Titolo: Funzioni Logaritmiche Specializzanda: Serena Bezzan

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1 Titolo: Funzioni Logritmiche Specilizznd: Seren Bezzn Clsse destintri: L unità didttic è rivolt d un clsse terz di un Liceo Scientifico d indirizzo PNI. I ritmi rppresentno un prerequisito fondmentle nello studio dell termodinmic. Tuttvi, molti libri di testo ffrontno tle unità didttic nei volumi del qurto nno. Questo potrebbe crere problemi gli studenti; in qul cso si provvederà fornire il mterile necessrio. Inqudrmento nei progrmmi ministerili: I progrmmi di ordinmento LICEO CLASSICO II CLASSE Le ore di Mtemtic previste sono due. Equzioni [esponenzili] e ritmi. Uso delle tvole ritmiche ed ppliczione l clcolo di espressioni numeriche. LICEO SCIENTIFICO TRADIZIONALE III CLASSE Le ore di Mtemtic previste sono tre. Equzioni [esponenzili] e ritmi. Uso delle tvole ritmiche ed ppliczione l clcolo di vlore di espressioni numeriche. Cenno sull uso del regolo clcoltore Pino Nzionle per l Informtic (PNI) Circolre Ministerile n. 615 del 27 Settembre 1996 LICEO SCIENTIFICO PNI III CLASSE Le ore di Mtemtic sono cinque. Tem n.3 Funzioni ed equzioni : Logritmo e sue proprietà. [Funzione esponenzile] e ritmic Nel commento l tem leggimo: Gli esercizi di ppliczione i concetti di esponenzile e ritmo srnno limitti i csi più semplici; nche per il clcolo del ritmo di un numero o del numero di dto ritmo si frà ricorso strumenti utomtici di clcolo. Dei suddetti concetti [esponenzile] e ritmo ndrnno invece poste in rilievo si l importnz teoric si le ppliczioni (modellizzzioni i fenomeni di ccrescimento). Progetto Brocc LICEO SCINTIFICO TECNOLOGICO IV CLASSE Le ore di mtemtic sono 4 (compres informtic). Tem n.3 Funzioni ed equzioni : Logritmo e sue proprietà. Funzioni [esponenzile] e ritmic. A differenz del PNI, m nche degli ltri indirizzi, il Progetto Brocc è l unico che prevede i ritmi l 4^nno. Inoltre il tem e i contenuti del progetto brocc sono gli stessi del PNI (inftti il progetto Brocc nsce proprio dl PNI)

2 Proposte dell UMI (Mtemtic 2003) NUCLEO TEMATICO: Relzioni e funzioni ; Secondo biennio Abilità Conoscenze Avere fmilirità con crescenz, descrescenz, L funzione [esponenzile]; l funzione positività, mssimi e minimi di un funzione; ritmic; (le funzioni seno, coseno, tngente). funzione invers. Leggere in un grfico le I loro grfici. proprietà di crescenz e decrescenz, l esistenz di mssimi e minimi. Costruire modelli, si discreti che continui, di [ ] Il numero e. crescit o decrescit linere, di crescit esponenzile, di ndmenti periodici. Indiczioni Nzionli per i pini di studio personlizzti dei percorsi liceli; Pini di studio e Obiettivi specifici di pprendimento (OSA) Gli Os rigurdnti gli rgomenti dell unità didttic pres in esme fnno prte del nucleo Relzioni e funzioni del Secondo Biennio e sono - Funzione [esponenzile], funzione ritmo e modelli di ccrescimento e decdimento - Utilizzre in csi semplici, operzioni funzionli per costruire nuove funzioni e disegnrne i grfici, prtire dlle funzioni elementri - Riconoscere crescenz, decrescenz, positività, [mssimi e minimi] di un funzione Prerequisiti Numeri reli; Potenze d esponente rzionle; Equzioni e disequzioni lgebriche; Concetto di funzione e reltivo grfico; Funzioni e grfici elementri (somm e prodotto di funzioni, funzioni inverse), tr cui l funzione vlore ssoluto; Simmetrie e trslzioni. Obiettivi specifici Gli obiettivi specifici sono suddivisi in conoscenze e bilità. Conoscenze: Conoscere l definizione di ritmo; Conoscere le proprietà fondmentli dei ritmi: ritmo di un prodotto, di un quoziente, di un potenz e il cmbimento di bse; Conoscere l definizione di funzione ritmic, dominio e immgine dell funzione; Conoscere le proprietà dell funzione ritmic e il suo grfico; Conoscere le definizioni di equzione e disequzione ritmiche; Conoscere il numero di Nepero e. Abilità: Sper rppresentre un funzione compost d trslzioni e diltzioni di un funzione dt; Sper cquisire fmilirità con l lettur di un grfico di funzione; Acquisire fmilirità con l uso dei ritmi e delle loro proprietà; Sper riconoscere e rppresentre le funzioni ritmiche;

