Successioni e serie di funzioni

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1 Capitolo Successioi e serie di fuzioi Covergeza putuale ed uiforme Ultimo aggiorameto: 8 febbraio 27 Differeza tra covergeza putuale ed uiforme: Si suppoga di avere ua successioe di fuzioi f : D R tali che lim f (x) = f(x). Ci chiediamo se il limite è ache uiforme: dovrei avere che lim sup f (x) f(x) = x D il che è equivalete a dire che (per defiizioe di limite) per ogi ɛ > esiste N = N(ɛ) tale che per ogi N si ha f f L (D) := sup f (x) f(x) < ɛ. x D Se o ci sarà ambiguità sull isieme di defiizioe scriveremo semplicemete f f aziché f f L (D). Si veda la Figura. per avere u idea dal puto di vista grafico: la curva i eretto rappreseta il grafico della fuzioe limite f, i putii i grafici di f +ɛ e f ɛ, la curva tratteggiata il grafico di ua possibile f co N(ɛ). Cosiderazioi geerali: o esiste u metodo geerale (cioè u modo meccaico che valga i ogi situazioe) per studiare la covergeza uiforme. La prima osservazioe che va fatta è che, se f : D R covergoo putualmete ad f i D, il cadidato ad essere il limite uiforme è f. La

2 Figura.: secoda è che lo studio ha come icogita l isieme (o gli isiemi) sul quale (o sui quali) f coverge uiformemete. La domada da porsi è quidi: su quali isiemi A D vale lim sup f (x) f(x) =? Chiaramete se f f uiformemete su tutto D covergerà uiformemete ache su tutti i sottoisiemi A di D. U modo per cercare l estremo superiore di f f (dove f è il limite putuale di f ) se f e f soo di classe C è di comiciare risolvedo l equazioe d dx (f (x) f(x)) = e cosiderado i puti critici di f f: si faccia attezioe che il miimo, se c è, di f f potrebbe essere il massimo di f f. Questo però è u modo e comuque o sempre forisce l estremo superiore (ad esempio il sup potrebbe o essere u massimo, il massimo potrebbe essere assuto agli estremi ecc.). I geerale è spesso utile ituire il comportameto della successioe di cui bisoga studiare la covergeza. U cosiglio è quidi quello di studiare qualitativamete, se possibile, il grafico delle fuzioi f. x A Esercizio. - Studiare la covergeza putuale ed uiforme della successioe di fuzioi f : [, ] R, f (x) = x 2 + Esercizio.2 - Studiare covergeza putuale ed uiforme della successioe di fuzioi f (x) = arctg (x), N, defiite i D = R. 2

3 Esercizio.3 - Studiare la covergeza putuale ed uiforme della successioe di fuzioi f : R R, f (x) = x + x 2 + Esercizio.4 - Studiare covergeza putuale ed uiforme di f (x) = x( x) log i [, ]. Esercizio.5 - Studiare covergeza putuale ed uiforme di f : [, ] x R, f (x) = + 2 x 2. Esercizio.6 - Si studio la covergeza putuale ed uiforme delle fuzioi e si dimostri che x2 f (x) = x + lim per x [, + ) f (x) se (x)dx =. Esercizio.7 - Si studio la covergeza putuale ed uiforme delle fuzioi f (x) = α x( x 2 ) per x [, ] (α > ) e si calcoli lim f (x)dx. Esercizio.8 - Si studio la covergeza putuale ed uiforme delle fuzioi f (x) = ( + se 2 x) per x [, π] e si calcoli lim π f (x)dx. Esercizio.9 - Si studi la covergeza putuale ed uiforme i [, ] della successioe di fuzioi f (x) = log( + x/). Esercizio. - Si studi la covergeza putuale ed uiforme i R della successioe di fuzioi f (x) = x 3 t 2 + dt.

4 Serie di Fuzioi Ua serie di fuzioi f è ua speciale successioe di fuzioi {g N } N dove g N (x) = N f (x). Ricordo: per le serie di fuzioi si ha che cov. totale su A = cov. uiforme su A = cov. putuale su A. No ci soo molti criteri i geerale per studiare la covergeza uiforme: i geerale, e quidi i particolare se si ha ua serie a termii tutti positivi (o tutti egativi), ua strategia possibile è studiare prima la covergeza totale della serie, ma questo o garatisce di trovare tutti gli isiemi i cui vi è covergeza uiforme! (si vedao, ad esempio, gli esercizi.5 e.7), quado si ha ua serie a segi alteri si può sfruttare il criterio di Leibiz. Per quato riguarda lo studio della covergeza totale: chiaramete la miglior costate che cotrolla su u isieme A il valore assoluto di f (x) è sup A f (x). Quidi per studiare la covergeza totale su A di f coviee, se si riesce a calcolare l estremo superiore di f, studiare la serie sup f (x). x A No sempre però coviee calcolare l estremo superiore e ci si può accotetare di ua stima (si veda, ad esempio, la soluzioe dell Esercizio.6) o o sempre si riesce a calcolare tale estremo superiore (si veda, ad esempio, la soluzioe dell Esercizio.4) Esercizio. - Studiare la covergeza della serie x ( + x). Esercizio.2 - Studiare la serie di f(x)x co f cotiua. Esercizio.3 - Studiare la covergeza della serie x + 2 x

5 Esercizio.4 - Studiare la covergeza della serie x + x log. Esercizio.5 - Studiare la covergeza della serie ( ) log( + x 2 ). =2 Esercizio.6 - Studiare la covergeza della serie x + x 2. Esercizio.7 - Si cosideri la successioe di fuzioi { se x x [( )π, π] f (x) = altrimeti. Studiare la covergeza della serie f (x). Esercizio.8 - Studiare la covergeza della serie Esercizio.9 - Studiare la covergeza della serie Esercizio.2 - Studiare la covergeza della serie x R. x e x. x, x R. ( ) se x + 2, Esercizio.2 - Studiare la covergeza della serie (log ) x, x R. Esercizio.22 - Studiare la covergeza della seguete serie e calcolare la somma: ( x + ) ( 3). x 5

6 Esercizio.23 - Studiare la covergeza della serie e calcolare la somma. ( ) x+ x Esercizio.24 - Si determiio gli isiemi di R 2 ei quali vi è covergeze semplice, uiforme e totale della serie Serie di poteze arctg (x ) + 2. y Ricordo: le serie di poteze soo particolari serie di fuzioi della forma a (x x ). Il raggio di covergeza di a x è dato da ρ = lim a / se tale limite esiste (si vedao le dispese di teoria per la defiizioe di raggio di covergeza e l Esercizio.45 per u esempio i cui il limite o esiste). Esercizio.25 - Studiare la covergeza della serie e calcolare la somma. cofrotarle co la precedete. 3 x Studiare poi le serie 3 x e Esercizio.26 - Studiare la covergeza della serie di poteze 2 3 x e α + e α al variare del parametro α R. x 6

