LASER (Light Amplifier of Stimulated Electromagnetic Radiation)

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1 LASER (Ligh Amplifier of Simulaed Elecromagneic Radiaion) Si raa di sudiare il fenomeno della radiazione eleromagneica che araversa la maeria. Lo scopo ulimo è di sudiare una siuazione in cui la radiazione emerge amplificaa rispeo a come è enraa. Dapprima adoeremo il seguene modello : della radiazione araversa una cavià in cui è presene un gas di aomi che schemaizziamo come insieme di sisemi a due livelli energeici (due sai sazionari) che chiameremo il più basso e 2 il più alo in energia (possiamo pensare come caso concreo che il primo sia lo sao fondamenale e il secondo sia il primo sao ecciao degli aomi del gas). n alre parole supponiamo che la radiazione ineragisca solo con due dei livelli energeici di ogni aomo. Per descrivere queso sisema useremo il modello di Einsein (vedi). Dovremo però prima di uo applicare il modello di Einsein al caso non sazionario, per ricavare l evoluzione emporale della popolazione dei livelli. Tuavia quesa è l unica fase in cui si sudia l evoluzione fuori dall equilibrio, e in effei l esio è solo quello di scoprire che l evoluzione ende esponenzialmene ad un andameno sazionario (saurazione). Dunque ricaviamo l imporane valore della popolazione all equilibrio del livello ecciao. A queso puno si fa un imporane osservazione sul significao di bilancio energeico della condizione di equilibrio. n queso modo si può imposare un equazione che dapprima è sull evoluzione emporale della densià di energia, ma viene facilmene rasformaa in un equazione differenziale per la variazione dell inensià della radiazione in funzione dello sposameno nella cavià. n queso modo si può sudiare l amplificazione/aenuazione della radiazione durane la propagazione nella cavià. Vedremo che se supponiamo che la radiazione ineragisce solo con due livelli, in nessun caso la radiazione viene amplificaa, cosa che sarà possibile solo facendo ineragire con la radiazione re livelli energeici, anzicché due. poesi a) le dimensioni della cavià sono almene ridoe che l inensià della radiazione è la sessa in ui i puni della cavià. b) supponiamo che la radiazione incidene sia monocromaica, con frequenza pari alla frequenza di Bohr della ransizione. NB : quese ipoesi verranno in un secondo momeno rilassae. Posizioni Diciamo che il numero oale di aomi è N, e che ci sono N aomi nel livello e nel livello 2 : 2 N.

2 2 ndichiamo con la densià di energia del campo eleromagneico. Ricordiamo che si ha c n (relazione ra densià di energia e inensià) dove c è la velocià della luce e n è il coefficiene di rifrazione del mezzo e è l inensià dell onda. Quando si parlerà di equilibrio si inenderà che ra la radiazione e il gas di aomi si è raggiuno un equilibrio ermodinamico (cioé energeico). Popolazione dei livelli Vogliamo conoscere l andameno nel empo del numero di aomi nel livello ecciao. Uilizzando il modello di Einsein si ha d d B 2 ω 2 ω 2 N (noa : queso è un bilancio della popolazione in 2. nfai c è il numero di aomi usceni da 2, col segno - (che vanno in ), e il numero di quelli enrani (provenieni da ), col segno + ). Per semplificare quesa equazione noiamo che B 2 B e ω 2 ω 2 e dunque d d N B A. Ora, sfruando il fao che i livelli sono solo due, si ha N () + () N che è una quanià cosane. Sosiuendo oeniamo la seguene equazione differenziale lineare non omogenea in () : d d d d N B A A + 2 B + B N (equazione per la popolazione del livello 2)

3 3 Si raa di un equazione differenziale del prim ordine, non omogenea. La soluzione (noa a meno di una cosane moliplicaiva) dell omogenea associaa è : C e A + 2 B a quesa dobbiamo sommare una soluzione dell inomogenea. Proviamo a vedere se per caso una soluzione dell inomogenea è una cosane. n alri ermini supponiamo che nell insieme delle soluzioni dell inomogenea ci sia una funzione cosane. Poiché me ne basa una, se una funzione cosane è soluzione, uso quesa. L equazione inomogenea, supponendo che la soluzione sia una cosane, è : d d 0 A + 2 B + N B in effei quesa equazione nell incognia () ha la soluzione cosane N B A + 2 B e dunque sommando quesa soluzione paricolare dell inomogenea a quella rovaa per l omogenea associaa oeniamo la soluzione generale dell inomogenea. C e A + 2 B + N B A + 2 B. Per deerminare la cosane C imponiamo come condizione iniziale il fao che all isane iniziale gli aomi siano ui nello sao (sao fondamenale), e cioè che : 0 0 e poiché per 0 l esponenziale vale, deve essere C + N B A + 2 B 0 e dunque l andameno nel empo del numero di aomi nello sao 2 è dao da : N B A + 2 B e A + 2 B + N B A + 2 B cioè

