Lezione 11. Le equazioni di Maxwell in forma integrale. I bipoli. J + ε. = d. ρdv V. = Q v. B ds Sγ. E dl >> d. B t ds. B ds S

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1 Lezione 11 Nell esposizione della eoria dei circuii, che abbiamo fin qui presenao, il empo è enrao in maniera veramene marginale. Dovendo raare di correni, quindi di moo di cariche, non si può cero dire che il empo non sia sao per nulla preso in considerazione; ma l aver limiao uo al caso di correni sazionarie ha fao sì che il empo non sia enrao direamene in gioco. Le equazioni di Maxwell in forma inegrale! E ds = 1 S ε 0! E dl = γ! B ds = 0 S S ρdv V B ds = Q v ε 0 E! B dl = µ γ 0 J + ε S 0 ds In quesa lezione cercheremo di esendere la gran pare dei concei che abbiamo sviluppao per il regime sazionario al caso in cui le grandezze in gioco non sono più cosani nel empo. La prima domanda da porsi è se sia possibile anche in regime non sazionario parlare di bipoli. A rigore la risposa è negaiva. Infai in un regime non sazionario non è più possibile parlare di differenza di poenziale, né è lecio assumere che la correne enrane in un morseo di un resisore sia eguale a quella uscene dall'alro: due affermazioni che, come sappiamo, sono alla base della definizione di bipolo. A I1 I bipoli E dl E dl γ 1 = d γ B ds S Quando il campo elerico (e magneico) varia nel empo, il suo inegrale di linea ra due puni dipende dalla linea che si percorre per andare da un puno all alro. Se però la differenza ra i due inegrali è sufficienemene piccola, come indicao dalla relazione in figura, allora poremo ancora parlare di ensione indipendene dal percorso e quindi di d.d.p. S γ n 1 γ I B E dl >> d γ B ds Sγ

2 S γ γ A I1 I B S γ c I bipoli γ c I 1 I = E! ε 0 ds S! B dl = µ 0 J ds γ c B dl µ 0 S γ c! >> ε 0 d " Sγ c E ds Analogamene, la quanià di carica elerica che enra in una superficie chiusa non è necessariamene eguale, isane per isane, alla quanià di carica che ne esce. Ciò compora, nauralmene, che la quanià di carica conenua nella superficie sessa si modifichi nel empo: cresca in un deerminao inervallo di empo per poi diminuire in un inervallo successivo. Se però, anche qui ale differenza è sufficienemene piccola allora poremo ancora rienere valida la prima legge di K. S γ γ A I1 S I B γ c I bipoli E dl >> d γ B dl γ c µ 0 >> ε 0 d B ds Sγ E ds Sγc Per foruna quesi fenomeni sono ano più rilevani quano più grande è la rapidià di variazione nel empo delle grandezze eleriche. Così accade che, se le variazioni sono sufficienemene lene, l'errore che si commee nel rascurare ali fenomeni è sufficienemene piccolo. È queso un enunciao puramene qualiaivo che può lasciare largamene insoddisfai. Si rimanda coloro che fossero ineressai ad una raazione più approfondia del problema alla seconda appendice inegraiva del libro di eso. Le leggi dei circuii Le equazioni di Kirchhoff resano valide anche quando le grandezze variano nel empo. Anche in regime dinamico, dunque, parleremo di differenza di poenziale ai morsei di un resisore e di un unico valore, in ogni isane, della correne che lo araversa; il legame ra quese due grandezze sarà fornio dalla caraerisica del bipolo che scriveremo (convenzione dell uilizzaore) v=i, dove l'uso delle leere minuscole v ed i serve appuno a ricordare, per convenzione, che si raa di grandezze variabili nel empo.

