G(T) (a) Dal grafico dedurre l espressione analitica di G(T ) completando quanto segue: G(T ) = 0 se... G(T ) = 75 se... G(T ) =... se 33 T 38.

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1 Esercizi 1. Il seguente grafico rappresenta la percentuale G(T ) di semi di una pianta che germinano entro una settimana dalla semina, in funzione della temperatura T (in o C) del terreno 75 G(T) T (a) Dal grafico dedurre l espressione analitica di G(T ) completando quanto segue: G(T ) = 0 se... G(T ) = 75 se... G(T ) =... se 13 T 28 G(T ) =... se 33 T 38. (b) Dire per quali valori della temperatura germina il 45% dei semi. (a) G(T ) = 0 se 0 T 13 oppure T 38 G(T ) = 75 se 28 T 33 G(T ) = 5T 65 se 13 T 28 G(T ) = 15T se 33 T 38. (b) Chiaramente non interessano i valori di T minori di 13 o maggiori di 38 o nell intervallo [28, 33]. Quindi si tratta di vedere per quali T si ha : 5T 65 = 45 con 13 T 28 oppure 15T = 45 con 33 T 38, ossia 5T = 110 con 13 T 28 oppure 15T = 525 con 33 T 38. Conclusione: T = 22, T = 35 sono i valori di T che soddisfano le condizioni del problema. 2. Due candele A, B alte ciascuna 35 cm vengono accese contemporaneamente e si accorciano rispettivamente di: 0.50 cm ogni 2 minuti, di 0.40 cm ogni minuto. Sia L A (n) (rispettivamente: L B (n)) l altezza in cm di A (rispettivamente: di B) dopo n minuti. (a) Dire quale delle seguenti funzioni esprime L A (n): n n 35 n

2 2 (b) Dire quale delle seguenti funzioni esprime L B (n): 35 n n n (c) Procedendo per via analitica, completare le frasi seguenti: la candela A risulterà consumata per n... la candela B risulterà consumata per n... (d) In base al risultato ottenuto sopra, disegnare su uno stesso piano cartesiano i grafici delle due funzioni L A (n), L B (n) determinate in (a) e (b), usando un opportuna scala. Indicare gli eventuali punti in comune tra i due grafici e giustificare la risposta anche dal punto di vista analitico. (e) Le seguenti affermazioni sono corrette? (I) dopo 2 ore e mezzo entrambe le candele saranno consumate; (II) dopo 1 ora e mezzo entrambe le candele saranno ancora accese; (III) dopo 1 ora, quel che rimane della candela A è esattamente il doppio di quanto rimane della candela B. (f) Se inizialmente la candela A fosse alta 29 cm, dopo quanti minuti le due candele avrebbero la stessa altezza? (rispondere per via grafica e per via analitica). (a) L A (n) = n (b) L B (n) = n (c) La candela A risulterà consumata per n 140. Infatti: n = 0 se e solo se n = 35 = 35 4 = La candela B risulterà consumata per n 87, 5. Infatti: n = 0 se e solo se n = 35 = 87, (d) 35 L B (n) L A (n) n

3 I due grafici hanno in comune il punto P (0, 35) e sono ovviamente coincidenti per n 140. Per via analitica: n = n se e solo se ( ) n = 0 se e solo se n = 0. (e) (I) corretta: Infatti 2 ore e mezzo corrispondono a 150 minuti; quindi da (d) e dal grafico si ha che 87.5 minuti < 140 minuti < 150 minuti. (II) non corretta. Infatti 1 ora e mezzo corrisponde a 90 minuti e la candela B si spegne dopo 87.5 minuti, come visto in (d). (III) non corretta. Dopo 1 ora (60 minuti) restano 35 ( ) = = 20 cm della candela A e 35 ( ) = = 11 cm della candela B. (f) Se inizialmente la candela A fosse alta 29 cm, si avrebbe: L A (n) = n. Quindi A e B avrebbero la stessa altezza se n = n ossia 6 = 0.15 n; allora n = 40. Conclusione: A e B avrebbero la stessa altezza dopo 40 minuti L A (n) L B (n) n 3. Da un suo tesoretto di euro, Savio attinge all inizio di ogni mese 300 euro, a partire da giugno 2016, per varie spese condominiali. (a) Indicare la funzione f(x) che esprime l ammontare in euro che rimane a Savio dopo x mesi e tracciare il grafico di f(x) per x tra 1 e 20, usando un apposita scala. (b) Dopo il ritiro dei 300 euro a giugno 2017, quale cifra avrà a disposizione Savio? (c) Dopo quanti mesi Savio avrà a disposizione meno della metà della cifra iniziale? (a) f(x) = x

