ESPONENZIALI e LOGARITMI

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1 M.Mrinro LOGARITMI_5.doc ESPONENZIALI e LOGARITMI. Potenz d esponente rele Lo studente del 3 nno dell I.T.I, cui l presente dispens si rivolge, dovrà certmente conoscere i concetti di potenz d esponente intero e d esponente rzionle (frzionrio) bse non negtiv. Dovrà inoltre conoscere il concetto di numero rele come sezione del cmpo Q dei numeri rzionli reltivi. Scopo di quest prim prte è di estendere il concetto di potenz, già ppreso nel corso del e nno di corso, quello di potenz d esponente rele. Cioè dre un significto l simbolo con, R e = b Prendimo in considerzione l uguglinz come si può notre, compiono tre numeri reli : : l bse dell potenz : l esponente dell potenz il vlore dell potenz stess b : Impostimo desso un problem: determinre uno di quei tre numeri qundo si conoscono gli ltri due Dividimo l soluzione del problem in tre csi con lo schem seguente : ) dti e trovre b (problem diretto) ) dti b e trovre ( problem inverso) 3) dti e b trovre ( problem inverso) Soluzione del cso) Se è intero ( Z), il problem riconduce qunto imprto l nno del corso. Se è rzionle ( Q), il problem riconduce qunto imprto l nno del corso. Ricordimo l uguglinz : m n n m =. cso) Consiste nel clcolre = b rifcendosi ll teori sui rdicli. 3 cso) Non si può risolvere con le conoscenze cquisite fin qui. Inftti, quest ultimo è il problem che ci invit d inventre e quindi introdurre il concetto di ritmo che permetterà di risolvere il e 3 cso e... tnti ltri problemi che si prirnno.

2 M.Mrinro Logritmi.doc Risult necessrio, quindi, effetture l estensione di cui si prlv ll inizio di quest trttzione. A questo scopo indichimo con y l espressione (con R + e Q), quindi scrivimo : y = che viene chimt funzione esponenzile Cerchimo desso di rppresentre (per punti) l funzione esponenzile su un pino crtesino. Elboreremo l rppresentzione con due esempi crtteristici : es.: bse > (es. = ) quindi y = es.: bse < < (es. = 3 ) quindi y = 3 Le due tbelle che seguono ci mostrno rispettivmente l ndmento (discreto) dei vlori delle funzioni proposte y = e y = l vrire di (cioè, dndo d vlori interi reltivi, di 3 mggiore semplicità d uso) : -4 /6-3 /8 - /4 - / (/3) /3 /9 3 /7 4 /8 Esminndo queste tbelle ci ccorgimo che: ) l potenz è sempre positiv e crescente per vlori crescenti dell ; notimo inoltre, che diminuisce indefinitivmente, vvicinndosi sempre più l vlore (senz mi rggiungerlo) qundo ssume vlori negtivi sempre più piccoli in vlore reltivo (cioè : sempre più grndi in vlore ssoluto m con segno negtivo) ; b) l potenz è sempre positiv m diminuisce indefinitivmente, vvicinndosi sempre più l 3 vlore (senz mi rggiungerlo) qundo ssume vlori positivi sempre più grndi ; invece risult crescente fcendo ssumere d vlori negtivi sempre più piccoli.

3 M.Mrinro LOGARITMI_5.doc Intuitivmente, possimo estendere qunto detto e visto negli esempi precedenti l cso generle e trrre le conclusioni che seguono : per > l funzione esponenzile y = è positiv e crescente l crescere di ; per < < l funzione è sempre positiv m decrescente l crescere di ; per = è bnle che risulti y = per qulunque vlore di. Possimo, desso, ttribuire un significto l simbolo qundo, R e >, come vevmo proposto ll inizio di quest trttzione. Per rendere più chiro il concetto ci limiteremo ll uso di un esempio : Estensione del simbolo Ricordimo che il numero è individuto dlle seguenti successioni di numeri rzionli (clssi) che indicheremo rispettivmente con A e B : A B,4,5,4,4,44,45,44, Not : i numeri di A pprossimno per difetto il vlore mentre i numeri di B lo pprossimno per eccesso. Viene spontneo, questo punto, considerre le successioni che seguono indicte con i simboli C e D : C D,4,5,4,4,44,45,44, Anlizzndo ttentmente queste tbelle possimo trrre le conclusioni seguenti ponendole sotto due ipotesi : > : l successione C è crescente, l D è decrescente ; ogni termine dell C è minore di ogni termine dell D ; possimo inserire nell C potenze di con vlore minore di ciscun termine di C e possimo inserire nell D potenze di con vlore mggiore di ciscun termine di D l C non h un vlore mssimo, l D non h un vlore minimo ; l C e l D sono seprte (cioè : non hnno elementi in comune). 3

