Esercizi di Combinatoria

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1 Esercizi di Combiatoria Daiele A. Gewurz (Gli esercizi cotrassegati co l asterisco (*) soo u po più difficili.) 1. Dimostrare le segueti idetità i modo combiatorio e, dove ha seso, ache i modo algebrico (usado la formula per il biomiale) o co il teorema biomiale (x + y) = i=0 ( i) x i y i. (a) 2 = 2 ( 2) + (suggerimeto: si cotio i due modi gli elemeti di [] []); (b) 3 = 6 ( ( 3) + 6 2) + ; (c) k ( ) ( k = 1 ) k 1 (sugg.: si cotio i due modi le possibili scelte, all itero di u isieme di persoe, di u comitato di k persoe tra cui ua è scelta come presidete); (d) ( k=1 k) k = 2 1 ; (e) ( k ( k)( 2) = )( 2 2 k 2) per k iteri positivi; (f) ( k ( k)( i) = )( i i k i) per i k iteri positivi (idetità di Newto); (g) ( k=0 k) = 2 ; (h) ( k pari k) = 2 1, ( k dispari k) = 2 1 ; dedure che k=0 ( 1)k( k) = 0; (i) ( ) +k+1 k ( k = +i ) i=0 i (sugg.: dei k-sottoisiemi di [ + k + 1], `+k k o icludoo 1, `+k 1 k 1 icludoo 1 ma o 2....). 2. Dimostrare che, se p è u umero primo, allora p è u divisore di ( p k) per k = 1, 2,..., p Quati soo i umeri iteri compresi tra e (iclusi) i cui ogi cifra è maggiore di quella alla sua destra? 4. (a) Che probabilità c è che u mao el gioco del poker (cioè carte scelte a caso tra le 2 di u mazzo di carte fracesi 1 ) cotega esattamete i assi, per i = 0, 1, 2, 3, 4,? (Sugg.: Calcolare quate soo le possibili mai, quate le mai seza assi etc. e dividere.) 1 I alcue variati o si gioca co tutte le carte del mazzo, ma ad esempio solo co quelle dal 6 o dal 7 di ogi seme. Come cambiao le probabilità? È più facile o più difficile otteere u poker? 1

2 (b) Dimostrare l uguagliaza ( ) m + = r r k=0 ( )( ) m k r k e capire che esso c è co il puto precedete. (Questa uguagliaza è detta talvolta idetità di Vadermode o di covoluzioe.) (c) Calcolare qual è la probabilità che la mao cotega u poker (quattro delle carte hao uguale valore umerico) o u full (due carte di uguale valore umerico e le altre tre a loro volta di uguale valore umerico; ad esempio, tre assi e due re). (d) All iizio di ua partita di bridge, le 2 carte del mazzo vegoo distribuite a caso i parti uguali tra 4 giocatori, idicati covezioalmete come Nord, Sud, Est e Ovest; ua distribuzioe è detta smazzata. Qual è la probabilità che la mao di Nord cotega i 4 assi? Qual è la probabilità che sia composta di carte tutte dello stesso seme? Che sia composta di carte tutte di picche?. I quati modi si possoo mettere 8 pallie (idistiguibili) i tre scatole di cui ua gialla, ua rossa e ua blu? E se si richiede che i ogi scatola debba esserci almeo ua pallia? Se si richiede che ella scatola gialla debbao esserci almeo 4 pallie? Se si richiede che ella scatola gialla debbao esserci al più 4 pallie? 6. (a) Abbiamo a disposizioe (ifiite) mele, pere e pesche. I quati modi possiamo scegliere dieci frutti? E voledoe predere almeo uo per tipo? (b) Quate soluzioi ha l equazioe x 1 + x 2 + x 3 = 10 per x i iteri, x i 0? E per x i iteri, x i 1? 7. Quate soo le strighe a 1 a 2 a 3 a 4 a di lughezza sull alfabeto {1, 2,..., 8} tali che: (a) vi compaiao esattamete 3 simboli diversi? (b) u simbolo compaia tre volte e altri due oguo ua volta? (c) siao palidrome (cioè a i = a i per ogi i)? (d) icludao cosecutivamete la sottostriga 123? (Sol. di 7a: più i geerale, dato u alfabeto di r simboli, sia N(, r) il umero di strighe lughe i cui oguo degli r simboli compare almeo ua volta. Si ha quidi che N(, 1) = 1 e, per 1 < r, N(, r) = r P r 1 `r i=1 i N(, i), cioè tutte le strighe di lughezza r, meo quelle i cui compaioo esattamete 1, 2,..., r 1 caratteri distiti, scelti i tutti i modi possibili tra gli r complessivi. Quidi N(, 2) = 2 2N(, 1) = 2 2 e N(,3) = 3 3N(, 1) 3N(, 2) = 3 3 3(2 2). Nel ostro caso, possiamo scegliere i `8 3 modi u sottoalfabeto di 3 simboli fra gli 8 a disposizioe; la risposta è quidi `8 3 N(, 3) = 6 10.) 2