4 x (b) Nel giugno 2017, dopo il ritiro dei 300 euro, Savio avrà prelevato 300 euro per 13 volte, quindi avrà a disposizione f(13) = = 6100 euro. (c) x < 5000 se e solo se 5000 < 300x se e solo se x > 16, Quindi, dopo x mesi, con x 17 Savio avrà a disposizione meno della metà della cifra iniziale. 4. Una casa editrice deve decidere quale sarà il prezzo di copertina (in euro) di un libro. Un indagine di mercato suggerisce che, se x è il prezzo di copertina del libro, il numero atteso di copie vendute sia 100x Sia y il ricavo annuale atteso dalla vendita, in funzione di x. (a) Descrivere la funzione y = y(x) e verificare che il grafico è la parabola tracciata nel grafico sottostante x (b) Dire per quali x si ha y(x) 0 e spiegare il significato nel caso y = 0. (c) Partendo da (b), è corretto dedurre che il prezzo x di copertina non è consigliabile che sia maggiore di 40 euro? (d) Dire se è vero che y(x) euro per ogni x. (e) A quale prezzo si deve proporre il libro per ottenere il massimo ricavo atteso annuo?

5 5 (a) y(x) = x (numero di vendite aspettate) = x( 100x+4000) = 100x x. Il grafico è una parabola di vertice V (20, 40000) che ha concavità verso il basso e passa per l origine e il punto P (40, 0); quindi coincide con il grafico presentato nel testo. (b) Si ha y(x) 0 se e solo se x( 100x ) 0 e si suppone che si abbia x > 0, cioè che il libro non venga regalato. Quindi si ha 100x , da cui: x 40. Si ha y = 0 se x = 40; quindi, se il prezzo di copertina è 40 euro, c è da aspettarsi che il libro non si venda. (c) Corretto: infatti da (b) si deduce: y(x) 0 se x 40. (d) Vero. Dal grafico si vede che è l ordinata del vertice della parabola, massimo assoluto. Analiticamente: 100x x se e solo se 100x x , ossia 100( x x 400) 0, che significa 100(x 20) 2 0, diseguaglianza vera per ogni x reale. (e) Il valore massimo di y(x) è = (ordinata di V ) = y(20); quindi il prezzo corrispondente al massimo ricavo annuo aspettabile è x = Ci sono due colture di cellule A e B che vengono osservate a partire da un certo istante. Se x è il numero di ore trascorse dall inizio dell osservazione, la quantità di cellule della coltura A è espressa da y A (x) = 25 2 x mentre la quantità di cellule della coltura B è espressa da y B (x) = 10 4 x. (a) Calcolare y A (0) e y B (0) e spiegare il rispettivo significato. (b) Tracciare (rispetto a uno stesso sistema di coordinate) i grafici delle funzioni y A (x) e y B (x). (c) Provare che esiste uno e un solo x tale che y A (x) = y B (x). (anche graficamente) e spiegarne il senso. Indicare quale (d) Se l esperimento ha inizio alle 8 di mattina, dire in quale dei seguenti intervalli si ottiene l uguaglianza studiata in (c): (i) tra le 8 e le 9 (ii) tra le 9 e le 10 (iii) tra le 10 e le 11 (e) Dire per quali x si ha: y B (x) > y A (x) e indicare la risposta sul grafico. (f) Dire quale delle due colture raddoppia il numero iniziale in minor tempo.