4 M.Mrinro Logritmi.doc Le proprietà desso elencte sono quelle che definiscono un sezione del cmpo rzionle e che ci permettono di concludere che è un numero rele < < : l successione C è decrescente, l D è crescente ; le ltre proprietà restno invrite se si us l ccorgimento di invertire i ruoli delle clssi C e D. Qunto detto fin qui ci permette di concludere che è possibile estendere d esponente rele e bse rele non negtiv ; l potenz è un numero rele non negtivo ed nche per ess è possibile effetture le posizioni seguenti già vlide per le potenze d esponente intero o rzionle : = per ogni = per ogni = per ogni Not: si può notre che in tutt l trttzione compre l ipotesi >. necessri in qunto l regol che permette di determinre il segno di un potenz bse negtiv ed esponente intero non è pplicbile l cso dell esponente rele dto che, in questo cso, non si può stbilire se l esponente si pri o dispri (essere pri o dispri sono proprietà esclusive dei numeri interi). Quindi : NEL CAMPO REALE NON SI PUO` DEFINIRE UNA POTENZA AD ESPONENTE REALE CON BASE NEGATIVA 4

5 M.Mrinro LOGARITMI_5.doc I grfici delle fig. e rppresentno l ndmento delle funzioni descritte pg. Grfico dell funzione: y = 8 y fig. Grfico dell funzione: y = (/3) fig. 9 y

6 M.Mrinro Logritmi.doc. L interpolzione linere Fin qui simo riusciti definire il concetto di potenz di un numero rele non negtivo d esponente rele m non bbimo ncor risolto il problem prtico del clcolo di un tle potenz. Allo studente sprovveduto ed bituto d usre l clcoltrice tscbile potrebbe sembrre ozioso ed inutile l rgomento che stimo per trttre m questi deve riflettere sul ftto che qulcuno h costruito gli strumenti elettronici di clcolo utilizzti llo scopo e tle relizzzione è frutto di nni di ricerc nel cmpo dell mtemtic, dell fisic, dell informtic, dell tecnoi. Non è ozioso, né tnto meno inutile, conoscere qulche modello mtemtico su cui si bs il clcolo degli esponenzili o di ltre funzioni trscendenti, tenendo presente che l interpolzione linere, trttt in questo prgrfo, non è soltnto uno di quei metodi m un concetto di grnde importnz che troverà più lrghe ppliczioni nel corso degli studi futuri. Puntulizzimo il problem sempre con l iuto di un esempio. Sppimo clcolre fcilmente potenze d esponente intero del numero. Sppimo clcolre ltrettnto fcilmente potenze del tipo 3,74? 374 Potremmo scrivere: 3, 74 = 374 = m così ci trovimo di fronte d un rdicle dir poco pzzesco. Provimo d inqudrre il problem in generle ed pplicre poi l soluzione ll esempio scelto. Supponimo di vere un generic funzione y = f() (nel nostro cso y = ) il cui grfico indictivo è riportto in fig.3, inoltre supponimo di conoscere o poter clcolre fcilmente due distinti vlori dell funzione per due distinti vlori dell, cioè: y = f( ) e y = f( ) Voglimo, desso, clcolre il vlore di y per un vlore di che chimeremo e che si compreso tr e. 6 Restimo nelle condizioni che y non si fcilmente clcolbile come nel cso di 3,74 per cui si h 3 < 3,74 < 4. L interpolzione linere è un metodo che permette di clcolre un vlore pprossimto di y ; esso consiste nel supporre che, nel trtto che v d A B, l curv che rppresent l funzione bbi un ndmento rettilineo (fig.3). A questo scopo trccimo il segmento AB e costruimo l fig.4 come un ingrndimento dell fig.3 per vedere meglio come vnno le cose.