3 Sper osservre i rpporti esistenti tr l funzione esponenzile e l funzione ritmic; Acquisire le tecniche per l risoluzione di equzioni e disequzioni ritmiche; Sper utilizzre l clcoltrice scientific e softwre per determinre vlori delle funzioni ritmiche. Tempi previsti per l intervento didttico Accertmento dei prerequisiti Logritmi e proprietà Curv ritmic Cenni storici Equzioni e disequzioni ritmiche Verific sommtiv Correzione verific Ore di lbortorio 2h 3h 2h Per un totle di ore di lvoro. Metodoi didttic e strumenti Per l pprendimento dei contenuti e per perseguire gli obiettivi esposti si frà uso di lezioni si frontli che dite, con il sussidio del libro di testo e di fotocopie contenenti esercizi svolti e pprofondimenti. Verrnno ssegnti compiti per cs, cercndo di dedicre sempre un prte dell lezione ll correzione di questi ll lvgn si d prte del docente, che d prte dei rgzzi. (I compiti verrnno comunque controllti dl docente, per ssicurrsi che i rgzzi li svolgno). Verrnno discussi e confrontti insieme gli esercizi che hnno pportto incertezze e problemi. Si svolgerà ttività di lbortorio informtico utilizzndo softwre didttici come Derive e come Excel; in queste occsioni si preferirà il lvoro di gruppo, le esercitzioni guidte m nche quelle utonome. Strumenti utilizzti: Libro di testo Lvgn e gessi Clcoltrice scientific Rig Fotocopie Softwre didttici come Derive ed Excel. Controllo dell pprendimento: Il controllo dell pprendimento srà effettuto medinte verifiche formtive e verific sommtiv. Le verifiche formtive consistono nel controllo degli esercizi ssegnti per cs, l correzione ll lvgn degli stessi, effettuto dgli llievi, l discussione in clsse dei problemi incontrti nello svolgimento degli esercizi e nello studio dell teori, qulche domnd durnte le lezioni, lo svolgimento di qulche esercizio ll lvgn. Le verifiche sommtive consistono in prove orli e prove scritte. Le prove orli servirnno l docente per vlutre non solo l teori ppres di rgzzi, m verrà chiesto nche lo svolgimento di qulche esercizio e verrnno ftte domnde rigurdnti le ttività di lbortorio. L prov scritt, dell durt di due ore, srà svolt l termine dell unità didttic e h soprttutto il compito di vlutre le bilità e permetterà di verificre l utonomi dello studente nell utilizzo degli strumenti forniti.

