo se è invertibile. Cardinalità di insiemi (non necessariamente finiti). X = Y se e solo se esiste un applicazione invertibile X Y. X Y se e solo se esiste un applicazione iniettiva X Y. L esistenza di un applicazione iniettiva 1

2 2 ALGEBRA 1 f : X Y è equivalente all esistenza di un applicazione suriettiva g : Y X. Avere la stessa cardinalità è una proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. Avere cardinalità minore o uguale è una proprietà riflessiva e transitiva (la composizione di applicazioni iniettive è iniettiva). Esercizio: la composizione di applicazioni suriettive è suriettiva. Esempi: se X Y, allora X Y. Se è una relazione di equivalenza su X, allora X/ X. Se X Y e Y X allora X = Y (senza dimostrazione). Un insieme infinito può sempre essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio; esempio di applicazioni N N che siano iniettive ma non suriettive o suriettive ma non iniettive. N ha la stessa cardinalità di Z, N N, Q. Esistono insiemi infiniti non numerabili? 5. MARTEDÌ 22 MARZO 2011 Dimostrazione del Teorema di Cantor-Schröder-Bernstein: se X Y e Y X, allora X = Y. Le cardinalità di due insiemi sono sempre confrontabili. Ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile: la minima cardinalità infinita è quella numerabile. N {0, 1} è numerabile: l unione di due insiemi numerabili (disgiunti) è numerabile. N N è numerabile: l unione di un infinità numerabile di insiemi numerabili (disgiunti) è numerabile. Esempio: l insieme Q[x] è numerabile. N \ {0, 1,..., n} è numerabile. Rimuovendo da un insieme numerabile una quantità finita di elementi si ottiene un insieme ancora numerabile. Togliendo da un insieme infinito una quantità finita di elementi si ottiene un insieme della stessa cardinalità. In particolare, ogni insieme infinito può essere messo in corrispondenza biunivoca con un suo sottoinsieme proprio. Insiemi non numerabili. Rappresentazione decimale di numeri reali. I numeri reali sono in corrispondenza biunivoca con le espansioni decimali che non terminano con tutte cifre 9. Teoremi di Cantor: R non è numerabile, P (N) non è numerabile. X P (X) : non esiste una massima cardinalità. P (N) = {0, 1} N. 6. GIOVEDÌ 24 MARZO 2011 R ha la stessa cardinalità di {0, 1} N. Ogni intervallo aperto o chiuso di R ha la stessa cardinalità di R. R ha la stessa cardinalità di R R e di R {0, 1}. R n = R. Ogni insieme infinito X soddisfa X {0, 1} = X X = X (senza dimostrazione). Conseguenze: se X Y, allora X Y = Y ; in altre parole, A B = max( A, B ). Se A X, A < X, allora X = X \ A. R \ Q = R. A B = max( A, B ). Introduzione al Lemma di Zorn: maggioranti di sottoinsiemi ed elementi massimi in insiemi parzialmente ordinati. Catene. Esempi di insiemi parzialmente ordinati: con unico elemento massimale, con più di un elemento massimale, con nessun elemento massimale. Enunciato del Lemma di Zorn: un insieme parzialmente ordinato non vuoto, ogni cui catena abbia un maggiorante, possiede elementi massimali. Il caso di insiemi finiti. Analogia nel caso di insiemi infiniti. Due applicazioni del Lemma di Zorn: le cardinalità di due insiemi sono sempre confrontabili; se X è infinito, allora X {0, 1} = X. 7. LUNEDÌ 28 MARZO 2011 