7 M.Mrinro LOGARITMI_5.doc Decidimo di ccettre come vlore pprossimto di y il vlore y che corrisponde ll ordint del punto Q sul segmento AB (fig.4). E` ovvio che nel fre ciò si commette un errore ε = PQ che può essere nche consistente, quindi il metodo dell interpolzione linere è ccettbile nell misur di quell errore. Del resto tle metodo non è l unico m esistono ltri tipi di interpolzione che permettono di pprossimre y con più precisione. L interpolzione linere, p.es., risult efficce qundo i punti e sono bbstnz vicini oppure qundo il rggio di curvtur dell f() tr i punti A e B è sufficientemente grnde. Osservndo l fig.4 si ricv fcilmente che i tringoli AQH e ABK sono simili, quindi possimo scrivere: QH : AH = BK : AK d cui si ricv BK AH QH = e pssndo lle AK coordinte dei punti si h: y y ( y y )( ) = y + (;) ( y y )( ) y = ed infine e poiché y è un vlore pprossimto di y dobbimo scrivere y y in conclusione srà: y y + ( y y )( ) Not: il cso dell fig.4 ci mostr con evidenz che il vlore y è minore di y, quindi, lo pprossim per difetto, ciò ccde perché l curv disegnt rivolge concvità verso il bsso; ppre subito evidente che, se l curv rivolgesse concvità verso l lto il vlore y pprossimerebbe y per eccesso. Adesso pplichimo qunto descritto sopr ll esempio preso in considerzione ll inizio di questo prgrfo. 7

8 M.Mrinro Logritmi.doc Voglimo clcolre un vlore pprossimto del numero 3,74. Prim di tutto occorre trccire il grfico dell funzione y = (fig.5) (ovvimente non sono rispettte né scle né proporzioni). Il numero 3,74 è compreso tr 3 e 4 (cioè 3 < 3,74 < 4) che sono gli esponenti interi più vicini 3,74 per cui risult fcile clcolre le rispettive potenze di. Quindi: =3; =4; =3,74; y = 3 =8; y = 4 =6; y =? Srà ver l relzione: 8 < 3,74 < 6. Applicndo l (;) si h: quindi: y = y + ( y y )( ) y 3,9 N.B.: lo studente potrebbe verificre l correttezz di qunto visto fin qui clcolndo il vlore di 3,74 con l clcoltrice tscbile per mezzo del tsto y, troverebbe il numero 3,36 con un differenz dl vlore trovto con l interpolzione linere di circ,56. Inftti, in questo cso, l clcoltrice non pplic l interpolzione linere m un ltro tipo di interpolzione senz ltro più precis; tuttvi non si cred che il risultto fornito dll mcchin si quello vero, srà comunque sempre pprossimto dto che si trtt di numeri irrzionli. In ogni cso è bene spere che si h un pprossimzione più precis qunto più dtt è l interpolzione ust. 8

9 M.Mrinro LOGARITMI_5.doc 3. I LOGARITMI Un volt definito il concetto di potenz d esponente rele e indicto il metodo o i metodi per clcolrne il vlore, possimo desso ffrontre l risoluzione del problem inverso descritto nel, Cioè: dt l equzione = b con e b costnti e incognit, esiste qulche vlore rele di che soddisfi l relzione? Un scrittur del tipo = b con e b costnti e incognit, viene dett equzione esponenzile elementre. Più in generle noi definimo equzione esponenzile un qulsisi equzione dove l incognit compi ll esponente di qulche potenz. + Per esempio, + 5 = 7 è un equzione esponenzile m non elementre. E` quindi evidente il motivo per cui = b h l ttributo di elementre. Gli esempi che seguono mostrno lcune equzioni esponenzili elementri di immedit soluzione:. = 3 è evidente che = 5. 3 = 8 è evidente che = 4 3. = è evidente che = 3 E se l equzione fosse 3 = 8? Srebbe comunque un equzione esponenzile elementre m non di immedit soluzione come le precedenti. Il concetto di ritmo viene introdotto come prim rispost l problem dell ricerc delle eventuli soluzioni dell equzione esponenzile elementre generic. Si dt l equzione = b (con R + ) fccimo subito le seguenti osservzioni: ) se = e b llor l equzione non vrà lcun soluzione in qunto un qulsisi potenz di vle sempre. b) se = e b = llor l equzione vrà infinite soluzioni per lo stesso motivo di prim. Le osservzioni precedenti ci utorizzno non prendere in considerzione il cso in cui =. Quindi, d or in poi supporremo sempre: > e (Ricordrsi che non è possibile supporre!!!) Per nlizzre le soluzioni dell equzione = b (con > e ) non occorre spendere molte prole m bst osservre ed nlizzre ttentmente i quttro grfici riportti nelle fig. 6,7,8,9 che rppresentno le quttro distinte condizioni che si possono verificre sui vlori di e di b. 9

