Strutture Algebriche Le Sottostrutture Strutture degli Insiemi Quoziente

Transcript

1 ALGEBRA RELAZIONI Operazioni tra relazioni: Unione (somma logica delle matrici) Intersezione (prodotto elemento per elemento delle matrici) Prodotto (prodotto righe per colonne delle matrici) prop. Associativa, compatibile con l'inclusione ( R T, S Z RS TZ ) Inversa (matrice trasposta) tale che R*R -1 = I Relazione d'equivalenza: chiusura riflessiva, simmetrica, transitiva di una relazione binaria R su A Data una rel d'equivalenza ρ su un insieme A, per ogni a di A chiamiamo ρ-classe di a (o classe d'equivalenza rispetto a ρ) l'insieme ρ = {x A (a, x) ρ} L'insieme quoziente A/R è l'insieme delle classi di equivalenza di R in A Si dice partizione di A ciascun sottoinsieme Bi di A tale che l'unione di tutti i Bi dia lo stesso insieme di A e non esistano intersezioni tra i Bi. Relazione d'ordine: chiusura riflessiva, antisimmetrica, transitiva di una relazione binaria R su A è detta totale se ogni elemento di A è confrontabile con gli altri elementi di A. Se una relazione non è antisimmetrica non si può costruire la rel d'ordine. Minimo è un elemento confrontabile con tutti gli altri e il più piccolo. Minimale è il minimo degli elementi a lui confrontabili. Minorante è il minimo elemento di un sottoinsieme della relazione d'ordine. L'inf, se esiste, è il massimo dei minoranti Si dice reticolo un insieme parzialmente ordinato tale che per ogni coppia (a,b) esistano un inf{a,b} e sup{a,b}

2 Strutture Algebriche E' una coppia <A,Ω> dove A è un insieme e Ω un insieme di operazioni su A[per noi binarie]. 1. Semigruppo <A,*>: dove * è una operazione binaria associativa 2. Monoide <A,*,e>: con e = elemento neutro A 3. Gruppo <A,*,e, -1 >: con -1 = elemento inverso Gruppo Abeliano: gruppo con operazione * commutativa Gruppo Ciclico (G): gruppo con elemento h[generatore] tale che ogni elemento di G è esprimibile come potenza intera di h. Le proprietà del generatore sono estendibili a tutto G. Questi gruppi sono sempre Abeliani. Teorema Di Caratterizzazione Dei Gruppi: cond nec e suff affinchè <G,*> sia gruppo: esistano un elemento neutro e un elemento inverso, a sin o a des, purchè dalla stessa parte. per ogni a,b di G le equaz ax = b, xa = b abbiano ciascuna una e unica soluzione. 4. Anello <A,+,*>: con <A,+> gruppo Abeliano; <A,*> semigruppo; a*(b+c) = (a+b)*c = a*c + b*c inoltre se * è commutativa allora AnelloCommutativo e se c'è l'elemento neutro rispetto ad * si dice AnelloConUnità Proprietà: a*0 = 0*a = 0; con n Z, n*(a*b) = a*(n*b) = (n*a)*b; -a*b = a*(-b) = -(a*b). L'annullamento del prodotto esiste se per a,b 0, a*b 0. I divisori dello zero sono quegli elementi dell'anello che moltiplicati danno zero pur essendo diversi da zero; se sono presenti nell'anello non valgono le leggi di cancellazione. [Z n è privo di divisori dello zero sse n è primo]. Dominio Di Integrità: è un anello commutativo, privo di divisori dello zero. 5. Corpo <C,+,*>: <C, +> è gruppo Abeliano, <C {0}, *> è gruppo, vale la prop. distributiva di * rispetto a +, ovvero devo avere l'elem neutro rispetto ad * e ogni elem è invertibile eccetto 0. Un Corpo con prodotto commutativo, oppure finito, è detto Campo. Un Anello finito, privo di divisori dello zero è detto Corpo. Il Corpo Dei Quaternioni (K) è un corpo non commutativo dove: K={ai + bj + ck + d a, b, c, d R} i 2 = j 2 = k 2 = -1, ij = k, jk = i, ki = j. 6. Reticoli <R, Λ, V>: Su gli operatori Λ e Vvalgono commut, assoc, assorbimento[aλ(a V b)= av(a Λ b)=a]. L'operatore Λ[a Λ b] equivale all'estremo inferiore[inf(a,b)], l'operatore V equivale al sup. Le Sottostrutture Data una struttura <A,Ω> e l'insieme H A con H non vuoto, H è sottostruttura di A se <H,Ω> è una struttura dello stesso tipo di <A,Ω>. Dato <A,*> semigruppo e * è associativa: se per ogni a,b di H vale a*b ancora in H, H è detto sottosemigruppo. Dato <A,*> monoide e * è associativa, dotata di elemento neutro: se per ogni a,b di H vale a*b ancora in H e l'elemento neutro appartiene anch'esso ad H, H è detto sottomonoide. Dato <A,*> gruppo e * è associativa, dotato di elemento neutro ed inverso: se per ogni a,b di H vale a*b ancora in H e sia l'elemento neutro che quello inverso sono ancora in H, H è detto sottogruppo. [Si può verificare come a*b -1 in H e se A è finito basta verificare che a*b sia in H]. Dato <A,+,*> anello: se per ogni a,b di H vale a+b e a*b ancora in H e inoltre H contiene sia l'elemento neutro che l'inverso rispetto alla somma, H è detto sottoanello. [Si può verificare come (a b in H) Λ (a*b in H)]. Dato <A,+,*> campo: se per ogni a,b di H vale a+b e a*b ancora in H e inoltre H contiene sia l'elemento neutro che l'inverso rispetto alla somma e al prodotto, H è detto sottocampo. Strutture degli Insiemi Quoziente Data <A,Ω>struttura algebrica con ω operazione n-aria e ρ rel.di equivalenza su A, si dice che ρ è compatibile con ω se da a 1ρb 1,..., a nρb n allora ω(a 1,..,a n) ρ ω(b 1,..,b n). Data <A,Ω>struttura algebrica e ρ rel.di equivalenza su A, <A,*> gruppo e ρ rel d'equivalenza si definisce la funzione f: (A/ρ)X (prod.cart)(a/ρ) --> A/ρ; (ρ a1, ρ a2)--> ρ ω(a1, a2) ρ è congruenza su A se è compatibile con ogni operazione di Ω. Se ω in Ω è n-aria si dice operazione indotta ω': (A/ρ)X...X(A/ρ)--> A/ρ; (ρ a1,...,ρ an)--> ρ ω(a1,...,an) La struttura quoziente <(A/ρ), Ω'> con A/ρ insieme sostegno e Ω' insieme delle operazioni indotte dalle operazioni di Ω.

3 Sottogruppo normale N Con N A non vuoto, se dato <A,*> gruppo per ogni g A e n N g -1 *n*g N detto trasformato coniugato di n tramite g. Se siamo in un gruppo abeliano ogni sottogruppo e normale. Dati un gruppo <A,*>, un suo elemento a ed un suo sottogruppo H diciamo laterale sinistro (destro) di H in <A,*>, avente come rappresentante a, l insieme a*h={a*h h H} (H*a={h*a h H}). I laterali vengono spesso semplicemente indicati con ah (Ha). Nel caso in cui H sia normale il laterali destri e sinistri aventi come rappresentanti a coincidono e richiamano semplicemente laterali di H in <A,*>. Ogni sottogruppo in cui laterali destri e sinistri coincidono è normale. Le classi di congruenza di una rel di congr ρ su un gruppo <A,*> sono allora laterali del sottogruppo normale ρ e. I laterali di un sottogruppo normale H di un gruppo <A,*> costituiscono gli elem del gruppo quozientea/ρh (spesso indicato con A/H) e l operazione indotta da * sui laterali di H è così definita : (H*a) (H*b)= H*(a*b), l unità del gruppo quoziente è H e l inverso del laterale H*a è il laterale H*a -1. MORFISMI Date <A,Ω> <A',Ω'> sono strutture alg. simili se esiste un'aplicazione f: da Ω a Ω' tale che f(ω) ha la stessa arità di ω'. Date le stesse strutture simili, si dice morfismo un'applicazione di A-->A' che conservi le operazioni, cioè: per ogni ω, f(ω(a 1,...,a n))=ω'(f(a 1),...,f(a n)) Dato un semigruppo, f:<a, > --> <A,*> e f(a1 a2) = f(a1)*f(a2) Dato