Numeri naturali e assiomi di Peano. Proprietà elementari dei numeri naturali e delle loro operazioni. Il principio di induzione, il principio di induzione forte, e l assioma di buon ordinamento. Dimostrazioni per induzione: base dell induzione, ipotesi induttiva e passo induttivo. Alcuni esempi di dimostrazioni per induzione e per induzione forte: n = n(n + 1)/2; n 3 = n 2 (n + 1) 2 /4; se a 0 = a 1 = 1 e a n+2 = a n+1 + 2a n per ogni n 0, allora a n = 2/3 2 n + 1/3 ( 1) n. Esempi sbagliati di dimostrazioni per induzione. Equivalenza del principio di induzione con quello di induzione forte e con il principio di buon ordinamento. Costruzione di Z a partire da N (cenni). 8. MARTEDÌ 29 MARZO 2011 La divisione euclidea. La relazione di divisibilità e il concetto di divisore; la divisibilità in N è una relazione d ordine. Massimo comun divisore di due naturali (non entrambi nulli). L algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comun divisore. L identità di Bézout. Funzioni doppiamente periodiche. Elementi irriducibili e primi nell insieme dei numeri naturali. a bc, MCD(a, b) = 1 a c. Un numero naturale è primo se e solo se è irriducibile. Il teorema fondamentale dell aritmetica: ogni naturale non nullo è prodotto di numeri primi, e tutte le sue fattorizzazioni coincidono a meno dell ordine dei fattori. Applicazioni: se N N, allora m N è razionale se e solo se è intero. La divisibilità tra due naturali si controlla confrontando le fattorizzazioni. Calcolo del massimo comun divisore di due naturali una volta note le loro fattorizzazioni in primi. 9. GIOVEDÌ 31 MARZO 2011 Costruzione di Z a partire da N. Buona definizione delle operazioni. Z è un anello commutativo con unità. Gergo: gruppi e gruppi abeliani; esempi: (S X, ), (Z, +) sono gruppi, (N, +) non lo è. Anelli e anelli commutativi; domini d integrità; anelli con unità, corpi, campi. Z è un dominio d integrità. Ogni campo è un dominio d integrità. Corpo dei quaternioni reali. Se A è un anello con unità, (A, ) è il gruppo moltiplicativo di A: se A è un campo, allora A = A \ {0}; Z = {±1}. Aritmetica modulare: la relazione di congruenza modulo n > 1 in Z. Le operazioni di somma e prodotto sono ben definite in Z/(n). Z/(n) è un anello commutativo con unità.

3 ALGEBRA 1 3 Esempio: Z/(2) è un campo, quindi un dominio d integrità. Z/(n) è un dominio d integrità se e solo se n è primo. Se n è primo, Z/(n) è un campo. Commenti sulla fattorizzazione in N e in Z: in Z ci sono invertibili non banali, mentre in N l unico invertibile è 1; in Z la divisibilità non è una relazione d ordine. La fattorizzazione in Z è meno unica di quella in N, a causa della presenza di invertibili non banali. 10. LUNEDÌ 4 APRILE 2011 La somma vuota vale 0, il prodotto vuoto vale 1. La divisione euclidea si fa anche in Z: vale quindi l identità di Bézout, e si può calcolare il Massimo Comun Divisore, che è unico a meno del segno. Nuova definizione di Massimo Comun Divisore. La divisibilità non vede i segni. Elementi associati. Enunciato del Teorema di fattorizzazione unica in Z. Numero di elementi di Z/(n). Ogni elemento è nella stessa classe di congruenza del suo resto: classi di resto. Risoluzione di congruenze. Esempi: 2x 3 mod 5, 3x 5 mod 40. [a] Z/(n) è invertibile se e solo se MCD(a, n) = 1. Esempio: gli invertibili modulo 6 e 7. Risoluzione di 2x 28 mod 40 e 2x 26 mod 40. ax b mod n ha soluzione se e solo se MCD(a, n) divide b. Sistemi di congruenze: alcuni esempi ovvi e meno ovvi. Il teorema cinese del resto: prima dimostrazione. 