7 Esercizio.27 - Sviluppare i serie di Taylor i x = la fuzioe f(x) = e x e studiare la covergeza. Esercizio.28 - Calcolare lo sviluppo di Taylor el puto x = della fuzioe log x e calcolare il valore della serie ( )+. Esercizio.29 - Studiare la covergeza e calcolare la somma (ove coverge) della serie x + 2 ( + x 2 ). Esercizio.3 - Studiare il comportameto della serie! x. Esercizio.3 - Sviluppare i serie di Taylor i x = la fuzioe f(x) = arctg x e studiare la covergeza. Esercizio.32 - Calcolare gli sviluppi di seo e coseo i x =. Esercizio.33 - Studiare la covergeza e calcolare la somma di [! ] x. ( + )! Esercizio.34 - Calcolare lo sviluppo i serie di Taylor itoro al puto x = della fuzioe 4 x f(x) = x 2 5x + 6. Esercizio.35 - Calcolare lo sviluppo i serie di Taylor itoro al puto x = della fuzioe f(x) = + 3x2 ( x) 3. Esercizio.36 - Calcolare lo sviluppo i serie di Taylor itoro al puto x = della fuzioe ( x 2 ) f(x) = log 3x 2 precisadoe l isieme di covergeza. 7

8 Esercizio.37 - Calcolare l isieme di covergeza della serie al variare di α R. log( + α ) Esercizio.38 - Calcolare lo sviluppo i serie di Taylor itoro al puto x = della fuzioe ( 2 + x ) f(x) = log + x 2 precisadoe l isieme di covergeza. ( + x ) x 2+ Esercizio.39 - Mostrare che log = 2 x 2 +. Esercizio.4 - Trovare ua serie di poteze la cui somma, i u opportuo itervallo, sia log( + x 2x 2 ). Esercizio.4 - Studiare la serie di poteze x ( log + ) x. Esercizio.42 - Che differeza c è fra la due serie di poteze 2 x Esercizio.43 - Studiare le serie di poteze (!) 3 (3)! x e e 2 x2? (!) 3 (3)! x2. Esercizio.44 - Studiare la serie di poteze Esercizio.45 Studiare la serie di poteze x. (2 + se π/2) x. Serie di Fourier 8

9 Ricordo: se T è il semiperiodo la serie è data da a 2 + [ a cos π T x + a se π ] T x dove i coefficieti soo dati da ( N) a = T T T Uguagliaza di Parseval: T T f(x) cos π T xdx b = T T T f(x) se π T xdx. ( a f(x) 2 2 dx = T 2 + a 2 + b 2). (.) Itegrazioe della serie di Fourier - Si suppoga di avere f cotiua a tratti e F (x) = x T (f(t) a /2)dt. Se deotiamo co a e b i coefficieti di f, co A e B quelli di F valgoo le relazioi A = b, B = a. (.2) Per quato riguarda la covergeza della serie (vedi dispese di teoria): per ogi fuzioe limitata, cotiua a tratti e derivabile a tratti la serie coverge putualmete ovuque (alla media f defiita elle dispese di teoria), uiformemete i ogi itervallo chiuso i cui f è cotiua e totalmete se coverge la serie dei coefficieti ( a + b ) visto che sup a cos x = a e sup b se x = b. Esercizio.46 - Calcolare lo sviluppo di Fourier della fuzioe f : [ π, π] R, f(x) = i [ π, ], f(x) = i (, π]. Studiare le covergeze putuale ed uiforme. Calcolare poi lo sviluppo di Fourier della fuzioe g : [ π, π] R, g(x) = x. Esercizio.47 - Calcolare lo sviluppo di Fourier della fuzioe f(x) = x 2 co x [ π, π]. Studiare le covergeze putuale ed uiforme. Calcolare poi il valore della serie 2. 9

10 Esercizio.48 - Calcolare lo sviluppo di Fourier della fuzioe f(x) = { se x [, ] x se x [, ] e studiare la covergeza. Calcolare poi la somma delle serie (2 + ) 2 e (2) 2. Esercizio.49 - Calcolare lo sviluppo di Fourier della fuzioe { x se x [, π] f(x) = x + 2π se x [π, 2π] studiare la covergeza, scrivere uo sviluppo della stessa fuzioe i soli sei, ifie calcolare il valore delle serie k= e (2k+) 2 k=. Sfruttado lo sviluppo della fuzioe f scrivere ioltre lo sviluppo i serie di (2k+) 4 Fourier della fuzioe { se x [ π, ] g(x) = se x (, π] Esercizio.5 - Determiare lo sviluppo i serie di Fourier della fuzioe f(x) = 2 x, x [ π, π]. π Studiare poi la covergeza i [ π, π]. Ifie calcolare la somma delle serie (2 + ) 2, (2 + ) 4,

11 Soluzioi Soluzioe. - Limite putuale: j O Figura.2: lim f (x) = x per ogi x [, ]. + Limite uiforme: sup x 2 + x = x [,] sup x [,] i ( x 2 + ) x sup x [,] = Osservazioe - Nell ultimo passaggio si è usata la diseguagliaza a + b a + b (lasciata per esercizio). Osservazioe - Le fuzioi f soo tutte fuzioi C, ma il limite è solo cotiuo: la covergeza uiforme si trascia al limite la cotiuità, ma o la derivabilità. Soluzioe.2 - Il limite putuale è dato da (si veda la Figura.3) lim f (x) = f(x) = π/2 x > x = π/2 x <

12 j O Figura.3: Usiamo il Teorema.5 (cotiuità della fuzioe limite) delle dispese che qui ricordiamo brevemete. Teorema. Se ua successioe di fuzioi cotiue i D coverge uiformemete ad f i D allora f è cotiua i D. Questo può essere usato ache i egativo: cioè se {f } è ua successioe di fuzioi cotiue che coverge putualmete ad ua fuzioe f o cotiua, la covergeza o può essere uiforme. Cocludiamo che se D = R f o coverge uiformemete ad f. Ci si può chiedere se ci soo isiemi strettamete coteuti i R sui quali la covergeza è uiforme. Si cosideri A = [a, + ) co a >. La derivata di f f = f f è sempre egativa (per cui o ci soo puti stazioari). Questo però ci dice che il massimo è assuto per x = a. Per cui sup x [a,+ ) i f (x) f(x) = π/2 f (a) = π/2 arctg (a). Dalla covergeza putuale cocludiamo che questa quatità coverge a zero. Poiché aalogamete si può trattare il caso i cui A = (, b] co b < cocludiamo che f coverge uiformemete ad f su tutti gli isiemi del tipo (, b] [a, + ) co b < e a > e solo i quelli. Soluzioe.3 - Il limite putuale è f su tutto R. Prima di tutto si osservi che (si vedao alcui grafici i Figura.4) lim f (x) =, x + lim f (x) = x 2

13 e ache che Per ogua di queste ragioi f (x) = per x =. sup f (x) f(x) x R e quidi o vi può essere covergeza uiforme su tutto R e emmeo su semirette. Vediamo che succede se cosideriamo u compatto [a, b]. Calcoliamo la derivata e poiamola uguale a zero. Si ha f (x) = x = che ha come soluzioi x = e y = 2 +. Si osservi che x /2 metre y, quidi, qualuque sia [a, b], y defiitivamete o appartiee ad [a, b]. Se /2 (a, b) allora x defiitivamete appartiee ad [a, b]. I [a, b] quidi o o ci soo puti stazioari o c è solamete x, el quale f assume il suo valore massimo che vale f (x ) = 2 + 2( ) = Attezioe: il massimo di f f o è detto sia assuto i x. Ifatti si ha x( x) f (x) f(x) = x 2 + che è positiva per x (, ) (e egativa altrimeti). Quidi x( x) x 2 x [a, ] + f (x) f(x) = x( x) x 2 x [, ] + x( x) x 2 x [, b] + Per cui l estremo superiore (che i realtà è u massimo) è sicuramete assuto i x = a o x = b oppure x = x. Per cui sup f (x) f(x) max{f (a), f (b), f (x ) }. x [a,b] Poiché tutti e tre i valori dell isieme a destra covergoo a zero si coclude che {f } coverge uiformemete sui compatti. 3