4 Contenuti L funzione ritmic 1. Introduzione i ritmi 2. Proprietà dei ritmi 3. Logritmi decimli e nturli 4. L funzione ritmic e il suo grfico 5. Le equzioni ritmiche 6. Le disequzioni ritmiche Considerzioni Didttiche (sui contenuti, pprofondimenti e ttività eventuli di lbortorio) L funzione strumentle e quell culturle dell mtemtic rppresentno lo strumento essenzile per un comprensione quntittiv dell reltà d un lto, e dll ltr un spere icmente coerente e sistemtico, crtterizzto d un forte unità culturle. Entrmbi gli spetti sono essenzili per un formzione equilibrt degli studenti: priv del suo crttere strumentle, l mtemtic srebbe un puro gioco si segni senz significto; senz un visione globle, ess diventerebbe un serie di ricette prive di metodo e di giustificzione. Dentro competenze strumentli come eseguire i clcoli, risolvere equzioni e disequzioni è importnte tenere sempre presente l spetto culturle, che colleg tli competenze ll stori dell nostr civiltà. Per questo si ritiene inoltre opportuno, fr presente i rgzzi il motivo per il qule i ritmi hnno vuto un grnde successo qundo sono stti introdotti: venivno utilizzti dgli stronomi e di fisici per semplificre i loro clcoli. Ancor un volt l mtemtic viene pplict ll reltà, per risolvere problemi quotidini. Introduzione l concetto di ritmo: Fccimo cpire ll clsse che non tutte le equzioni (e disequzioni) esponenzili si possono ridurre ll form cnonic e quindi non tutte si possono risolvere con i metodi già visti durnte lo studio delle funzioni esponenzili. Un esempio è l seguente equzione: 2 x =3. È evidente che, in bse lle conoscenze fin qui cquisite, il secondo membro di tle equzione non può essere scritto come potenz di 2. M è nche evidente, che tle equzione mmette un e un sol soluzione in qunto l funzione esponenzile è biunivoc. Possimo inoltre convincerci di questo, interpretndo grficmente l suddett equzione; ess inftti equivle l seguente sistem: y y e quindi l risoluzione dell equzione corrisponde ll ricerc del punto di intersezione tr l curv di equzione y = 2 x (grfico dell funzione esponenzile di bse 2) e l rett di equzione y = 3. Fccimo vedere con derive il grfico e possimo notre che il punto d intersezione esiste ed è unico; l su sciss rppresent quindi l soluzione dell equzione considert. Come si può clcolre in modo immedito e preciso l soluzione di un equzione esponenzile non ridott in form cnonic? L rispost quest domnd, sono i ritmi. x I ritmi inftti nscono proprio dll esigenz di risolvere equzioni esponenzili del tipo 2 3. L soluzione di equzioni del tipo x = b viene proprio indict introducendo il ritmo ossi: x b. In tle espressione è dett bse del ritmo, mentre b è detto rgomento del ritmo. Not Didttic: fccimo notre i rgzzi che 2 3 x

5 nel cso in cui b < 0 oppure b = 0, l equzione non mmette soluzione, perché tutti i punti dell curv esponenzile hnno ordint positiv. 1 poiché per = 1 l equzione esponenzile divent 1 x = 1 x ; quindi se b 1, l equzione h infinite soluzioni, mentre se b 1, l equzione srebbe impossibile. Dopo qunto ppen osservto possimo concludere che se > 0, 1 definizione x b x b e b > 0, si h per Not didttic: Fccimo rgionre i rgzzi sull esistenz del ritmo di un numero minore, oppure ugule 0. I rgzzi dovrebbero dedurre che tle ritmo non può esistere perché per definizione b = c c = b e se b 0 tle uguglinz non può sussistere. Dopodiché si introducono le proprietà dei ritmi con reltive dimostrzioni. b 1 1 Not didttic: llo scopo di imprre riconoscere ed pplicre le proprietà dei ritmi si proporrnno lcuni semplici esercizi. Si propone inoltre di non insistere troppo con questi esercizi in qunto tornernno ripetutmente (come già detto) nello studio di equzioni e disequzioni. Not Didttic: dopo ver introdotto due ritmi specili ossi i ritmi nturli e i ritmi decimli, fccimo notre i rgzzi che le clcoltrici scientifiche consentono il clcolo si dei ritmi nturli si dei ritmi decimli. A tle proposito occorre ricordre che, conformemente ll notzione nglosssone, sulle clcoltrici scientifiche i ritmi nturli sono solitmente denotti con il simbolo ln, mentre i ritmi decimli sono denotti con il simbolo. A questo punto introducimo definizione di funzione ritmic: Definizione: Si dto un numero rele 0, 1, è possibile ssocire, un qulsisi numero rele x 0, il x come segue x x (,x \ 0 ) Viene così definit un funzione rele di vribile rele, di equzione funzione ritmic di bse, il cui dominio è \ 0. c b 0 c y x, che si chim Poi rppresentimo i grfici ( mno) con i rgzzi, e deducimo con loro le opportune proprietà (dominio, immgine, crescenz, cos succede se x v verso vlori molto piccoli, si potrebbe introdurre in modo intuitivo il concetto di limite). È opportuno poi portre i rgzzi in lbortorio e fr vedere i grfici ttrverso Derive.