3 Nuovi bipoli lineari i = C dv v = L di In regime dinamico il bipolo resisore non è l'unico bipolo lineare e passivo che possiamo inrodurre; si può pensare, per esempio, ad una relazione di proporzionalià ra correne e derivaa della ensione o ra ensione e derivaa della correne. Essendo l'operaore derivaa lineare, ali caraerisiche saranno anche esse lineari. Siamo cosí porai ad inrodurre due nuove ipi di bipoli. Il condensaore C e l induore L. Le relaive cosani di proporzionalià prendono il nome, rispeivamene, di capacià del condensaore e di induanza, o coefficiene di auoinduzione, dell'induore. Nel Sisema Inernazionale la capacià si misura in farad e l'induanza in henry e sono enrambe definie posiive, se si assume una convenzione dell'uilizzaore sul bipolo. Nuovi bipoli lineari o Si osservi che le caraerisiche dei due nuovi bipoli lineari inrodoi non possono essere descrie, come accadeva per il resisore, in un piano (i,v). È queso solano il riflesso di differenze ben più significaive che vogliamo ora cercare di porre in evidenza. Nuovi bipoli lineari i () = C dv () Nell immagine a lao sono rappresenai gli andameni di ensione e correne in un condensaore per un caso paricolare: si noi che, essendo la correne proporzionale alla derivaa della ensione, essa è nulla dove la ensione ha un massimo o un minimo.

4 Andameno della poenza i () = C dv () D alra pare v, per definizione, è il lavoro svolo per porare una carica uniaria araverso il salo di poenziale pari appuno a v. Per "i" cariche al secondo la poenza, isane per isane, sarà daa dalla espressione indicaa. p( ) = v( )i( ) = v( )C dv = 1 C dv Poenza isananea p( ) = 1 C dv Avendo assuno una convenzione dell'uilizzaore, ale poenza è una poenza assorbia dal bipolo. Dall'andameno nel empo della poenza riporaa in figura si vede che essa è, per alcuni inervalli di empo, negaiva. Ma una poenza assorbia negaiva corrisponde ad una poenza generaa posiiva; queso vuol dire che il condensaore in alcuni inervalli di empo è in grado di fornire poenza ai suoi morsei piuoso che assorbirla. Il comporameno è dunque radicalmene differene da quello del bipolo resisore che invece è solo in grado di assorbire poenza. Energia assorbia Per approfondire ancora l'argomeno proviamo a calcolare l'energia fornia al bipolo in un inervallo di empo ( 0, ). Area soesa ( ) = p w Δ 0

5 Energia assorbia Graficamene ale energia sarà rappresenaa dall area soesa alla curva. Area soesa ( ) = p w 0 = C dv Energia assorbia Area soesa Sviluppando l inegrale si oiene l energia assorbia in quesa forma. Se per esempio scegliamo 0 nell isane in cui v=0, possiamo affermare che l energia assorbia fino all isane, dipende solano dal valore della ensione ai capi del condensaore allo sesso isane ed è, per la precisione, pari a Cv /. ( ) = p w 0 = 1 0 C dv = 1 Cv 0 ( ) 1 ( Cv 0 ) Energia immagazzinaa w( ) = 1 ( Cv ) Una conseguenza immediaa di ale affermazione è che, se il condensaore fino all'isane iniziale 0 ha assorbio una energia nulla (v=0), l'energia che verrà assorbia in un successivo inervallo ( 0,) sarà sempre posiiva (Cv /). In alri ermini un condensaore è in grado di fornire energia ai suoi morsei solano se ale energia è saa assorbia in un inervallo precedene. Si dice che l'energia è saa in precedenza immagazzinaa dal condensaore e per queso moivo essa può successivamene essere resiuia.

6 Passivià w( ) = 1 ( Cv ) ( ) = p w 0 Definizione di passivià in regime dinamico! Per ora limiiamoci a quesa osservazione e noiamo che, non essendo il condensaore in grado di produrre energia elerica, ma solano di immagazzinarla, esso va considerao a ui gli effei un bipolo passivo; il suo comporameno, però, ci consiglia di modificare la definizione fin qui usaa di passivià di un bipolo. Diremo che un bipolo è passivo se l'energia da esso assorbia - convenzione dell'uilizzaore, quindi - dall'origine dei empi (- ) fino ad un qualsiasi isane è non negaiva Condensaore i = C dv Il simbolo grafico che useremo per indicare queso ipo do bipolo è quello mosrao. Con la convenzione dell uilizzaore la cosane C, capacià del condensaore, è definia posiiva, almeno nei limii della nosra raazione. Induore v = L di agionameni analoghi per l induore ci porano a concludere che anche in queso caso c è una energia immagazzinaa, ma quesa vola dipendene dalla correne