11. MARTEDÌ 5 APRILE 2011 Seconda dimostrazione del teorema cinese del resto: identità di Bézout e espressione esplicita della soluzione. Omomorfismi e isomorfismi di anelli. Riformulazione del teorema: se m, n sono primi tra loro, Z/(mn) è isomorfo alla somma diretta degli anelli Z/(m) e Z/(n). Esempio: l isomorfismo esplicito di Z/(15) con Z/(3) Z/(5). Se f : A B è un omomorfismo di anelli con unità, allora f(a ) B. Se f è un isomorfismo, induce una bigezione tra gli elementi invertibili. (A B) = A B. La funzione φ di Eulero. Calcolo di φ(n) in alcuni casi. Moltiplicatività di φ. Calcolo di φ(p n ) quando p è primo e n > 0. ( φ(n) = N 1 1 ). p p N,p primo Piccolo teorema di Fermat: dimostrazione per induzione. Complementi: esistono infiniti numeri primi; esistono infiniti numeri primi 3 mod GIOVEDÌ 7 APRILE 2011 In un gruppo valgono le regole di cancellazione destra e sinistra. La moltiplicazione sinistra per un elemento dato g G è una biiezione G G. Se G è un gruppo abeliano con N elementi, allora g N = id per ogni g G. L enunciato è vero anche se il gruppo non è abeliano (senza dimostrazione). Applicazioni: Na 0 mod N; a p 1 1 mod p se p è primo e non divide a; a φ(n) 1 mod N se (a, N) = 1. Sistemi di congruenze modulo m, n quando m ed n non sono primi tra loro. Un caso particolare: m, n sono potenze dello stesso primo. Compatibilità tra congruenze e cancellabilità. Compatibilità e soluzione generale di un sistema di congruenze. Complementi: il crivello di Eratostene. 13. LUNEDÌ 11 APRILE 2011 Criteri di divisibilità: per 3, 9; per 2, 4, 8; per 7, 11. Numeri razionali e loro espansione decimale: un numero è razionale se e solo se ha espansione decimale finita o periodica. Lunghezza del periodo e dell antiperiodo. Un esercizio sulle cardinalità ed uno sulla divisibilità. Algoritmo euclideo binario. 14. MARTEDÌ 12 APRILE 2011 Risoluzione di esercizi. Calcolo di mod 105. Calcolo di mod 12. IMO Massimo comun divisore di due interi positivi la cui somma è prima. Un problema di congruenze su banane e scimmie. Espressione in forma chiusa per l n-esimo numero di Fibonacci: sezione aurea e conversione miglia-kilometri. Invertibili e divisori di zero in Z/(n). 15. GIOVEDÌ 28 APRILE 2011 Anelli e omomorfismi; sottoanelli ed ideali. L immagine di un omomorfismo è un sottoanello, il nucleo di un omomorfismo è un ideale. Se f : A B è un omomorfismo di anelli, f(a) = f(a ) se e solo se a a ker f. Ideali banali. Ideali di un campo. Ideali principali in un anello commutativo con unità. Gli ideali di Z sono tutti principali. Relazioni di equivalenza in un anello che inducono operazioni ben definite al quoziente. Relazione di congruenza modulo un ideale: è una relazione di equivalenza. Quoziente di un anello per un ideale. La proiezione al quoziente π : A A/I è un omomorfismo di anelli, e il suo nucleo è I. Enunciato del Teorema di omomorfismo per anelli.

