Oscillazioni ed onde meccaniche

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1 Capitolo Oscillazioni ed onde meccaniche 1. Il moto periodico Quali sono le caratteristiche del moto periodico? Una particella si muove di moto periodico quando continuamente ripassa per le stesse posizioni con identici valori di velocità ed accelerazione. Il più piccolo intervallo temporale dopo il quale il moto si ripete con le medesime caratteristiche si chiama periodo del moto, e si indica con la lettera. Diremo che durante un intervallo temporale pari al periodo viene descritto un ciclo del moto. a natura presenta numerosi esempi di fenomeni periodici, che vanno dal respirare, al battito del cuore, fino al moto orbitale di un pianeta. Il periodo si misura tramite il rapporto seguente: tempo trascorso numero dei cicli svolti infatti, dato che ogni frazione esprime il quantitativo del numeratore associato ad un unità del denominatore, tale rapporto rappresenta i secondi associati ad un ciclo. nalogamente il suo reciproco: numero dei cicli svolti f tempo trascorso è il quantitativo di cicli associati ad una unità del denominatore, cioè i cicli descritti in un secondo, e prende il nome di frequenza, ed indicata con la lettera f. Il periodo 1

2 si misura in secondi al ciclo, e nel Sistema Internazionale le sue unità di misura sono s, in quanto il numero di cicli non ha dimensioni fisiche. a frequenza si misura in cicli al secondo ed anche qui, essendo il numero di cicli una grandezza adimensionale, nel SI le unità di misura della frequenza risultano s 1, a cui viene dato il nome di Hertz: 1Hz 1s 1. In base alla definizione la frequenza è il reciproco del periodo: f 1 Esempio 1 In un moto periodico vengono compiuti 3 cicli in 5 secondi. Calcolare frequenza e periodo. tempo trascorso 5 s 1.67 s numero dei cicli svolti 3 f numero dei cicli svolti 3 1 s.6 Hz tempo trascorso 5 Esempio Il processore di un PC lavora con una frequenza di clock di. GHz 9 ( 1GHz 1 Hz, cioè svolge 9. 1 operazioni binarie ogni secondo). Quanto tempo impiega per eseguire un operazione? Si tratta di calcolare il periodo, che è il tempo corrispondente ad un singolo ciclo: s.4551 s f 9.1. Il moto armonico Cosa è il moto armonico? F Eq. F Si dice moto armonico quel particolare moto periodico che si ottiene quando una particella viene sottoposta ad una forza di richiamo F diretta verso una posizione di equilibrio, e la cui intensità, variabile nel tempo, sia direttamente proporzionale alla distanza da tale posizione. nalizziamo il caso in cui il moto armonico è rettilineo. Indicato con il vettore spostamento che ha la coda nel punto di equilibrio e la punta nella posizione istantanea della particella, si ha dunque che nel moto armonico:

3 F k dove la costante che figura è k e le sue unità di misura sono N/m, in modo che moltiplicata per una lunghezza produca N al primo membro dell equazione. intensità della forza vale F k, ed è quindi tanto maggiore quanto più è grande la distanza, e quando la massa si trova nella posizione di equilibrio la forza vale zero essendo. Il segno negativo nell equazione F k indica come la direzione della forza sia sempre parallela e contraria al vettore, e quindi orientata verso la posizione di equilibrio. Una forza con tali caratteristiche viene detta forza elastica, ed il numero k costante elastica. Quali esempi di moto armonico si osservano? Un esempio di moto armonico sono le oscillazioni di una massa attaccata ad una molla, in un piano orizzontale senza attrito. a massa della molla deve però essere trascurabile rispetto a quella che viene attaccata alla sua estremità. a costante elastica determina la rigidità della molla: a parità di deformazione, una molla con k grande è più rigida (cioè esercita una forza maggiore) rispetto ad una molla con k piccolo. Se mettiamo un asse di riferimento con l origine nella pozione di equilibrio ed indichiamo con di prima ora diviene scalare, cioè F F la componente orizzontale della forza, l equazione vettoriale k, una relazione detta legge di Hooke. a massima distanza dalla posizione di equilibrio viene chiamata ampiezza del moto. Molti sono i sistemi fisici che si comportano seguendo la legge di Hooke: dai pennoni delle bandiere fino ai grattacieli. Notiamo infine che un elastico non esercita una forza elastica dato che può solo tirare verso la posizione di esuli brio, ma non spingere. F = -k > F = -k < F = Che legame esiste fra moto armonico e moto circolare uniforme? E possibile pensare al moto armonico come alla proiezione sull asse delle ascisse (o delle ordinate, è lo stesso) della posizione di una particella che si muova di moto circolare uniforme con velocità d intensità v. Se la traiettoria circolare ha raggio pari all ampiezza del moto armonico, è possibile individuare una velocità angolare opportuna, per cui la posizione della particella che oscilla legata all estremità della molla coincide in ogni istante con l ombra di un altra particella ad essa identica che gira sulla circonferenza con velocità di modulo costante. Infatti, indicata con F la forza centripeta all origine del moto circolare - qualunque ne sia natura - la sua componente F lungo l asse orizzontale risulta: ed essendo si ottiene: F F cos v F m, ed inoltre cos come si vede dal triangolo in figura, v F m k - F F cos y + 3

