Analisi Matematica 2: Esercizi su Equazioni Ordinarie

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Agnese Bartoli
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1 Analisi Matematica 2: Esercizi su Equazioni Ordinarie Vladimir Georgiev Dipartimento di Matematica L.Tonelli, Università di Pisa, Largo Bruno Pontecorvo 5, I-56127, Pisa, Italy.

2 Contents 0.1 Esercizi su appllicazioni del principio del confronto Esercizi sul prolungamento della soluzioni Esercizi sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie Esercizi sulle equazioni lineari di ordine Esercizi su appllicazioni del principio del confronto Sia f : Ω = I R n R n+1 R n una funzione per cui valgano le stesse ipotesi del Teorema di esistenza ed unicita locale. Suppogniamo che esiste una funzione tale che per ogni soluzione locale H(t : (0, R u : (t 0 T,t 0 +T R n del Problema di Cauchy abbiamo la disequazione u(t H(T, t (0,T. Allora esiste un unico prolungamento massimale della soluzione ũ : (t 0 T, R n che é soluzione del Problema di Cauchy (??. 1

3 2 Esercizi su appllicazioni del principio del confronto Problema Vedere se il problema di Cauchy u (x = x 5 u u 3, x (0, ; u(0 = 1, (0.1.1 ha una soluzione (globale in C([0,. Suggerimento. Multiplicazione dell equazione per u implica E (x x 5 u 2 (x,e(x = u2 (x. 2 Cosí otteniamo E (x Cx 5 E(x. Possiamo applicare lemma di Gronwall é concludere che E(x = u2 (x 2 Ce x6 /6. (0.1.2 Il Teorema del prolungamento implica che abbiamo due possibilitá: o esiste T > 0 e u(t C([0,T soluzione del problema di Cauchy scritto nella forma integrale u(t = 1+ t 0 (s 5 u(s u 3 (sds, (0.1.3 tale lim u(t = (0.1.4 tրt o esiste soluzione globale u(t C([0, di ( La disequazione (0.1.2 implca che la proprietá (0.1.4 non puo essere soddisfatta, quindi esiste soluzione globale.

4 Esercizi sul prolungamento della soluzioni Esercizi sul prolungamento della soluzioni Problema Vedere se il problema di Cauchy u (t = 3t+2+e 2u, t (0, ; u(0 = 0, (0.1.5 ha una soluzione (globale. Problema Vedere se il problema di Cauchy u (t = 3t e u2, t (0, ; u(0 = 0, (0.1.6 ha una soluzione (globale. Problema Vedere se il problema di Cauchy u (t = 3t u 2 sinu, t (0, ; u(0 = 0, (0.1.7 ha una soluzione (globale. Problema Vedere se il problema di Cauchy u (t = u u 3, t (0, ; u(0 = 1,u (0 = 0, (0.1.8 ha una soluzione (globale. Problema Vedere se il problema di Cauchy y (t = t 2 +e t y, t (0, ; y(0 = 1, (0.1.9 a ha una soluzione (globale; b se la soluzione globale esiste allora soddisfa la stima esponenziale y(t Ce t ;

5 4 Esercizi su appllicazioni del principio del confronto c (parte pi u difficile se la soluzione globale esiste allora soddisfa la stima polinomiale y(t C(1+t N. Problema Vedere se il problema di Cauchy y (t = e 1/(1+t 1/y, t (0, ; y(0 = 1, ( a ha una soluzione (globale; b se la soluzione globale esiste allora soddisfa la stima esponenziale y(t C(1+t. Problema Vedere se il problema di Cauchy y (t = ye 1/(1+t 1/y, t (0, ; y(0 = 2, ( ha una soluzione (globale. Problema Vedere se il problema di Cauchy y (t = t 3 +y 3, y(0 = 0, ( ha una soluzione (globale in t (,0]. Problema (Difficoltá: *. Vedere se il problema di Cauchy y (t = 1 y 2, 2+t 4 ( y(0 = 0, ha una soluzione (globale in t [0,+. Suggerimento. Applicare il principio di confronto e dimostrare che y(t > 0.