14 j O Figura.4: Soluzioe.4 - Covergeza putuale: f (x) per ogi x [, ]. Per l uiforme calcoliamo la derivata di f : f (x) = ( x) log [( x) x] e questa si aulla per x = /( + ) (la fuzioe è o egativa e ulla agli estremi, x è quidi di massimo). Il valore f (x ) = log ( ). + + i Soluzioe.5 - Il limite putuale è (i Figura.5 soo riportati i grafici di alcue f ) lim f (x) = per ogi x [, ]. + 4

15 Vediamo se il limite è ache uiforme: f (x) = ( + 2 x 2 ) 2 3 x 2 ( + (x) 2 ) 2 = 3 x 2 ( + (x) 2 ) 2 che si aulla per x = /. Ora f (x ) = /2 per ogi N per cui lim f f = lim f = + + lim + 2 = 2. Osservazioe - Si osservi che il limite putuale di fuzioi cotiue può j O i Figura.5: essere cotiuo ache se il limite o è uiforme. Soluzioe.6 - Facilmete si ha che lim f (x) = La covergeza o è però uiforme. Ifatti per ogi x [, + ) sup f (x) = +. x [,+ ) È uiforme però sui limitati. Si cosideri, ad esempio, u itervallo [, a] co a > : f (x) = x2 + 2x (x + ) 2 5

16 per cui le fuzioi soo cresceti e quidi assumoo il massimo i x = a: sup f (x) = a2 per ogi a (, + ). x [,a] a + Calcoliamo l itegrale: lim f (x) se xdx lim f (x) se (x) dx lim f (x) dx = grazie al fatto che f uiformemete i [, ]. Si oti che ache le fuzioi x f (x) se (x) covergoo uiformemete a i [, ] poiché g (x) = se (x) soo equilimitate (questo è vero solo perché le f covergoo a zero! I geerale se f f uiformemete e g soo equilimitate o possiamo affermare che f g covergoo uiformemete). Soluzioe.7 - Il limite putuale è f. Per studiare la covergeza uiforme calcoliamo il massimo delle f. f (x) = α ( x 2 ) [ x 2 ( + 2)] = x = Valutiamo il massimo di f f : M (α) = max f (x) = α ( ). x [,] Si ha che lim M (α) = per α < 2 lim M (α) = 2e per α = 2 lim M (α) = + per α > 2 e quidi vi è covergeza uiforme solo per α < /2. l itegrale. Per α < /2 + 2 lim f (x)dx = lim f (x)dx = Calcoliamo grazie alla covergeza uiforme. Negli altri casi calcolo la primitiva che è data da f = α 2( + ) ( x2 ) + = α 2( + ). 6

17 Si ha allora che lim lim lim f = per α < f = 2 per α = f = + per α >. Soluzioe.8 - Facilmete si vede che f () = f (π). Se x (, π), x π/2 si ha che se 2 x < e quidi si ha che esiste a < per il quale defiitivamete vale + se 2 x a < per cui f (x) se x π/2. Se x = π/2 si ha che f (π/2) = ( + ) e quidi il limite putuale è (si veda la Figura.6) lim f e x = π (x) = f(x) = 2 x π 2 Può covergere uiformemete? NO! Perché le f soo cotiue e f o lo è. Vediamo che succede se togliamo u itoro di π/2. Fisso δ > (e miore di π/2): i [, π/2 δ] f è crescete per ogi N per cui il massimo è assuto per x = π/2 δ. Detto α il valore se 2 (π/2 δ) < si ha che esiste ɛ > tale che α + ɛ < e quidi ( ) max f (x) x [,π/2 δ] + α (α + ɛ). Allo stesso modo si può procedere i [π/2+δ, π]. Coclusioe: f covergoo uiformemete a f i tutti gli isiemi del tipo A δ = [, π/2 δ] [π/2 + δ, π]. Calcoliamo l itegrale: π π/2+δ f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx f (x)dx + 2eδ. A δ π/2 δ A δ 7

18 j O i Figura.6: Passado al limite si ha che i A δ, grazie alla covergeza uiforme, l itegrale tede a. Cocludedo si ha che: δ > il che sigifica che l itegrale tede a. π lim f (x)dx < 2eδ Soluzioe.9 - Propoiamo due svolgimeti. Il primo: scrivedo f (x) come log( + x/) si ottiee che il limite putuale è la fuzioe f(x) = x. Vediamo se è uiforme. Prediamo i cosiderazioe le fuzioi g (x) = ( + x/). Sappiamo dal primo corso di aalisi che ( + x/) è crescete i per x positivo ( + x/) è decrescete i per x egativo e coverge alla fuzioe g(x) = e x. Derivado si ottiee ( g (x) g (x) = e x + x ) > se x > = se x = < se x <. Si osservi però che g () = g() = per cui g(x) g (x) > trae che per x = che risulta essere u puto di miimo. È chiaro che il massimo è assuto quidi per x = oppure per x = e si ha sup g (x) g(x) max{ g ( ) e, g () e }. x [,] 8

19 Per cui {g } coverge uiformemete a g i [, ]. Poiché la fuzioe x log x è cotiua ell itervallo [e, e] (el quale assumoo valori le g ) e log g (x) = f (x), log g(x) = f(x), cocludiamo che ache {f } coverge uiformemete a f i [, ]. Che succede i [, + )? Il secodo svolgimeto fa uso del seguete risultato (teorema o visto a lezioe). Teorema.2 Sia (f ) ua successioe i C ([a, b]) tale che ) f coverge uiformemete ad ua fuzioe g i [a, b]; 2) esiste x [a, b] tale che f (x ) coverge. Allora la successioe (f ) coverge uiformemete ad ua fuzioe f. Ioltre f C ([a, b]) e f = g. Usiamo questo teorema per risolvere l esercizio. Calcoliamo direttamete il limite uiforme di f (x) = log( + x/) i [, ]. Si ha che f (x) = x+ che coverge uiformemete alla costate, ioltre f () coverge a. Per cui f coverge uiformemete alla fuzioe f data da f(x) = + x dt = x Soluzioe. - La successioe coverge putualmete alla fuzioe ulla su tutto R, uiformemete solo sui compatti. Soluzioe. - Suppoiamo per il mometo di dover studiare semplicemete la serie ( + x). I u caso del geere ci si può ridurre a studiare la serie geometrica y 9

20 pesado poi a sostituire a y /( + x). Sappiamo che la serie geometrica q = q q = q per q <. Di cosegueza la serie appea scritta coverge alla fuzioe y y putualmete i (, ) ed uiformemete e totalmete solo ei compatti [a, b] (, ). Ifatti e ache sup y (,] sup y [,) y y y = sup =N y = =N sup y (,] y [,) =N+ =N+ y = sup y = + yn+ y [,) y = + per cui o può esservi covergeza uiforme, e emmeo totale, i (, ] e i [, ). Vediamo ora ei compatti [a, b] (, ). Ifatti: si cosideri per semplicità [, b] co < b <. Deotiamo co g(y) il limite di g N, cioè g(y) = y. Si ha sup [,b] N g N (y) g(y) = sup y y = sup [,b] =N+ b = bn+ b [,b] =N+ Cosiderado il limite per N si ottiee la covergeza uiforme. Aalogamete si ottiee i [a, ] co < a < e quidi i ogi [a, b] (, ). Questo si traduce, per la serie cosiderata, ella covergeza alla fuzioe +x +x = x putualmete i (, 2) (, + ) e uiformemete e totalmete egli isiemi (, α], [β, + ) co α < 2 e β >. Ifatti la trasformazioe g(x) = /( + x) mada l itervallo [a, ], co < a, i (, a a ], e l itervallo [, b], co b <, i [ b b, + ). Se, ad esempio, a = +δ co δ >, y 2