10 M.Mrinro Logritmi.doc Innnzi tutto possimo subito ffermre che l equzione esponenzile =b non può vere più di un soluzione, cioè: dti due numeri reli positivi e b, con, esiste uno ed un solo numero che soddisfi ll equzione =b. Questo si può immeditmente osservre di grfici sopr riportti. Il punto P è unico! L ordint di P è il vlore di b mentre l sciss è l soluzione dell equzione esponenzile =b. Quindi possimo rissumere l nlisi dei quttro grfici nello schem che segue: fig.6:se > e b> l soluzione è positiv fig.7:se > e <b< l soluzione è negtiv fig.8:se << e b> l soluzione è negtiv fig.9:se << e <b< l soluzione è positiv Le situzioni espresse dllo schem precedente si possono sintetizzre come segue: se un potenz e l su bse sono entrmbe mggiori o minori di llor l esponente srà positivo, invece, se l potenz e l su bse sono un mggiore e l ltr minore di llor l esponente srà negtivo.

11 M.Mrinro LOGARITMI_5.doc A conclusione e sintesi di qunto detto in questo prgrfo possimo dire che: l equzione = b (con, b R e >,, b>) un e un sol soluzione e quest soluzione viene chimt Definizione di ritmo: ritmo di b in bse e si indic con il simbolo = Dicesi ritmo di un numero rele positivo b in un dt bse ( R > ), l esponente che bisogn dre ll bse per ottenere in numero b. Fccimo qulche esempio di immedit comprensione: Due csi prticolri vlidi per ogni vlore di (con le ipotesi dell definizione): = = Altri esempi: 6 4 dto che risult 4 = 6 = 7 3 dto che risult 3 3 = 7 3 = 8 = 4 dto che risult = 3 = b = dto che risult = 6 = dto che risult 84, 7 = 3 = 3 dto che risult 3 3 = 7 3 = 7 3 dto che risult 3 3 = 7 3 =, = dto che risult = =,

12 M.Mrinro Logritmi.doc 4. Clcolo di un ritmo Funzione ritmic Nel prgrfo precedente bbimo dto lcuni esempi di clcolo di ritmi di immedit esecuzione (ovvero, come si suol dire, in cso di potenze perfette); come si può clcolre un ritmo qulsisi? Es.: 7. E` evidente che 7 non è un potenz di né con esponente intero e né frzionrio. L interpolzione linere trttt nel, può essere un metodo utile per il clcolo di ritmi non immediti. Tuttvi per utilizzrl dobbimo conoscere in qulche modo l funzione ritmic e l su rppresentzione grfic. Possimo procedere con l stess tecnic ust per l funzione esponenzile. Quindi, per rendere più semplice lo studio di un tle funzione, utilizzimo due esempi elementri m sufficientemente significtivi. Premesso che un funzione del tipo y = (con >) viene dett funzione ritmic. I due csi prticolri scelti come esempio individuno due condizioni importnti: ) cso in cui l bse risult mggiore di ; es.: b) cso in cui l bse risult minore di (>); es.: Qui di seguito sono riportti tbelle e grfici delle due funzioni ottenuti lvorndo per punti come ftto per gli esponenzili. /8-3 ¼ - ½ y Grfico dell funzione ritmic in bse fig.

13 M.Mrinro LOGARITMI_5.doc Grfico dell funzione ritmic in bse / /8 3 ¼ ½ fig y In entrmbe i csi l funzione non esiste per vlori di come è ovvio. Nel cso (fig.) l funzione ssume vlori negtivi, sempre crescenti, qundo ssume vlori compresi tr e ; per = è y =; infine ssume vlori positivi, sempre crescenti, per >. Nel cso (fig.) l funzione ssume vlori negtivi, sempre decrescenti, qundo ssume vlori compresi tr e ; per = è y =; infine ssume vlori positivi, sempre decrescenti, per >. Adesso possimo pplicre l interpolzione linere per clcolre, d esempio, 7: poiché risult 6<7<3, dove 6 e 3 sono le potenze di d esponente intero più vicine 7 e che pprossimno il numero 7 per difetto e per eccesso rispettivmente, si vrà 6 < 7 < 3 e cioè 4 < 7 < 5 Utilizzndo gli stessi simboli del vremo : =6 y =4 =3 y =5 =7 y =? ricordndo, or, l formul dell interpolzione linere ( y y )( ) ( 5 4)( 7 6) y = y + si h : y 4 + = 4 + = 4,65, quindi potremo dire che 7 4,65 che pprossim il vlore vero di 7 per difetto come si può osservre dll concvità dell curv che è rivolt verso il bsso. 3

