LA MODULAZIONE D AMPIEZZA

Transcript

1 Capiolo I L MODULZIONE D MPIEZZ I. - Generalià. Nella rasmissione dell inormazione da una sorgene ad un desinaario il segnale araersa un canale che nella maggior pare dei casi è di ipo passa-banda; ale cioè da consenire la rasmissione a segnali che presenano uno spero concenrao aorno ad una requenza dipendene dalla caraerisica del canale. Se il segnale da rasmeere è di ipo Modulaore Canale di rasmissione Demodulaore passa-basso, ciò può essere oenuo uilizzando un disposiio deo modulaore, così com è schemaizzao in Fig. I. - rasmissione di un segnale analogico Fig. I., che eeua una raslazione dello spero del segnale in modo da conerirgli la caraerisica di segnale passa-banda adeguaa per la rasmissione araerso il canale passa-banda. È eidene che al rielaore dee essere preiso un disposiio inerso (demodulaore che ripori il segnale riceuo nella zona originaria dello spero propria del segnale in ingresso. La modulazione sinusoidale uilizza come porane un segnale del ipo: ( ( = cos( π +ϕ Poiché (, la requenza e la ase ϕ si possono oenere, di conseguenza, re ipi di modulazioni e cioè: Modulazione di ampiezza (M mpliude Modulaion quando l ampiezza aria linearmene con il segnale modulane; Modulazione di requenza (FM Frequency Modulaion quando la requenza aria linearmene con il segnale modulane; Modulazione di ase (PM Phase Modulaion quando la ase ϕ aria linearmene con il segnale modulane. Nel caso della modulazione di ampiezza, dea ( l ampiezza isananea del segnale modulao e s( il segnale modulane, che, per semplicià, si suppone a alor medio nullo e ale che sia ( (I.. s ( risula: (I..3 ( = [ + ks (] essendo k una cosane che prende il nome di indice di modulazione di ampiezza. Il segnale modulao può quindi essere quindi scrio nella orma: s ; ( = + k s ( cos( π +ϕ (I..4 ( [ ] ( Si noi che se s( non doesse soddisare ale condizione, baserebbe porre k s( nella orma k s( max s(/ s( max. Inai ideniicando s( / s( max con il segnale modulane e k s( max con l indice di modulazione di ampiezza, le condizioni impose risulano eriicae.

2 - - G. Mamola Fondameni di Comunicazioni Eleriche e presena un andameno come quello riporao in Fig. I.,a s ( ( [ + k s ] ( s ( k ( + (; s( + b a Fig. I. - a Segnale modulao M; b Schema di modulaore M. Dalla (I..4 si deduce immediaamene la sruura di principio di un modulaore M riporao in.fig. I.,b. I.. - Caraerisiche sperali del segnale modulao. Per deerminare lo spero del segnale modulao si osseri che dalla (I..4 si ha: jϕ jπ jϕ jπ (I..5 s ( ; ( = ( + ks ( ( e e + e e che rasormaa secondo Fourier diiene: jφ jφ jφ jφ (I..6 ( = ( e δ( + e δ ( + + k ( e S( + e S( + aendo denoao con ( ed S( le rasormae di Fourier dei segnali ( ed s( rispeiamene. (. Fig. I.3. Dalla sessa igura è acile riconoscere che l esensione B M dello spero (unilaero del segnale modulao ale: (I..7 B = M m k S ( + ϑ ( + +ϕ banda laerale superiore δ ( + m banda laerale ineriore ϕ ( S m ( ϑ B ϕ M banda laerale ineriore δ ( ϑ( +ϕ k banda laerale superiore S ( e cioè è doppia di quella del Fig. I.3 - Spero del segnale modulao in M. segnale in banda base. I.. Poenza speciica del segnale modulao. Poiché il segnale modulao è maniesamene un segnale a poenza inia, la sua poenza speciica ale: (I..8 lim P ( = d e cioè:

