Alfonso Iodice D Enza

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1 Strumenti quantitativi per l economia e la finanza I Alfonso Iodice D Enza iodicede@unicas.it Università degli studi di Cassino e del Lazio Meridionale ali dei Il coefficiente () Statistica 1 / 50

2 Outline ali dei ali dei 7 Il coefficiente di correlazione Il coefficiente () Statistica 2 / 50

3 Vettori riga e colonna ali dei vettore colonna 1 3 a (5 1) = trasposizione di un vettore a (5 1) = at (1 5) = ( ) b (1 5) = ( ) b T (5 1) = vettore riga b (1 5) = ( ) Il coefficiente () Statistica 3 / 50

4 Somma ale L operazione somma è definita solo tra aventi le stesse dimensioni, ovvero i addendo devono essere entrambi riga (o entrambi colonna) ed avere lo stesso numero di elementi. Poichè a ha dimensioni (5 1) e b ha dimensioni (1 5), la somma a + b non può essere eseguita. somma di colonna È possibile effettuare la somma tra i a e b T, che hanno entrambi dimensioni (5 1). a+b T = = somma di riga È possibile effettuare la somma tra i b e a T, che hanno entrambi dimensioni (1 5). b + a T = ( )+ ( ) = ( ) ali dei Il coefficiente () Statistica 4 / 50

5 prodotto ale Dato un vettore colonna c avente per elementi {6, 4, 1}, si definisce prodotto ale a c T = 4 2 ( ) = Concetto di Matrice La struttura che risulta dal prodotto ale di a per c si definisce matrice di dimensione 5 3, ovvero è caratterizzata da un numero di righe (5) pari al numero di elementi del primo vettore e il numero di colonne (3) pari al numero di elementi del secondo vettore. In generale una matrice di dimensioni n p è una struttura definita da n riga di p elementi incolonnati, o equivalentemente da p di n elementi affiancati. ali dei Il coefficiente () Statistica 5 / 50

6 prodotto scalare Il prodotto ale determina una matrice, il prodotto tra gli elementi di due che ha per risultato un singolo valore (scalare) si definisce prodotto scalare. Il prodotto scalare non può essere applicato a che abbiano un numero di elementi diverso. Si consideri un vettore colonna d con elementi {1, 8, 2} si definisce prodotto scalare c T d: c T d = ( ) 1 8 = (6 1)+(4 8)+(1 2) = 40 2 ali dei Il coefficiente () Statistica 6 / 50

7 Somma tra L operazione di somma è definita solo tra che abbiano le stesse dimensioni (stesso numero di righe e colonna). Il risultato della somma di due A e B di dimensioni n p è una matrice delle stesse dimensioni i cui elementi sono la somma degli elementi di posto corrispondente in A e B. A + B = = ali dei Il coefficiente () Statistica 7 / 50

8 Prodotto tra Il prodotto tra due è possibile solo se il numero di colonne della prima matrice corrisponde al numero di righe della seconda: poichè A e B sono di dimensioni 5 3, il prodotto A B non è possibile; utilizzando l operatore trasposizione, si possono effettuare i prodotti A T B e A B T A T B = = ali dei Il coefficiente () Statistica 8 / 50

9 Matrici rettangolari e quadrate ali dei Matrice rettangolare X n p = Matrice quadrata X p p = x 1,1 x 1,2... x 1,p x 2,1 x 2,2... x 2,p x n,1 x n,2... x n,p x 1,1... x 1,p x 2,1... x 2,p x p,1... x p,p Il coefficiente () Statistica 9 / 50

10 Matrici diagonali e scalari ali dei Matrice diagonale Una matrice quadrata che ha elementi nulli eccetto la diagonale principale si definisce matrice diagonale D p p = d 1, d 2, d p,p Matrice scalare Una matrice diagonale che ha tutti gli elementi uguali ad una costante K si definsce matrice scalare K K p p = 0 K K Esempio matrice diagonale D p p = Esempio matrice scalare Si considerik = 8 K p p = Il coefficiente () Statistica 10 / 50

11 Matrice identità e matrice unitaria Matrice identità La matrice identità I è una matrice scalare con K = I p p = La matrice identità è tale che Matrice unitaria La matrice unitaria ha tutti gli elementi uguali ad U n p = AI = IA = A ali dei Il coefficiente () Statistica 11 / 50