4 4 N B A + 2 B e A + 2 B (popolazione livello ecciao). Vediamo il comporameno di quesa funzione. Sudio dell andameno nel empo della popolazione Vediamo il comporameno agli esremi. - per empi brevi, più precisamene per << /(A+2B) (A+2B) <<, possiamo sviluppare in serie l esponenziale (infai in ali ipoesi siamo in un inorno dell origine (l argomeno è piccolo )), e approssimarlo al prim ordine (non all ordine zero, perché in al caso la funzione diverrebbe nulla) :. N B A + 2 B + A + 2 B. N B quello che ha più ineresse fisico è la frazione di aomi ecciai rispeo al numero oale, ossia la popolazione relaiva che è : N. B (popolazione relaiva per empi brevi). Tale quanià dunque dipende linearmene dal empo. - per empi lunghi, più precisamene per si ha che l esponenziale (il cui argomeno è negaivo) va a zero, e dunque ende ad un valore cosane : N. B A + 2 B (popolazione relaiva all equilibrio (saurazione)). l fao che quesa frazione ende ad un valore cosane è deo fenomeno della saurazione. l valore asinoico a cui ende la frazione, una vola raggiuno l equilibrio (valore di saurazione) dipende dall inensià della radiazione. Calcolo alernaivo per la popolazione all equilibrio ( ) Si può oenere il valore di saurazione della frazione della popolazione per alra via, e cioè parendo dal fao che all equilibrio (saurazione) il numero di aomi nel livello 2 è cosane. Uilizzando l equazione differenziale rovaa all inizio, supponendo di rovarsi all equilibrio, e che quindi la popolazione del livello non vari, si rova :

5 5 d d N 2 B A d d 0 A + 2 B + N B da cui si ricava il valore di saurazione : N B A + 2 B. Dipendenza della popolazione all equilibrio dall inensià Ricordiamo innanziuo che l inensià della radiazione eleromagneica è direamene proporzionale alla densià di energia rasporaa : c/n. Vogliamo sudiare il comporameno della popolazione all equilibrio (saurazione) nei due casi esremi di ala e bassa inensià. - bassa inensià (e quindi anche bassa densià di energia) (A >> 2 B ). Possiamo rascurare il ermine 2 B al denominaore (queso è vero per esempio per la radiazione di corpo nero, anche se per il momeno siamo facendo l ipoesi di radiazione monocromaica). n al caso si ha N. B A e dunque, all equilibrio, la frazione di aomi ecciai divena proporzionale all inensià della radiazione. - ala inensià (A << 2 B ). Si ha N. 2 e ciò vuol dire che, all equilibrio, per radiazioni molo inense gli aomi si disribuiscono meà nel livello fondamenale e meà nel livello ecciao. Ribadiamo che la saurazione, cioè una condizione di equilibrio, si oiene comunque a pao di aspeare un empo sufficiene. L inensià della radiazione deermina il valore di equilibrio della frazione di aomi ecciai. Al poso dell inensià possiamo considerare il numero di fooni per modo, o la densià di energia, che sono re quanià legae ra loro. Reinerpreazione della condizione di equilibrio