3 (I..9 Cap. I - La modulazione d ampiezza P = k s π + ϕ d = lim [ ( ] cos ( lim [ ks ( ] [ cos( 4 ] d = + π + ϕ = = lim [ ks ( ] d+ lim [ ks ( ] cos( 4π + ϕ d N D alra pare, ponendo = = N si può scriere: (I.. N ( i+ 4 4 i i= N N ( i+ i i i= N [ ks ( ] cos( π + ϕ d= [ ks ( ] cos( π + ϕ d [ ks ( ] cos( 4π + ϕ d= doe si è supposo che è m << ; in queso modo si può rienere rascurabile la ariazione della unzione [ ks ( ] in un inerallo di ampiezza. Perano in I i [ i,( i + si può porre [ ks ( ] [ ks ( ] doe i denoa un opporuno alore conenuo in I i. In quese i ipoesi si ha: (I.. P = lim [ ks( ] d lim [ ks( kas ( ] d = + Supponendo inine che il segnale s( preseni alor medio nullo, dalla precedene si deduce: (I.. essendo P che la quanià s lim [ ] = + kps P = s d la poenza speciica del segnale modulane s (. Noando inine è uguale alla poenza speciica P della porane non modulaa, la (I.. si può scriere come segue: (I..3 P [ ] = P + kps dalla quale si eince che la modulazione di ampiezza compora un incremeno di kp nella poenza della porane. ale incremeno è da aribuirsi alle bande laerali a ciascuna delle quali compee una poenza speciica pari a kpp. s s I. Modulazione a porane soppressa (DSB. Nella modulazione di ampiezza in qui esaminaa l inormazione associaa al segnale modulane è aidaa solo alle s ( bande laerali. Una modulazione oenua k ( sopprimendo la porane riduce la poenza rasmessa s ( (; s( migliorando così l eicienza di ( a k s ( b modulazione. In ale ipo di modulazione, noa con la sigla DSB (Double Side Band, il Fig. I.4 - a Segnale modulao in DSB, b Schema di modulaore DSB. segnale modulao assume la orma:

4 - 4 - G. Mamola Fondameni di Comunicazioni Eleriche (I.. ( s = k s π +ϕ ; ( ( cos( e presena un andameno come quello rappresenao in Fig. I.4,a. ( S ( ϑ m m ϑ( +ϕ k S ( + ϕ k S ( ϑ ( + +ϕ B ϕ DSB banda laerale superiore banda laerale ineriore banda laerale ineriore banda laerale superiore Fig. I.5 - Spero del segnale modulao in DSB. Lo schema di principio del modulaore è riporao in Fig. I.4,b. Se s( è un segnale deerminao lo spero di ( è espresso dalla (. Fig. I.5: k (I.. ( jφ jφ = ( e δ( + e δ ( + Dall'esame della Fig. I.5 si deduce che l'esensione dello spero del segnale modulao è (I..3 B = DSB m menre la poenza speciica ale: (I..4 P k P k PP = s = s I.3 Modulazione a banda laerale unica (SSB. Dall esame dello spero del segnale modulao in M, riporao in Fig. I.3, si noa che, a causa della simmeria delle bande laerali rispeo alla riga della porane, l inormazione associaa al segnale modulao non si perde se si elimina in rasmissione, olre che la porane, S ( anche una delle due bande ϑ( laerali. Si oiene così un erzo ipo di modulazione di m m ampiezza, noa con la sigla SSB (Single Side Band. Lo ϑ( k +ϕ k S ( + S ( + ϕ spero del segnale in SSB si presena allora come è indicao in Fig. I.6 nel caso ϕ B ϑ ( + +ϕ SSB in cui iene eliminaa la banda laerale banda laerale banda laerale banda laerale banda laerale ineriore. superiore ineriore ineriore superiore Dall esame di dea igura Fig. I.6 - Spero del segnale modulao in SSB (banda laerale superiore. risula che l esensione dello

5 Cap. I - La modulazione d ampiezza spero di un segnale SSB ale: (I.3. BSSB = m e cioè meà di quella di un segnale modulao in M o in DSB. I.4 - Modulazione a banda laerale residua (SB. Da quano iso in precedenza si deduce che la modulazione a banda laerale unica compora una riduzione della banda e della poenza del segnale modulao. Per conro, riesce diicile isolare, in sede di modulazione, una banda laerale in quano ciò comporerebbe l impiego di un ilro la cui caraerisica di aenuazione dorebbe presenare una ransizione brusca in corrispondenza alla requenza della porane. È sao allora inrodoo un uleriore ipo di modulazione, dea modulazione a banda laerale residua SB (esigial Side Band, nella quale è soppressa solo in pare una banda laerale per mezzo di un ilro la cui caraerisica di aenuazione risuli graduale in corrispondenza alla requenza.(.fig. I.7. Lo spero del segnale modulao risula: jϕ jϕ (I.4. ( = kh( e S( + e S( + La orma di ( dipende oiamene dalla unzione di raserimeno del ilro di banda H ( ; comunque dall esame della Fig. I.7 si deduce che l esensione dello spero del segnale modulao ale (I.4. B = ( +δ SB con δ<. Poiché δ è di norma piccolo, la banda occupaa dalla modulazione SB si può considerare dell ordine di m. La poenza speciica associaa al segnale modulao ale: (I.4.3 P = kps = kp P 4 dao che essa è eguale alla poenza che compee a una sola banda laerale. m S ( m ( m H ( δ m m Fig. I.7 - Spero del segnale modulao in SB. Per dedurre l espressione analiica del segnale modulao in SSB o in SB basa considerare che lo spero del segnale rappresenao nelle Fig. I.6 e Fig. I.7 può essere oenuo ilrando un segnale in DSB con un ilro passa alo o passa basso a seconda se si uole sopprimere la banda laerale ineriore o superiore. Se h ( denoa la risposa impulsia di ale ilro si ha: Essendo (I.4.4 s (; ( = DSB ( τ h( τ = k s ( τcos[ π( τ +ϕ] h( τ diiene: cos[ π ( τ +ϕ ] = cos( π +ϕ cos( π τ + sin( π +ϕ sin( π τ, la precedene