7 w Δ Energia assorbia dall induore = 1 0 L di = 1 Li ( ) = p 0 w( ) = 1 ( Li ) ( ) 1 ( Li 0 ) Come effeivamene mosrano quesi passaggi. Il fao che sia l induore che il condensaore abbiano in generale una energia immagazzinaa, ha come conseguenza che essi sono bipoli che, in un cero senso, posseggono una "memoria". In ogni isane il valore di energia da essi posseduo dipende dalla loro soria passaa e condizionerà la loro soria fuura. È dunque una memoria a ui gli effei e vedremo quano ciò condizionerà il loro comporameno dinamico. i = C dv Condensaore C = ε S d d conduore S isolane Sarebbe facile verificare sperimenalmene che un sisema cosiuio da due lamine condurici di superficie S, con inerposo uno srao isolane di spessore d, enro buoni limii delle grandezze in gioco (correni e ensioni) si compora come un condensaore e la sua capacià è daa dalla formula indicaa. la capacià nel Sisema Inernazionale si misura in Farad, Nel S.I. La capacià C si misura in Farad M. Faraday ( ) Dal nome di Michael Faraday.

8 J. Henry ( ) Induore isolane conduore Analogamene si porebbe verificare che un avvolgimeno di N spire di sezione S, avvole su di un supporo isolane, di lunghezza l, si compora come un induore. La sua induanza L è daa dalla formula mosraa. Nel S.I. di misura l induanza si misura in Henry, dal nome dello scienziao J.Henry. v = L di L = SN N spire Nel S.I. l induanza L si misura in Henry sezione S Kirchhoff Assumiamo che in ogni isane le leggi di Kirchhoff siano ancora valide! E un approssimazione ano più valida quano più piccolo è il rapporo β = l ct Pur se con le loro specificià, i bipoli induore e condensaore, se inserii in una ree insieme ad alri bipoli, devono anche loro soosare alle leggi di Kirchhoff: la LKC e la LKT, isane per isane. La conseguenza immediaa di quesa consaazione è che ue le proprieà delle rei che abbiamo pouo dimosrare valide in regime sazionario basandoci sulle sole leggi di Kirchhoff, resano valide, isane per isane, anche in regime dinamico. Fanno eccezione i eoremi di non amplificazione. Possiamo dunque cosruire una ree di bipoli non più solo resisivi, e scrivere per ale ree delle relazioni ra ensioni e correni deae dalle leggi di Kirchhoff. v 1 v i( ) ( ) ( ) Serie di due induori i 1 ( ) v( ) i ( ) v 1 = L 1 di 1 v = L di di v = v 1 + v = L L di = ( L 1 + L ) di L = ( L 1 + L ) esa da vedere come da quese equazioni si giunge alla deerminazione delle grandezze eleriche, ensione e correne, nel loro andameno emporale. Traeremo queso aspeo parendo da casi paricolari esremamene semplici fino a giungere ai casi più complessi. Cominciamo con osservare che non pone alcun problema una ree cosiuia o da soli induori o da soli condensaori. È infai molo facile ricavare regole di equivalenza per i quaro casi indicai negli schemi riporai nelle immagini a lao. Si ha infai per la serie di due induori, che il zipolo risulane è ancora un induore e ha una induanza pari a L 1 +L

