Corso di Laurea in Scienze Biologiche

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1 Corso di Laurea in Scienze Biologiche Prova scritta di: ISTITUZIONI DI MATEMATICHE E FONDAMENTI DI BIOSTATISTICA Data: 14 giugno 2016 Nome e Cognome del candidato:... Numero di matricola:... Data orale:... I Parte Esercizio 1 Si consideri la funzione f con il seguente grafico: Determinare: 1

2 (a) Dom f = Img f = f(1) = (b) lim x 1 f(x) = lim x 1 + f(x) = (c) lim x f(x) = lim x + f(x) = La funzione ammette asintoti? In caso affermativo, determinare le equazione degli asintoti. (d) Determinare l insieme dove la funzione f risulta continua. (e) Dom f = ; giustificare la risposta. (f) Gli eventuali punti di massimo o minimo relativo. La funzione ammette massimo assoluto o minimo assoluto? Esercizio 2 Si considerino le seguenti funzioni f(x) = 1 x, g(x) = e x 2 x+3 Determinare (a) (g f)(x) = g 1 (x) = (b) Completare la tabella (dove è possibile): x g(x) g 1 (x) g(f(x)) 0 2 2

3 Esercizio 3 Determinare il dominio e la derivata prima delle seguenti funzioni: f(x) = 1 x ln 2 x, g(x) = cos(ln(sin x)) Dom f = f (x) = Dom g = g (x) = Esercizio 4 La nota casa produttrice di Nutella svolge un indagine sulla distribuzione per età dei consumatori. Vengono intervistate 200 persone e si hanno i seguenti risultati Classe di età [5, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 60) [60, 80) Numero di consumatori (a) Rappresentare graficamente la distribuzione mediante un istogramma rispetto alla frequenza relativa. (b) Determinare la classe modale, attenzione le classi non hanno tutte la stessa ampiezza. Determinare la media e la varienza della distribuzione. (a) 3

4 (b) Esercizio 5 Senza ricorrere agli strumenti del calcolo differenziale, tracciare in modo approssimato il grafico della funzione y = 1 + e x, a partire da quello di y = e x. Riportare con precisione nei riquadri sottostanti tutti i passaggi, dal grafico iniziale a quello finale, spiegando i passaggi. 4

5 Esercizio 6 Calcolare il seguente integrale definito ln 2 0 e x + 2x x 2 + e x dx = II Parte Esercizio 7 Si consideri la funzione f definita nell intervallo (, + ) come nella seguente figura. Disegnare il grafico della sua derivata, giustificando la risposta. Esercizio 8 Date le funzioni f(x) = e x, g(x) = 1 x. (i) Disegnare l area della regione di piano compresa tra i grafici delle due funzioni e le rette di equazioni x = 1 e x = 2. 5

6 (ii) Calcolare l area (i) Disegnare l area da calcolare (ii) Calcolare il valore dell area esplicitando i passaggi effettuati. Esercizio 9 Un campione casuale di 7 italiani ha fornito i seguenti dati relativi al reddito lordo (X) e alle tasse pagate (Y ) per l anno Individuo X in milioni di lire Tassa pagate - % del reddito lordo 1 35, 8 16, , 2 20,0 3 14, 9 15,2 4 7, 3 10, 1 5 9, 1 12, , 7 23, , 9 17, 3 (i) Si calcoli il coefficiente di correlazioe e si interpreti il risutato ottenuto. (ii) Tracciare il diagramma di dispersione e si metta in relazione con il coefficiente di correlazione. (iii) Calcolare la retta di regressione o retta dei minimi quadrati. (i) 6

7 (ii) (iii) Esercizio 10 In un esperimento di metabolismo, la massa m di glucosio misurato in grammi diminuisce secondo la formula con t misurato in ore. m(t) = 4, 5 (0, 03)t 2 (a) Trovare la velocità di reazione in t = 0 e la velocità di reazione in t = 2. (b) Determinare la velocità media di reazione nell intervallo da t = 0 a t = 2. Svolgimento (a) 7

8 (b) Esecizio 11 Studiare la funzione f(x) = x3 e x Dominio di f e disegnarne il grafico. Segno e eventuali inteserzione con gli assi; Limiti ed eventuali asintoti; Studio della derivata prima; Studio della derivata secondo; Il punto x = 0 è un punto di.... Giustificare la risposta. Disegnare il grafico di f. 8

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