12 Trasposizione del prodotto tra Esempio trasposizione prodotto tra Si considerino le A e B (A 2 3 B 3 2 ) T = ( B T 3 2 AT 2 3 = ( (AB) T = B T A T ) ) T = ( ( = ) ) ali dei Il coefficiente () Statistica 12 / 50

13 Prodotto tra una matrice uno scalare Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determina una matrice i cui elementi sono gli elementi di A moltiplicati per λ Esempio Sia λ = 2. λa 2 3 = A 2 3 λ = λa = Aλ ( ) ( = ) ali dei Il coefficiente () Statistica 13 / 50

14 Prodotto tra Il prodotto di una matrice A per uno scalare λ determina una matrice i cui elementi sono gli elementi di A moltiplicati per λ ( (A 2 3 B 3 2 ) = Proprietà del prodotto tra ), B = ( Siano A = AB BA ABC = (AB)C = A(BC) (A T + B)C = (A T C) + (BC) A n p B p n = P n n ) = ( , C = ( ) ) ali dei Il coefficiente () Statistica 14 / 50

15 Traccia di una matrice La traccia di una matrice quadrata è la somma degli elementi della diagonale principale ( tr(p 2 2 ) = Proprietà della traccia tr(a + B) = tr(a) + tr(b) tr(a) = tr(a T ) tr(ab) = tr(ba) p tr(x p p ) = x ii i=1 ) = = 167 tr(aa T ) = tr(a T A) = n i=1 mj=1 a 2 ij ali dei Il coefficiente () Statistica 15 / 50

16 Determinante di una matrice Ciascuna matrice quadrata è identificabile attraverso un singolo valore detto determinante ali dei Determinante di una matrice 2 2 ( ) x11 x det(x 2 2 ) = det 12 = x 21 x 22 x 11 x 22 x 21 x 12 Determinante per matrice 3 3 Determinante di una matrice 2 2 ( ) det = (66 101) (121 32) = = 2794 Il coefficiente () Statistica 16 / 50

17 Inversa di una matrice Teorema Sia A una matrice quadrata con determinante diverso da zero, allora esiste ed è unica la matrice B tale che AB = BA = I La matrice B rappresenta la matrice inversa si A e si indica con B = A 1 Proprietà della matrice inversa (k A) 1 = k 1 A 1 (AB) 1 = B 1 A 1 det(a) = det(a) 1 ali dei Il coefficiente () Statistica 17 / 50

18 Un vettore v = [x, y] avente punto di applicazione nell origine degli assi O, è un segmento orientato avente per estremi O ed il punto P di coordinate (x, y). Caratteristiche di Le caratteristiche distintive di un vettore sono intensità (norma): ovvero la lunghezza del vettore direzione: individuata dalla retta passante per gli estremi (OP ) del vettore verso: la semiretta con origine in O e passante per P Rappresentazione di in R 2 Si considerino i seguenti : v 1 = [7, 3], v 2 = [5, 5] e v 3 = [3, 7]. ali dei Il coefficiente () Statistica 18 / 50

19 La norma di un vettore La norma (lunghezza di un vettore v è data dalla radice quadrata della somma dei quadrati degli elementi di v ) p v = [v 1, v 2,..., v p] = v i 2 i=1 Calcolo della norma di Con riferimento ai v 1 = [7, 3], v 2 = [5, 5] e v 3 = [3, 7] le norme sono v 1 = = 7.61 v 2 = = 7.07 v 3 = = 7.61 Rappresentazione di in R 2 ali dei Il coefficiente () Statistica 19 / 50

20 Vettori collineari Due si dicono collineari se sono caratterizzati da uguale direzione, anche se da intensità differente. Considerando i v 2 = [5, 5] e v 4 = [8, 8] ali dei Il coefficiente () Statistica 20 / 50

21 Vettori con norma unitaria ali dei Vettore di norma unitaria Il verrore di lunghezza unitaria si definisce versore e identifica una direzione. Una direzione identifica infiniti, pertanto quello cui si fa riferimento è il versore. Per ottenere il versore u corrispondente al vettore v è necessario dividere ciascuno degli elementi di v per v. Con riferimento ai v 1 = [4, 1], v 2 = [3, 3.5] e v 3 = [1, 3.5], i corrispondenti unitari (versori sono) u 1 = [ , 1 ] = [0.97, 0.24] 4.12 u 2 = [ , ] = [0.65, 0.76] u 3 = [ , ] = [0.27, 0.96] Rappresentazione di in R 2 Il coefficiente () Statistica 21 / 50