6 6 (a) Si ha y A (0) = = 25; y B (0) = = 10 e le due funzioni rappresentano rispettivamente il numero iniziale di cellule presenti nella coltura A e nella coltura B. (b) Tracciamo il grafico per x che va da 0 a 3 e per chiarezza ingrandiamo la parte con x tra 0 e y B (x) 200 y B (x) :00 9:00 10:00 11:00 y A (x) x (c) Si ha y A (x) = y B (x) se e solo se 25 2 x = 10 4 x = x ovvero se e solo se 5 2 x = 2 2 2x = 2 2x+1, ossia 5 = 2 x+1 (vedi proprietà delle funzioni esponenziali) da cui: x + 1 = log 2 (5), quindi x = log 2 (5) 1. La risposta è ottenibile anche applicando la funzione log 2 a entrambi i membri dell equazione 25 2 x = 10 4 x. Grazie a varie proprietà dei logaritmi, possiamo scrivere: log 2 (25) + log 2 (2 x ) = log 2 (10) + log 2 (4 x ) = log 2 (10) + log 2 (2 2x ) ( ) 2 2x ossia log 2 (25) log 2 (10) = log 2 (2 2x ) log 2 (2 x ) = log 2 = log 2 (2 x ) = x. Quindi: x = log 2 (25) log 2 (10) = log 2 ( ) = log 2( 5 2 ) = log 2(5) 1. La coltura B parte con minor numero di cellule rispetto alla coltura A, ma si sviluppa più velocemente. Quanto sopra trovato mostra che vi è un momento in cui le due colture presentano uguale numero di cellule. (d) In (c) si è trovato: x = log 2 (5) 1, dove 2 < log 2 (5) < 3, quindi 1 < x < 2. Siccome x indica il numero di ore trascorse dalle 8 del mattino (inizio dell osservazione), la risposta corretta è la (ii). (e) Si ha y B (x) > y A (x) se e solo se x > 25 2 x. Tenuto conto dei ragionamenti seguiti in (b) e del fatto che la funzione esponenziale in base 2 e la funzione log 2 sono crescenti, si deduce che y B (x) > y A (x) se e solo se x > log 2 (5) (punto indicato sul grafico.) x 1 y A (x) 2 x

7 7 (f) Si ha: 2 y A (0) = 50 = 25 2 x per 2 = 2 x quindi per x = 1. Si ha: 2 y B (0) = 20 = 10 4 x per 2 = 4 x = 2 2x quindi per x = 1 2. Si conclude che la coltura B raddoppia in minor tempo. 6. Indicare un possibile grafico di una funzione f(x) che verifichi le seguenti condizioni: (a) dominio: (, 10) (b) 1 < f(x) < 0 per x < 2, f( 2) = 0 e f(x) = x + 2 per 2 < x < 1 (c) massimo in 1 con f(1) = 3 (d) f(x) decrescente per x > 1 (e) f(x) < 0 se x > 5 Dire se il massimo indicato in (b) è relativo o assoluto. Possibile grafico: Il massimo indicato in (b) è assoluto. f(x) < 3 = f(1) se x1. Infatti le condizioni assegnate implicano: 7. In un allevamento vi sono polli e conigli, 40 in tutto, con 140 gambe complessivamente. Quanti sono rispettivamente i polli e i conigli? Risolvere per via analitica e per via grafica. Indichiamo con x il numero dei polli e con y il numero dei conigli. Allora si tratta di risolvere il sistema: { x + y = 40 2x + 4y = 140 (a) Soluzione analitica. Dalle due equazioni si ha rispettivamente: y = 40 x e x + 2y = 70, da cui: 70 = x + 2(40 x) = 80 x. Il sistema ha pertanto un unica soluzione: la coppia (x, y) = (10, 30). (b) Soluzione grafica. Ci riferiamo a un sistema di coordinate Oxy. Tracciamo i grafici delle due funzioni lineari: y = 40 x, y = 1 2 x + 35.