6 6 La popolazione relaiva all equilibrio (saurazione) è N. B A + 2 B. Facendo qualche passaggio : A + 2 B N B A + 2 B N + B A 2 B + N B + B A N B L esprimere la condizione di saurazione in quesa forma è molo espressivo in quano i due membri di ques uguaglianza hanno un inerpreazione fisica che ora illusriamo. l primo ermine è il numero di ransizioni dal livello 2 al livello per unià di empo (emissione sponanea). A quesa quanià si può dare il significao di numero di eveni che olgono un foone dal fascio di radiazione incidene (dunque se moliplicassi ambo i membri dell equazione per Sω, che è l energia rasporaa da un foone porei parlare di energia soraa al fascio per unià di empo). nfai un emissione sponanea vuol dire che un aomo ha assorbio un foone, porandosi dal livello fondamenale al livello ecciao, per poi dar luogo all emissione sponanea. Ma l emissione sponanea avviene in una direzione qualunque, e dunque c è una probabilià bassissima che il foone sia riemesso sponaneamene nella direzione del fascio incidene. Dunque possiamo concludere che il numero di emissioni sponanee rappresena anche il numero di fooni persi dal fascio. l secondo ermine ha il significao di energia persa dal fascio a causa dei processi indoi, in quano è la differenza ra il numero di assorbimeni indoi meno il numero di emissioni indoe (che avvengono nella sessa direzione del fascio incidene, e dunque sono recuperae ). l numero di emissioni indoe non è uguale al numero di assorbimeni indoi, perché il numero di aomi preseni nei due livelli è diverso. Dunque la condizione di saurazione, cioè la condizione di equilibrio si può inerpreare come la condizione in cui l energia persa per i processi sponanei uguaglia l energia persa per i processi indoi. n alre parole, all equilibrio, i processi indoi resiuiscono al fascio meno energia di quana ne prelevano dal fascio, e queso surplus è smalio dall emissione sponanea, che lo riemee, ma l allonana dal fascio. E dunque all equilibrio l aomo non accumula più energia, ma la sposa semplicemene, andando in pari col bilancio. nerruzione del fascio Se spengo il fascio, i processi indoi vengono meno, e dunque l equazione differenziale divena

7 7 d d A e dunque 0 e A queso andameno mosra come dopo aver speno il fascio incidene, c è un processo di decadimeno sponaneo, con emissione di fooni (fluorescenza). l empo di decadimeno è legao al coefficiene di emissione sponanea A e dunque misurare queso empo è un meodo sperimenale per valuare ale coefficiene. Aenuazione/amplificazione della radiazione Vogliamo sudiare come cambia l inensià della radiazione menre si propaga nella cavià, abbandonando cioè l ipoesi che la cavià sia di dimensioni rascurabili, e quindi che l inensià della radiazione sia la sessa in ua la cavià. Abbandoniamo anche l ipoesi di radiazione monocromaica, con frequenza pari alla frequenza di Bohr della ransizione, e consideriamo invece una cera disribuzione in frequenza della radiazione incidene. Disribuzione della radiazione Per rappresenare la disribuzione in frequenza della radiazione uilizziamo la funzione F(ω), ale che F(ω) dω sia la frazione di radiazione con frequenza compresa ra ω e ω+dω. Abbiamo già parlao della disribuzione in frequenza della radiazione, sia quando (lez.5) dopo aver oenuo le regole di selezione, abbiamo considerao la radiazione incoerene, sia quando (fine lez. 7) usando il modello di ransizione discreo - coninuo, abbiamo ricavao la disribuzione sperale dei fooni. La disribuzione in frequenza della radiazione dovrebbe essere lorenziana, ma poi dovremmo considerare l allargameno Doppler... La funzione F(ω) deve essere normalizzaa. nfai quesa è una disribuzione e vogliamo che inegrando su ue le frequenze si oenga l inensià oale della radiazione. La condizione di normalizzazione è dunque : F ω dω (condizione di normalizzazione della disribuzione della radiazione). Tramie la funzione di disribuzione in frequenza della radiazione possiamo esprimere la disribuzione dell inensià della radiazione (che dipende infai dalla frequenza) : (ω) dω 0 F(ω) dω dove la cosane 0 rappresena l inensià oale della radiazione (inensiàenergia rasporaa dalla radiazione nell unià di empo araverso l unià di superfice).

