Matematica e Statistica I Anno Accademico Foglio di esercizi settimana 2

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1 Matematica e Statistica I Anno Accademico 9- Foglio di esercizi settimana Funzioni di variabile reale: modelli, grafici, composizione, invertibilità; relazioni lineari. ESERCIZIO. In una città sono stati fatti dei rilevamenti della temperatura da mezzanotte fino alle ogni due ore, ottenendo i seguenti risultati: (a) Tracciare il grafico di T(t); (b) Stimare T(5). t T 9 ESERCIZIO. Il padrone di un mobilificio sa che produrre sedie al giorno costa euro, mentre produrne costa euro. Esprimere il costo in funzione del numero di sedie, supponenendo lineare la relazione. Qual è la pendenza e cosa rappresenta? Qual è l intercetta sull asse e cosa rappresenta? ESERCIZIO. (a) Trovare l espressione analitica della funzione che rappresenta la metà superiore della circonferenza di equazione ( ) + =. (b) Trovare l espressione analitica della funzione che rappresenta la parte inferiore della parabola di equazione + ( ) =. (c) Trovare l espressione analitica del segmento che unisce i punti (, ), (, 5). ESERCIZIO. Una scatola aperta, di volume pari a m ha la base quadrata. Determinare l area della scatola in funzione della lunghezza del lato di base. ESERCIZIO.5 Un contadino ha a disposizione m di rete con cui costruire un pollaio rettangolare, di cui uno dei lati è costituito dal muro della stalla. Scrivere l area del pollaio in funzione della lunghezza del lato parallelo al muro della stalla. ESERCIZIO. Il perimetro di un triangolo rettangolo è, esprimere l area del triangolo in funzione della sua ipotenusa. ESERCIZIO.7 Uno studio (inventato) ha trovato che il tasso a cui l ameba Dictostelium discoideum consuma glucosio in condizioni ottimali di nutriente è di µ m al minuto per cellula se la temperatura è fra i 7 C e i C. Il consumo è pari a se la temperatura è sotto i 5 C o sopra i 5 C ; per temperature intermedie la relazione fra temperatura e consumo è di tipo lineare e si raccorda senza salti ai casi precedenti. Scrivere l espressione algebrica che descrive il consumo di glucosio in funzione della temperatura. ESERCIZIO. Trovare l espressione algebrica che descrive la funzione il cui grafico consiste nel segmento di estremi (, ) e (, ) insieme alla metà inferiore della circonferenza di centro (, ) e raggio.

2 ESERCIZIO.9 Dopo aver tracciato il grafico di f() =, dedurre da esso i grafici seguenti: f() = ; f() = + ; f() = ; f() = ESERCIZIO. Tracciare su un sistema di assi cartesiani un grafico approssimato delle seguenti funzioni: f() = ; f() = ( ) ; f() = ; f() = ESERCIZIO. Date le funzioni f() = + e g() = + + precisando il loro dominio. calcolare f g, g f, f f, ESERCIZIO. Se f e g sono date dalla seguente tabella. 5 f() 5 g() valutare (f g)(), (g f)(), (f f)(), (g g)(), (g f)(), (f g)(). ESERCIZIO. Assegnata la funzione f() = +, calcolaref( ), f( ), f( ), f(f()). ESERCIZIO. Scrivere la funzione f() = + come composizione di tre altre funzioni. ESERCIZIO.5 Stabilire se le seguenti funzioni sono pari o dispari o nessuna delle due cose. f() = +, g() = + +, h() = + + f() = 5 +, g() = ( + ), h() = [] (La funzione h() = [], chiamata parte intera di [] è definita per ogni reale come il più grande intero minore o uguale ad ). ESERCIZIO. Stabilire se le seguenti funzioni definite da formula, da tabella o verbalmente sono iniettive:. f() = +. g() =. f(t) è l altezza di una persona all età t.. 5 f() f() ESERCIZIO.7 Assegnate le funzioni f() = + +, g() = +, l() =, h() = + precisarne il dominio e quando possibile l immagine. Trovarne poi, nel caso che esistano, le funzioni inverse delle stesse precisandone il dominio.

3 ESERCIZIO. (a) Scrivere, in formula, la funzione che associa a il suo stesso valore diminuito di unità e poi diviso per. (b) Scrivere, in formula, la funzione che associa a il suo stesso valore diviso per il doppio di. (c) Descrivere, in formula, la relazione tra il numero di larici e di pini in un bosco se ci sono 7 pini per ogni larice. ESERCIZIO.9 Nel linguaggio corrente, e spesso anche in matematica, l espressione essere funzione di è sinonimo di dipende da, mentre la nozione di funzione, come abbiamo visto, è più specifica. (a) L area di un triangolo dipende dalla lunghezza della base? (b) Esiste la funzione A(b) che associa alla lunghezza della base l area del triangolo? (c) La relazione p + q = definisce p come funzione di q? (d) La relazione p + q = implica che q dipende da p? (d) La relazione p + q = definisce q come funzione di p? ESERCIZIO. Quali sono i domini delle seguenti funzioni? a() = ( d() = + ) b() = e() = c() = f() = ( ) ( ) ESERCIZIO. Con riferimento alle funzioni definite nell esercizio precedente determinare a quali grafici appartengono i punti P = (, ), Q = (, ), R = (, ), S = (, ). ESERCIZIO. Data la funzione f() =, determinare l immagine f(d) di f se il dominio D è (a)d = {,,,,,,, 5}; (c)d = { R : }; (b)d = { R : }; (d)d = R; ESERCIZIO. Risolvete l esercizio precedente usando la funzione f() =. ESERCIZIO. Le scale di temperatura Celsius e Kelvin usano la stessa unità di misura, però la scala Kelvin ha lo zero che coincide con lo zero assoluto, cioè 7.5 C (a) Se T indica la temperatura nella scala Celsius e τ quella nella scala Kelvin, scrivere la legge τ = τ(t) che traduce il valore della temperatura T in gradi Celsius nel valore τ in Kelvin. (b) Qual è il dominio di definizione di questa funzione? (c) Il punto (, 7.5) appartiene al grafico di τ? (d) Il punto (7.5, ) appartiene al grafico di τ? (e) Qual è il dominio di definizione della funzione inversa T = T(τ)? (f) Tra i punti (, 7.5) e (7.5, ) quale appartiene al grafico di T?