9 v 1 v i ( ) ( ) Serie di due condensaori ( ) i 1 = C 1 dv 1 i 1 i ( ) ( ) v ( ) dv i = C dv = dv 1 + dv = i 1 + i 1 = i + 1 C 1 C C 1 C C = C 1 C 1 = C 1 C C 1 + C Per la serie di due condensaori si ha che il zipolo equivalene è ancora un condensaore, ma la sua capacià è daa dal prodoo delle due capacià dei condensaori in serie diviso la loro somma. Parallelo di due induori Cosa analoga accade per il parallelo di due induori. i () v 1 = L 1 di 1 v = L di v 1 i 1 i v di = di 1 + di = v 1 + v 1 = v + 1 L 1 L L 1 L L = L 1 L 1 = L 1L L 1 + L Parallelo di due condensaori Menre per il parallelo di due condensaori si oone facilmene che la capcià risulane è pari alla somma delle due in parallelo. v 1 ( ) i 1 ( ) v i( ) ( ) i ( ) v( ) i 1 = C 1 dv 1 i = C dv dv i 1 + i = C C dv = ( C 1 + C ) dv C = ( C 1 + C )

10 esisore e condensaore in serie i v C Il bipolo risulane non ha una caraerisica nel senso radizionale. i = C d Se = V c = cos. Allora i = 0. Se nella ree sono preseni anche resisori, le cose si complicano. Consideriamo il caso della serie di un condensaore e di un resisore. Se fossimo in regime sazionario, per la presenza del condensaore che non consene il passaggio di una correne sazionaria, la soluzione sarebbe banale: i=0. Se invece le grandezze variano nel empo, divena necessario precisare quando il fenomeno ha inizio. esisore e condensaore in serie i v C Se ensione e correne variano nel empo Allora è necessario precisare l isane iniziale! Come abbiamo viso, infai, i nuovi bipoli inrodoi sono in grado di immagazzinare energia; è evidene, quindi, che il comporameno dell'inero circuio sarà necessariamene condizionao dal livello di energia posseduo all'isane iniziale. In un caso concreo l'isane iniziale è chiaramene definio dalla procedura che si mee in opera per collegare i bipoli. Per esempio, dopo aver collegao il morseo B, collego il morseo A nell isane ecc. ecc. Com'è noo, per effeuare concreamene ali collegameni si uilizzano disposiivi che chiamiamo inerruori. i v Inerruore C Bipolo inerruore = 0 = 0 Conviene a queso puno inrodurre un opporuna idealizzazione di ali disposiivi e, precisamene, un bipolo che abbia la caraerisica di essere del uo simile ad un circuio apero prima di un deerminao isane 0, che viene deo isane di chiusura dell inerruore, e viceversa si compori come un bipolo coro circuio per ui gli isani 0. Ovviamene, dove è possibile, conviene porre 0 = 0, coincidene con l arbiraria origine dei empi! Il bipolo così definio è un inerruore in chiusura; in maniera del uo analoga si porà definire un inerruore in aperura.

11 C in evoluzione libera i C (0) = V 0 = 0 Compleiamo, dunque, il circuio precedenemene preso in considerazione inserendo appuno un bipolo inerruore ideale. Il simbolo è quello mosrao nelle figura, dove la freccia indica chiaramene che si raa di inerruore in chiusura. Noiamo che nella ree non esisono generaori. Queso non vuol dire che la correne in essa sia necessariamene nulla, perché, come abbiamo viso, in generale c'è dell energia immagazzinaa nel condensaore C all'isane iniziale. Fissiamo il livello di ale energia assegnando il valore V 0 che la ensione sul condensaore ha all isane =0. Es. I-1 i C in evoluzione libera = 0 v + v C = 0 C dv C + v C C = 0 v C ( 0) = V 0 i = C dv C v = i = C dv C v C + C dv C = 0 È queso il solo paramero che occorre dare in quano ua la soria passaa del condensaore è racchiusa nella sua energia immagazzinaa all isane considerao; energia che dipende in maniera univoca dal valore della ensione ai suoi capi: w=cv /. Scriviamo ora l equazione che esprime la LKT all unica maglia presene: v +v C =0. Con facili passaggi si giunge all equazione risolvene in forma canonica. dv C Equazioni differenziali + v C C = 0 y + a 0 y( x) = 0 Differenziali; Omogenee; Lineari; A coefficieni cosani. y n + a n 1 y n 1 + a n y n a 1 y + a 0 y = 0 L equazione in quesione è una equazione differenziale ordinaria, omogenea, lineare, del primo ordine, a coefficieni cosani nella incognia v C (). È una equazione differenziale, perché l'incognia compare con le sue derivae; ordinaria, perché ali derivae sono appuno ordinarie e non parziali; omogenea, perché non vi compare un ermine indipendene dalla incognia a secondo membro; del primo ordine, perché queso è il massimo ordine di derivazione presene; a coefficieni cosani, infine, perché i coefficieni dei vari ermini non sono funzioni del empo. Il caso più generale è quello di una equazione di ordine n, dove abbiamo scelo di indicare con la leera x la variabile indipendene e con la y la funzione incognia.