8 8 n accordo con quano sudiao a proposio della perurbazione armonica di un sisema (vedi ermine risonane), i fenomeni di emissione ed assorbimeno indoi saranno massimi quando il massimo di quesa disribuzione coincide con la frequenza di Bohr della ransizione. Variazione dell inensià della componene monocromaica araverso dz Cerchiamo ora di esprimere la variazione dell inensià di una cera componene monocromaica della radiazione quando araversa un rao dz della cavià. Supponiamo che la radiazione si propaga nella cavià lungo l asse z, e indichiamo con a l area della sezione della cavià perpendicolare alla direzione di propagazione. L inensià della componene monocromaica della radiazione che enra è (ω) dω, menre l inensià della componene monocromaica della radiazione che esce dal rao di spessore dz è ω, P r + M ω, P r M z dz dω. Variazione dell energia della componene monocromaica rispeo a e z Vogliamo valuare quesa quanià in condizioni sazionarie (o di saurazione ). - prima espressione (basaa sulla definizione, e su una descrizione classica della radiazione) Per definizione la quanià in quesione è daa da : M M a dz dω. nfai : (ω) dω è la densià di energia (energia per unià di volume) relaiva alla singola componene monocromaica. Moliplicando quesa quanià per a dz oeniamo l energia rasporaa dalla componene monocromaica della radiazione e conenua nella fea di cavià di spessore dz e perpendicolare alla direzione di propagazione dell onda. Essendo l energia conenua nella fea, quesa quanià rappresena anche la variazione di energia rasporaa dalla componene dell onda, ra la posizione della prima faccia e la posizione della seconda faccia della fea. n alre parole dω a dz rappresena la variazione di energia della componene dell onda rispeo alla variabile spaziale z (propagazione).

9 9 Derivando rispeo al empo oeniamo la variazione desideraa (rispeo a e z). - seconda espressione (basaa sulla condizione di equilibrio, e su una descrizione della radiazione come fascio di fooni) Possiamo calcolare quesa variazione di energia anche in un alro modo, e cioé uilizzando la relazione che c è all equilibrio ra le popolazioni dei due livelli. Ricordiamo ale condizione di saurazione : A S ω N B S ω come osservao in precedenza (vedi) enrambe quese quanià rappresenano la variazione di energia del fascio incidene. n paricolare si raa di energia persa dal fascio. nfai, guardando per esempio il secondo membro (processi indoi), abbiamo il numero di assorbimeni indoi N B, che moliplicao per S ω dà l energia persa dal fascio, menre B S ω è l energia reimmessa nel fascio dalle emissioni indoe. Tuavia quese quanià non esprimono ancora quello che ineressa a noi, in quano rappresenano la variazione di energia di uo il fascio, quando abbia araversao ua la cavià. Per conoscere la variazione di energia di una sola componene monocromaica (radiazione con frequenza compresa ra ω e ω+dω) devo moliplicare per F(ω) dω, quanià che esprime la frazione di radiazione in quesione. nolre, i valori N e esprimono il numero di aomi di ua la cavià che sanno nel livello e 2 rispeivamene, menre la quanià che a noi ineressa riguarda solo la fea di cavià di volume a dz, e dunque, supponendo che la densià del gas sia uniforme, bisogna moliplicare per a dz / V, dove V è il volume di ua la cavià. Dunque, possiamo imposare un equazione uguagliando l espressione della variazione di energia basaa sulla definizione (vedi), con il secondo membro dell ulima equazione scria : M M a dz dω B S ω F ω dω a dz V. Noiamo che al secondo membro abbiamo messo un segno negaivo alla variazione di energia che abbiamo preso dalla condizione di equilibrio, perché abbiamo viso che si raava di energia persa, e dunque di una variazione negaiva. Dividendo ambo i membri per a dz dω oeniamo un equazione differenziale per la densià di energia in funzione del empo : M M S ω F ω B V (variazione della densià rispeo al empo). Possiamo passare dalla variazione della densià di energia rispeo al empo, alla variazione dell inensià rispeo a z.

10 0 nfai possiamo scrivere la relazione M M d E / dx dy dz d d E / dx dy d d z d d z Quesa uguaglianza si oiene semplicemene pensando alle definizioni di densià di energia e di inensià : la densià è l energia conenua nel volume uniario; l inensià è l energia che passa nel empo uniario per la superfice uniaria perpendicolare alla direzione di propagazione, che abbiamo supposo essere z. Dunque M M M M z. Noiamo che quesa relazione è valida solo in condizioni sazionarie, infai è basaa sull espressione dell energia soraa al fascio, che vale appuno in condizioni sazionarie. Ricordando infine che la relazione ra la densià di energia e l inensià dell onda è n c (dove n è l indice di rifrazione del mezzo) sosiuendo quesi risulai nell equazione per la densià di energia M M S ω F ω B V oenua poco sopra (vedi) si ha M z M z F ω B S ω n z (variazione dell inensià rispeo a z). Abbiamo dunque oenuo un equazione differenziale la cui soluzione è la funzione che esprime come varia l inensià della radiazione man mano che si propaga nella cavià, ineragendo col gas. Noiamo che ques equazione è valida solano in condizioni di saurazione, in quano è basaa su una condizione di equilibrio, e dunque le quanià N e che vi compaiono sono i valori delle popolazioni all equilibrio. Osservazioni sull aenuazione/amplificazione Noiamo qui che il segno della variazione di inensià, cioè il fao se la radiazione viene amplificaa o aenuaa araversando la cavià, dipende dai valori di saurazione (equilibrio) di N e. Se N > la derivaa viene negaiva, e dunque si ha un aenuazione. Ma se si riesce ad oenere la cosiddea inversione di popolazione, cioè se all equilibrio ci sono più aomi nel livello ecciao che nel livello fondamenale, si ha un amplificazione della radiazione.