22 geometrica della somma tra Rappresentazione della somma di in R 2 Somma tra Dati due v 1 = [x 1, y 1 ] e v 2 = [x 2, y 2 ] il vettore risultante dalla somma v 1 + v 2 corrisponde alla diagonale maggiore del parallelogramma avente per lati v 1 e v 2. Con riferimento ai v 1 = [4, 1], v 2 = [3, 3.5] e v 3 = [1, 3.5], i corrispondenti somma sono v 1 + v 2 = [7, 4.5] v 2 + v 3 = [4, 7] ali dei Il coefficiente () Statistica 22 / 50

23 geometrica della differenza tra Rappresentazione della differenza di in R 2 Differenza tra Dati due v 1 = [x 1, y 1 ] e v 2 = [x 2, y 2 ] il vettore risultante dalla somma v 1 v 2 corrisponde alla diagonale minore del parallelogramma avente per lati v 1 e v 2. Con riferimento ai v 1 = [4, 1], v 2 = [3, 3.5] e v 3 = [1, 3.5], i corrispondenti somma sono v 1 v 2 = [1, 2.5] v 2 v 3 = [2, 0] ali dei Il coefficiente () Statistica 23 / 50

24 geometrica del prodotto scalare tra ali dei Dati due v 1 = [x 1, y 1 ] e v 2 = [x 2, y 2 ] il prodotto scalare è proporzionale alla proiezione ortogonale del vettore v 1 sul vettore v 2 Il prodotto scalare tra tra Il prodotto scalare è proporzionale al coseno dell angolo θ formato tra i due. da cui cos(θ) = vt 1 v 2 v 1 v 2 v T 1 v 2 = cos(θ) v 1 v 2 da cui deriva il fatto che, se v 1 e v 2 sono perpendicolari, θ = 90 o, dunque cos(θ) = cos(90 o ) = 0 allora v T 1 v 2 = 0 Rappresentazione della proiezione di v 1 su v 2 Il coefficiente () Statistica 24 / 50

25 Proiezione ortogonale di un vettore...graficamente si consideri il vettore x = [5, 4] ali dei Il coefficiente () Statistica 25 / 50

26 Proiezione ortogonale di un vettore...graficamente si vuole proiettare il vettore x sull asse U passante per il punto (11, 1). ali dei Il coefficiente () Statistica 26 / 50

27 Proiezione ortogonale di un vettore...graficamente per effettuare la proiezione di x sull asse U occorre calcolare il versore v dell asse U; il versore è v = [0.995, ] ali dei Il coefficiente () Statistica 27 / 50

28 Proiezione ortogonale di un vettore...graficamente coordinata α della proiezione ortogonale sull asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore da proiettare per il versore v dell asse U, ali dei Il coefficiente () Statistica 28 / 50

29 Proiezione ortogonale di un vettore...graficamente coordinata α della proiezione ortogonale sull asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore da proiettare per il versore v dell asse U, ali dei Il coefficiente () Statistica 29 / 50

30 Proiezione ortogonale di un vettore...graficamente avendo ottenuto α, è ora possibile calcolare il vettore ˆx che rappresenta l immagine di x sull asse U ali dei Il coefficiente () Statistica 30 / 50

31 Proiezione ortogonale di un vettore ali dei Ciascun asse individua una direzione nello spazio; poichè ciascuna direzione identifica infiniti di diversa intensità si fa riferimento al versore che ha norma (intensità ) pari ad 1. Dunque tutti i punti che giacciono su un asse U che ha per versore v avranno come coordinata un multiplo di v. Questo perchè a ciascuno dei punti su U corrisponde un vettore di direzione identificata dall asse U di versore v. Sia ˆx la proiezione ortogonale del vettore x sull asse U di versore v. Determinare α, la coordinata sull asse ˆx = αv La proiezione di x su U deve essere ortogonale, quindi il vettore differenza (x ˆx) deve essere ortogonale all asse U, di conseguenza (x ˆx) deve essere ortogonale a v. Due sono ortogonali se il loro prodotto scalare è nullo, il vincolo è quindi (x ˆx) T v = 0 da cui, facendo alcuni passaggi, si ha x T v ˆx T v = 0 x T v αv T v = 0 poichè ˆx = αv e ˆx T = αv T allora essendo v un versore, v T v = 1, quindi x T v α = 0 = α = x T v che rappresenta la coordinata di x sull asse U di versore v. dunque la coordinata α della proiezione ortogonale sull asse U del vettore x si ottiene moltiplicando il vettore da proiettare per il versore v dell asse U. La coordinata α sarà dunque una combinazione lineare (somma ponderata) di x α = x T v = [5, 4] [ ] = = }{{}}{{} peso peso Il coefficiente () Statistica 31 / 50