21 cioè a compreso tra e, si ottiee che a a = 2 δ, cioè u umero strettamete miore di 2. Aalogamete si vede che b b è strettamete positivo. Veiamo ora all esercizio proposto: poiché la serie data è il limite, per N +, di N x per le somme fiite si ha (+x) N x N ( + x) = x ( + x). Per cui l isieme di covergeza putuale cotiee sicuramete l isieme el quale coverge la serie (+x), cioè (, 2) (, + ). Si osservi però che la serie data coverge ache per x = (ifatti ogi termie è ideticamete ullo!). Perciò l isieme di covergeza putuale è (, 2) [, + ) e la fuzioe limite è { x (, 2) (, + ), h(x) = x =, (poiché (+x) = /x). Per quato riguarda le covergeze uiforme e totale si può ragioare come prima per otteere che vi è covergeza egli isiemi del tipo (, α], [β, + ) co α < 2 e β >. No può esservi covergeza uiforme, e di cosegueza emmeo totale, ell isieme [, + ) dal mometo che la fuzioe limite è discotiua i tale isieme metre le somme parziali soo ovviamete cotiue. x 2 Cosa succederebbe se ivece cosiderassimo la serie ( + x)? A questo proposito si veda ache l Esercizio.2. Soluzioe.2 - Per quato riguarda la serie x si procede come ella soluzioe dell Esercizio. per otteere la covergeza putuale i (, ) e uiforme e totale ei compatti coteuti i (, ) alla fuzioe x. Ciò che può modificare gli isiemi di covergeza è la preseza di f(x). L uica cosa che può alterare il comportameto della serie è il fatto che f() 2

22 e/o f( ) siao (se f() e f( ) la serie i e o coverge), escludedo il caso i cui f(x) = per ogi x (, ) (, + ) che farebbe baalmete covergere la serie i tale isieme. Cocetriamoci quidi sul comportameto di f i e. Comiciamo cosiderado f(x) = x + α x β co α, β. Chiaramete la serie coverge i (, ) e o coverge i (, ) (, + ). Nel puto, el quale la serie x o è determiata, si ha che per qualuque valore positivo di α f( ) = e questo fa sì che la serie i coverga. Aalogamete el puto la serie coverge (è ideticamete ulla) per β >. Il limite putuale è dato dalla fuzioe (x + ) α ( x) β x (, ) se α, β x = se α >, β x = se α, β >. Vediamo ora le covergeze uiforme e totale. seguete stima x β 2 β Giacché i [, ] vale la possiamo limitarci, per la covergeza totale i [, ], a studiare la fuzioe x + α x dal mometo che, dalla stima appea sopra, si ha x + α x x + α x β x 2 β x + α x. ( ) Derivado la fuzioe x+ α x si ottiee il massimo i +α e valutado la fuzioe i tal puto si ottiee che il valore massimo (per x + α x ) è dato da α ( ). α + α + Poiché ( α+ ) e α e α α+ = +, dalla prima delle due disuguagliaze i ( ) si deduce che la serie o può covergere totalmete i [, ]. I maiera del tutto aaloga ( si può vedere che il massimo di x β x è assuto i +β e vale β β+ β+) e quidi la serie o coverge totalmete i [, ]. Però sui compatti [a, b] (, ), dalla covergeza totale della serie x e dalla limitatezza di f, vi è covergeza totale. Veiamo ora alla covergeza uiforme. I [, ] la serie è a segi alteri. Dal criterio di Leibiz, e usado la secoda disuguagliaza i ( ), ricaviamo 22

23 che sup x [,] x + α x β x sup x [,] N x + α x β x x + α x β x N+ 2 β α ( ). α + α + Tale quatità chiaramete tede a zero quado +, per cui la serie coverge uiformemete i [, ]. I [, ] la covergeza uiforme dipede dal valore del parametro β. Per < β la serie i coverge a zero, per x < a ( + x) α ( x) β : di cosegueza il limite o è cotiuo e o può esservi covergeza uiforme. Per β > si ha sup x [,] N f(x)x f(x)x = sup = sup x [,] x [,] (x + ) α ( x) β x N f(x) x f(x) xn x = Limitadoci a cosiderare ( x) β x N, poiché (x + ) α è compreso tra e 2 α per x [, ], valutado la derivata si ha d dx ( x)β x N = per x = + β che è il puto di massimo (verificare!), el quale la fuzioe assume il valore ( β N + β ) β ( N N + β ) N che tede a zero (verificare!) per ogi β >. Nel caso geerale possiamo cocludere che se f( ) = vi è covergeza uiforme i [, ], ell itervallo positivo la serie si comporta come x se f(). Se ivece f() = ed esiste β (, ] tale che lim x f(x) ( x) β = λ R, cioè se l ordie di ifiitesimo di f i è miore o uguale di, il limite esiste i tutto [, ], ma o è cotiuo, e quidi o vi può essere covergeza uiforme i [, ], se ivece esiste β > tale che lim x f(x) ( x) β = λ R, 23

24 cioè se l ordie di ifiitesimo di f i è maggiore di, la serie coverge uiformemete i tutto [, ]. Per la totale bisogerà valutare il massimo e fare i coti. x 2 Per quato riguarda la serie, proposta alla fie della soluzioe ( + x) dell Esercizio., si può cocludere che la serie coverge uiformemete i [, + ). Soluzioe.3 - Coverge totalmete su R. Soluzioe.4 - Putuale per ogi x R perché, ad esempio, x + x log x + I geerale vale, per a, b >, che a 2 +b 2 2ab, per cui 2(a 2 +b 2 ) (a+b) 2, da cui x + x + x + x log 2(x ) ( x + 2 ) 2 2 x per cui la serie coverge totalmete i R. Soluzioe.5 - Per ogi x R / log( + x 2 ) è decrescete i per cui la serie è covergete per ogi x. La stima del resto ( ) m log( + x 2 ) =2 =2 4 ( ) log( + x 2 ) log(m + x 2 ) log m quidi vi è covergeza uiforme su tutto R. Ovviamete o vi è la totale: si ha che ( ) sup log( + x 2 = ) log x R (il massimo è assuto per x =, fare la derivata per esercizio!) e la serie (log ) diverge. No c è covergeza totale emmeo i essu itervallo (a, b) (o [a, b]) poiché sup x (a,b) ( ) { log( + x 2 = max ) log( + a 2 ), log( + b 2 ) }. 24

25 Soluzioe.6 - Per x si ha che x x + x 2 2 x 2 = 2 per cui la serie diverge. Per x (, ) si ha che x x + x 2 per cui vi è covergeza assoluta. Per x x + x 2 = x ( ) + x 2 e x + x 2 Verifichiamo che è mootoa decrescete i : mi chiedo se cioè se ( + ) x + x + x + ( + ) 2 + x 2 x + ( + ) 2 x 2+ ( + ) x + + ( + ) 2 x 2+ il che è equivalete a ( + ) x ( + ) x + + che è vero per ogi x e per ogi N. Usado il criterio di Leibiz si coclude che la serie coverge i (, ]. Quidi coverge putualmete i (, ). Dalla stima i (, ) si vede che vi è covergeza totale i [, a] per ogi < a <, ma o può esservi i [, ). Ifatti sup [,) N x + x 2 x x + x 2 = sup [,) =N+ x + x 2 = + i quato le fuzioi soo cotiue (ache i x =!!), ma la loro + x 2 somma su diverge a + i x =. Per x egativo si ha: x m + x 2 x m x m + x 2 + x m m 2 m. Coclusioe: vi è covergeza putuale i (, ) e uiforme e totale su tutti gli isiemi del tipo (, a] co a <. 25