14 M.Mrinro Logritmi.doc Altro esempio : clcolre un vlore pprossimto di 6. Si h, successivmente : 4 < 6 < 8 e poiché l bse è / l curv ritmic è decrescente, quindi 8 < 6 < 4 cioè 3 < 6 < Applicndo l interpolzione linere si ottiene : ( ( 3) )( 6 4) = 3 + =, 5 che pprossim il vlore di 6 per 8 4 eccesso. Dll osservzione ttent dell fig. si verific l coerenz di qunto detto. 5. Teoremi sui ritmi I ritmi godono di importntissime proprietà che permettono, come vedremo in seguito, notevoli ppliczioni si di crttere mtemtico che tecnico. Innnzi tutto occorre notre che : ) poiché, come bbimo già visto, l soluzione dell equzione esponenzile elementre =b (con >,, b>) è unic ; cioè, il ritmo di un numero positivo in un dt bse, se esiste, è unico; segue che: due numeri positivi uguli hnno lo stesso ritmo nell stess bse ; in simboli : se p=q llor p = q b) se > e p>q llor p > q c) se < < e p>q llor p < q Adesso possimo enuncire e dimostrre i quttro teoremi fondmentli dei ritmi, reltivi lle operzioni tr numeri reli (operzioni comunque legte ll moltipliczione). I Teorem: il ritmo del prodotto di due o più numeri reli positivi è ugule ll somm dei ritmi dei singoli fttori, nell stess bse. Cioè: ( p q... r...) = p + q r... + Limitimo l dimostrzione l cso di fttori. Quindi si h : ponendo p = b che equivle scrivere b = p e q = c che equivle scrivere c = q risult p q = b c = b+c e quindi (p q) = b+c e pplicndo le posizioni ftte, si ottiene infine (p q) = p + q c.v.d. 4 Esempi: ) 5 = (3 5) = ) 8 = (3 4 ) = ( ) = = 4 3 3) 7 49 = 7 (7 ) = 7 (7 7) = = 7 7 = =

15 M.Mrinro LOGARITMI_5.doc II Teorem: il ritmo del quoziente di due reli positivi è ugule ll differenz tr il ritmo del dividendo e il ritmo del divisore, nell stess bse. Cioè: p = p q q Inftti ponendo l solito: p = b che equivle scrivere b = p e q = c che equivle scrivere c = q risult p/q = b / c = b-c e quindi (p/q) = b-c ed infine (p/q) = p - q c.v.d. Esempi: ) 3 4 = 3 (8/) = ) 8 = (6/) = 6 - = 4- (es. un po forzto!) 838 3) = III Teorem: il ritmo di un potenz è ugule l prodotto dell esponente per il ritmo dell bse (dell potenz), nell stess bse. Cioè: p Inftti ponendo l solito: p = b che equivle scrivere b = p ed elevndo k mbo i membri di quest ultim, risult ( b ) k = p k d cui bk = p k e ritornndo ll espressione ritmic si h p k = k b e infine p k = k p c.v.d. Esempi: ) 8 = 3 4 = 4 3 ) 5 5 = = 3 5 5= 3 3) 87 = 87 k = k IV Teorem: il ritmo di un rdicle è ugule l rpporto tr il ritmo del rdicndo e l indice del rdicle, nell stess bse. Cioè: n p p = n p ovvero n p = n p Inftti ricordndo che è n p n = p ed pplicndo il III teorem, si h : 5

16 M.Mrinro Logritmi.doc n p n p = p = = p c.v.d. n n Esempi: ) 5 3, 8 = 3, 8 5 ) 4, = = = = (es. un po forzto!) 4 3) 3 6 = 6 3 Questi teoremi sono dell mssim importnz si per il clcolo di espressioni numeriche si per lo studio di grfici d ndmento ritmico o esponenzile. In bse questi teoremi, le operzioni di moltipliczione, divisione, elevzione potenz ed estrzione di rdice vengono trsformte in ddizione, sottrzione, moltipliczione e divisione con notevole riduzione dell propgzione degli errori, fenomeno ben noto d un tecnico! Esempi di esercizi 4 bc d. Dto m =, prendendo i ritmi nell stess bse (che omettimo) si h, di p q seguito : 4 bc d 4 4 m = = ( bc d ) ( p q) = b + c + d ( p + q)= p q = b + c + d p q 4 bc d. Dto n = 3, procedendo come sopr si h, di seguito : 4 p q bc d 4 n = = ( ( bc d ) ( p q ))= 4 3 p q 3 = b + c + d p 4 q. 3 N.B. : per semplicità non sono stte riportte le bsi dei ritmi, ciò verrà ftto spesso in seguito e vorrà dire che, in quel contesto, i ritmi s intendono tutti nell stess bse. ATTENZIONE - IMPORTANTE!!! Non esistono proprietà e/o teoremi che permettono l trsformzione del ritmo di un somm. Esempio : (p+q+t+...) =??? Non si commett l errore (p+q) = p q o ltri del genere che purtroppo sono molto diffusi tr quegli studenti che ffrontno questo rgomento con un cert superficilità!!! 6