4 4 ALGEBRA LUNEDÌ 2 MAGGIO 2011 Dimostrazione del Teorema di omomorfismo per anelli. Esempio: se m, n Z sono coprimi, allora Z/(mn) è isomorfo a Z/(m) Z/(n). Primo Teorema di isomorfimo: se f : A B è un omomorfismo di anelli, allora Im f è isomorfa a A/ ker f. Se f : A B è un omomorfismo di anelli e J B è un ideale, allora f 1 (J) è un ideale di A. Se f : A B è un omomorfismo di anelli e I A è un ideale, allora f(i) è un ideale di Im f B; in particolare f(i) è un ideale di B se f è suriettiva. Se I è un ideale di A, e π : A A/I è la proiezione al quoziente, allora π(j) è un ideale di A/I per ogni ideale J A. Inoltre π 1 ( J) è un ideale di A per ogni ideale J B. Inoltre, I π 1 ( J). Corrispondenza biunivoca tra ideali (risp. sottoanelli) di A che contengono I e ideali (risp. sottoanelli) di A/I. Due modi di calcolare gli ideali di Z/(6). Ideali primi e massimali. Sia A un anello commutativo con unità. A è un campo se e solo se i suoi unici ideali sono (0) e A. A/I è un campo se e solo se I è un ideale massimale. Esempio: Z/(n) è un campo se e solo se n è primo. A/I è un dominio d integrità se e solo se I A è un ideale primo. Un ideale massimale è sempre primo, ma non è vero il viceversa. 17. MARTEDÌ 3 MAGGIO 2011 Esempio di un ideale non principale in Z[x]. L unione di ideali non è necessariamente un ideale; ad ogni modo, l unione crescente di ideali è un ideale. Non esistenza di una catena strettamente crescente infinita di ideali in Z e in domini a ideali principali. In un dominio a ideali principali, ogni elemento non invertibile è divisibile almeno per un irriducibile. Traduzione dei concetti relativi alla divisibilità per mezzo del linguaggio degli ideali: b divide a se e solo se (a) (b); a e b sono associati se e solo se (a) = (b); a è invertibile se e solo se (a) = (1); d è un massimo comun divisore di a e b se e solo se (d) è minimo tra gli ideali principali che contengono (a) + (b); in un dominio a ideali principali, d è un massimo comun divisore di a e b se e solo se (a) + (b) = (d); p 0 è primo se e solo se (p) è un ideale primo; p 0 è irriducibile se e solo se (p) è un ideale massimale; p è primo se e solo se è irriducibile; se p, q sono primi, e p q, allora p e q sono associati. Teorema di fattorizzazione unica in domini a ideali principali. 18. GIOVEDÌ 5 MAGGIO 2011 Numeri complessi e struttura di campo. z + w = z + w, zw = zw. Se z 2 = zz, allora zw = z w. Interpretazione geometrica della moltiplicazione tra numeri complessi. Z[i] è un sottoanello di C. Divisione euclidea in Z[i]. Z[i] è un dominio a ideali principali. Calcolo esplicito di un massimo comun divisore in Z[i] attraverso l algoritmo euclideo. Divisione euclidea tra polinomi. Il resto ha grado inferiore a quello del divisore. Gli ideali di K[x] sono principali, se K è un campo. Calcolo esplicito di un massimo comun divisore in Z/(2)[x]. Definizione di dominio euclideo. Norma euclidea di Z, Z[i], K[x]. I domini euclidei hanno solo ideali principali. 19. LUNEDÌ 9 MAGGIO 2011 Teorema di Wilson: se p è un numero primo, (p 1)! 1 mod p. In particolare, se p 1 mod 4, allora ( p 1 2!)2 1 mod p. Un elemento è invertibile in un dominio euclideo se e solo se ha norma euclidea uguale a quella di 1. Calcolo degli invertibili di Z[i]. Quali sono gli elementi irriducibili di Z[i]? Alcuni esempi: 3 e 7 sono irriducibili. 