4 ESERCIZIO.5 La legge h(t) = gt + h descrive come varia la distanza dal suolo di un corpo pesante che, nel vuoto, cade da un altezza h con una velocità iniziale nulla. (a) Qual è il dominio di definizione della funzione h(t)? (b) Quanto tempo impiega il corpo a toccare terra? (c) Il tempo che il corpo impiega per toccare terra è una funzione dell altezza da cui viene lasciato cadere? (d) Se il corpo impiega esattamente T secondi per cadere, quale dev essere l altezza iniziale? ESERCIZIO. Dire se le seguenti funzioni sono pari o dispari: (a) f() = (d) f() = + + (b) f() = (e) f() = + 5 (c) f() = + + (f) f() = + + ESERCIZIO.7 I grafici delle funzioni f, f, f, f, f 5 sono stati ottenuti da quello di f mediante traslazioni e simmetrie. Scrivere le funzioni f, f, f, f, f 5 in termini di f. Grafico di f Grafico di f Grafico di f K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K Grafico di f Grafico di f Grafico di f 5 K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K ESERCIZIO. In una legge lineare, che descrive una crescita c(t) in funzione del tempo t, il tasso di varaizione è.5. E inoltre noto che, se t =, c() =.7. Scrivere esplicitamente la legge e dire quanto vale c() e a quale istante di tempo si ha c(t) =. ESERCIZIO.9 Una quantità Q varia nel tempo t con legge lineare Q = Q(t). Sapendo che Q = 5.5 quando t = e che Q = 79. quando t =, calcolare il tasso di variazione della funzione. Se t = 5 quanto vale Q? Fino a quale istante di tempo risulta Q > 5?

5 ESERCIZIO. L energia potenziale di una massa m sospesa a una molla di costante elastica k, è data da U = kz kz + mgz, cioè dall energia potenziale della molla sommata all energia potenziale gravitazionale mgz, dove z è la quota della massa, assumendo z = nel punto incui la molla ha estensione nulla e g è la costante di accelerazione gravitazionale. Trovare il minimo di U(z). ESERCIZIO. Si considerino le quattro funzioni definite per [, 7], i cui grafici sono rappresentati nelle figure seguenti. f f f f (a) Quali sono monotone? (f) Quali hanno solo un minimo relativo? (b) Quali sono crescenti? (g) Dov è il massimo assoluto di f? (c) Quali sono decrescenti? (h) Dov è il minimo assoluto di f? (d) Quali sono invertibili? (i) Dov è il massimo assoluto di f?? (e) Quali hanno solo un massimo relativo? (l) Quanti massimi assoluti ha f? ESERCIZIO. Data la parabola = f() = + +, trovare le coordinate dei punti A = (, f()), B = (, f( )) appartenenti al grafico della funzione, le intersezioni della curva con gli assi cartesiani e l insieme di valori per cui si ha f() >. ESERCIZIO. Nei cuccioli di coccodrillo, in mesi tutte le dimensioni crescono del 5%. Se la lunghezza l è volte l altezza e volte la larghezza, di quanto aumentano la superficie e il volume dell animale? Approssimando il corpo a un parallelepipedo, se l animale misura, in particolare,. m di lunghezza, 5 cm di larghezza e 5 cm di altezza, quanto misurano dopo mesi la superficie e il volume? ESERCIZIO. Una specie di cactus ha piante adulte di forma sferica che immagazzinano l acqua in piccole cellette, senza mai modificare il loro volume. In condizioni ottimali una pianta contiene a grammi d acqua per cm, e muore se l acqua disponibile diventa a grammi per cm. Supponendo che in un periodo di siccità la pianta perda acqua dalla superficie al ritmo di b grammi per cm al giorno e che l acqua non venga reintegrata, calcolare in quanto tempo la pianta muore, in funzione di a e b e del raggio r della pianta. Una pianta più piccola sopravvive più a lungo? 5

6 ESERCIZIO.5 Risolvere, per >, le seguenti disuguaglianze: (a) 5 7 > ; (b) (c) (d) 5 > 5 ; > ; > ; ESERCIZIO. Si consideri la funzione T(m) = am α bm β che descive come varia il tasso di crescita di una massa tumorale (modello di von Bertalanff). Si scelga α = /, β = /, a = e b =. Per quali valori di m si ha T(m) >? Cosa significa la richiesta T(m) >?