32 la media aritmetica ali dei media semplice: µ = 1 n n i=1 x i media per dati organizzati in frequenze: µ = 1 n media per frequenze relative: µ = n x i n i i=1 n i=1 x i n i n Il coefficiente () Statistica 32 / 50

33 Calcolo della media aritmetica semplice: un esempio La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di n = 20 studenti ali dei Il coefficiente () Statistica 33 / 50

34 Calcolo della media aritmetica semplice: un esempio La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di n = 20 studenti ali dei Il coefficiente () Statistica 33 / 50

35 Calcolo della media aritmetica semplice: un esempio ali dei La distribuzione unitaria della media voto di un collettivo di n = 20 studenti µ = 1 ( ) = = = Il coefficiente () Statistica 33 / 50

36 Definizione di varianza La varianza un indice che misura la variabilità di una variabile X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2 data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla media) ali dei Il coefficiente () Statistica 34 / 50

37 Definizione di varianza La varianza un indice che misura la variabilità di una variabile X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2 data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla media) σ 2 = (x 1 µ) 2 + (x 2 µ) (x n µ) 2 = n = 1 n (x i µ) 2 n i=1 ali dei Il coefficiente () Statistica 34 / 50

38 Definizione di varianza ali dei La varianza un indice che misura la variabilità di una variabile X rispetto alla media aritmetica. In particolare la varianza σ 2 data dalla media dei quadrati degli scarti (delle modalità dalla media) σ 2 = (x 1 µ) 2 + (x 2 µ) (x n µ) 2 = n = 1 n (x i µ) 2 n i=1 per dati organizzati in frequenze σ 2 = (x 1 µ) 2 n 1 + (x 2 µ) 2 n (x k µ) 2 n k = n 1 + n n k = 1 k (x i µ) 2 n i n i=1 Il coefficiente () Statistica 34 / 50

39 Esempio di calcolo della varianza Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti ali dei Il coefficiente () Statistica 35 / 50

40 Esempio di calcolo della varianza Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti ali dei Il coefficiente () Statistica 35 / 50

41 Esempio di calcolo della varianza Data la variabile X : numero di esami sostenuti prima di quello di statistica osservata su un collettivo di n = 6 studenti ali dei La varianza sarà dunque σ 2 = 1 n (x i µ) 2 = n 6 i=1 = Il coefficiente () Statistica 35 / 50

42 Misura del legame Nel caso di variabili quantitative preferibile utilizzare una misura del legame che coinvolga, oltre le frequenze, anche le modalità (numeriche) delle variabili. Le componenti della variabile doppia X e Y possono essere caratterizzate da diversa posizione e variabilità, risulta in genere che µ x µ y e σ x σ y ali dei Il coefficiente () Statistica 36 / 50

43 Misura del legame ali dei Nel caso di variabili quantitative preferibile utilizzare una misura del legame che coinvolga, oltre le frequenze, anche le modalità (numeriche) delle variabili. Le componenti della variabile doppia X e Y possono essere caratterizzate da diversa posizione e variabilità, risulta in genere che µ x µ y e σ x σ y Volendo misurare le variazioni congiunte delle modalità di X ed Y, si fa riferimento alla versione standardizzata delle variabili, data da Z x = X µ x σ x e Z y = Y µ y σ y questo per escludere dalla misura del legame gli effetti della differente media e varianza (essendo µ x µ y e σ x σ y ) Il coefficiente () Statistica 36 / 50

44 Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ L indice corrispondente alla media aritmetica del prodotto delle modalità standardizzate delle variabili si definisce coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ ed dato da ρ xy = 1 n n (z x,i z y,i ) = 1 n i=1 n ( xi µ x i=1 σ x y ) i µ y σ y ali dei Il coefficiente () Statistica 37 / 50