26 Soluzioe.7 - Questo è u esempio molto semplice si serie di fuzioi o egative che coverge uiformemete, ma o totalmete. La fuzioe f è a supporto compatto e le f o soo altro che traslazioi di f. Di cosegueza f (x) i realtà è ua somma fiita, per cui c è covergeza putuale (e assoluta, visto che le f soo tutte o egative) su tutto R. C è covergeza uiforme? Si, su tutto R, perché sup f (x) x R f (x) = sup =N x R =N+ f (x) N +. C è covergeza totale? NO! perché il massimo di f è ovviamete / assuto per x = π/2 + e la serie = +. Coverge, però, totalmete sui sottoisiemi del tipo (, a]. Ex: modificare le f i modo tale da avere covergeza totale su R. Soluzioe.8 - Per x < lim x e x = per cui la serie diverge. Per x la serie ivece coverge (per x = è ideticamete ulla, per x > si può usare, ad esempio, il criterio del rapporto). Vediamo che i [, + ) la serie coverge totalmete. Derivado si ottiee che il puto x = / è stazioario. Poiché f () =, lim x + f (x) = e f x risulta puto di massimo. Quidi f (x) f (/) = 2 e. Soluzioe.9 - Per x > coverge e per x diverge a +. Poiché la fuzioe f (x) = x è decrescete si ha che e la serie sup x (,+ ) x = diverge. Idem per la covergeza uiforme: sup x (,+ ) N x = x =N+ x = +. Se ivece si cosidera u qualuque isieme del tipo [a, + ) co a > si ha, sempre per il fatto che f è decrescete, che sup x [a,+ ) = x e a a 26

27 coverge per ogi a >. Cocludedo si ha covergeza totale, e quidi ache uiforme, i tutti gli isiemi del tipo [a, + ) co a >. Soluzioe.22 - Posso fare il cambio y = (x + )/x e studiare ( 3)y. Il raggio di covergeza è (si vede facilmete), per cui la serie coverge putualmete per y (, ). La covergeza, al solito, è totale ei compatti [a, b] (, ), ma o i (, ). Posso scrivere ( 3)y = y 4 ( 3)y 4 e vedere ( 3)y 4 come la derivata di y 3. Abbiamo e k= ( 3)y = 3 2y y 2 + ( 3)y k= = 3 2y y 2 + y 4 ky k = y 4 d dy yk = y 4 d dy Coclusioe: k= =4 k= ky 3+k y k = y 4 d y dy y = y 4 ( y) 2 ( 3)y = 3 2y y 2 y 4 + ( y) 2 dove la covergeza è putuale per y (, ) e totale sui compatti [a, b] (, ). La fuzioe f(x) = (x + )/x ha il grafico i Figura.7 per cui, torado a cosiderare x, si ha che ( x + ) x + ( x + ) 2 (x + ) 4 ( 3) = x x x x 2 dove la covergeza è putuale per x (, /2) e totale egli isiemi del tipo [a, b] (, /2). Ifatti x + < per x (, /2). x Soluzioe.25 - Calcolado il seguete limite lim 3 = 3 27

28 j i O Figura.7: si ha che il raggio è 3. Coclusioe: la serie coverge (putualmete) i ( 3, 3) e o coverge (putualmete) i (, 3) (3, + ). Vediamo i 3 e 3 che succede. 3 ( 3) o coverge, 3 3 diverge Coclusioe: si ha covergeza putuale (solo) i ( 3, 3). Vediamo gli altri tipi di covergeza. Teorema.3 Ua serie di poteze cetrata i coverge totalmete i ogi itervallo chiuso del tipo [ a, a] co a < ρ. Si ha di cosegueza covergeza totale, e quidi uiforme, i ogi itervallo [ a, a] co a < 3. Vediamo se si ha covergeza uiforme ache i ( 3, 3). Ragioado come al solito (si veda, ad esempio, la risoluzioe dell esercizio.) si deduce che la serie o può covergere uiformemete i ( 3, 3) e quidi emmeo totalmete. Si osservi che la serie ha come somma la fuzioe f(x) = 3 3 x. 28

29 Soluzioe.26 - Si può fare il limite della radice -esima di α +e α pesare la serie come (perché?) oppure α x + e α x e studiare separatamete le due serie. Seguiamo quest ultima strada. Il primo termie: il secodo termie: e α α quidi il raggio di covergeza è, eα quidi il raggio di covergeza è e α. Se α = : il raggio è lo stesso e la serie diveta 2 x. Vediamo gli estremi: per x = si, per x = o. Isieme di covergeza putuale [, ). La covergeza è uiforme? No può esserlo dappertutto (vedi esercizio precedete). Teorema.4 (Leibiz) Sia (a ) ua serie a termii positivi. Se a ed è decrescete allora ( ) a coverge. Ioltre ( ) a m ( ) a am+. Sicuramete abbiamo covergeza totale egli isiemi del tipo [a, b] co < a < b <, o abbiamo covergeza uiforme, e quidi emmeo totale, i [, ). Vediamo i [, ]: qui la serie è a segi alteri, per vedere se la serie è uiformemete covergete uso il criterio di Leibiz. Detta f la somma della serie e f le somme parziali devo vedere se vale cioè lim sup + lim f f + [,] ( ) k 2 k x k k= lim sup + [,] ( ) k 2 k x k 2 + x + = lim

30 quidi vi è covergeza uiforme i [, ], ma o totale! Cocludedo: per α = si ha che la serie coverge putualmete i [, ), uiformemete i [, b] [, ) e totalmete i ogi [a, b] (, ). Gli altri casi: se α > il raggio è /e α. Il primo termie sicuramete coverge totalmete i [ /e α, /e α ], quidi limitiamoci a cosiderare il secodo. Negli estremi: per x = /e α la serie coverge, per x = /e α la serie diverge, ifatti si ha rispettivamete ( ) Covergeza uiforme e totale come sopra: [ covergeza uiforme i. ] e, b α per ogi b < covergeza totale i [a, b] per ogi a > e, b < α Se α < il raggio è. Vediamo gli estremi: il secodo termie questa volta coverge totalmete i [, ]. Il primo egli estremi è ( ) α α che covergoo etrambe. Vi è covergeza totale i [, ]. Soluzioe.27 - È facile vedere che f (k) (x) = f(x) per ogi k N. Per cui lo sviluppo di Taylor è dato da! f () ()(x ) = Vediamo di studiare la covergeza di questa serie: putuale i tutto R, ad esempio co il criterio della radice -esima. No può essere uiforme i tutto R perché sup k! xk = +. x R k= x!. e α e α 3