11 Noiamo alresì che se N, condizione che si realizza all equilibrio se l inensià della radiazione è molo (infiniamene) grande, si ha che la variazione di inensià è nulla, cioè la radiazione araversa la cavià senza cambiare inensià. nensià in funzione dello sposameno Vogliamo risolvere l equazione differenziale in (z), e rovare così l espressione dell inensià in funzione dello sposameno. La forma che abbiamo rovao per quesa equazione differenziale è un pò più complicaa di quano sembra, poiché N - è una quanià che dipende da, e dobbiamo dunque espliciare quesa dipendenza. Dapprima scriviamo N + 2 N A queso puno uilizziamo il risulao dello sudio sulla popolazione dei livelli in condizioni di saurazione (cioè all equilibrio), ed in paricolare l espressione di (vedi) oenendo : 2 N B A + 2 B N 2 N B N A 2 N B A + 2 B N A A + 2 B dividendo numeraore e denominaore per A, e ricordando la relazione ra la densià e l inensià si ha N + 2 B n c A. A queso puno possiamo sosiuire quesa espressione nell equazione differenziale : M M z N + 2 B n c A F ω B S ω n + 2 B n c A M M z N F ω B S ω n e, poso c / A c 2 B n z + z c M z M z N F ω B S ω n (forma generale dell equazione per l inensià in funzione dello sposameno).

12 2 Per oenere una forma più leggibile facciamo alcune manipolazioni : poniamo K / N F ω B S ω n. Ricordiamo che quese relazioni riguardano la condizione di saurazione (equilibrio), in quano per arrivare a quese formule abbiamo più vole uilizzao la condizione di equilibrio. Disinguiamo dunque due casi a seconda che l inensià (o la densià di energia) della radiazione sia grande (infinia) o piccola. Noiamo che poichè la ransizione sponanea non dipende da ale inensià, menre le ransizioni indoe vi dipendono, possiamo disinguere quesi due casi anche parlando di ) caso in cui i fenomeni sponanei prevalgono su quelli indoi (come per la radiazione oica o di corpo nero) (bassa inensià, << c e quindi A >> B r) 2) caso in cui i fenomeni indoi prevalgono su quelli sponanei (bassa inensià, >> c e quindi A<<Br) ) bassa inensià Se << c possiamo rascurare il rapporo / c che compare al primo membro, e dunque l equazione divena M M z K la cui soluzione è del ipo z 0 e K z (inensià in funzione di z) che ci dice dunque che per radiazioni ordinarie, cioè non molo inense, la radiazione (all equilibrio) si aenua esponenzialmene araversando la cavià. Dunque in queso caso di bassa inensià, l inensià della radiazione diminuisce (esponenzialmene) man mano che la radiazione si propaga nella cavià. 2) ala inensià Se >> c si ha che nell equazione differenziale per (z) si può rascurare l nella parenesi, oenendo : c M M z K M M z K c.