17 M.Mrinro LOGARITMI_5.doc 6. Sistemi di ritmi - Logritmi decimli e neperini - Il numero e Nel vevmo prlto dell interpolzione linere come di un metodo che ci permette di clcolre quei vlori di ritmi o di potenze d esponente rele di numeri positivi non clcolbili con i metodi rzionli che bbimo ffrontto con l Algebr elementre. Avevmo nche detto che l interpolzione linere non è l unico metodo per quell obiettivo m ne esistono ltri, meno elementri, m spesso più efficci per l riduzione dell errore inevitbile che si commette trttndosi di numeri irrzionli. In questo prgrfo voglimo fissre l ttenzione sul clcolo dei ritmi di numeri reli positivi prevedendo l uso di clcoltrici tscbili o PC disponibili per gli opertori e che hnno mndto in pensione ormi le vecchie tvole e in molti csi nche il regolo clcoltore tnto mto dgli ingegneri. Quindi l trttzione si limiterà quelle proprietà che permettono un uso intelligente degli strumenti elettronici di clcolo. Osservndo il tstierino di un clcoltrice tscbile, ci si ccorge che è possibile clcolre direttmente soltnto due ritmi di un numero positivo : quello in bse e quello in bse e. (Del numero e di Nepero prleremo estesmente più vnti) Adesso ci ponimo due domnde :. Come possimo clcolre il ritmo di un numero positivo in un bse divers d quelle due, utilizzndo l clcoltrice?. Perché sono stte scelte quelle due bsi ( ed e ) come fondmentli? L rispost ll prim domnd viene dimostrndo il V teorem detto del cmbio di bse. V Teorem (del cmbio di bse): il ritmo in bse di un numero positivo p è ugule l rpporto tr il ritmo del numero p nell bse b e il ritmo del numero sempre nell bse b. Cioè: p = b b p Inftti, posto p = (cioè = p), ricordndo l proprietà ) del 5, srà vlid nche l uguglinz b = b p che per il III teorem divent b = b p d cui si ricv b p b p = quindi p = c.v.d. b b Esempi: ) ) 3) 4) = 5 e 8 = e 8 e = e 35, e 35, 4 = e 4 7