un monoide vale anche che dati e,e' A f(e)=e'; dato un gruppo f(a -1 )=[f(a)] -1 (in aggiunta) [Se sono in un gruppo basta verificare che per a1,a2 di A f(a1 a2)=f(a1)*f(a2), inverso ed elem neutro ne conseguono] Dato un anello, verifico che lo sia per un gruppo e per un semigruppo Teorema di fattorizzazione dei morfismi: data una fun A-->B e kerf relazione di equivalenza se Pkerf è proiezione canonica A-->A/kerf f=pkerfg allora f è un morfismo. Se <A,Ω> <A',Ω'> sono simili kerf diventa una congruenza, è dunque compatibile con tutte le operazioni di Ω cioè: ogni ω Ω ai kerf bi ω(a1,...,an) kerf= ω(b1,...bn) f(ω(a1,...,an)=f(ω(b1,...,bn)) se costruisco A/kerf questa è una struttura alg dello stesso tipo di A A f A' p ker f A/ker f g Pkerf: a-->[a]kerf è morfismo suriettivo (epimorfismo) e anche g:a/kerf-->a' [a]kerf-->f(a) è morfismo Se f è un omomorfismo del gruppo <A, > nel gruppo <A, >, le controimmagini dell unità di <A, > costituiscono un sottogruppo normale di <A, >, essendo la classe di congruenza di ker f che contiene l unità di <A, >, tale sottogruppo si dice nucleo dell omomorfosmo f. Se H è un sottogruppo normale di <A, >, esiste sempre un epimorfismo p H di <A, > su <A/H, > che è la proiezione canonica definita ponendo p H(a)=H a per ogni a A. La normalità di H serve solo per provare che la relazione è una congruenza e quindi per poter definire l operazione indotta sui laterali. Le classi di equivalenza della relazione ρ H sono i laterali destri di H in <A, > (i laterali sinistri sono invece le classi di equivalenza della relazione (a,b) τh se e solo se a -1 b H). I laterali destri (o sinistri) di un qualsiasi sottogruppo H sono una partizione di <A, >; due laterali di uno stesso sottogruppo hanno la stessa cardinalità. Teorema di Lagrange: Se <A, > è un gruppo finito di ordine n, un suo qualsiasi sottogruppo ha ordine m che divide n. Si consideri ora un anello <A,+, >, un sottoanello I di <A,+, > si dice ideale di <A,+, > se per ogni i I e per ogni a A si ha i a I e a i I. Se ρ è una congruenza di <A,+, >, la ρ-classe dello 0 è un ideale di <A,+, > e la ρ-classe di un qualsiasi elemento a di <A,+, >, è l insieme I+a={i+a i I}. I+a si chiama laterale di I avente rappresentante a (notate che è il laterale del sottogruppo I nel gruppo additivo <A,+>). Viceversa se si considera un ideale I dell anello <A,+, >, la relazione bin su A definita ponendo aρib se e solo se a-b I è una rel di congr le cui classi sono i laterali di I in <A,+, >. Tra i laterali di un ideale I di <A,+, > (che sono classi di congruenza di <A,+, >) si possono quindi definire le operazioni, indotte rispettivamente da +, ponendo (I+a) (I+b)= I+(s+t) e (I+s) (I+t)= I+(s t), rispetto a tali operazioni i laterali dell anello <A,+, > formano a loro volta un anello che ha per zero I e per opposto di I+a il laterale I+(-a). Tale anello sarà indicato con la notazione A/I e coincide con l anello quoziente rispetto alla congruenza indotta da I. Si ricava che le immagine mediante epimorfismi di un anello risultano completamente determinate quando si conoscano gli ideali dell anello. Gli unici ideali di un corpo sono il corpo stesso e l insieme {0}. I due anelli quozienti sono perciò isomorfi rispettivamente ad un anello costituito da un solo elemento che funziona da zero e allo stesso corpo. Le immagini mediante epimorfismi di un corpo sono solo due: il corpo degenere formato dal solo zero e il corpo stesso.