2 = (1 + i)(1 i) e 5 = (2 + i)(2 i) non sono irriducibili. Se a, b Z, allora a 2 + b 2 3 mod 4. Pertanto, se p N è un primo 3 mod 4, allora p è irriducibile in Z[i]. Per un primo dispari p N, sono affermazioni equivalenti: p 1 mod 4; x = 0 ammette soluzione in Z/(p); p è riducibile in Z[i]; p = a 2 + b 2 per qualche scelta di a, b Z. I fattori non banali di un primo p 1 mod 4 sono irriducibili in Z[i]. Il teorema dei due quadrati. Conseguenza: esistono infiniti primi 1 mod MARTEDÌ 10 MAGGIO 2011 Fattorizzazione esplicita di i in Z[i]. I fattori non banali di una fattorizzazione in Z[i] di un primo p N congruo ad 1 modulo 4 sono irriducibili e non associati. 1 + i e 1 i sono associati. 2 = i(1 + i) 2. Fattorizzazione unica in K[x] quando K è un campo. Fatti generali: sono invertibili tutte e sole le costanti non nulle; un polinomio di grado 1 è sempre irriducibile; un polinomio con una radice in K è irriducibile se e solo se ha grado 1; un polinomio di grado 2 o 3 è irriducibile se e solo se non ha radici in K. Ogni polinomio non nullo è associato ad un solo polinomio monico. Teorema fondamentale dell algebra (enunciato). I polinomi irriducibili di C[x] sono tutti e soli quelli di grado 1. La fattorizzazione unica in C[x] è equivalente a dire che se f(x) 0 è un polinomio a coefficienti complessi, allora esistono c 0 e α 1,..., α r C tali che f(x) = c(x α 1)... (x α r). I polinomi irriducibili di R[x] sono: tutti i polinomi di grado 1 e i polinomi di grado 2 senza radici reali. Ogni polinomio a coefficienti reali di grado 3 è riducibile. Applicazione R[x]/(x 2 + 1) è un campo, ed è isomorfo a C. Polinomi a coefficienti razionali. Le radici razionali di un polinomio non costante f(x) = f nx n + + f 1x + f 0 Z[x] tale che f n 0, f 0 0 sono della forma a/b, dove a divide f 0 e b divide f n. Irriducibilità di x 3 2 e di x 3 + 1/2x + 1/3 in Q[x].

5 ALGEBRA GIOVEDÌ 12 MAGGIO 2011 Fattorizzazione per forza bruta. x è irriducibile in Q[x]. x è riducibile in Q[x]. Polinomi irriducibili di grado 2, 3, 4 a coefficienti in F 2. Polinomi irriducibili di grado 2 a coefficienti in F 3. F 2[x]/(x 2 + x + 1) è un campo con 4 elementi; F 2[x]/(x 3 + x + 1) è un campo con 8 elementi. Se f(x) F p[x] è un polinomio irriducibile di grado d, allora F p[x]/(f(x)) è un polijnomio con p d elementi. Fattorizzazione unica in Z[x]. Il lemma di Gauss in molteplici versioni: se p è un primo di Z, allora pz[x] è un ideale primo di Z[x]; se il prodotto di due polinomi a coefficienti interi ha tutti i coefficienti multipli di un primo p, allora anche uno dei fattori ha la stessa proprietà; il prodotto di polinomi primitivi è ancora primitivo; il contenuto del prodotto di due polinomi a coefficienti interi è il prodotto dei contenuti dei due fattori. 22. MARTEDÌ 17 MAGGIO 2011 Richiami dall altra volta: il lemma di Gauss; la strategia per dimostrare la fattorizzazione unica in Z[x]; i primi di Z sono primi e quindi irriducibili anche in Z[x]; gli irriducibili non costanti di Z[x] sono necessariamente primitivi. Un esempio: 6x 2 5x + 1 = (x 1/2)(6x 2) = (2x 1)(3x 1). Un polinomio primitivo (non costante) è irriducibile in Z[x] se e solo se è irriducibile in Q[x]. Applicazione: x è irriducibile in Z[x], e quindi anche in Q[x]. Se a(x), f(x) Z[x], q(x) Q[x] soddisfano a(x) = f(x)q(x), e f(x) è primitivo, allora q(x) Z; in altre parole, se un polinomio primitivo divide un polinomio a coefficienti interi in Q[x], allora lo divide anche in Z[x]. Un polinomio primitivo irriducibile in Z[x] è anche primo in Z[x]. Ogni irriducibile di Z[x] è primo. Dimostrazione della fattorizzazione unica in Z[x]. Generalizzazioni: Z[x 