6 - 6 - G. Mamola Fondameni di Comunicazioni Eleriche s (; ( = k (I.4.5 cos( π +ϕ s( τ h( τcos( π τ + sin( π +ϕ s( τ h( τsin( π τ { } che può essere riscria nella orma seguene: s (; ( = k (cos( π +ϕ q(sin( π +ϕ in cui le componeni in ase ed in quadraura ( e q ( algono: ( = s( h ( (I.4.7 q( = s( hq( (I.4.6 { } doe: (I.4.8 h ( = h(cos( π hq ( = h(sin( π che rasormae danno luogo alle: H( + H( + H ( rec (I.4.9 H( H( + Hq ( rec j cos( π +ϕ H ( s ( s (; ( Hq ( sin( π +ϕ Fig. I.8 - Schema di principio di un modulaore SB. È da osserare che poiché s( è un segnale passa-basso con banda m, le rispose in requenza H ( e Hq ( sono aluae [ m, m]. Sulla base delle (I.4.6, (I.4.7 e (I.4.9 lo schema di principio di un modulaore SB si presena come è mosrao in Fig I.8. Nel caso di modulazione SSB è acile eriicare che le componeni H ( e H q( sono dae dalle: (I.4. H ( rec = Hq ( = sgn( rec j se si elimina la banda laerale ineriore e H ( rec = (I.4. Hq ( = sgn( rec j se si elimina la banda laerale superiore. Poiché, com è acile eriicare, risula { ( } sgn( P j π (I.4. essendo: (I.4.3 = F, le (I.4.7, enendo coni delle (I.4. e (I.4. danno luogo alle: s * h ( = s( s * hq ( =± s ˆ( s( τ sˆ( = P π - τ la rasormaa di Hilber di s(. Il segnale modulao è allora: (I.4.4 s (; ( = k [ s (cos( π +ϕ + s ˆ(sin( π +ϕ ] - Se si osse eliminaa la banda laerale superiore si sarebbe auo

7 (I.4.5 e quindi: Cap. I - La modulazione d ampiezza s * h ( = s( s * hq ( = s ˆ( (I.4.6 s (; ( = k [ s (cos( π +ϕ s ˆ(sin( π +ϕ ] dalla quale si deduce che un segnale modulao in SSB è oenuo dalla somma (o dierenza di due segnali modulai in DSB le cui porani risulano sasae di π l una rispeo all alra. Da quano deo si eince che le arie orme con cui si può presenare un segnale modulao in ampiezza possono essere rappresenae da un unica espressione del ipo: (I.4.7 s ( ; ( = { ( cos( π +ϕ q( sin( π +ϕ } in cui la quanià ( e q ( sono deinie come indicao nella abella I. La (I.4.7 può essere inerpreaa come la somma di due modulazioni DSB con porani in quadraura e con modulani ( e q ( rispeiamene. La grandezza (I.4.8 q ( = ( + ( cosiuisce l iniluppo di modulazione. Deinendo inine con ϑ ( la quanià: q ( (I.4.9 ϑ ( = arcan ( la (I.4.7 può porsi nella orma: (I.4. s (; ( = (cos( π +ϑ ( +ϕ abella I. ( ( q Banda M + k s ( m DSB ks( m SSB k ( s ± k sˆ( m SB k s( τ h ( τ k s( τ hq( τ ( + δ m I.5 - La rielazione dei segnali modulai in ampiezza. Il processo di rielazione o demodulazione consise nell esrarre dal segnale modulao ( il segnale modulane s(. I meodi di rielazione si possono raggruppare in due ondamenali caegorie: rielazione coerene e rielazione non coerene (o ad iniluppo. I.5. - Rielazione coerene. Un ale ipo di rielazione consise nel moliplicare il segnale modulao per una porane locale la cui requenza e ase sono eguali a quelle proprie della porane di modulazione in arrio al riceiore. La sruura di un ale ipo di riceiore è riporaa in Fig. I.9. Dea r ( ( ;s( w( (I.5. r( = r cos( π +ϕ la porane locale, il segnale w ( in uscia dal moliplicaore ale: P.B. s u ( Fig. I.9 - Rielaore coerene