13 3 negrando ambo i membri rispeo a z si ha la soluzione z 0 K c z. Sosiuendo il valore di K e di c : z 0 N F ω B S ω n c A 2 B n z semplificando e porando l inensià iniziale al primo membro si ha : z 0 N A S ω 2 F ω V z (differenza di inensià in funzione di z) abbiamo l espressione della variazione di energia in funzione del rao percorso. Vediamo che, poiché ue le quanià che compaiono a desra sono posiive, la variazione di inensià è sempre negaiva. Dunque anche in queso caso di ala inensià, l inensià della radiazione diminuisce man mano che la radiazione si propaga nella cavià. Commeni in enrambi i casi, di bassa o ala inensià, la radiazione viene aenuaa propagandosi nella cavià. Noiamo che, poiché siamo in condizioni di saurazione e nell ipoesi di radiazione molo inensa, la quanià N/2 è uguale alla popolazione del livello 2, e dunque possiamo scrivere z 0 A S ω F ω V z dove per considerazioni fae in precedenza (vedi) la quanià in parenesi rappresena l energia persa per unià di volume da ua la radiazione. nroduzione al L.A.S.E.R. (Ligh Amplifier of S imulaed Elecromagneic Radiaion) Tornando indiero alla formula M M z F ω B S ω n quesa esprime la proprieà su cui si basa il funzionameno dei laser. Essa mosra come il segno della variazione di inensià del fascio rispeo al cammino percorso dipende da se la

14 4 popolazione del livello più alo in energia è maggiore o minore di quella del livello più basso rispeivamene. n generale (se non si inerviene dall eserno) si ha < N. Se in qualche modo si riesce ad oenere il conrario, si parla di inversione di popolazione. Per realizzare l inversione di popolazione, lavoreremo con re livelli energeici anzicché due : 2 3 (in quesa figura le frecce singole rappresenano le ransizioni sponanee, che infai sono solo decadimeni, menre la frecce doppie rappresenano le ransizioni indoe, che infai possono avvenire nei due sensi) la radiazione che vogliamo amplificare è quella con frequenza prossima alla frequenza di Bohr dei livelli e 2. La ransizione indoa da 3 a 2, dea pompa oica, serve a popolare il livello 2 e oenere l inversione di popolazione nella coppia -2. Bilancio delle popolazioni Scriviamo ora re equazioni di bilancio di popolazione usando il modello di Einsein (come fao all inizio di queso documeno). Se ci sono solo due livelli, più basso e 2 più alo, abbiamo viso che : d d N dunque nel nosro caso possiamo scrivere : () d d A N + N 3 B 2 3 p (2) d N d + + (3) d N 3 d N + A N 3 B 2 3 p dove e p sono le densià di energia della radiazione da amplificare e della pompa oica rispeivamene, e i coefficieni di Einsein sono idenificai dai pedici. Tre quesioni : - moleplicià Se i livelli hanno moleplicià diverse non è più vero che i coefficieni per l emissione e l assorbimeno indoi sono uguali (cioè ad esempio B 2 ), e dunque occorrerà uilizzare dei faori che pesino in

15 5 maniera diversa i due coefficieni. - popolazioni Noiamo che poiché deve essere N + + N 3 N sommando membro a membro le re equazioni devo oenere zero. nfai la somma delle re derivae è nulla : se alcuni aomi escono da un livello, enrano in un alro. Queso vale sempre, anche lonano dall equilibrio. - componeni monocromaiche Abbiamo parlao di due radiazioni, quella da amplificare e la pompa oica. Possiamo sia pensare che quese due sono due componeni monocromaiche di un unica radiazione che si propaga nella cavià, sia che nella cavià vengono mandae due onde monocromaiche. n enrambi i casi le due onde/componeni hanno come frequenza le due frequenze di Bohr delle due coppie di livelli -2 e 3-2. Fine delle re quesioni All equilibrio (saurazione) i numeri di occupazione sono cosani, le derivae sono nulle, e dunque le (), (2) e (3) cosiuiscono un sisema di re equazioni in re incognie, che è facile risolvere. Tuavia le soluzioni che si oengono hanno una forma difficile da inerpreare, e dunque per oenere una forma più espressiva, inroduciamo una definizione e delle approssimazioni. Definizione velocià di pompaggio rapporo ra il numero di aomi che per ransizione indoa vengono ecciai dal livello 3 al livello 2 (per unià di empo), ed il numero oale di aomi. n alre parole si raa della frazione di aomi che nell unià di empo viene pompaa da 3 a 2. n formula r / B 2 3 p N 3 N. Approssimazioni Poiché in generale N, << N 3, è possibile inrodurre le segueni approssimazioni N 0 N 3 N (noiamo che queso non è in conraddizione col fao che noi vogliamo oenere un inversione di popolazione, infai l inversione di popolazione che vogliamo oenere noi è ra i livelli e 2, menre qui samo approssimando le differenze ra e 3 e ra 2 e 3). Con ali approssimazioni si ha