6 Esercizi sul prolungamento della soluzioni 5 Problema (Difficoltá: *. Vedere se il problema di Cauchy y (t = e y(t4 e t4, ( y(0 = 0, ha una soluzione (globale in t [0,+. Suggerimento. Applicare il principio di confronto (Lemma?? usando il fatto che y ± (t = ±t sono soluzioni di y + (t > ey +(t 4 e t4. y (t < ey (t 4 e t4. Problema (Difficoltá: *. Vedere se il problema di Cauchy y (t = 1 (t+y(t 3, ( y(0 = 0, ha una soluzione (globale in t [0,+. Esplosione della soluzione Problema (La buccia di banana Studiare il seguente problema di Cauchy: y = y 2 y(0 = 1 Risp. Il problema di Cauchy ha un unica soluzione massimale (e non globale data da y(t = 1 1 t. Problema Sia a > 0. Studiare il seguente problema di Cauchy: y (t = (1+t a y 2 y(0 = A > 0.

7 6 Esercizi su appllicazioni del principio del confronto Risp. Integrando l equazione a variabili separati, troviamo e quindi Ovviamente la funzione 1 y(t y(0 = (1+ta+1 1 a+1 1 y(t = 1 (1+ta a+1 ϕ(t = 1 (1+ta+1 1 a+t é decrescente e ha unico zero t tale che La soluzione esiste in [0,t e ϕ(t = 0 = lim y(t =. tրt y(t = 1 ϕ(t lim tրt y(t =. significa che [0,t é l intervallo massimale di esistenza, la soluzione esplode in t. Problema Studiare l esistenza della soluzione della equazione con dati inziali al variare del parametro a > 0. u(t C 2 ([0, u (t u 5 (t = (1+t 3 u (t 3 ( u(0 = 0,u (0 = a (0.1.17

8 Esercizi sul prolungamento della soluzioni 7 Soluzione. Suppogniamo per assurdo che esiste una soluzione u(t C 2 ([0, della equazione ( con dati iniziali ( Abbiamo l identitá E (t = (1+t 3 u (t 4, Usando i dati iniziali si trova Le disequazioni e implicano E(t = u (t 2 2 E(0 = ε 2 > 0 u(t 6. 6 E(t E(0 > 0. u (t 2 u(t 6 3 > 0 u (0 > u(03 3 = 0 u (t > u(t3 3, t > 0, ( e quindi u(t > 0, t > 0. La disequazione ( ed il principio del confronto implicano v(t é la soluzione di u(t v(t, v (t = v(t3 3, t δ, ( con dati iniziali v(δ = u(δ > 0.

9 8 Esercizi su appllicazioni del principio del confronto Usando la relazione ed integraziondo in (δ, t troviamo ( 1 = 1 v 2 (t 3 1 v 2 (t 1 v 2 (δ < t δ 3 e prendendo il limite, t, otteniamo contradizione. Problema Sia a < 0. Studiare l esistenza della soluzione globale del problema di Cauchy: al variare del parametro a < 0. y (t = (1+t a y 2 y(0 = A > 0 Problema Sia a < 0,b > 1. Studiare l esistenzadellasoluzione globale del problema di Cauchy: y (t = (1+t a y b y(0 = A > 0 al variare dei parametri a < 0,b,A. Problema Vedere se il problema di Cauchy y (t = (t+y 3, y(0 = 0, ( ha una soluzione (globale in t [0,. Suggerimento. Dopo la sostituzione t + y = u abbiamo il problema di Cauchy u (t = u 3 +1 ( u(0 = 0.