1,..., x n] e K[x 1,..., x n], con K campo, sono domini a fattorizzazione unica. Criteri di irriducibilità per polinomi a coefficienti interi. Se la riduzione modulo un primo p di un polinomio (primitivo) f(x) Z[x] (il cui primo coefficiente non sia multiplo di p) è irriducibile in F p[x], allora f(x) è irriducibile in Z[x]. Vari esempi, con riduzione modulo 2 e 3. x è irriducibile in Z[x], ma tutte le sue riduzioni modulo p sono riducibili. Enunciato del criterio di Eisenstein. Esempi. Il p-esimo polinomio ciclotomico è irriducibile in Z[x]. Dimostrazione del criterio di Eisenstein. 23. GIOVEDÌ 19 MAGGIO 2011 Calcolo, in due modi, dell inverso di [x 2 + 1] nel campo F 2[x]/(x 4 + x + 1). Z[i] è isomorfo a Z[x]/(x 2 + 1). Calcolo degli omomorfismi da Z[i] in Z/(5). Z[i]/(2 + i) è isomorfo a Z/(5). Secondo teorema di isomorfismo: se I J sono ideali di A, allora A/J è isomorfo a (A/I)/(J/I). Z[i]/(p) è isomorfo a F p[x]/(x 2 + 1). 24. LUNEDÌ 23 MAGGIO 2011 Moduli su anelli (commutativi con unità). Definizione di modulo; un modulo su un campo è uno spazio vettoriale su quel campo; un modulo su Z è semplicemente un gruppo abeliano. Esempi di gruppi abeliani: Z, Z/(m), somma diretta di gruppi. Obiettivo: il teorema di classificazione dei gruppi abeliani finitamente generati. Somma diretta di A-moduli. L A-modulo A n. Omomorfismi di A-moduli. Sottomoduli di A-moduli. Nucleo e immagine di un omomorfismo sono sottomoduli. Un omomorfismo f : M N è iniettivo se ker f = {0}; è suriettiva se Im f = N. Insiemi di generatori e insiemi linearmente indipendenti. Basi di A-moduli. Non ogni A-modulo possiede una base. Anche quando M possiede una base, non da ogni suo insieme di generatori si estrae una base, e non ogni suo sottoinsieme linearmente indipendente si completa ad una base. Esempi e controesempi nello Z-modulo Z n, con particolare attenzione al caso n = 1. L applicazione che, dati m 1,..., m r M, associa ad (a 1,..., a r) la combinazione lineare a 1m a rm r è A-lineare; è iniettiva se e solo se m 1,..., m r sono linearmente indipendenti, e suriettiva se e solo se m 1,..., m r generano M. Ogni omomorfismo A r M è di questo tipo. Dare una base di M è la stessa cosa che dare un isomorfismo di A r con M. L isomorfismo inverso calcola le coordinate di m M nella base data. 25. MARTEDÌ 24 MAGGIO 2011 Sottomoduli dell A-modulo A: sono tutti e soli gli ideali di A. Quoziente di un A-modulo. Teorema di omomorfismo per A-moduli. Teoremi di isomorfismo: se f : M N è A-lineare, allora Im f M/ ker f; se N M L sono A-moduli, allora L/M (L/N)/(M/N); se N 1, N 2 M sono A-moduli, allora (N 1 + N 2)/N 2 N 1/(N 1 N 2). Applicazioni: se un A-modulo M è generato da un elemento m M allora M A/I per qualche ideale I; un A-modulo finitamente generato è un quoziente di A n ; se M M, N N sono A-moduli, allora M N M N sono A-moduli, e (M N)/(M N ) M/M N/N. Non tutti i sottomoduli di M N sono della forma M N per qualche scelta di M M, N N: l esempio di R 2 = R R. Determinante di matrici a coefficienti in un anello commutativo (con unità). Formula di Binet: det(xy ) = det(x) det(y ). Se X c è la matrice dei complementi algebrici di una matrice quadrata X, allora XX c = det(x) id. Rappresentazione matriciale di applicazioni A-lineari da A m in A n ; la composizione corrisponde al prodotto righe per colonne. Se f : A m A n è un omomorfismo invertibile di A-moduli, allora m = n. f : A n A n è invertibile se e solo se la matrice associata ad f ha determinante invertibile.