31 Se ache ci limitiamo a x (, ] abbiamo (p il poliomio di grado delle somme fio all -esimo termie) sup x (,] k= x k k! k= x k = k! sup e x p (x) = +. x (,] Vediamo cosa si può dire: se mi limito a cosiderare u itervallo [a, b] ho che xk bk k! k! per la cresceza di x k. La serie data dai maggiorati coverge. Cocludedo: la serie di Taylor i x = è data da x! che coverge putualmete su tutto R e uiformemete e totalmete solo sui compatti. Soluzioe.29 - La serie dell esercizio o è ua serie di poteze. Tuttavia lo studio di tale serie può essere ricodotto allo studio di ua serie di poteze. Iazitutto si osservi che [ x ] / x lim + 2 ( + x 2 ) = + x 2 che è sempre miore di (per esercizio vedere che /2). Di cosegueza la serie coverge assolutamete per ogi x R. Calcoliamo la +x 2 somma della serie (per y < ) Si ha che + 2 y = Ora mi chiedo: + 2 y. [ y = 2 ] + 2? + 2 y = y 2 y 2 x y = y 2 y y y+2. La risposta è si, perché lim (a +b ) = lim a +lim b qualora i due limiti a destra (o almeo uo di essi) esistao e el ostro caso le due serie a destra 3

32 covergoo etrambe (per y < ). Prediamo i esame il secodo termie: + 2 y+2 = = y y t + dt! = ( t ) dt = =2 y y ( t +) dt = t 2 t dt dove l ultimo passaggio co il puto esclamativo è lecito se la covergeza è uiforme!! (e lo è se y è fissato tra e ). Per itegrare t2 t dividiamo t 2 per t e scriviamo t 2 = ( t)( t) + t2 = ( + t) + t t e quidi itegrado y t 2 Tirado le fila si ha + 2 y = y2 dt = y log( y). t 2 = y y 2 y 2 [ y y2 log( y)] 2 y y + 2 y log( y) y2 Si osservi che questa fuzioe è regolare ache se sembra avere sigolarità i y =. Ifatti log( y) = y + y 2 /2 + o(y 2 ) e quidi y y + 2 y y 2 log( y) = [ y 3 ] y 2 y + 2y + y2 + 2 log( y) = Torado al ostro problema: poiché la quatità di la serie x x 2 = y 2 [ y 3 y + 2y + y2 2y + y 2 + o(y 2 ) x (+x 2 ) è sempre miore coverge putualmete per ogi x R; coverge pure uiformemete e x totalmete su R poiché +x 2 2. Si coclude sostituedo ell espressioe x di sopra al posto di y +x 2 x + 2 ( + x 2 ) = x + x 2 x x + x 2 x 2 2( + x 2 ) 2 log + x2 x + x 2. ] 32

33 Soluzioe.3 - Usiamo ua cosegueza del seguete risultato. Teorema.5 Sia a serie a termii positivi. Se esiste allora esiste ache lim a e vale lim a + a a + lim = lim a a. Il viceversa o è vero! Si cosideri ad esempio la successioe data da a = / se è pari e a = /2 se è dispari. Si ha lim a =, a metre ivece lim + a o esiste (il rapporto è /2 se è pari, 2 se è dispari). Allora calcoliamo il limite della radice -esima calcolado il rapporto. (provare a farlo co la radice -esima!!!) ( + )! lim ( + ) +! = lim ( ) = + e quidi vi è covergeza putuale i ( e, e) e o vi è i (, e) (e, + ). Vediamo gli estremi: e x = k= x k k! quidi per x = e = k= k k! per cui! e. (.3) La serie quidi o coverge per x = e e diverge a + per x = e. Ovviamete coverge totalmete e uiformemete i tutti gli itervalli [a, b] ( e, e). Come al solito si ha che la serie o può covergere uiformemete i ( e, e). Aziché la stima (.3) si può usare, per studiare il comportameto della serie i x = e la formula di Stirlig!! = e 2π ( + O(/)). 33

34 Soluzioe.3 - Sappiamo che la serie geometrica q = q Possiamo allora cocludere che la serie ( x 2 ) coverge a per q <. + x 2 per x <. Studiamo questa serie. Coverge putualmete i (, ). Per x = e per x = ovviamete o coverge. Al solito, la serie o covergerà uiformemete i (, ), ma è facile vedere che coverge totalmete i tutti i compatti [a, b] coteuti i (, ). Calcoliamo la derivata di f(x) = arctg x f (x) = + x 2. Itegrado termie a termie si ha, posto f (x) = k= ( )k x 2k, grazie alla covergeza uiforme Ora per cui lim x f (t)dt = x x lim f (t)dt = x ( ) k t 2k dt = ( ) k 2k + x2k+ arctg x = ( ) x2+ dt = arctg x. + t2 2 + per ogi x [, ] e la covergeza uiforme solo sui compatti coteuti i (, ). Soluzioe.32 - Calcoliamo la derivata di f(x) = se x. f () (x) = cos x f () () = f (2) (x) = se x f (2) () = f (3) (x) = cos x f (3) () = f (4) (x) = se x f (4) () = 34

35 e poi il ciclo si ripete. Quidi lo sviluppo i è dato da se x = ( ) x2+ (2 + )!. Vediamo la covergeza. Per il criterio di Leibiz coverge per ogi x reale. La covergeza è uiforme e totale solo sui compatti (i modo aalogo all esercizio precedete). I modo simile si calcola ache lo sviluppo del coseo cos x = ( ) x2 (2)!. Soluzioe.33 - Si ha che! ( + )! = ( + )! per cui il limite della radice -esima è : la serie coverge per ogi x R. Prima di studiare le covergeze uiforme e totale calcoliamo la somma della serie. Sappiamo che x! = ex. Si ha che ( + )! x = x d [ x + ] dx ( + )! x per cui, grazie alla covergeza uiforme posso ivertire il sego di derivata co il limite e otteere ( + )! x = x d [ x + ] dx ( + )! x = x dx[ d x + ] x ( + )! = x d [ dx x (ex x)] [ = x x 2 (ex x) + ] x (ex ) = e x x (ex ). 35

36 Vediamo la covergeza uiforme i R: k sup (k + )! xk x R k= k (k + )! xk = sup k= x R k=+ k (k + )! xk = + quidi o vi è covergeza uiforme i R. Nemmeo se ci limitiamo a semirette [a, + ), perché l estremo superiore è + proprio perché cosideriamo la semiretta fio a +. Che succede se cosideriamo (, ]? sup x (,] k k (k + )! xk (k + )! xk = k= k= = sup e x k x (ex ) (k + )! xk = + x (,] perché f(x) = e x x (ex ) è limitata i (, ], metre u poliomio di grado o! (come, ad esempio, fatto per e x ). Per x [ a, a] co a positivo k= k k (k + )! xk (k + )! ak. La serie a (+)! coverge per ogi a reale per cui si ha covergeza totale e uiforme i ogi compatto. Soluzioe.34 - Spezzado il poliomio x 2 5x + 6 come prodotto di x 3 e x 2 si ottiee che f(x) = x 3 2 x 2. Sapedo che, per q <, la serie q coverge al valore scrivere x 3 = 3 x = 3 x = ( x ) q che coverge per x 3 <, cioè per x < 3. L altro termie: si può 2 x 2 = 2 2 x = 2 x 2 = 2 ( x ) 2 36