4 vendo indicato il prodotto di tutte le quantità costanti con un unico simbolo: m k v. bbiamo così dimostrato che la componente della forza lungo l asse orizzontale è una forza di richiamo di tipo elastico. Poiché in un moto circolare uniforme risulta v R ( ). Il valore della velocità angolare del moto circolare la cui proiezione genera il moto armonico di costante k, risulta legato alla costante elastica dalla relazione: m k v m k m Il valore di viene detto pulsazione del moto. Dato che moltiplicando per un intervallo temporale si ottiene il numero di radianti percorsi in tale intervallo, in un periodo vengono spazzati un quantitativo di radianti pari a, ed essendo i radianti corrispondenti ad un giro si ha, cioè: m k Notare infine che la frequenza (e di conseguenza il periodo e la pulsazione ) non dipendono dall ampiezza del moto. Esempio 3 Si osserva che una massa in m.3 Kg attaccata ad una molla oscilla sedici volte. s. rovare la costante elastica della molla e la forza che essa esercita sulla massa quando questa si trova 4. cm a destra del punto di equilibrio Il periodo e la pulsazione di questo moto armonico risultano essere:. 6. s.15 s rad/s 5. rad/s si ricava quindi la costante elastica: k 3 k m.35. N/m 5. 1 N/m m Quando la massa dista 4.cm 4. 1 m si ha che la componente della forza vale: F 3 3 k N 3 N di segno negativo in quanto diretta verso sinistra dove si trova la posizione di equilibrio. 4

5 Esempio 4 Una molla posta in verticale con appesa una massa m.5 Kg si allunga di 15. cm rispetto alla posizione di equilibrio. rovare il periodo delle oscillazioni che la massa compie in un piano orizzontale. Quando la molla è in equilibrio in verticale, lungo l asse delle ordinate si ha: F W k mg elastica mg.59.1 k N/m 55.6 N/m.15 quindi il periodo delle oscillazioni in orizzontale vale: m.5 6. s.776 s k cm F elastica W Come si scrive la legge oraria della posizione in un moto armonico? Con riferimento all asse delle ascisse nella precedente figura si ha che: ( t) cos cos t avendo sfruttato la legge oraria dell angolo per il moto circolare uniforme, t. Nel caso in cui la particella che gira dovesse partire da un angolo iniziale e si avesse t risulterebbe: ( t) cos( t ) t t In questo contesto viene detta pulsazione del moto armonico, e si misura in radianti al secondo, come la velocità angolare del moto circolare ad esso legato; la quantità t si chiama nel suo complesso fase del moto armonico, mentre si dice fase iniziale il valore dell angolo. In maniera del tutto analoga si sarebbe potuto proiettare lungo l asse delle ordinate ed ottenere una forma equivalente per la legge oraria del moto armonico: - + cos ( t ) y( t) sin( t ) Esempio 5 a legge oraria di un moto armonico è ( t) 3 cos(5t ). Si dica quanti cicli sono compiuti ogni secondo, qual è la durata di ciascuno di essi, e quanto vale la fase dopo 3.5 s. Da un analisi dell equazione data risulta 5 rad/s pertanto risulta: 5

6 6. s 1.6 s f 1.79 Hz 5 Per la fase abbiamo: (5 3.5 ) rad 19.5 rad 3. y Esempio 6 Un cocomero viene messo in fresco dentro ad un recipiente colmo di acqua. Nel momento della prima immersione la linea di galleggiamento viene fatta scendere di 3. cm sotto al pelo dell acqua, ed il cocomero comincia ad oscillare di moto armonico compiendo quattro cicli in 6. s. Dopo aver scritto la legge oraria della quota y( t) della linea di galleggiamento, si dica dove si trova dopo.65 s.. s e dopo 4 Si ha 3. cm e f.667 Hz da cui: 6. f rad/s 4.19 rad/s Se iniziamo a contare il tempo nell istante in cui il cocomero sta sott acqua, la fase iniziale dovrà essere tale per cui y( s)= 3.cm, quindi: y() 3. sin( ) 3. sin( ) sin 1, a legge oraria risulta allora: y( t) sin( t ) 3. sin(4.19 t ) a quota della linea di galleggiamento dopo y(.) 3. sin( ) cm.1cm y(.65) 3. sin( ) cm.74 cm Pertanto se dell acqua, mentre se pelo dell acqua.. s e dopo.65 s risulta essere: t. s la linea di galleggiamento sarà.1cm sotto al pelo t.65 s la linea di galleggiamento sarà.74 cm sopra al 6