3 8. Qual è la permutazioe di {1, 2,..., 7} la cui tavola di iversioi è 1, 4, 3, 3, 0, 1, 0? E quale permutazioe si ottiee cosiderado 1, 4, 3, 3, 0, 1, 0 come codice di Lehmer? 9. Dimostrare le segueti proprietà dei coefficieti multiomiali: (a) ( ) ( )( ) r1 =... r 1,...,r k (b) (c) r 1 (r 1,...,r k ) r 2 ( ) = k, r 1,...,r k ( r1 r k 1 dove la somma è su tutte le k-ple tali che r i = ; (r 1,...,r k ) ( r 1,..., r k ) r k ( 1) r2+r4+r6+... = 1 ( 1)k Quati diversi aagrammi ammettoo le parole che seguoo? (Si ricordi che u aagramma di ua parola è ua parola composta dalle stesse lettere: ad esempio, ATTORE è u aagramma di TEATRO. Qui o si richiede che le parole aagrammate abbiao seso compiuto.) (a) COMPUTER; (b) MAMMA; (c) ABRACADABRA. 11. Dimostrare che, per ogi, (3)! è divisibile per 2 3. (Sugg.: Bisoga cioè dimostrare che (3)!/2 3 è u itero. Spesso si può dimostrare che u umero è itero mostrado u isieme di cui quel umero è la cardialità.) 12. Giochi (a) Nel SuperEalotto bisoga proosticare sei umeri distiti compresi tra 1 e 90. Quate soo le possibili sestie? (b) Quate soo le diverse smazzate possibili el bridge? (Cioè, quate soo le applicazioi da [2] a [4] tale che ogi elemeto di [4] abbia esattamete 13 cotroimmagii?) (c) Quate soo le posizioi possibili dopo quattro mosse (due per ogi giocatore) i ua partita di filetto (o zero e croci )? (Oguo dei due giocatori, al suo turo, mette il proprio sego su ua delle ove caselle.) 13. Qual è il coefficiete di a 3 bcd 2 i (a + b + c +d) 7? E i (2a b+c 3d) 7? ) ; 3

4 14. Qual è l albero il cui coefficiete di Prüfer è (2, 8, 6, 3, 1, 2)? E (4, 4, 4, 3, 7, 3)? E (1, 2, 3, 4, )? 1. Quati soo gli alberi etichettati su 9 vertici che hao u vertice di grado 4 e tutti gli altri vertici di grado 1 o 2? (Sugg.: Per la corrispodeza di Prüfer ce è lo stesso umero delle strighe lughe...tali che...) 16. Qual è il codice di Prüfer associato all albero che segue, se l ordiameto dato alle lettere è quello alfabetico (A<B<C<...)? A C L U I N B F E H M O D G P 17. (*) Mostrare che c è ua corrispodeza biuivoca tra l isieme degli alberi etichettati su vertici e l isieme delle foreste etichettate su 1 vertici, ogi cui compoete coessa ha ua radice. 18. Dimostrare che i ogi grafo esistoo almeo due vertici che hao lo stesso grado. 19. Suppoiamo che a ua cea i commesali siao seduti a u tavolo rotodo. Se vi soo dei segaposto co scritti i loro omi, e essuo è seduto davati al proprio ome, è possibile ruotare il tavolo i modo che almeo due persoe siao sedute davati al proprio ome? 20. Coloriamo i puti del piao co due colori; dimostrare che esiste u rettagolo coi vertici dello stesso colore. 21. Dimostrare co il pricipio dei cassetti che comuque si scelgao + 1 iteri distiti compresi tra 1 e 2: (a) ce e soo due cosecutivi; 4

