Corso di Statistica. Distribuzioni doppie Relazioni tra due variabili. Prof.ssa T. Laureti a.a

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1 Corso di Statistica Distribuzioni doppie Relazioni tra due variabili Prof.ssa T. Laureti a.a

2 Distribuzione doppia di frequenza Addet ti Genere respons 6 M 6 M 10 F 10 F 7 M 3 M 3 M 6 F 4 F Adde etti Genere responsabile M F Quanti sono i punti vendita con 3 addetti, il cui responsabile è un maschio? 2 Quanti sono i punti vendita con 3 addetti, il cui responsabile è una femmina? 0 2

3 Distribuzione doppia di frequenza Adde etti Genere responsabile M F Tot Tot è la frequenza congiunta associata alla modalità 4 del Numero di addetti e alla modalità F del Genere responsabile 3

4 Distribuzione doppia di frequenza Adde etti Genere responsabile M F Tot Tot Distribuzione marginale del genere del responsabile (distribuzione di frequenza semplice del carattere genere del responsabile ) Qual è la proporzione di punti vendita il cui responsabile è una femmina? 4 p = = 0,44 (44%) 9 4

5 Distribuzione doppia di frequenza Adde etti Genere responsabile M F Tot Tot Distribuzione marginale degli addetti (distribuzione di frequenza semplice del carattere numero di addetti ) Qual è la media del numero di addetti? E la mediana? E la moda? 5

6 Distribuzione doppia di frequenza Adde etti Genere responsabile M F Tot Tot Distribuzione parziale del numero di addetti, condizionata alla modalità maschio del carattere genere del responsabile Distribuzione del numero di addetti dato che il genere del responsabile è maschio Qual è il numero medio di addetti dei punti vendita il cui responsabile è un uomo? 6

7 Distribuzione doppia di frequenza Adde etti Genere responsabile M F Tot Tot Distribuzione parziale del genere del responsabile, condizionata alla modalità 6 del carattere numero di addetti Distribuzione del genere del responsabile dato che il numero di addetti è pari a 6 Considerando i punti vendita con 6 addetti, qual è la proporzione il cui responsabile è una femmina? 7

8 Distribuzione doppia di frequenza Ubicazione centro Vendita on line si Vendita on line Tot periferia si si no Semicentro periferia centro centro no no no no one Ubicazi Centro Semic entro Perif periferia Semicentro centro no no si Tot

9 Distribuzione doppia di frequenza Ubicazio one Vendita on line si no Tot Centro Semic entro Perif Tot Qual è la proporzione di p.v. ubicati in centro? Nel sottoinsieme dei p.v. che effettuano anche la vendita on line, qual è la proporzione di p.v. ubicati in centro? Qual è la proporzione di p.v. che vendono anche on line? Nel sottoinsieme di p.v. ubicati in periferia, qual è la proporzione di p.v. che vendono anche on line? 9

10 Distribuzione doppia di frequenza Y Tot y 1 y j y K X 1 n 11 n 1j n 1k n 1. X X i n i1 n ij n ik n i. x H n H1 n Hj n HK n H. Tot n.1 n.j n.k n 2 distribuzioni ib i i marginali H distribuzioni parziali di Y, condizionate ad ogni valore di X K distribuzioni parziali di X, condizionate ad ogni valore di Y 10

11 X carattere quantitativo Nella distribuzione marginale e in ogni distribuzione parziale condizionata a una data modalità di Y possiamo calcolare indici di: Tendenza centrale Dispersionei Asimmetria Avremo quindi, ad esempio, la media e la varianza condizionata, la mediana marginale 11

12 X carattere qualitativo Nella distribuzione marginale e in ogni distribuzione parziale condizionata a una data modalità di Y possiamo calcolare indici di: Tendenza centrale Eterogeneità Avremo quindi, ad esempio, la moda marginale, l indice di entropia condizionato 12

13 Relazioni tra variabili: indipendenza d Quando si osservano due caratteri X e Y diventa interessante studiare la relazione tra di essi Se tra X e Y non c è alcun legame X e Y sono indipendenti statisticamente Tra due caratteri esiste indipendenza statistica quando la conoscenza della modalità di uno dei due caratteri non migliora la previsione della modalità dell altro 13

14 Associazione In presenza di un qualche legame (associazione) tra X e Y, lo studio della relazione tra i due caratteri richiede di: distinguere la tipologia di caratteri che si esaminano specificare se si è interessati a studiare la dipendenza o l interdipendenza 14

15 Dipendenza e interdipendenza Dipendenza: studia come le modalità di un carattere dipendano da quelle di un altro carattere secondo un legame unidirezionale Interdipendenza: Si assume che i due caratteri abbiano lo stesso ruolo e che il legame sia bidirezionale 15

16 Caratteri qualitativi sconnessi Tabella doppia di frequenza Frequenze osservate n ij Frequenze teoriche (quelle se si osserverebbero in caso di indipendenza statistica) ni. n '.j n ij = n La condizione di indipendenza statistica si verifica a partire dalle differenze c ij tra ciascuna frequenza osservata e la corrispondente frequenza teorica c = n ij ij n ' ij 16

17 Freq. osservate e freq. teoriche X Y y 1 y j y K Tot X 1 n 11 n 1j n 1k n 1. X i n i1 n ij n ik n i. Freq. osservate Freq. che si utilizzano per ricavare le freq. teoriche x H n H1 n Hj n HK n H. ij n Tot n.1 n.j n.k n n ' = n i. n.j 17

18 Frequenze osservate Vendita on line si no Tot Ubicazio one Centro Semice ntro Perif Tot

19 Frequenze teoriche Ubic cazione Vendita on line Tot si no Se ci fosse indipendenza Centro statistica quali esarebbero 9 9 le Semice frequenze ntro 9 9 congiunte? Perif. 3 Tot

20 Frequenze osservate e teoriche Vendita on Tot Vendita on Tot Osservate line Teoriche line si no si no zione Ubica Centro Semice ntro Perif zione Ubica Centro 1,33 2,67 4 Semice 0,67 1,33 2 ntro Perif Tot Tot Non tutte le freq. teoriche sono uguali alle corrispondenti freq. osservate Non c è indipendenza statistica tra i due caratteri Qual è il grado di associazione tra i due caratteri? 20

21 Indice Chi-quadrato Studia l interdipendenza tra due caratteri qualitativi sconnessi a partire da una tabella doppia χ 2 = H K i= 1 j= 1 c n 2 ij ' ij c ij = n ij n ' ij χ 2 = 0 indipendenza statistica χ 2 > 0 interdipendenza 21

22 Indice V di Cramer Indice relativo per misurare l associazione (interdipendenza) tra due caratteri qualitativi V 2 χ / n = 0 V 1 min H 1, K 1 [( ) ( )] V=0 indipendenza statistica V=1 associazione perfetta Più V si avvicina ad 1 e più aumenta il grado di associazione tra X e Y 22

23 Calcolo di χ 2 e V χ = 2 2 ( 2 1,33) ( 2 2,67) 1,33 + 2,67 2 ( 0 0,67) ( 2 1,33) 0, ( 1 1) ( 2 2) , χ 2 = 0,33 + 0, ,33 + 0,67 = 1,5 1,50 9 H=3, K=2 quindi il minimo tra H-1 e K-1 è uguale a 1 V = = 0, 41 23

24 Per caratteri che non sono qualitativi sconnessi Se X e/o Y sono qualitativi ordinati o quantitativi (in classi), un analisi esplorativa sulla tabella doppia con l indice Chi-quadrato è sempre possibile Tuttavia ci sono indici più opportuni da utilizzare 24

25 Y y Interdipendenza tra due caratteri quantitativi quadrante II y quadrante I x Consideriamo un diagramma di dispersione in cui l origine degli assi sia stata traslata sul baricentro (variabili scarto): quadrante III quadrante IV x X Classifichiamo le coordinate dei punti nei 4 quadranti secondo il loro segno algebrico: quadrante segno algebrico X x Y y i i I + + Scostamenti concordi II - + III - - IV + - Scostamenti discordi i

26 Interdipendenza tra due caratteri quantitativi Perciò i prodotti degli scarti avranno segno positivo per i punti del I e III quadrante e negativo per i punti del II e IV quadrante. La somma dei prodotti degli scarti, chiamata codevianza tra X e Y, sintetizza ti la distribuzione ib i dei punti nei 4 quadranti: n i= 1 ( x x)( y y) > 0 i i 0 prevalgono i punti nel I e III quadrante: relazione ea epositiva (concordanza) a) punti uniformemente distribuiti nei 4 quadranti: relazione circa nulla < 0 prevalgono i punti nel II e IV quadrante: relazione negativa (discordanza) Occorre però eliminare i dalla codevianza l influenza della numerosità delle osservazioni, dividendola per n, ottenendo quindi la covarianza

27 Interdipendenza tra due caratteri quantitativi Covarianza: Indice simmetrico di associazione tra due variabili quantitative Cov(X, Y) = σ XY = n n 1 ( x x)( y y) i= 1 Cov > 0 se prevalgono scostamenti concordi di X e Y (bassi valori di X corrispondenti a bassi valori di Y oppure alti valori di X corrispondenti a alti valori di Y). Cov < 0 se prevalgono scostamenti discordi (alti valori di una variabile associati a bassi valori dell altra variabile) Cov = 0 in assenza di relazione lineare tra X e Y i i 27

28 Covarianza nulla Cov(X,Y)=0 28

29 Covarianza positiva (concordanza) Cov(X,Y)>0 29

30 Covarianza negativa (discordanza) Cov(X,Y)<0 30

31 Legame non lineare La relazione tra X e Y non è di tipo lineare Ci aspettiamo un valore di Cov(X,Y) prossimo allo 0, il che indica assenza di legame e lineare e X e Y NON sono indipendenti, ma legati da una forte relazione di tipo non lineare 31

32 Correlazione lineare Eliminare l influenza sulla covarianza delle differenti unità di misura scelte, dividendo la suddetta quantità per le deviazioni standard delle due variabili. Indice di correlazione lineare di Bravais-Pearson Corr(X, Y) = ρ XY = σxy σ σ X Y = n ( xi x)( yi y) i= 1 n 2 ( xi x) ( yi y) i= 1 n i= ρ XY 1 ρxy = 11 1 < ρ < 0 XY correlazione lineare positiva perfetta correlazione negativa ρ = 0 XY 0 < XY 1 assenza di legame lineare correlazione positiva ρ = 1 XY correlazione lineare positiva perfetta 32

33 Correlazione lineare Il segno algebrico del coefficiente ρ xy covarianza dipende dalla Tra due variabili X e Y esiste correlazione positiva (concordanza) se al crescere di X anche Y, nel complesso, tende a crescere e se al diminuire di X anche Y, nel complesso, tende a diminuire. La correlazione è invece negativa (discordanza) se al diminuire di X la variabile Y, nel complesso, tende a crescere e se al diminuire di X, nel complesso, Y tende a crescere. Se le variabili sono correlate, i punti del diagramma di dispersione si disporranno secondo un andamento globale facilmente individuabile: se tale andamento è lineare, si parlerà di correlazione lineare. 33

34 Correlazione lineare circa nulla σ XY ρ XY = 00 σ σ X Y II quadrante I quadrante Y μ Y III quadrante IV quadrante μ X X

35 Correlazione lineare positiva σ XY ρ XY = > σ Xσ Y 0 II quadrante I quadrante Y μ Y III quadrante IV quadrante μ X X

36 Correlazione lineare negativa σ XY ρ XY = <00 σ σ X Y II quadrante I quadrante Y μ Y III quadrante IV quadrante μ X X

37 Correlazione lineare perfetta ρ=1 Perfetta correlazione positiva ρ=-1 Perfetta correlazione negativa

38 Calcolo della covarianza Ricavi Costi (X) (Y) Scarti X Scarti (Scarti X) x Y (Scarti Y) ,11-88,99 402, , , , , , ,11-611, , , , , ,7 316, , ,00 n Media , ( xi x) ( yi y) = Cov(X, Y) = = 10219, 44 n i=

39 Media Dev std Calcolo del coefficiente di correlazione lineare Ricavi Costi (X) (Y) Cov (X, Y) = 10219,44 ρ = σ σ X Y 10219,44 134,66 78,48 XY = = C è una forte concordanza tra ricavi e costi ,89 134,66 78,48 σ 0,97 39

40 Ancora sulla covarianza formule alternative per i calcoli Codevianza (X, Y) = n ( xi x)( yi y) = i = 1 i = 1 n x y i i nxy Cov (X, Y ) = Codev (X, n Y ) = 1 n n i= 1 x i y y x y 40

41 Relazioni tra variabili: riepilogo Tipo di relazione Caratteri aa Struttura u Indici dati Interdipendenza tra X e Y Dipendenza in media di Y da X qualsiasi (se qualitativi sconnessi è l unico tipo di relazione da studiare) Y quantitativo X qualsiasi (se qualitativo continuo, in classi) Tabella doppia di frequenze Valori raggruppati in base alle modalità di X χ 2 V (relativo) η 2 (relativo) Interdipendenza quantitativi Coppie di Cov tra X e Y valori ρ (relativo) (concordanza/di scordanza) 41

42 Relazioni tra variabili: applicazioni Si vuole investire nel mercato azionario italiano e in quello di un altro Paese con l obiettivo di diversificare il portafoglio. Sulla base delle serie mensili delle variazioni i i del Morgan Stanley Capital Index (MSCI) riferito a Italia, Germania, Francia e Singapore si hanno i seguenti risultati: ρ Italia-Francia Italia-Germania 0.88 Italia-Singapore 0.63 Il suggerimento è di investire in titoli azionari italiani e di Singapore. Perché? 42

43 Relazioni tra variabili: applicazioni Dalla teoria economica sappiamo che esiste una relazione tra la variabile produzione (misurata tramite il valore aggiunto) e gli input fattore capitale e fattore lavoro. Dalle serie storiche ( ) delle tre variabili si ottengono i grafici di dispersione del valore aggiunto e, rispettivamente, l input di capitale e l input di lavoro 43

44 Relazioni tra variabili: applicazioni Il valore aggiunto ha una correlazione maggiore con l input di capitale (grafico a sinistra) che con l input di lavoro (grafico a destra) 44

45 Relazione tra variabili esempio [rif. Bracalente et al.2009] Per decidere le dimensioni di nuovo punto vendita, una catena di supermercati ha effettuato un indagine per studiare la relazione tra dimensione del negozio e le vendite settimanali. A tale proposito viene estratto un campione di 10 supermercati: IPOTESI DI RICERCA: Si ipotizza che a maggiori spazi espositivi tendano a corrispondere valori più elevati delle vendite

46 Rappresentiamo graficamente la distribuzione doppia V o l u m e v e n d i t e ,0 50,0 100,0 150,0 200,0 Spazio espositivo Calcoliamo la correlazione lineare Il coefficiente di correlazione lineare è molto altro ρ=0,893 Per studiare tale relazione dovremmo utilizzare un modello di regressione lineare