4 Funzioni Una relazione f A B tale che per ogni a A esiste uno ed un solo b B tale che (a,b) f si dice funzione da A a B. Nella matrice di incidenza f è una funzione se e solo se c è uno ed un solo 1 su ogni riga. Il prodotto delle funzioni f:a Β per g:b C è una funzione f g:a C definita da f g(a)=g(f(a)) per ogni a A. Il prodotto di funzioni è associativo, non sempre commutativo e la rel inversa di una funz f non è sempre una funzione. Una funzione f è iniettiva se ogni b B ha al più una controimmagine in A, o se f(a 1)=f(a 2) allora a 1=a 2, o se a 1 a 2 allora f(a 1) f(a 2) Con la matrice di incidenza si ha che f è iniettiva sse su ogni riga della matrice c è uno ed un solo 1 e su ogni colonna al più un 1;col grafo di incidenza si ha che f è iniettiva sse da ogni vertice che rappresenta un elemento di A esce uno ed un solo arco e ad ogni vertice che rappresenta un elemento di B arriva al più un arco. Il prodotto di due funzioni iniettive è una funzione iniettiva. La funzione g può essere non iniettiva anche se f g è iniettiva; f lo è sempre. Il prodotto f g di due funzioni può non essere iniettivo anche se f è iniettivo Una funzione f è suriettiva se ogni b B ha almeno una controimmagine in A, o equivalentemente se f(a)=b. Con la matrice di incidenza si ha che f è suriettiva sse su ogni riga della matrice c è uno ed un solo 1 e su ogni colonna almeno un 1; col grafo, f è suriettiva sse da ogni vertice che rappresenta un elemento di A esce uno ed un solo arco e ad ogni vertice che rappresenta un elemento di B arriva almeno un arco. il prodotto di due funzioni suriettive è una funzione suriettiva, La funzione f può essere non suriettiva anche se f g è suriettiva; g lo è sempre. Il prodotto f g di due funzioni può non essere suriettivo anche se g è suriettivo Una funzione f è biunivoca (biettiva) se è suriettiva ed iniettiva. il prodotto di due funzioni biunivoche è una funzione biunivoca, se il prodotto f g delle funzioni f e g è una funzione biunivoca allora f è iniettiva e g è suriettiva. La rel inversa f -1 di una f: A B è una funz sse f è biunivoca ed in tal caso si ha : f f -1 = Ι A e f -1 f= Ι B. Chiamiamo funzione inversa di una f:a B, una g:b A, se esiste, t.c. f g=ι A e g f=ι A. Una funz h:b A per cui si abbia f h=ι A si dice inversa destra di f; una funz k:b A per cui si abbia k f=ι b si dice inversa sinistra di f. Cond.nec.suff. affinché f ammetta inversa destra è che f sia iniettiva. C.n.s affinché f ammetta inversa sinistra è che f sia suriettiva Se una f ammette inversa sinistra e destra queste coincidono. Una f ammette funzione inversa (sinistra e destra) se e solo se è biunivoca; in tal caso l inversa è unica e coincide con la relazione inversa di f. Se f ammette solo inversa sinistra o solo destra queste non sono uniche. Funzioni e relazioni di equivalenza. Sia f:a B una funzione. L insieme {f -1 (b) b B} degli insiemi delle controimmagini degli elementi di B è una partizione di A e quindi è l insieme delle classi di equivalenza di una rel. di equivalenza su A che chiamiamo ker f. ker f è definita da: (a 1,a 2) ker f sse f(a 1)=f(a 2). Se consideriamo una rel. di equivalenza ρ su A esiste sempre una funz suriettiva p ρ :A A/ρ tale che ker p ρ =ρ. La p ρ (proiezione canonica di A sul suo insieme quoziente A/ρ) è definita ponendo p ρ (a)=ρ a.

5 Primo teorema di fattorizzazione delle applicazioni: Siano f:a B una funzione e p ker f:a A/ker f l applicazione canonica di A su A/ker f. Esiste unica una funzione g: A/ker f B tale che p ker f g=f tale da rendere commutativo il seguente schema. Inoltre g è iniettiva. A f B p ker f A/ker f g f(a) è in corrispondenza biunivoca con A/ker f. Una qualsiasi funzione f può essere pensata come il prodotto di una funzione suriettiva per una funzione iniettiva. Cardinalità di un insieme A = B se esiste una corrispondenza biunivoca f:a B. Valgono la proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva. A ha cardinalità inferiore a B, A B, se esiste una applicazione iniettiva da A a B A ha cardinalità inferiore a B, A < B, se A B ma A B (cioè se esiste una funzione iniettiva da A a B ma non esiste una funzione biunivoca da A a B). L insieme A è finito ed ha cardinalità n se ha la stessa cardinalità di {1,2,,n}. Un insieme è infinito se e solo se può essere messo in corrispondenza biunivoca con una sottoinsieme proprio. Un insieme infinito