5 (b) ce e soo due la cui somma è 2 + 1; (c) ce e soo due primi tra loro (cioè il cui M.C.D. è 1); (d) (*) ce e soo due uo dei quali è multiplo dell altro (sugg.: ogi itero è della forma 2 k h co k 0 e h dispari; allora, per ogi itero dispari h, si può defiire u cassetto che...). 22. U uomo ha i u cassetto molti calzii blu, molti rossi e molti biachi, e e deve estrarre alcui al buio. Qual è il umero miimo di calzii che deve predere per essere certo di avere u paio dello stesso colore? E per avere tre paia dello stesso colore? Ha ache 20 camicie, di cui 4 rosa, 7 biache e 9 azzurre e cotiua ad agire al buio. Quate camicie dovrà estrarre, al miimo, per avere sicuramete 4 dello stesso colore? E per avere, 6, 7, 8, 9? 23. (*) Dimostrare che data comuque u -pla di iteri (x 1, x 2,...,x ), se e possoo trovare k cosecutivi (k > 0) tali che la loro somma è divisibile per. (Sugg.: Sia s i = x 1 + x x i (i = 1,2,..., ); se qualche s i è divisibile per, abbiamo fiito. Se o, quati resti possibili ci soo ella divisioe per? Come si può applicare il pricipio dei cassetti?) 24. (*) [Teorema di Erdős-Szekeres] Sia A = (a 1,..., a ) ua successioe di umeri reali distiti. Se sr +1 allora A cotiee ua sottosuccessioe crescete di s+1 termii o ua sottosuccessioe decrescete di r+1 termii (o etrambe). (Sugg.: per ogi a i, si cosideri la coppia di umeri (x i, y i), dove x i è la lughezza della più luga sottosuccessioe crescete che fiisce co a i, e y i quella della più luga sottosuccessioe decrescete che comicia co a i. Ci iteressao sr di queste coppie (x i, y i)...) 2. (*) [Lemma di Sperer sulle triagolazioi] Si cosideri u triagolo e se e dia ua triagolazioe (cioè lo si suddivida i regioi triagolari). Ai vertici del grafo così otteuto si attribuiscao le etichette 0, 1 e 2 i u modo qualsiasi, co le segueti restrizioi: ai tre vertici del triagolo origiario si diao tre etichette diverse, e ai vertici che si trovao lugo u lato del triagolo origiario si diao etichette comprese tra le due degli estremi (ad esempio, solo 0 o 2 lugo il lato di estremi 0 e 2). Sulle etichette dei vertici iteri o ci soo restrizioi. Allora almeo uo dei triagoli della triagolazioe ha le tre diverse etichette sui vertici. (Sugg.: Si cosideri il grafo co u vertice per ogi regioe della triagolazioe, compreso l estero, e u arco per ogi coppia di vertici corrispodeti a due regioi che cofiao per u lato cotrassegato co 0 e 1; si cosiderio i vertici di grado dispari di questo grafo.)

6 26. Si abbiao caramelle di 8 colori diversi, 20 di ogi colore. Si dimostri che, comuque vegoo ripartite i sei scatole, i almeo ua scatola ci soo almeo due coppie di caramelle tali che le caramelle di ogi coppia soo dello stesso colore e i due colori soo diversi (ad esempio: {rossa, rossa}, {blu, blu}). (Sugg.: si applichi il pricipio dei cassetti cosiderado le scatole come cassetti sia rispetto a tutte le caramelle di uo stesso colore che ai colori.) Qual è il miimo umero di colori e di caramelle per colore per cui cotiua a valere questa proprietà? 27. Trovare ua famiglia di tre sottoisiemi di [3] che ha esattamete 3 sistemi di rappresetati distiti e ua che e ha esattamete (*) Dimostrare che se A =, F è ua famiglia di m suoi sottoisiemi (m ) tutti co la stessa cardialità r e tale che ogi elemeto appartiee allo stesso umero d di essi, allora F soddisfa la codizioe di Hall. 29. [Piao di Fao] Quati SRD ha la famiglia F = ({1, 2, 4}, {2, 3, }, {3, 4, 6}, {4,, 7}, {1,, 6}, {2, 6, 7}, {1, 3, 7})? (Risposta: Ne ha 24, ma per dimostrarlo bisoga distiguere alcui casi e sfruttare la simmetria della famiglia: ogi elemeto compare i esattamete 3 sottoisiemi, dati due elemeti compaioo isieme i esattamete u sottoisieme...) 30. Dimostrare che se F = (A 1,..., A ) è ua famiglia di sottoisiemi di [] e la matrice di icideza di F è ivertibile, allora F ammette u SRD. 6