8 8 y 40 Si tratta di due rette distinte che hanno 35 in comune il punto P (10, 30). Le coordinate di P rappresentano rispettivamente 30 il numero dei polli e il numero dei conigli che verificano le condizioni del problema. x Un termometro, portato a una temperatura di 80 gradi (centigradi), viene poi fatto raffreddare in un ambiente, fino al raggiungimento di 21 gradi. Il seguente grafico riporta l andamento della temperatura T in funzione del tempo t (espresso in secondi). 80 T (a) Dire quali delle seguenti affermazioni sono corrette, motivando le risposte: (i) 40 < T 80 se 0 t 25; (ii) 30 T 40 se 25 t 50; (iii) T è costante se 75 t 100. (b) Quali tra le seguenti funzioni certamente non modellizzano l andamento del fenomeno descritto dal grafico? f 1 (t) = 80 t + 1 f 2(t) = t/25 f 3 (t) = e t/25 f 4 (t) = t + 1 (a) (i) corretta: si tratta di funzione decrescente, con T (0) = 80, T (25) = 42 > 40. (ii) non corretta: infatti T (25) = 42 che non è nell intervallo [30, 40] (iii) non corretta : infatti T (75) = 23, T (100) = 21. (b) Le funzioni f 1,f 2,f 4 non modellizzano l andamento del fenomeno. Alcune motivazioni: f 1 (25) = quindi 3 < f 1(25) < 4 t

9 9 f 2 (25) = = 8 f 4 (25) = quindi 22 < f 4(25) < 23 mentre T (25) = 42 Invece f 3 (t) non descrive esattamente il fenomeno, ma se discosta poco: f 3 (0) = 80 ; f 3 (25) 42 ; f 3 (100) (21) 9. Si dice curva concentrazione/tempo di un farmaco una curva piana che indica la concentrazione plasmatica di un farmaco nell organismo umano (usualmente espressa in mg/l) in funzione del tempo. Si dice livello minimo di risposta il valore c 0 della concentrazione con la proprietà seguente: il farmaco non produce alcun effetto se non raggiunge il livello c 0. Sia data la seguente curva G concentrazione/tempo (tempo T in ascisse, concentrazioni C in ordinate). Il tempo si intende espresso in ore : 1 significa che la somministrazione ha inizio all una e le tacche successive indicano le ore due, tre etc.). 80 C G La retta tratteggiata è costituita dai punti la cui ordinata è il livello minimo di risposta. (a) È vero che negli intervalli [1, 2] e [4, 5] il farmaco non produce effetto? (b) Descrivere analiticamente la funzione f(x) rappresentata da G. (c) Con riferimento alla funzione f(x) sopra determinata, rispondere alle domande seguenti: Quanto vale C per T = 2.5? È più veloce la salita dal livello minimo al picco massimo oppure la discesa dal picco massimo al livello minimo? (a) Vero, in quanto negli intervalli [1, 2] e [4, 5] i valori della concentrazione C sono inferiori al livello minimo che è 30 (tranne forse per T = 2). (b) Il grafico G è unione dei segmenti seguenti: (1, 0) (2, 30) ; (2, 30) (3, 80) ; (3, 80) (4, 20) ; (4, 20) (5, 0). T

10 10 Quindi la funzione rappresentata da G è la seguente: 30x 30 se 1 x 2 50x 70 se 2 x 3 f(x) = 60x se 3 x 4 20x se 4 x 5 (c) Con riferimento alla precedente descrizione della funzione f(x), si ha: C(2.5) = = 55 (si deve chiaramente scegliere l espressione di f(x) relativa all intervallo [2, 3]). Si devono confrontare i valori assoluti dei coefficienti angolari delle rette di equazioni rispettive y = 50x 70 e y = 60x + 260: infatti il picco massimo si ha nel punto (3, 80). Si conclude che la discesa è più veloce della salita.