18 M.Mrinro Logritmi.doc Inoltre si può fcilmente clcolre che: e =, e e =, Spesso i ritmi decimli vengono indicti con il simbolo Lg e quelli nturli (neperini) con il simbolo ln (leggi: ritmo nturle). Quindi in simboli convenzionli si h: Log e =, e ln =, L enorme importnz di quest ultimo teorem è evidente. In sintesi dicimo così: poiché è sempre possibile effetture un cmbimento di bse di un ritmo, non occorre costruire strumenti di clcolo di ritmi in diverse bsi (ssurdo perché infinite) m bst sceglierne un sol, l più significtiv o opportun. Quindi dimo l seguente Definizione : l insieme dei ritmi dei numeri reli positivi in un dt bse (> e ) si chim sistem di ritmi in bse. Tr gli infiniti sistemi di ritmi, sono stti scelti come fondmentli quelli in bse e quelli in bse e =, Quindi provimo rispondere ll second domnd. L importnz dei ritmi in bse (detti nche di Briggs, o volgri) è strettmente legt l ftto che il nostro sistem di numerzione è decimle (cioè in bse ) che rende semplice il clcolo di quei ritmi. Ciò h reso semplice, nell immedito pssto, nche l compilzione delle tvole ritmiche uste prim delle clcoltrici. Oggi le clcoltrici e i PC hnno mndto in rchivio le vecchie tvole; tuttvi, occorre ricordre (non per retoric m per quotidin verific di chi scrive) che se gli strumenti utomtici di clcolo non vengono usti con intelligenz, rguzi e soprttutto con competenz, si rischi di venire usti d quegli strumenti ovvero si rischi di commettere errori nche concettuli se decidessimo di fidrci ciecmente dell utomzione. Se commettessimo tli errori per quel motivo llor potremmo dire di ver mndto in rchivio non le tvole m il cervello. Ricordimoci sempre che il clcoltore non sostituisce l ingegno umno solo permette di fre molte noiose operzioni in un tempo estremmente breve. Il computer non risolve, non progett, esegue soltnto ordini che devono essere dti correttmente, sequenzilmente e senz mbiguità d chi h risolto il problem; se non sppimo risolvere il problem, li computer sprà frlo molto peggio di noi ; ovvero: può rimnere spento. Ricordte che: il computer è un cretino molto veloce che si mmzz di lvoro! Perdont l digressione possimo tornre i nostri ritmi soffermndoci un po su quelli nturli. Perché vengono chimti nturli? Perché l loro bse è quel numero irrzionle e che tutto sembr trnne che nturle? Il numero e è ppunto irrzionle ovvero illimitto non-periodico e quindi non esprimibile in frzione. Potrebbe sembrre strno che esso si stto scelto come bse di un sistem di ritmi. Il termine nturle ovvimente non è dto l numero di Nepero m l ftto che esso nsce (viene scoperto) nell determinzione delle soluzioni di numerosi problemi dell Fisic, soluzioni che vengono dte sotto l form di potenz di quel numero. L Fisic studi e descrive mtemticmente fenomeni nturli. Per giustificre qunto detto descriveremo due fenomeni ssolutmente nturli (cioè che vvengono senz l intervento umno) ed un fenomeno invece provocto dll uomo. Tutti questi fenomeni vengono descritti secondo funzioni esponenzili di e. E precismente :. Vrizione dell distribuzione delle molecole di un tmosfer, come quell terrestre, in ssenz di perturbzioni.. L legge di decdimento rdiottivo. 3. Vrizione dell quntità di cric sulle rmture di un condenstore collegto d un genertore di f.e.m. continu in condizioni trnsitorie. 8

19 M.Mrinro LOGARITMI_5.doc Esempio In questo cso il problem è quello di scoprire con qule legge l tmosfer subisce l rrefzione in funzione dell quot (fenomeno molto noto chi frequent l lt montgn). Ricordimo che le molecole dell tmosfer, suppost tempertur T costnte, sono in continu gitzione termic e che esse sono sottoposte ll ttrzione grvitzionle d prte dell Terr (l forz di grvità su ogni molecol srà mg). L soluzione del problem in esme è dt dll equzione esponenzile mgh kt N = N e (6.) in cui N è l densità delle prticelle ll quot h, T è l tempertur suppost costnte e k è l costnte di Boltzmnn (k =,38-3 fig. J/ K). Lo studio dell ndmento dell (6.) mostr che l densità diminuisce esponenzilmente con l quot. L fig. mostr il grfico dell densità di O di H in funzione dell ltezz nel cmpo grvitzionle. Esempio E` noto che lcune sostnze, dette rdiottive, emettono spontnemente rdizioni nturli. In questo processo si h lo spontneo mutrsi degli tomi di tli sostnze in ltri tomi. Un legge fondmentle dell trsformzione rdiottiv stbilisce che il numero N di tomi che si disintegrno in un tempo t, è dto dll equzione esponenzile N = N e -λt in cui il fttore λ è l costnte di decdimento rdiottivo ed è crtteristic per ogni tipo di tomo ; N è il numero di tomi ll istnte t=. In entrmbe questi esempi bbimo visto che si h che fre con un soluzione di form esponenzile con bse il numero di Nepero e del tipo y = y e -k (con y e k costnti). Un soluzione di questo genere, che è molto comune nelle scienze sperimentli, rppresent il comportmento sttistico di un grndissimo numero di situzioni individuli. Un modello di funzione come quell ppen descritt è utilizzt frequentemente in mbito sttistico e nel cmpo del clcolo delle probbilità. 3 Esempio Altro esempio di ppliczione di funzione esponenzile di e è dto dlle descrizioni di circuiti elettrici in condizione di trnsiente (tempi di pertur o di chiusur). Nel circuito riportto in figur, supponimo che l interruttore S veng portto nell posizione. Qule srà l intensità di corrente che circol nell mgli così formt? (Notimo che l corrente srà mssim qundo il condenstore C è scrico, V c =, e ndrà qundo C è crico).,,8,6,4, O H