ha la potenza del numerabile se ha la stessa cardinalità di N (anche Z e Q), ha la potenza del continuo se ha la stessa cardinalità di R. Teorema di Cantor: Ogni insieme A ha cardinalità strettamente inferiore al suo insieme delle parti. P(A). Il teorema sostanzialmente afferma che c è una sequenza infinita di infiniti. Leggi di composizione. Dati gli insiemi A 1, A 2,, A n, A, una applicazione ω:a 1 A 2 A n A si dice legge di composizione n- aria (o di arità n) di A 1, A 2,, A n a valori in A. Per ogni (a 1,a 2,,a n) A 1 A 2 A n l elemento a=ω (a 1,a 2,,a n) (che esiste ed è unico) è detto il risultato della composizione ω della n-upla (a 1,a 2,,a n). Se A 1= A 2= = A n= A, diremo che ω è una legge di composizione (o operazione) interna n-aria (o di arità n) su A. Se A è un insieme finito i risultati di una operazione binaria interna su A possono essere rappresentati tramite la tavola di composizione (detta spesso tavola di moltiplicazione). Proprietà: Indichiamo di seguito con * una generica operazione binaria interna su A: L operazione * è commutativa se per ogni a,a A si ha a *a =a *a L operazione * è associativa se per ogni a,a,a A si ha a *(a *a )= (a *a ) *a Se l operazione * è associativa possiamo definire le proprietà delle potenze. Esiste un elemento neutro (identità) in A rispetto all operazione * se esiste un e A tale che per ogni a A risulta e *a=a *e=a. Se si ha solo e *a=a, e si dice elemento neutro a sinistra, se invece si ha solo a *e=a, e si dice elemento neutro a destra. - Se esiste l elemento neutro, si può definire in A la potenza ad esponente 0 di un qualunque a A, ponendo a (0) =e. - Se in A esistono elemento neutro a destra ed elemento neutro a sinistra rispetto all operazione *, questi coincidono.

6 Esiste uno zero in A rispetto all operazione * se esiste uno z A tale che per ogni a A risulta z *a=a *z=z. Se si ha solo z *a=z, z si dice zero a sinistra, se invece si ha solo a *z=z, z si dice zero a destra. Se esiste in A un elemento neutro rispetto all operazione *, diciamo che a A ammette inverso. - Se * è associativa ed a è invertibile, si possono definire in A le potenze ad esponente intero. - Se * è associativa ed a ammette inverso sinistro a s ed inverso destro a d questi coincidono. - Se * è associativa ed a ammette inverso ogni equazione del tipo a *x=b (b A) ammette uno ed una soluzione della forma ã *b. - Se * è associativa ed a ammette inverso ogni equazione del tipo x *a=b (b A) ammette uno ed una soluzione della forma b *ã. - Se * è associativa ed a ammette inverso sinistro, a *b= a *c implica b=c. - Se * è associativa ed a ammette inverso destro, b *a= c *a implica b=c. - Se * è associativa ed a 1, a 2 ammettono inversi ã 1, ã 2 allora a 1*a 2 ammette inverso e questo inverso è ã 2* ã 1.

7 RETICOLI <L, Λ, V> Lo zero di un reticolo è il minimo, se esiste, rispetto alla relazione d'ordine indotta dalle op. Λ, V a < b sse aλb = a oppure se avb = b (in ambiente finito ci sono sempre) Lo zero è elemento neutro rispetto al V, e elemento zero rispetto all'λ L'uno di un reticolo è il massimo, se esiste, rispetto alla rel. < L'uno è elem neutro rispetto ad Λ ed elem zero rispetto a V. Reticolo distributivo se per ogni a,b,c L: a Λ (b V c) = (a Λ b)v(a Λ c) e la corrispondente in forma duale. Un reticolo è distributivo sse il suo diagramma d'asse non contiene sottoreticoli di questo tipo: Un reticolo è complementato se per ogni a L esiste a' t.c. a Λ a' = 0 e a V a' = 1 Se un reticolo è ditributivo e complementato, il complemento è unico. Un reticolo è di Boole se ammette zero, uno, è distributivo e complementato. I reticoli di Boole finiti sono sempre in corrispondenza biunivoca con un insieme di 2 n. Un elemento a di un reticolo diverso da zero è detto atomo se per ogni b di L aλb=0 oppure aλb=a. Cioè a è un elemento tale che 0<a e non esiste b con 0<b<a. Un reticolo L, dotato di 0, è finito se per ogni b esiste un atomo a, t.c. a<b. A b={a L/a è atomo di a<b} vuoto Un reticolo L, dotato di 0, è finito di Boole: se ogni suo elemento può essere visto come V di tutti gli atomi < a lui (suriettività) se preso un atomo a<b, con b visto come V di altri atomi, a sarà sicuramente uno di questi (iniettività). Dato un reticolo di Boole finito si può sempre costruire una funzione che lega L all'insieme delle parti di A con A insieme degli atomi e f(b)=a b. P(A) =2 n.