6 Infine, in un sistem di riferimento crtesino disegnimo il grfico dell funzione y 2 x. Nello stesso sistem di riferimento disegnre, senz fre clcoli, i grfici delle funzioni y 2 x, y 2 x 1, y 1 2 x. Note Didttiche: Dopo ver ftto disegnre i rgzzi i grfici degli esercizi 1 e 2, si consigli di riproporre gli stessi esercizi con Derive, in qunto dà l visulizzzione immedit delle crtteristiche richieste. Dopo ver studito i grfici dell funzione ritmic, e precedentemente quelli dell funzione esponenzile, è bene sottolinere ncor che l funzione ritmic è l invers dell funzione esponenzile e bnlmente, llo stesso modo, l funzione esponenzile è l invers dell funzione ritmic. Fccimo nche notre i rgzzi che poiché l funzione ritmic è l invers dell esponenzile, il suo grfico si ottiene sottoponendo i punti dell curv esponenzile un simmetri rispetto ll bisettrice del I e III qudrnte: Equzioni ritmiche Definizione: Si definiscono equzioni ritmiche quelle equzioni in cui l incognit compre nell rgomento di uno o più ritmi. Not didttic: nche in questo cso fccimo notre i rgzzi che ln x 3 5 ritmic, mentre x 5 ln 3 0 non è un equzione ritmic. è un equzione Comincimo presentre delle equzioni esponenzili risolubili per mezzo dei ritmi e mostrimo l possibilità dt di ritmi di risolvere equzioni esponenzili i cui membri sino prodotti e quozienti di bsi diverse. Inftti, in generle, se f ( x) 0 e g( x) 0 sono due funzioni che rppresentno prodotti e quozienti di termini positivi, in cui l incognit compre solo nell esponente di lcuni di essi, llor sono definiti i ritmi di tli funzioni in un cert bse 0, 1 e si h f ( x) g( x) f ( x) g( x ). A questo punto fccimo x 1 x oppure rgionre i rgzzi su lcuni esempi concreti come d esempio x x Not Didttic: Si psserà or llo studio delle equzioni ritmiche insistendo sul ftto che prim di risolvere l equzione occorre innnzitutto studire le condizioni di esistenz dell soluzione; è meglio sottolinere che tli condizioni sono espresse di vlori di x che pprtengono l dominio, ossi di vlori di x per i quli l equzione ssume significto. Dopo ver studito le condizioni di esistenz si procederà ll su riduzione ll form cnonic f ( x) g( x) d cui si potrà poi pssre gli rgomenti cioè f(x) = g(x). Un volt trovt l soluzione si dovrà verificre se ess è ccettbile in bse lle condizioni studite ll inizio. Esempi:

7 3 x-1 = 7 1+x ln(x-2) + ln x = ln (9-2x). Disequzioni ritmiche Definizione: Si chimno disequzioni ritmiche quelle disequzioni in cui l incognit compre nell rgomento di qulche ritmo. Fccimo vedere l possibilità, sotto certe condizioni, di pssre d un disequzione esponenzile (con bsi diverse), un disequzione ritmic. In questo cso si dovrà ricordre di porre grnde ttenzione ll monotoni dell funzione ritmic e quindi che vle: Se 1, f ( x), g( x) 0 f ( x) g( x) f ( x) g( x) Se 0 1, f ( x), g( x) 0 f ( x) g( x) f ( x) g( x) Pssimo or llo studio delle disequzioni ritmiche vere e proprie, per le quli non devono essere tenute presenti solo le proprietà di monotoni m nche le condizioni di esistenz dell disequzione. Dopo ver studito le condizioni di esistenz si procederà ll riduzione dell disequzione ll form cnonic f ( x) g( x) d cui si potrà pssre ll disuguglinz degli rgomenti, ricordndo che si deve cmbir il verso dell disequzione qundo l bse dei ritmi è <1. Esempi: 3 x x >29. 2 (x-1) < 1 3 x + 3 (x-8) > 2

8 Esercizi (trtti dll verific formtiv e sommtiv) Esercizio 1: Conoscendo l ndmento del grfico y = ½ (x), disegn i grfici delle funzioni y = ½ (-x), y = ½ (x-1), y = 1+ ½ (x) Esercizio 2: Determin il dominio dell seguente funzione: y = 4 5 ( x (4 2 x 1) 2 ) Esercizio 3: Risolvi le seguenti equzioni ritmiche: 2 (x+4) = (2-x) 2 (x-1) + (x-2) = (x 2-3x+2) ln 2 x+ln x = 0 Esercizio 4: Risolvi le seguenti disequzioni ritmiche: 2 (x-1)<1 1/2 (4 x -2 x )>1

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