20 M.Mrinro Logritmi.doc E L rispost l quesito è dt dll funzione esponenzile di e: i = e, dove E è l f.e.m. del R genertore, R l resistenz totle del circuito ; C l cpcità del condenstore. Il prodotto RC è un costnte che h le dimensioni di un tempo ed è chimt costnte di tempo cpcitiv. L fig.3 mostr invece il digrmm dell quntità di cric q nel cso prticolre in cui R = KΩ, C=,µF ; E=V. L costnte RC = -3 sec. In questo cso l funzione srà t RC q C E e t = RC NOTA STORICA Il numero e viene detto numero di Nepero dl nome del mtemtico inglese John Npier of Merchiston (55-67) che per primo costruì un tvol di ritmi con bse un numero molto vicino l vlore di e. L prim espressione nlitic del numero e fu dt, invece, d Eulero nel 737 che riuscì determinrlo come vlore cui tendev l successione n n + qundo n ssume vlori nturli vi vi crescenti. E` di Newton l determinzione di e come limite dell funzione y = + (con R + ) qundo tende +. Cioè risult e = lim +. + Il vlore di e riportto pg.7 è un vlore pprossimto ll 6ª cifr dopo l virgol clcolto per l prim volt d Ruggero Côtes (68-76). Il mtemtico Boormnn, nel 884, clcolò un vlore pprossimto di e con 347 cifre. Oggi se ne è dt un rppresentzione con più di 4 cifre. Dto che i ritmi in bse e costituiscono quello che viene chimto sistem dei ritmi nturli, per essi useremo il simbolo ln. Not: per un tecnico è di enorme importnz un buon conoscenz dei ritmi nturli, dimestichezz e bilità nel loro uso.

21 M.Mrinro LOGARITMI_5.doc 7. Equzioni ritmiche - Equzioni esponenzili Definizioni : ) Equzione ritmic è un qulsisi equzione in cui l incognit compi nell rgomento di qulche ritmo. ) Equzione esponenzile è un qulsisi equzione in cui l incognit compi nell esponente di qulche potenz. Ricordimo che risolvere un equzione signific trovre quei vlori dell incognit che soddisfno l uguglinz rppresentt dll equzione stess. Quindi, non occorre spendere molte prole sulle equzioni ritmiche o esponenzili un volt fisste e comprese le definizioni. V detto che non esistono prticolri regole di risoluzione m soltnto metodi indictivi per prticolri clssi di equzioni ritmiche o esponenzili. Comunque occorre tenere presente che qulunque si il grdo di complessità dell equzione, il risolutore deve seguire l obiettivo di cercre di ricondurre l equzione inizile (. o ep.) in ltre, equivlenti, che si presentino nell form di uguglinz tr due rimi o tr due esponenzili con l stess bse ed pplicre l biunivocità delle funzioni ritmiche o esponenzili. D cui il principio che : se i ritmi di due numeri (nell stess bse) sono uguli nche i due numeri devono essere uguli ovvero se due potenze (nell stess bse) sono uguli nche gli esponenti devono essere uguli. In simboli si h che un volt ottenut un equzione del tipo: A( ) B( ) si di conseguenz che = A() = B() e quest ultim divent un equzione lgebric. Per le esponenzili srà nmente: dt ( ) G( ) F = si h che F()=G(). IMPORTANTE : poiché non esistono ritmi di numeri negtivi o nulli, un volt trovte le eventuli soluzioni dell A()=B(), occorre verificre se sono ccettbili per l equzione inizile e scrtre quelle che contrddicono le condizioni di esistenz di un ritmo. Nel cso delle equzioni ritmiche, quindi, è necessrio discutere preventivmente le condizioni di esistenz, imponendo che gli rgomenti dei ritmi sino mggiori di zero. Inoltre, per le equzioni esponenzili è possibile considerre bsi differenti procedendo così : F ( ) G( ) dt l equzione = b si prendono i ritmi nell stess bse di mbo i membri F ( ) G( ) (p.es. i. nturli) e si ottiene ln = lnb d cui F ( ) ln = G( ) lnb che divent un equzione lgebric ( e b sono costnti). Not bene: null di qunto detto in queste pgine è difficile! Qulche psso può essere più complicto. Un buon conoscenz e un buon cpcità di ppliczione delle proprietà delle potenze, studite l nno, costituiscono l bse essenzile per fr bene queste cose. In bocc l lupo MM