16 6 B 2 3 p (velocià di pompaggio approssimaa) e dunque in ali ipoesi la velocià di pompaggio è indipendene dalla popolazione dei livelli 3 e 2. Equazioni per N e Come conseguenza delle approssimazioni fae, possiamo scrivere ( -N 3 ) B 2 3 p (0-N) r -N e dunque possiamo approssimare quesa quanià nella (3). n queso modo, all equilibrio, la (2) e la (3) divenano un sisema di due equazioni in due incognie : N + A 2 3 r N sviluppiamo la prima e ricaviamo N N N sosiuendo nella seconda + A 2 3 r N r N + A 2 3 r N r N + A 2 3 e sosiuendo nell espressione di N

17 7 A N 3 r N + A 2 3 (si semplifica la parenesi al numeraore della prima col denominaore della seconda) N r N + A 2 3 e dunque r N + A 2 3 che per semplicià nel seguio conviene riscrivere come r N + + A 2 3 r N + r N A + 3 e, poso c / c n (inensià criica) r N + c (differenza di popolazione ra 2 e ) Quesa è l espressione che ci ineressa, perché esprime proprio la differenza di popolazione dei due livelli, e ci da informazioni sull inversione di popolazione.

18 8 Come vediamo l inversione di popolazione ( > N ) avviene se >, e quesa è dunque la condizione affinché la radiazione sia amplificaa anzicché aenuaa propagandosi nella cavià. Variazione dell inensià rispeo a z Possiamo sosiuire l espressione appena rovaa di - N nell equazione differenziale per l inensià della radiazione in funzione dello sposameno nella cavià. Nel nosro caso, poiché abbiamo più di due livelli, è bene soolineare che si raa dell inensià della porzione di radiazione che ha frequenza circa uguale alla frequenza di Bohr relaiva alla coppia di livelli -2. L equazione in quesione è M M z F ω S ω n e dunque sosiuendo si ha M M z r N + c F ω S ω n + c M M z r N F ω S ω n e, ponendo G / A A 3 2 r N F ω S ω n l equazione divena z + z c M z M z G (equazione per l inensià in funzione di z). A queso puno possiamo inegrare quesa equazione, enendo presene che pur essendo del prim ordine, è non lineare. Dopo averla inegraa in quesa forma (oenendo una soluzione complicaa in forma implicia), la inegreremo anche in approssimazioni di bassa e ala inensià, oenendo delle forme più semplici. negrazione direa negrando ambo i membri oeniamo facilmene la soluzione

19 9 z 0 z ' + z ' c M z ' M z' dz' z 0 G dz z 0 z ' + c M z ' M z' dz' G z + C z 0 z ' M z ' M z' dz' + c z M z ' 0 M z' dz' G z + C z 0 z ' d z ' + c z 0 d z ' G z + C dunque possiamo considerare come variabile di inegrazione (cambio di variabile) : 0 ' d' + c 0 d' G z + C ln z + z c + C G z. Per deerminare la cosane arbiraria poniamo 0 0 da cui ln c C e dunque la soluzione è in generale daa in forma implicia dall espressione ln z 0 + z 0 c G z (inensià in funzione di z (forma implicia)). Calcolo approssimao Come preannunciao inegriamo l equazione nelle due approssimazioni in cui l inensià della radiazione incidene è molo maggiore o molo minore del valore di inensià criica c. - bassa inensià ( << c )

20 20 in queso caso nell equazione per l inensià si può rascurare il ermine / c e dunque l equazione si può approssimare con z M z M z G M z M z G z la cui soluzione è z 0 e G z ((z) per basse inensià) e dunque l inensià della radiazione varia esponenzialmene con l avanzare nella cavià. - ala inensià ( >> c ) n queso caso nella parenesi dell equazione per l inensià in funzione di z si può rascurare il ermine e dunque l equazione si può approssimare con c M z M z G la cui soluzione è z 0 + G c z ((z) per ale inensià) e dunque l inensià della radiazione aumena con legge di poenza (linearmene) con l avanzare nella cavià. Conclusione E per inensià minori dell inensià criica che funziona il laser. nfai, poso che sia realizzaa l inversione di popolazione, cioè che G sia posiivo, e cioè che >, anche se in enrambi i casi abbiamo un amplificazione, per inensià maggiori dell inensià criica l amplificazione è solo lineare rispeo a z, menre per inensià minori, l inensià viene amplificaa esponenzialmene al propagarsi della radiazione nella cavià.