12 dv C y 0 (x) Primo ordine + v C C = 0 y + a 0 y( x) = 0 y = a 0 y( x) ky 0 (x) y Un classico capiolo dell'analisi Maemaica ci fornisce una meodologia del uo generale per la sua soluzione; proviamo a ricordare, sineicamene, le basi su cui ale meodologia si fonda. Cominciamo con l'equazione di primo ordine e osserviamo che se y 1 (x) è una soluzione dell'equazione, allora anche y (x)=ky 1 (x), dove k è una cosane arbiraria, è soluzione della sessa equazione. Queso vuol dire che non esise una unica soluzione, bensì una famiglia di soluzioni che differiscono per una cosane moliplicaiva. Vedremo subio che ale famiglia comprende anche ue le soluzioni possibili. x y ( x 0 ) = a 0 y( x 0 ) ( ) = a 0 ( ) y x 0. Nel piano (x,y) y x 0 y ( n) ( x 0 ) = a 0 y ( n 1) ( x 0 ) y y(x 0 ) y + a 0 y( x 0 ) = 0 y + a 0 y x 0 ( ) = 0 Possiamo immaginare di rappresenare ue le soluzioni dell'equazione nel piano (x,y) oenendo così una famiglia di curve. È facile rendersi cono che ali curve non possono inersecarsi; infai, se due curve avessero un puno in comune, in quel puno esse dovrebbero avere in comune anche la derivaa prima, come si deduce immediaamene perché la nosra equazione mee in relazione il valore della funzione in un puno con quello della sua derivaa nello sesso puno. x 0 x Derivae successive nel puno y ( x 0 ) = a 0 y( x 0 ) ( ) = a 0 y ( x 0 ) ( ) = a 0 ( ) y x 0 y x 0. y x 0 y ( n) ( x 0 ) = a 0 y ( n 1) ( x 0 ) y ( x 0 ) = a 0 y( x 0 ) y ( x 0 ) = a 3 0 y( x 0 ). y ( n) ( x 0 ) = ( a 0 ) n y( x 0 ) Derivando poi l'equazione si vede immediaamene che un ale ragionameno è esendibile alle derivae di ordine superiore: se è noa la derivaa prima in un puno è noa anche la derivaa seconda nello sesso puno. Si noi che uo ciò è possibile in quano il coefficiene a 0 è cosane! In definiiva si conclude che se due soluzioni avessero un puno in comune, nella rappresenazione nel piano (x,y), esse dovrebbero avere anche ue le derivae in comune in quel puno, e quindi dovrebbero essere coincideni.