6 6 ALGEBRA GIOVEDÌ 26 MAGGIO 2011 Richiami dalla lezione precedente. Elementi che si completano ad una base in Z e in Z 2. Comunque sia scelto a = (a 1,..., a n) Z n esiste una base di Z n nella quale le coordinate di a siano (d 1, a 3,..., a n, 0) dove d = MCD(a 1, a 2). Sotto le stesse ipotesi, esiste una base in cui le coordinate di a siano (d, 0,..., 0), dove d = MCD(a 1,..., a n). L elemento a si completa ad una base di Z n se e solo se MCD(a 1,..., a n) = 1. Analogia con gli spazi vettoriali. Esempio: calcolo esplicito di una base di Z 3 che completa (6, 10, 15). Struttura degli elementi di un sottomodulo di Z n che contengono (d, 0,..., 0) come elemento di lunghezza minima. 27. MARTEDÌ 31 MAGGIO 2011 Riepilogo delle proprietà della funzione lunghezza. Se un sottomodulo M Z n contiene un elemento di lunghezza minimale della forma (d, 0,..., 0), allora ogni elemento di M ha tutti i coefficienti multipli di d. In particolare, ogni elemento di M ha lunghezza multipla di d. Struttura dei sottomoduli di Z n : se M Z n è un sottomodulo, allora esistono d 1,..., d n tali che, a meno di un cambio di base di Z n, M = (d 1) (d n). Più precisamente, possiamo scegliere d 1,..., d n in modo che d 1 d 2... d n. Conseguenze: ogni sottomodulo di un Z-modulo libero è finitamente generato; ogni sottomodulo di un Z-modulo libero è libero; il rango di un sottomodulo di Z n è n. Teorema di classificazione degli Z-moduli finitamente generati: per ogni Z-modulo finitamente generato M esistono d 1... d r elementi di N, con d 1 1, tali che M sia isomorfo a D/(d 1) D/(d r). Descrizione di un algoritmo per raddrizzare un sottomodulo di Z n. 28. LUNEDÌ 6 GIUGNO 2011 Raddrizzamento del sottomodulo di Z 2 generato da (3, 4) e (5, 6): è già dritto, ed è della forma (1) (2). Raddrizzamento del sottomodulo (3) (5) Z 2. In generale, conviene fare manipolazioni per colonne invece che per righe. Le manipolazioni per colonne scelgono i generatori giusti del sottomodulo. Le manipolazioni per righe selezionano la base giusta di Z 2 in cui il sottomodulo è raddrizzato. Come mettere in forma canonica un prodotto di gruppi ciclici utilizzando il solo Teorema Cinese del Resto. Alcuni esempi: Z/(6) Z/(10) Z/(30) e Z/(4) Z/(25) Z/(36) Z/(900). Un esempio concreto: il gruppo (moltiplicativo) Z/(15) è isomorfo a Z/(2) Z/(4). Calcolo esplicito dei generatori che inducono l isomorfismo. Un applicazione: se p è primo, il gruppo moltiplicativo Z/(p) è sempre ciclico. 29. MARTEDÌ 7 GIUGNO 2011 Esempio di applicazione dell algoritmo di raddrizzamento ad un sottomodulo di C[x] 2. Calcolo delle matrici di cambiamento di base e di generatori. A che serve? Ogni endomorfismo T di uno spazio vettoriale V induce su V una struttura di C[x]-modulo. Se V ha dimensione finita come spazio vettoriale, allora è finitamente generato come C[x]-modulo. Calcolo esplicito della struttura di C[x]-modulo in un caso particolare. Calcolo di una base di Jordan. In generale, se V è uno spazio vettoriale sul campo K, e T : V V è K-lineare, possiamo utilizzare la struttura di K[x]-modulo su V indotta da T per decomporre V in somma diretta di sottospazi T -invarianti. Forma canonica di Jordan nel caso in cui K sia algebricamente chiuso. Forma canonica razionale in generale. Forma canonica di Jordan generalizzata. DIPARTIMENTO DI MATEMATICA, UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI ROMA LA SAPIENZA address: dandrea@mat.uniroma1.it