8 - 8 - G. Mamola Fondameni di Comunicazioni Eleriche (I.5. w ( = r (cos( π +ϕ che enendo cono dell espressione del segnale ( (. ab. I. si può porre nella orma: (I.5.3 { } w ( = (cos ( π +ϕ (sin( π +ϕ cos( π +ϕ = r q r { ( [ cos(4 ] q(sin(4 } = + π + ϕ π + ϕ Sopprimendo le componeni ad ala requenza, il segnale in uscia dal ilro passa-basso ale: r (I.5.4 su( = ( enendo presene le espressioni di ( per i casi di modulazione presi in esame, si ha: (I.5.5 M r su( = + ks( DSB SSB r su( = ks( r su( = ks( 4 [ ] r u 4 SB s ( = k s( τ h ( τ Il segnale rielao risula, ranne che per la SB, linearmene dipendene dal segnale s(. Ben diersa è la siuazione nel caso di modulazione SB, in cui il segnale rielao si presena proporzionale alla conoluzione ra h ( e s( e cioè: r (I.5.6 Su( = kh ( S( doe S u ( denoa la rasormaa di Fourier di su (. Imponendo in al caso la condizione che su ( risuli una replica riardaa di s( si oiene: j (I.5.7 H ( = ke π Ricordando le (I.4. e (I.4., la precedene diiene: j (I.5.8 H( + H( + = ke π essendo k = k ed in cui H ( rappresena la risposa in requenza del ilro di banda impiegao nel modulaore SB. Indicando con ( e le caraerisiche di aenuazione e ase del ilro H (, dalla (I.5.8 si ha: jϑ (I.5.9 ( ( jϑ ( + j π e + ( + e = ke Se la caraerisica di ase del ilro è simmerica rispeo a e cioè se è: (I.5. ϑ ( + = ϑ( =ϑ( α ( si oiene dalla (I.5.9: j ( j e α ke π (I.5. [ ( + ( + ] = e perano: (I.5. ( + ( + = k α ( = jπ che cosiuiscono le condizioni che garaniscono una perea ricezione del segnale SB. In Fig. I. è riporaa una possibile caraerisica di ampiezza per il ilro di banda H ( nel caso in cui si uole eliminare parzialmene la banda laerale ineriore.

9 Cap. I - La modulazione d ampiezza ( ( δ + δ Fig. I. - Caraerisica di ampiezza del ilro esigiale. Una possibile caraerisica che soddisa la prima delle condizioni (I.5. è la cosiddea caraerisica a coseno rialzao deinia dalla: δ ( π( (I.5.3 = ( + sin ( δ + δ δ + δ in cui δ indiidua l esensione della banda residua. I.5. - Rielazione per iniluppo. Un rielaore ad iniluppo produce in uscia un segnale proporzionale all iniluppo di modulazione. È oio che, enendo presene la (I.4.8, l iniluppo di modulazione è proporzionale al segnale modulane solo nel caso della modulazione M con indice di modulazione non superiore al %. In eei: a nel caso di modulazione SSB l iniluppo di modulazione olre al segnale modulane coniene anche la sua rasormaa di Hilber; b nel caso di segnale DSB il segnale in uscia è proporzionale a s( ; si inroduce perano uno sasameno di 8 quando il segnale modulane è negaio. ( w ( su ( Prendendo in esame solano la modulazione M, lo P.B. schema di principio di un rielaore ad iniluppo si Fig. I. Schema di principio di un rielaore ad iniluppo presena come è indicao in Fig. I.. Esso è cioè cosiuio da un reiicaore ideale, la cui caraerisica è rappresenaa in Fig. I., e da un ilro passa basso con requenza di aglio pari a m. Poiché dalla Fig. I. si deduce w ( = ( u ( (I.5.4 ( doe u( rappresena la unzione a gradino uniaria, il segnale in uscia dal raddrizzaore ale: w ( = (cos π +ϕ u (cos π +ϕ (I.5.5 ( ( doe si è ao uso dell espressione per il segnale modulao. Si osseri che, essendo per le ipoesi ae, ( = + k s( = [ + k s( ] si ha: w ( = (cos π +ϕ u cos π +ϕ (I.5.6 ( ( ( y y= x u( x x Fig. I. Caraerisica di un reiicaore ideale. cos( x u( cos( x È immediao rendersi cono che la quanià hx ( = cos( x ucos( x è una unzione periodica ( di periodo π come si deduce dall esame della Fig. I.3, per cui rappresenando la h( in serie x di Fourier si ha: cos( x π (I.5.7 hx ( = Hn cos( nx Fig. I.3 Rappresenazione della unzione h(x. n= ll uscia del ilro passa-basso quindi si risconra il segnale: (I.5.8 su( = H[ + ks(] che è linearmene dipendene dal segnale modulane s(.