37 che coverge per x 2 <, cioè per x < 2. Sarà possibile effettuare la somma solo dove covergoo etrambe, quidi sicuramete per x ( 2, 2) si ha che f(x) = Soluzioe.35 - Si osservi che d dx x = ( x) 2 e che [ ] x. d dx ( x) 2 = 2 ( x) 3. Poiché la serie x coverge uiformemete i ogi itervallo chiuso [a, b] (, ) e così pure la serie delle sue derivate (prime e secode, ma o solo) si può affermare che (per quei valori di x [a, b] (, ) co a, b arbitrari, ma a, b <, per cui per ogi x (, )) 2 ( x) 3 = d dx ( x) 2 = d dx x = d dx ( x) 2 = d dx x = x = d dx x = d dx x = x ( )x 2. Per cui dove vi è covergeza per etrambe le serie, e i questo caso etrambe covergoo i (, ), vale =2 f(x) = ( x) 3 + 3x2 ( x) 3 = = ( )x 2 + 3x2 ( )x =2 =2 ( + 2)( + ) = x 3( ) + x 2 2 =2 ( + 2)( + ) + 3( ) = + x + x 2 =2 = + x + (2 2 + )x. =2 37

38 Soluzioe.36 - La fuzioe f può essere scritta ei segueti modi ( x 2 ) log 3x 2 = log(x 2) log(3x 2) NO!! = log(2 x) log(2 3x) SI!! Perché scartiamo il primo dei due? I due modi o soo equivaleti: la fuzioe f è defiita quado il suo argometo è positivo, e cioè quado x 2 e 3x 2 hao lo stesso sego. Quidi f può essere spezzata come sopra el primo modo se x 2 e 3x 2 soo etrambi positivi, el secodo modo se x 2 e 3x 2 soo etrambi egativi. Per x =, itoro al quale vogliamo sviluppare f, le fuzioi log(x 2), log(3x 2) o soo defiite, metre log(2 x) e log(2 3x) si. Per esercizio, e ache per covicersi di quato appea detto, disegare i grafici di log( x 2 3x 2 ), log(x 2), log(3x 2), log(2 x) e log(2 3x). Abbiamo trasferito quidi il problema ello scrivere lo sviluppo delle due fuzioi log(2 x) e log(2 3x). Si ha, per x/2 <, d log(2 x) = dx 2 x = 2 x = ( x ) Itegrado tra e x, co x < 2, poiché la serie sopra coverge uiformemete log(2 t) x x ( t ) dt = x ( t ) dt = e quidi log(2 x) log 2 = 2 t + 2 x + = x Aalogamete si ottiee, per 3x/2 < e quidi per x < 2/3, ( 3 + x + log(2 3x) log 2 = 2) +. Cocludedo: ( x 2 ) log 3x 2 x + = log log 2 + ( 3 + x + 2) + [( 3 ) ( ] x + = 2 2) 38

39 e l isieme di covergeza è l itersezioe degli isiemi sui quali covergoo separatamete le due serie. Cocludiamo che [ x 2 ] log = 3x 2 [( 3 ) ] x 2 2 e la covergeza è putuale i [ 2/3, 2/3), uiforme i tutti gli isiemi del tipo [ 2/3, a] co a ( 2/3, 2/3) e totale i tutti gli isiemi del tipo [b, c] co b, c ( 2/3, 2/3), b < c. Ifatti ua delle due serie coverge putualmete almeo i ( 2, 2) e l altra almeo i ( 2/3, 2/3) ( 2, 2), quidi la serie coverge i ( 2/3, 2/3) e o coverge i (, 2/3) (2/3, + ) (per verifica calcolare il limite della radice -esima dei coefficieti). Negli estremi: è sufficiete studiare la secoda serie, poiché covergedo la prima i ( 2, 2) i particolare covergerà i 2/3 e 2/3. Per x = 2/3 si ha ( 3 ) ( ) = 2 3 che diverge a +, metre per x = 2/3 si ha ( 3 ( 2) 2 ) + 3 = 2 3 ( ) + che coverge. La covergeza è uiforme i tutti gli itervalli del tipo [ 2/3, a] co a < 2/3 e totale egli itervalli del tipo [b, c] ( 2/3, 2/3). Soluzioe.37 - L isieme è [, ] per α < /2, [, ) per α /2. Soluzioe.4 - Si può fare seguedo la soluzioe dell Esercizio.36 osservado che + x 2x 2 = (2x + )( x). Soluzioe.42 - Attezioe! ella prima serie i coefficieti a soo dati da / 2, ella secoda o! Alcui ifatti soo zero. I coefficieti della secoda serie soo ifatti { / se = k a = 2 co k N, altrimeti. 39

40 Il comportameto però è lo stesso: ifatti la prima coverge totalmete i [, ]; e la serie coverge sia i che i. Per lo studio della secoda si può usare semplicemete il criterio della radice, valutado lim x 2 / 2 = lim x / 2 si ottiee che la serie coverge (assolutamete) per x e o coverge per x >. La covergeza i [, ] è totale. A proposito della secoda serie si veda ache l Osservazioe.24.4 delle dispese di teoria di Aalisi II (Albaese-Leaci-Pallara). Soluzioe.44 - Si osservi che i termii di questa serie soo alcui dei termii della serie k k xk. Ifatti i coefficieti a soo dati da per cui { / se = k a = k co k N, altrimeti { / se = k a = k co k N, altrimeti Di cosegueza il limite lim a o esiste. Possiamo trattare la serie come ua serie umerica, fissado x e valutado x x =. Passado al limite per + si ottiee che la serie coverge per x [, ]. Alterativamete, per chi cooscesse il limsup e che il raggio di covergeza è dato dal reciproco di lim sup a, si ha che lim sup a = lim k k k k k = lim h h h =. Il raggio quidi è. Per x = e x = la serie coverge e quidi l isieme di covergeza è [, ]. La covergeza è ache totale. Si veda ache l Osservazioe.24.4 delle dispese di teoria di Aalisi II (Albaese-Leaci-Pallara). Soluzioe.45 - Questo è u esempio i cui il limite di a = (2+seπ/2) o esiste. Si ha che 2 + se π/2 può assumere i valori, 2, 3. 4

41 L estremo superiore (si veda la defiizioe di raggio di covergeza elle dispese) dei umeri per cui la serie coverge è /3 (l iverso del massimo valore che può assumere a ): ifatti o può essere maggiore perché se lo fosse, diciamo r > /3, per tutti i valori x (/3, r) la serie covergerebbe. Ma per ifiiti valori di N si ha che 2 + se π 2 assume il valore 3 per cui se fissiamo x > /3 e miore di r si avrebbe per ifiite volte che (2 + se π 2 ) x > il che o farebbe covergere la serie. Si veda ache l Osservazioe.24.4 delle dispese di teoria di Aalisi II (Albaese-Leaci-Pallara). Soluzioe.46 - Si ha π quidi lo sviluppo è Poiché la fuzioe è dispari lo sviluppo è di soli sei. { pari f(x) se xdx = 4 dispari π π π 4 se (2 + )x. π(2 + ) La media di f è ulla, per cui a è ullo. Usado la formula (.2) si ha che lo sviluppo di F (x) = x π f(t)dt = x π è dato da (i coefficieti A di cos x soo ulli, i coefficieti B di se x soo dati da 4/π 2 per dispari, altrimeti) x π = A cos(2 + )x π(2 + ) 2 dove A = π π π [ x π]dx = π2 /π = π. Per cui lo sviluppo di x i [ π, π] è (cofrotare co l Esercizio.49) π π π(2 + ) 2 cos(2 + )x = π cos(2 + )x. π(2 + ) 2 4