13 y( x) = Sviluppo in serie di Taylor ( ) ( ) n = y( x 0 ) y ( n) x 0 x x 0 n! n=0 = y( x 0 )e a 0( x x 0 ) y ( n) ( x 0 ) = ( a 0 ) n y( x 0 ) ( ) n ( ) n a 0 x x 0 n! n=0 y( x) = ke a 0( x x 0 ) Le osservazioni fae porano a due uleriori conclusioni. In primo luogo, per individuare una sola soluzione all'inerno della famiglia di soluzioni, basa fissare il valore che essa assume in un puno, diciamo x 0. In secondo luogo, poiché se è noo il valore in x 0 sono noi i valori di ue le derivae nello sesso puno, è possibile esprimere la soluzione cercaa soo forma di uno sviluppo in serie di poenze di puno iniziale x 0. Un osservaore aeno avrà riconosciuo che lo sviluppo oenuo è quello dell'esponenziale Equazione caraerisica y ( x 0 ) + a 0 y( x 0 ) = 0 y( x) = ke a 0( x x 0 ) y( x) = ke α x k( αe α x + a 0 e α x ) = 0 α = a 0 y ( x 0 ) = a 0 y( x 0 ) Abbiamo dunque deerminao la soluzione dell'equazione, araverso un suo sviluppo in serie; proviamo a rirovare lo sesso risulao guardando le cose da un alro puno di visa. Supponiamo che qualcuno ci abbia suggerio ax che la soluzione debba essere del ipo ke. L'ipoesi non è poi ano peregrina: la sessa forma dell equazione ci dice che la sua soluzione deve avere una derivaa che coincida, a meno di una cosane moliplicaiva, con la soluzione sessa. È immediao pensare alla funzione esponenziale! Volendo deerminare a basa sosiuire la soluzione ipoizzaa nell'equazione ed oenere a = - a 0. L'equazione a + a 0 = 0, prende il nome di equazione caraerisica della equazione di parenza. i C in evoluzione libera = 0 a 0 = 1 C C v C (0) = V 0 dv C + v C C = 0 ( ) = ke T T = C v C ( 0) = k = V 0 v C ( ) = V 0 e T Proviamo ad applicare quesa ecnica all'equazione del nosro circuio. In primo luogo l equazione caraerisica, la cui soluzione è a = - 1/C. -/T L inegrale generale sarà dunque v C ()=ke. La soluzione dipende da una cosane arbiraria; il che è naurale perché non abbiamo ancora imposo la condizione che il condensaore all'isane iniziale abbia la ensione V 0. Imponendo ale condizione si oiene il risulao cercao. Es. I-1

14 i C in evoluzione libera = 0 a 0 = 1 C i( ) = C dv C C v C La correne (0) = V 0 dv C ( ) = V 0 e T = C T V 0e T = 1 V 0e T + v C C = 0 T = C Es. I-1 La cosane di empo T = C, che caraerizza il decadimeno della ensione sul condensaore, ha una ineressane inerpreazione geomerica. Se si considera infai la angene alla curva che rappresena l'andameno della ensione nel puno = 0, e la si prolunga fino ad inersecare l'asse dei empi, si verifica facilmene che ale inersezione individua un inervallo di empo pari a T. Si noi che, a causa dell'andameno esponenziale, il valore finale è raggiuno, a rigore, solo dopo un empo infinio. In praica, però, dopo un empo pari ad alcune vole la cosane di empo, il valore della ensione è già molo vicino a quello finale; -3 per = 3T, per esempio, si ha v C (3T) = V 0 e = 0,05V 0. icordando che i= C dvc/ si calcola anche la correne.: i = V 0 Energia dissipaa durane la scarica = 0 C W = i = V e T 0 = V 0 T e T e x 0 (0) = V 0 i( ) = V 0 T e dx = 1 CV 0 = Siamo ora in grado di effeuare una verifica molo ineressane: il risulao rovao ci dice che la ree è sede di una correne che, parendo dal valore - V 0 /, va a 0 con legge esponenziale. Dao che la correne i araversa una resisenza, essa produrrà una dissipazione di energia che possiamo calcolare, oenendo W=CV 0 /. Cioè l energia dissipaa nel resisore da =0, inizio del fenomeno, a =, è pari a quella inizialmene immagazzinaa nel condensaore, a conferma del fao che ale energia era effeivamene immagazzinaa nel condensaore all isane =0. iepilogo della Lezione Bipoli in regime dinamico ; Condensaori ed induori; Energia immagazzinaa; Serie e parallelo di L e C; Serie di e C ; Bipolo inerruore; Equazione risolvene; Equazioni differenziali; Scarica di C ed energia dissipaa;