7 3. Il pendolo semplice Cosa si intende per pendolo semplice? Il pendolo semplice è un dispositivo costituito da una massa m che oscilla legata al capo di un filo di lunghezza ed agganciato ad un punto di sospensione. Il caso che qui si considera è solo quello ideale, in cui la massa del filo è trascurabile rispetto ad m, ed il filo stesso è inestensibile, cioè la sua lunghezza non cambia mai nonostante la sollecitazione a cui viene sottoposto. Il moto armonico può non essere rettilineo? Il moto armonico può avvenire anche lungo una traiettoria curva, come nel caso dell arco di circonferenza descritto dal pendolo. In questo caso il moto si considera armonico se la coordinata curvilinea s( t ) che separa la massa m dalla posizione di equilibrio, segue una legge oraria della forma vista per il caso rettilineo: W n W W t s( t) s( t) cos( t ) Questo accade solo se la componente della forza tangenziale alla traiettoria agisce sempre come richiamo verso una posizione di equilibrio, ed ha intensità direttamente proporzionale alla lunghezza s( t ) dell arco di traiettoria che occorre percorrere per raggiungerla. Il moto di un pendolo semplice è un moto armonico? Per rispondere alla domanda se le oscillazioni del pendolo siano armoniche, dobbiamo ricavare un espressione per la forza tangenziale e vedere se risulta proporzionale alla distanza s( t ) percorsa dal pendolo sulla circonferenza. Come si vede dal disegno, la componente tangenziale del peso agisce come forza di richiamo dato che è sempre diretta verso il punto più basso, e la sua intensità vale: W mg sin t Ora se l angolo è espresso in radianti si ha che per valori minori di misura e quella del seno risultano pressoché indistinguibili 1, cioè: sin se (3 ) la sua sin 1 1 Se rad.397 rad si ha sin.37 quindi se si sostituisce al seno dell angolo la misura in radianti dell angolo stesso si commette un errore di circa il 3%. sin cioè sin.37 7

8 che sostituita nell espressione per la forza di richiamo produce: s( t) W mg mg k s( t) t avendo sfruttato la definizione di radiante, con ( s( t) ed indicato i valori costanti mg k. Come si vede, nel caso delle oscillazioni che formano piccoli angoli ) il moto del pendolo semplice risulta armonico. Quanto vale il periodo delle piccole oscillazioni del pendolo semplice? Sfruttando la relazione precedentemente ricavata si ottiene il periodo delle piccole oscillazioni m m k mg g Si traggono quindi le seguenti conclusioni: (1) e piccole oscillazioni sono isòcrone cioè hanno tutte la stessa durata, indipendentemente dal valore dell ampiezza. () Il periodo delle piccole oscillazioni non dipende dalla massa appesa. (3) Il periodo delle piccole oscillazioni è tanto maggiore quanto più lungo è il filo del pendolo. Esempio 7 Un pendolo semplice compie 4 oscillazioni al minuto. Si calcoli la lunghezza del filo e si dica cosa succede al periodo se questa viene dimezzata. 6 Risulta s 1.5 s da cui si ricava la lunghezza del filo: 4 g m 1.76 m g Se l lunghezza del filo è dimezzata il periodo nuovo periodo risulta diviso per un fattore rispetto al vecchio: s 1.6 s g g quindi le oscillazioni del nuovo pendolo più corto sono più rapide. Esempio Il capitano Polipo giunge su di un lontano pianeta di raggio R 75 Km e decide di misurarne la massa facendo oscillare un pendolo semplice appena atterrato sulla superficie. Se il filo del pendolo è lungo. cm e si osservano 3 oscillazioni in un minuto, aiutate il capitano a calcolare la massa del pianeta.

9 Il pendolo ha un periodo di: 3 s.5 s 6 accelerazione di gravità sulla superficie del pianeta vale: GM g P R che sostituita nell espressione del periodo produce: g P R GM da cui si ha il valore della massa del pianeta: 4 R 49.6 (7.5 1 ). M Kg 11 G Kg Kg 1.61 Kg