42 Soluzioe.47 - La fuzioe è pari, per cui il suo sviluppo è fatto di soli cosei. Si ha che π π x2 dx = 2π 3 /3 e π x 2 2 se x cos x dx = x π π π se x 2x dx π π cos x π π = 2x 2 + cos x 2 π 2 dx = ( ) 4π 2 per cui lo sviluppo è dato da π 2 π 3 + ( ) 4 cos x. 2 Poiché l estesioe a tutto R è C a tratti e cotiua si ha covergeza uiforme su tutto R. I particolare per x = π si ha da cui si ricava f(π) = π 2 = π2 3 + ( ) 4 2 ( ) = π = π Soluzioe.48 - Il periodo 2T è 2, quidi T =. Calcoliamo i coefficieti: a = a = f(x)dx = f(x) cos xπ dx = ( ) = x π se πx xdx = 2. = π = ( ) π cos πx 2 2 π 2 dispari pari x cos xπ dx se πx dx π 42

43 b = ( = x f(x) cos xπ dx = π cos πx ) x se xπ dx cos πx dx π = ( ) + π + ( ) π π se πx = ( )+ π quidi lo svilupo è 4 2 (2 + ) 2 π 2 cos(2 + )πx + ( ) + se πx. π Coverge putualmete alla fuzioe { f(x) x (, ) 2 x =, x =. La covergeza uiforme c è solo egli isiemi del tipo [a, b] (, ) visto che il limite o è cotiuo. Valutiamo ora la serie. Per x = la serie coverge al valore (2+) 2 /2 per cui 2 da cui = 4 2 (2 + ) 2 π 2 cos(2 + )π + ( ) + se π π = (2 + ) 2 π 2 (2 + ) 2 = π2 8. Ora per la somma possiamo procedere i due modi: sfruttare l esercizio precedete dal quale sappiamo che (2) 2 = π2 2 6 per cui otteiamo (2) 2 = 2 (2 + ) 2 = π2 6 π2 8 = π2 24, oppure, igorado il risultato dell esercizio precedete, osservare che per cui da = (2) 2 + (2 + ) 2 (2) 2 = 43

44 dedurre che e quidi (2) 2 = 4 2 = 4 3 (2 + ) 2 2 = π 2 8 = π2 24. Soluzioe.49 - La estedo per periodicità a tutto R e per questioe di semplicità di calcolo sviluppo la fuzioe g(x) = x defiita i [ π, π] ed estesa per periodicità a tutto R (si veda la Figura.8). I questo modo aziché calcolare 2π calcolo f(x) cos xdx = π π π x cos xdx 2π π Figura.8: x cos xdx = 2 Quidi i coefficieti soo dati da: e per > a = π π π π x dx = π x cos xdx + x cos xdx. 2π π 2π cos xdx π π a = 2 x cos xdx = 2 [ x π π se x π = 2 [ + π 2 cos x π] = 2 π 2 [( ) ] 44 ] se xdx

45 per cui { se pari a = 4 π 2 se dispari. Lo sviluppo risulta quidi essere (.4) f(x) = a 2 + a cos x = π 2 4 cos(2k + )x. (.5) π(2k + ) 2 La covergeza è putuale e uiforme su tutto R (perché la fuzioe è cotiua e C a tratti), i particolare sull itervallo [, 2π] al quale eravamo iteressati. I particolare se valutiamo la serie per x = questa covergerà al valore f() =, per cui si ha π 2 k= k= 4 π(2k + ) 2 = da cui (2k + ) 2 = π2 8. k= Per l altra serie sfruttiamo l uguagliaza di Parceval (.): π π π Per cui da π π x2 dx = 2π 3 /3 otteiamo e ifie k= f 2 (x)dx = a2 2 + (a 2 k + b2 k ). k= 2π 2 3 = π π 2 (2k + ) 4 k= (2k + ) 4 = π2 ( 2π π2 ) = π Per cosiderare uo sviluppo i soli sei o di soli cosei i geerale si fa così: data h : [, T ] R cosideriamo la fuzioe h defiita i [ T, T ) h(x) = { h(x) x [, T ] h( x) x [ T, ] ed estededo poi per periodicità a tutto R la fuzioe. Poiché la fuzioe risulta così pari il suo sviluppo sarà di soli cosei e T h(x) cos π T T T xdx = 2 h(x) cos π T x. 45

46 Se vogliamo uo sviluppo di soli sei si cosidera h(x) = { h(x) x [, T ] h( x) x [ T, ]. Nel ostro caso estediamo la fuzioe el modo seguete: Figura.9: x 2π se x [ 2π, π] f(x) = x se x [ π, π] x + 2π se x [π, 2π] e poi estedo f periodicamete su tutto R (a questo puto avremo ua fuzioe periodica di periodo 4π!). La restrizioe di f a [, 2π] è sempre la ostra f. La fuzioe così estesa risulta essere dispari foredo i coefficieti dei cosei ulli. Valutiamo i coefficieti: Abbiamo che b = 2π = π = π 2π 2π π π g(x) se π 2π xdx = π f(x) se 2 xdx + π π 2π 2π 2π f(x) se 2 xdx = f(x) se 2 xdx = x se 2 xdx + π π [ x + 2π] se 2 xdx. x se 2 xdx = 2 x cos 2 x se 2 x 46

47 per cui tra e π 2 cos π π se π 2 [ ( tra π e 2π 4π π cos π + 2π cos π se π 4 2 se π 2 ( +2π 2 cos π + 2 cos π )]. 2 Sommado, poiché si ha se π { ( ) 2 = ( )/2 dispari pari, b = 8 2 π se π 2 = 8 { ( ) ( )/2 dispari 2 π pari, La serie è data dalla somma dei segueti termii dispari 8 2 π se π 2 x = (2 + ) 2 se x π 2 Attezioe! Lo sviluppo trovato è lo sviluppo i soli sei della fuzioe f, quello i (.5) è lo sviluppo della fuzioe f: covergoo etrmabi (uiformemete) alla fuzioe origiale ell itervallo [, 2π], ma a fuzioi diverse ell itervallo [ 2π, ] (si vedao le Figura.8 e Figura.9). Ora valutiamo lo sviluppo della fuzioe g: si osservi che ell itervallo [ π, π] la fuzioe f(x) = x è ua primitiva della fuzioe g, e precisamete x x f(x) = π + g(t)dt, cioè f(x) π = g(t)dt. π π Se deotiamo co α e β i coefficieti α = π π π g(x) cos xdx β = π π π g(x) se xdx ) + si ha che α = e dalle formule (.2) si ricava β = a, α = b 47

48 quidi, cooscedo a (si veda (.4)) e b (b = per ogi N) si ricava immediatamete { se pari β = 4 π se dispari. per cui 4 g(x) = se (2k + )x π(2k + ) k= (si cofroti co l Esercizio.46). Soluzioe.5 - La fuzioe f(x) = 2 x, x [ π, π]. π come si vede dal garfico, è ua fuzioe pari per cui b = per ogi N. Si verifica facilmete che ache a =. Gli altri coefficieti soo dati ( > ) j O Figura.: i 48

49 a = π π π [ cos t 2 π t cos t ] dt = 2 π π 2 t cos t dt = 4 π π 2 t cos t dt = π π = 4 [ t π 2 se t π ] se t dt = 4 [ π 2 ( )] cos t π = pari 8 2 π 2 dispari per cui la serie è data da 8 (2 + ) 2 cos(2 + )x π2 che coverge uiformemete su tutto R (visto che il prolugameto periodico a tutto R di f è cotiuo e C a tratti). La serie coverge ache totalmete visto che 8 sup (2 + ) 2 π 2 cos(2 + )x 8 = (2 + ) 2 π 2. x [ π,π] Per calcolare le due serie (già calcolate egli esercizi.48 e.49) si può valutare la fuzioe i x = e usare l uguagliaza (.). 49