7 31. Si cosideri il grafo bipartito G i figura. V 1 V 2 a f b g c h d i e j Verifica la codizioe di Hall (da V 1 a V 2 )? Ammette u matchig completo da V 1 a V 2? Partedo dal matchig iiziale M = {ah, cg, ei}, trovare u matchig massimo di G, utilizzado il metodo dei cammii alterati. 32. [Algoritmo per matchig su matrici 0-1] Ci si covica che il seguete algoritmo, dato u isieme idipedete di 1 i ua matrice di 0 e 1, e trova uo più grade. Si tratta del corrispodete per le matrici del procedimeto dei cammii alterati: il passo ) corrispode all aver trovato u cammio alterate e cambiare di status i suoi archi. Dato iiziale: ua matrice M di 0 e 1 e u suo isieme idipedete I di 1. 1) cerchiare gli 1 i I ed etichettare co * le righe prive di 1 cerchiati; 2) per ogi riga i appea etichettata etichettare co i le coloe co 1 o cerchiati ella riga i; 3) per ogi coloa j appea etichettata etichettare co j le righe co 1 cerchiati ella coloa j; se o ci soo 1 cerchiati, adare al passo ); 4) se al passo 3) si soo etichettate uove righe, adare al passo 2); se o, gli 1 cerchiati formao u isieme idipedete massimo, e le righe o etichettate e le coloe etichettate formao u isieme miimale di liee che ell isieme cotegoo tutti gli 1; ) ell ultima coloa j 0 cosiderata, cerchiare gli 1 ella riga i 1 (etichetta della coloa j 0); ella riga i 1 togliere il cerchio dall 1 ella coloa j 1 (etichetta della riga i 1); ella coloa j 1 cerchiare gli 1 ella riga i 2 (etichetta della coloa j 1); e così via fiché si raggiuge ua riga etichettata co *. 7

8 Applicare l algoritmo alla matrice partedo dall isieme idipedete composto dagli 1 elle posizioi (1,1), (3,6), (4,4) e (,3). 33. Cique comitati, C 1 = {a, c, e}, C 2 = {b, c}, C 3 = {a, b, d}, C 4 = {d, e, f}, C = {e, f}, devoo madare oguo u diverso rappresetate a u assemblea. C 1 vuole iviare e, C 2 vuole b, C 3 vuole a e C 4 vuole f. (a) È possibile soddisfare tutte le richieste? (b) A partire dall isieme dei quattro rappresetati idicati, costruire u SRD rappresetado la situazioe co u grafo bipartito e applicado il metodo dei cammii alterati. (c) È possibile soddisfare le richieste dei soli C 2, C 3 e C 4, se C 1 riucia alla propria? 34. [ Bottleeck assigmet problem ] A sei dipedeti di ua ditta devoo essere assegati altrettati icarichi. La matrice M che segue idica quato ogi persoa è adatta a oguo degli icarichi: a u umero più alto corrispode ua maggior attitudie. icarichi persoe Si vuole assegare u icarico a ogi persoa i modo da scegliere l assegazioe che massimizzi l attitudie della persoa meo adatta all icarico a cui è assegata. (Sugg.: dare u assegazioe qualsiasi, idividuare l attitudie miima a i questa assegazioe e defiire ua matrice co 1 elle posizioi i cui i M compare u valore maggiore di a, e 0 altrove. U isieme idipedete di 1 i questa uova matrice corrispode...) 3. Completare la seguete matrice i modo da rederla bistocastica ed esprimerla come combiazioe covessa di matrici di permutazioi:... 4/ /3. 2/9... /18 8

9 36. Sia data la seguete rete co le capacità idicate. 2 a d s b e t c f 2 Trovare u flusso che abbia valore massimo e u taglio che abbia valore miimo col metodo dei cammii aumetati, partedo: a) dal flusso iiziale che vale 0 su ogi arco; b) dal flusso iiziale che vale 1 su ogi arco trae ec, bf e db. 37. U idustriale produce merce elle due fabbriche F 1 e F 2 e le vede elle tre città C 1, C 2 e C 3, trasportadole lugo la rete di trasporti qui disegata, i cui ogi tratto è cotrassegato co la quatità di merce che può trasportare (capacità). È possibile far arrivare alle tre città, complessivamete, 26 uità di merce? a C F 1 6 d 6 b 4 C 2 F 2 e c C 3 (Sugg.: Coviee cosiderare la rete co due vertici aggiutivi: ua sorgete s co archi usceti verso F 1 e verso F 2, e u pozzo t co archi etrati da C 1, C 2 e C 3, assegado ai uovi archi capacità ifiita.) 9

10 38. Data ua qualsiasi famiglia F di sottoisiemi di [], trovare ua sottofamiglia di F che sia di Sperer. (Sugg.: Oltre alle possibilità baali (sottofamiglia vuota o coteete u solo isieme), si può predere la sottofamiglia costituita da tutti i sottoisiemi massimali di F (cioè quegli S F tali che se T F e T S, allora T = S), oppure da tutti i miimali. Perché?) 39. Dare u esempio di famiglia di sottoisiemi di [] che, pur verificado la disuguagliaza LYM, o sia u aticatea (cioè o sia di Sperer). Ultimo aggiorameto: