X \Y Liceo Classico Liceo Scientifico Altro le distribuzioni di frequenza marginali relative, f i. e f.

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1 Esercizio 1 La seguente tabella riporta la distribuzione di un collettivo di 70 studenti per numero di anni impiegati per conseguire la laurea (Y) e titolo di studio (X) X \Y Liceo Classico Liceo Scientifico Altro Calcolare: 1. le distribuzioni marginali, n i. e n j. ; 2. le frequenze relative congiunte f i j 3. le distribuzioni di frequenza marginali relative, f i. e f. j ; 4. le distribuzioni relative condizionate. Soluzione 1. le distribuzioni marginali di X e Y si ottengono calcolando i totali delle frequenze assolute per riga e per colonna, rispettivamente,, n i. = K j=1 n i j e n. j = H i=1 n i j X \Y Totale Liceo Classico Liceo Scientifico Altro Totale Le frequenze relative congiunte si ottengono come f i j = n i j n 3. mentre quelle marginali come f i. = n i. n e f. j = n. j n 1

2 X \Y Totale Liceo Classico Liceo Scientifico Altro Totale Calcoliamo la distribuzione titolo di studio condizionata alle diverse modalità di Y. X Y = 3 Liceo Classico 0.6 Liceo Scientifico 0.2 Altro 0.2 Totale 1 n i1 /n 1 X Y = 4 n i2 /n 2 Liceo Classico Liceo Scientifico Altro Totale 1 X Y = 5 n i3 /n 3 Liceo Classico 0 Liceo Scientifico Altro Totale 1 2

3 Calcoliamo la distribuzione degli anni impiegati per conseguire la laurea condizionata alle diverse modalità di X. Y X = Lic.Classico n 1 j /n Totale 1 Y X = Lic.Scienti f ico n 2 j /n Totale 1 Y X = Altro n 3 j /n Totale 1 3

4 Esercizio 2 Con riferimento alla seguente distribuzione di un collettivo di individui secondo il sesso (X) ed il salario (Y). X \Y M F Calcolare: 1. le distribuzioni marginali di X e Y; 2. le distribuzioni di Y condizionate alle diverse modalità di X; 3. le medie e le varianze di Y condizionate alle diverse modalità di X; 4. la media e la varianza di Y. Soluzione Otteniamo le distribuzioni marginali di X e Y sommando rispetto alle colonne e alle righe, rispettivamente Totale M F Totale

5 Otteniamo le distribuzioni condizionate di Y dato X Y X=M n 1 j Totale 20 Y X=F n 2 j Totale 20 Calcoliamo le medie e le varianze condizionate di Y X = x i con i = 1,...,H. Dato che X è un carattere qualitativo sconnesso non possiamo calcolare le medie e le varianze condizionate di X Y = y j con j = 1,...,K. Y X=M n 1 j y j n 1 j y 2 j n 1 j Totale ȳ X=xi = 1 n i. K j=1 y jn i j ȳ X=M = = 2.5 σ 2 Y X=x i = 1 n i. K j=1 y2 j n i j ȳ 2 X=x i σ 2 Y X=M = =

6 Y X=F n 2 j y j n 2 j y 2 j n 2 j Totale ȳ X=xi = 1 n i. K j=1 y jn i j ȳ X=F = = 1.5 σy 2 X=x i = 1 K j=1 n y2 j n i j ȳ 2 X=x i i. σy 2 X=F = = 0.25 Per calcolare la media e la varianza di Y dobbiamo considerare la distribuzione marginale di Y y j n j y j n j y 2 j n j Totale ȳ = = 2 σ 2 y = = = 0.5 6

7 Esercizio 3 Con riferimento alla distribuzione di un collettivo di famiglie secondo il numero di figli (X) e il reddito (Y), completare la seguente tabella nel caso di indipendenza X \Y Totale Totale

8 Soluzione n 13 : = 12 n 11 : 40-(12+20)=8 n 1 : 40 x 100 = 8 x = 20 n 2 : 100-(30+20)=50 n 22 : 50-(20+10)=20 n 2 : 50 x 100 = 20 x = 40 n 3 : 100-(40+40)=20 n 33 : = 6 n 31 : 20-(10+6)=4 n 21 : 20-(8+4)=8 n 23 : 40-(20+8)=12 X \Y Totale Totale

9 Esercizio 4 Con riferimento alla seguente distribuzione di un collettivo di individui secondo il sesso (Y) ed il comune di residenza (X) X \Y M F A 0 5 B 5 0 C Calcolare le frequenze sotto l ipotesi di indipendenza tra i due caratteri. Soluzione Prima di tutto occorre ricavarsi le distribuzioni marginali di X e Y. X \Y M F Totale A 5 B 5 C 20 Totale La frequenza d indipendenza è pari a n i j = n i.n. j. Quindi otteniamo la seguente n tabella X \Y M F Totale A B C Totale

10 Esercizio 5 Nella tabella seguente si riportano l ammontare degli investimenti (X) e i volumi di vendita (Y) X Y Sapendo che x = 2.33 e ȳ = 12.62, calcolare una misura della correlazione lineare tra i due caratteri. Soluzione X Y x i y i (x i x) 2 (y i ȳ) Totale

11 x = = 2.33 ȳ = = ρ xy = COD(X,Y ) dev(x)dev(y ) COD(X,Y ) = i x i y i n xȳ = ( ) = ρ xy = = Esercizio 6 Data la seguente tabella X\Y -1 1 Totale Totale Calcolare il coefficiente di correlazione lineare tra i caratteri X e Y. 11

12 Soluzione Per poter calcolare il coefficiente di correlazione lineare, dobbiamo calcolare le seguenti quantità x = = = ȳ = = x i y j n i j x i y j n i j Totale Dalla tabella precedente è immediato verificare che la codevianza sia pari a 40. Dev(x) = H i=1 (x i x) 2 n i. = ( 1 0.2) (1 0.2) 2 60 = = 96 Dev(y) = K j=1 (y j ȳ) 2 n. j = ( 1) (1) 2 50 = = ρ xy = =

13 Esercizio 7 La tabella seguente riporta i valori osservati per i caratteri X e Y relativamente a 5 unità statistiche con Y = 3 + 3X. X Y=3+3X A 2 9 B 4 15 C 6 21 D 8 27 E Totale fornire una rappresentazione grafica per i caratteri X e Y 2. calcolare il coefficiente di correlazione lineare Soluzione y x 13

14 x i y i x i y i (x i x) 2 (y i ȳ) 2 A B C D E Totale σ xy = σ x = 360 σ y = 5 = ρ xy = (6 21) = = = = 1 ρ xy = 1 (come ci aspettavamo) significa che sussiste un perfetto legame lineare tra i due caratteri. Inoltre verifichiamo che ȳ = a + b x ȳ = = 21 σ 2 y = b 2 σ 2 x σ 2 y = = 72 σ xy = bσ 2 x σ xy = 3 8 = 24 14

15 Esercizio 8 Ripetere l esercizio precedente sapendo che Y = 5 + (X 6) 2 X Y=5+(X-6) 2 A 2 21 B 4 9 C 6 5 D 8 9 E Totale Soluzione y x x = 30 5 = 6 ȳ = 65 5 = 13 15

16 x i y i x i y i (x i x) 2 (y i ȳ) 2 A B C D E Totale σ xy = 390 (6 13) = = 0 5 ρ xy = σ xy = 0 = 0. σ x σ y σ x σ y ρ xy = 0 (come ci aspettavamo) significa che la relazione tra i due caratteri non è lineare. 16