45 Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ ali dei L indice corrispondente alla media aritmetica del prodotto delle modalità standardizzate delle variabili si definisce coefficiente di correlazione lineare di Pearson ρ ed dato da ρ xy = 1 n n (z x,i z y,i ) = 1 n i=1 n ( xi µ x Il coefficiente () Statistica 37 / 50 i=1 σ x y ) i µ y σ y Con piccole trasformazioni si ottiene la presente formalizzazione ρ xy = 1 n n i=1 (x i µ x )(y i µ y ) = σ xy σ x σ y σ x σ y La quantità al numeratore si definisce covarianza: essa corrisponde alla media del prodotto degli scarti delle modalità di X e Y dalle rispettive medie. La covarianza misura la contenporanea variazione di X e Y con riferimento alle loro medie.

46 Calcolo del coefficiente di correlazione Si consideri l esempio della variabile doppia reddito/grado di anzianità ali dei Il coefficiente () Statistica 38 / 50

47 Calcolo del coefficiente di correlazione ali dei Il coefficiente () Statistica 38 / 50

48 Calcolo del coefficiente di correlazione ali dei sia X = anni di anzianità e Y = reddito annuo σ x = 1 n (x i µ x ) n 2 = σ y = 1 n σ xy = 1 n i=1 n (y i µ y ) 2 = i=1 n (x i µ x )(y i µ y ) = i=1 ρ xy = σ xy σ x σ y = = 0.95 Il coefficiente () Statistica 38 / 50

49 Tabella individui variabili ali dei Si considerino p variabili quantitative osservate su un collettivo di n unità statistiche. La corrispondente matrice di dati A a 1,1 a 1,2... a 1,p A n p = a 2,1 a 2,2... a 2,p a n,1 a n,2... a n,p esempio A 5 3 = Il coefficiente () Statistica 39 / 50

50 Calcolo del vettore delle medie delle p variabili Utilizzando il prodotto ale è possibile ottenere il vettore delle medie a 1,1 a 1,2... a 1,n m = A T p n u n 1 = a 2,1 a 2,2... a 2,n a p,1 a p,2... a p,n = esempio 1 n (a 1,1+ a 1, a 1,n ) 1 n (a 2,1+ a 2, a 2,n ) n (a p,1+ a p, a p,n) } {{ } A T 3 5 1/5 1/5 1/5 1/5 1/5 = } {{ } u 5 1 = µ 1 µ 2... µ p 1 n 1 n... 1 n = ( ) 5 ( ) 5 ( ) 5 = } {{ } m 3 1 ali dei Il coefficiente () Statistica 40 / 50

51 Calcolo della matrice delle medie delle p variabili A partire da m, vettore delle medie, si ottiene la matrice delle medie, utile alla successiva operazione di centratura. 1 M n p = 1 n 1 m T 1 p = 1... ( µ 1 µ 2... µ p ) = 1 = esempio µ 1 µ 2... µ p µ 1 µ 2... µ p µ 1 µ 2... µ p } {{ } ( ) = }{{} m T } {{ } M 5 3 ali dei Il coefficiente () Statistica 41 / 50

52 Centratura della matrice ali dei Sottraendo alla matrice dei A e la matrice delle medie M si ottiene la matrice dei dati centrati X. X n p = A n p M n p = = = esempio a 1,1 a 1,2... a 1,p a 2,1 a 2,2... a 2,p a n,1 a n,2... a n,p µ 1 µ 2... µ p µ 1 µ 2... µ p µ 1 µ 2... µ p (a 1,1 µ 1 ) (a 1,2 µ 2 )... (a 1,p µ p) (a 2,1 µ 1 ) (a 2,2 µ 2 )... (a 2,p µ p) (a n,1 µ 1 ) (a n,2 µ 2 )... (a n,p µ p) } {{ } A } {{ } M 5 3 = = } {{ } X 5 3 Il coefficiente () Statistica 42 / 50