10 Esercizi sul prolungamento della soluzioni 9 Si puo dimostrare che la traiettoria (t,u(t;t [0,T non puo interseccare la retta u = 1 perche u 1 (t = 1 é una soluzione del problema u (t = u 3 1. Quindi abbiamo la disequazione T > 0 é tale che Cosi otteniamo Otteniamo la disequazione La disequzione mostra che u(t < 1,t [0,T, ( t (0,T,u (t < 0. t (0,T,u(t = u(0+ u(t = t 0 u(t < é una soluzione che esplode cioé t 0 u (τdτ < 0. ( 1+u 3 (τdτ < t. t 0 (u 3 (τdτ u(t < u 2 (t u 2 (t = u3 (t,u 2 (0 = 0,u 2 (t < 0 lim u 2(t =. tրt Problema Vedere se il problema di Cauchy y (t = t y 2, y(0 = 0, ha una soluzione (globale in t [0,+. (0.1.23

11 10 Esercizi sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie 0.2 Esercizi sui sistemi di equazioni differenziali ordinarie Problema Trovare le soluzioni del sistema u (t = Au(t, ( A = ( 12/5 4/5 1/5 8/5 ( Idea della soluzione. Le soluzioni del sistema ( sono Calcolare u(t = e At u 0, u 0 = (C 1,C 2 t = ( C1 L equazione caratteristica e ( det(λi A = λ 12 ( λ = λ2 4λ+4 = (λ 2 2 = 0 e quindi abbiamo un autovalore di molteplicitá (algebrica 2. Abbiamo autovettore proprio ( 2 t 1 =, 1 tale che (A 2It 1 = ( 2/5 4/5 1/5 2/5 e un autovettore generalizzato ( 1 t 2 = 2, C 2. ( 2 1 = 0 tale che (A 2It 2 = ( 2/5 4/5 1/5 2/5 ( 1 2 ( 2 = 1 = t 1.

12 11 Sia e Abbiamo e At = T = [t 1 t 2 ],S = T 1 = A = TJS, J = e At = Te Jt S, e Jt = ( ( 2/5 1/5 1/5 2/5 ( ( e 2t e 2t t 0 e 2t ( ( e 2t e 2t t 2/5 1/5 0 e 2t 1/5 2/5 ( 1+2t/5 4t/5 = e 2t t/5 1 2t/5 Alla fine abbiamo ( u(t = e At u 0 = e2t 1+2t 4t 5 t 1 2t ( = e2t C1 +t(2c 1 +4C 2 5 C 2 t(c 1 +2C 2. ( C1. C 2 = = Problema Trovare le soluzioni del sistema u (t = Au(t, ( A = ( 17/5 4/5 1/5 13/5 ( Problema Trovare le soluzioni del sistema u (t = Au(t, ( A = ( 13/5 4/5 4/5 7/5 (0.2.29

13 12 Esercizi sulle equazioni lineari di ordine 2. Problema Sia Trovare le soluzioni del sistema ( 0 1 σ 1 = 1 0 ( 0 i σ 2 = i 0 ( 1 0 σ 3 = 0 1 u (t = Au(t, ( A = σ 1 +σ 2 2 +σ2 3. Problema Sia Trovare le soluzioni del sistema ( 0 1 σ 1 = 1 0 ( 0 i σ 2 = i 0 u (t = Au(t, ( A = cosθσ 1 +sinθσ Esercizi sulle equazioni lineari di ordine 2. Problema Risolvere l equazione y (t 4y (t+5y (t 2y(t = e 3t. (0.3.32

14 13 Idea della soluzione. Prima cosideriamo l equazione omogenea L equzione caratteristica é Abbiamo y (t 4y (t+5y (t 2y(t = 0. ( λ 3 4λ 2 5λ 2 = 0. ( λ 3 4λ 2 5λ 2 = (λ 1 2 (λ 2. Tutte le soluzione del problema omogeneo ( sono combinazioni lineari di e t,te t,e 2t Siccome 3 non é soluzione del ( una soluzione del ( deve avere la forma y 0 (t = Ae 3t. Sostituzione in ( da A = 1 4 e tutte le soluzioni di ( sono y(t = y 0 (t+c 1 e t +C 2 te t +C 3 e 2t = e3t 4 +C 1e t +C 2 te t +C 3 e 2t. Problema Risolvere l equazione y (t 2y (t+4y (t 8y(t = e 2t sin(2t. ( Problema Vedere se per ogni soluzione dell equazione esistono due costanti C 1,C 2 tali che y (t+9y(t = e t log(2+t 4 ( lim (y(t C 1cos3t C 2 sin3t = 0. t

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