53 Matrice di devianza e codevianza ali dei Una volta ottenuta la matrice centrata X, è possibile, attraverso il prodotto di X per la sua trasposta, ottenere la matrice di devianza e codevianza.tale matrice avrá elementi della diagonale principale le devianze); gli elementi extra-diagonale le codevianze. X T p n X n p = = esempio x 1,1 x 1,2... x 1,n x 2,1 x 2,2... x 2,n x p,1 x p,2... x p,n dev(x 1 ) codev(x 1, X 2 )... codev(x 1, X p) codev(x 2, X 1 ) dev(x 2 )... codev(x 2, X p) codev(x p, X 1 ) codev(x p, X 2 )... dev(x p) } {{ } X T } {{ } V 3 3 x 1,1 x 1,2... x 1,p x 2,1 x 2,2... x 2,p x n,1 x n,2... x n,p } {{ } X 5 3 = = Il coefficiente () Statistica 43 / 50

54 Matrice di varianze e covarianze ali dei A questo punto è immediato definire la matrice di varianze e covarianze Σ. Per fare questo si consideri la matrice diagonale come una matrice quadrata (stesso numero di righe e di colonne) i cui elementi extradiagonali sono nulli. In particolare si faccia riferimento alla matrice U di dimensione (p p) i cui elementi diagonali siano tutti uguali a 1 n. U = n 0 1 n n Utilizzando la matrice U è possibile ricavare la matrice Σ di dimensioni p p a partire da quella di devianze e codevianze X T X precedentemente ottenuta. σ 2 X σ 1 (X1,X 2 )... σ (X1,Xp) X T σ XU = VU = Σ = (X2,X 1 ) σx 2... σ 2 (X2,Xp) σ (Xn,X1 ) σ (Xn,X2 )... σxp 2 Il coefficiente () Statistica 44 / 50

55 Matrice di varianze e covarianze esempio } {{ } V /5 0 1/ /5 } {{ } U 3 3 = } {{ } Σ 3 3 ali dei Il coefficiente () Statistica 45 / 50

56 Matrice standardizzata ali dei Per ottenere la matrice dei dati standardizzati Z di dimensione n p i cui elemento generico z ij = a ij µ j, i = 1,..., n; j = 1,..., p. Avendo già ottenuto la matrice dei dati centrati X è σ j necessario moltiplicare ciascuno degli elementi di tale matrice per 1 σj. Si ricorre anche in questo caso ad una matrice diagonale: la matrice è D di dimensione (p p) i cui elementi diagonali sono tutti uguali a 1 σ j, j = 1,..., p. D = 1 σ σ σp Utilizzando la matrice D è possibile ricavare la matrice Z di dimensioni n p: post-moltiplicando D ad X si ottiene a 11 µ 1 a 12 µ 2 a... 1p µp σ 1 σ 2 σp a 21 µ 1 a 22 µ 2 a... 2p µp Z = XD = σ 1 σ 2 σp a n1 µ 1 a n2 µ 2 anp µp... σ 1 σ 2 σp Il coefficiente () Statistica 46 / 50

57 Matrice standardizzata esempio } {{ } X = } {{ } D 3 3 } {{ } Z 5 3 ali dei Il coefficiente () Statistica 47 / 50

58 Matrice di correlazione Il coefficiente di correlazione lineare di Pearson che caratterizza una coppia di variabili è definito come la media aritmetica dei prodotti delle modalità standardizzate. Pertanto, avendo calcolato Z, matrice standardizzata, risulta agevole ottenere la matrice di correlazione: R = Z T ZU = 1 ρ 1,2... ρ 1,p ρ 2, ρ 2,p ρ p,1 ρ p, In particolare gli elementi diagonali di tale matrice sono r jj = 1 [( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ] a1,j µ j a2,j µ j an,j µ j = n σ j σ j σ j 1 n ( ) 2 1 aij µ j n i=1 σ j 2 }{{} varianza σ 2 j = σ2 j σ j 2 = 1 ali dei Il coefficiente () Statistica 48 / 50

59 Matrice di correlazione Gli elementi extra-diagonali sono r kj = 1 [( ) ( ) ( ) ( ) a1,k µ k a1,j µ j a2,k µ k a2,j µ j n σ k σ j σ k σ j covarianza σ kj { }} { 1 n ( ) ( ) ( ) ( )] ai,k µ k ai,j µ j an,k µ k an,j µ j n i=1 + = = σ k σ j σ k σ j = σ kj = ρ kj coefficiente di correlazione lineare tra le variabili k e j σ k σ j ali dei Il coefficiente () Statistica 49 / 50

60 Matrice di correlazione esempio R = U = }{{} Z T }{{} 3 5 Z = = }{{} 5 ( Z T ) }{{}}{{} Z U R ali dei Il coefficiente () Statistica 50 / 50